面积与代数恒等式 课件2024-2025 学年华东师大版数学八年级上册

面积与代数恒等式 北外东坡 李小红 1 仁 爱 旷 达 博 学 笃 行 1 仁 爱 旷 达 博 学 笃 行 1 仁 爱 旷 达 博 学 笃 行 1 仁 爱 旷 达 博 学 笃 行 1 仁 爱 旷 达 博 学 笃 行 学习目标： 1.通过对几何图形的面积关系的观察、分析、研究，从中抽象、归纳出一些代数恒等式；（形→数） 2．根据代数恒等式的特点，设计相应的图形验证其正确性；（数→形） 3．应用数形结合理解图形面积与代数恒等式之间的关系，并解决实际问题，体会它们的几何意义. 1 仁 爱 旷 达 博 学 笃 行 一、合作探究 1.如图是摆放的四张完全相同的桌子，那么四张桌子的总面积可表示为： 方法一: 方法二: 可得等式: a b b a c 2.如图是窗户的示意图，图中阴影的面积可表示为： 方法一: 方法二: 可得等式: 2a·2b=4ab 2a·2b 4ab a·(b-c) =ab-ac a·(b-c) ab-ac 1 仁 爱 旷 达 博 学 笃 行 2a·2b=4ab a·(b-c) =ab-ac 像上述这种，不论字母取什么值，左边恒等于右边的式子叫代数恒等式. 明晰定义 a b b a c 1 仁 爱 旷 达 博 学 笃 行 二、多题一法，提升技能 3b 4b a a b b 代数恒等式: (2a)2=4a2 4b·3b=12b2 a·(a+b) =a2+ab a a a a 积的乘方 单项式乘单项式 单项式乘多项式 代数恒等式: 代数恒等式: 1 仁 爱 旷 达 博 学 笃 行 a a b b (a+b)2=a2+2ab+b2 完全平方公式： 1 仁 爱 旷 达 博 学 笃 行 acm acm bcm bcm acm bcm ? a2-b2=(a+b)(a-b) 平方差公式： 1 仁 爱 旷 达 博 学 笃 行 如何用拼图的方式来验证代数恒等式 卡片 ① ② ③ 数量（张）     2 3 1 三、逆向思考，深入探究 (2a+b)(a+b）=2a2+3ab+b2 ① a a ② b a ③ b b 1 仁 爱 旷 达 博 学 笃 行 再组织学生... text has been truncated due to evaluation version limitation. 12 如何用拼图的方式来验证代数恒等式 卡片 ① ② ③ 数量（张）     2 3 1 三、逆向思考，深入探究 (2a+b)(a+b）=2a2+3ab+b2 a a a b b 部分合整体，整体拆部分！ 1 仁 爱 旷 达 博 学 笃 行 再组织学生... text has been truncated due to evaluation version limitation. 13 把长和宽分别为a和b的四个相同的小长方形拼成如图的正方形， (1)请利用图中白色部分面积的不同表示方法，得出代数恒等式__________________________ （a﹣b）2 ＝ （a+b）2﹣4ab 四、自主学习，合作探究 1 仁 爱 旷 达 博 学 笃 行 b a 解：s阴影=s大正方形-s小正方形 s阴影 = 4s小长方形 代数恒等式： b a a b b a-b (a-b)2 =(a+b)2-4ab (a+b)2=(a-b)2+4ab (a+b)2-(a-b)2=4ab =(a+b)2-(a-b)2 = 4ab a a b b 1 仁 爱 旷 达 博 学 笃 行 15 (2)根据（1）中的等量关系，解决如下问题：已知m+n=6，mn=5，则m-n=_______ ±4 跟踪训练： 变式训练： （3）已知:a+b=5，ab= 4,求a2+b2 的值 把长和宽分别为a和b的四个相同的小长方形拼成如图的正方形， (1)请利用图中白色部分面积的不同表示方法，得出代数恒等式____________________ （a﹣b）2 ＝ （a+b）2﹣4ab 1 仁 爱 旷 达 博 学 笃 行 小组内几名同学间任意写出几个代数恒等式，然后用上面所学的方法用准备好的硬纸片拼出所对应的图形，并画出几何直观图，验证它的正确性。 各小组选出代表来说明本小组所构造的图形是如何解释所对应的代数恒等式的。 五、小组学习，合作交流 1 仁 爱 旷 达 博 学 笃 行 阿贝尔：翻开近代数学的教科书和专门著作，阿贝尔这个名字是屡见不鲜的：阿贝尔积分、阿贝尔函数、阿贝尔积分方程、阿贝尔群、阿贝尔级数、阿贝尔部分和公式、阿贝尔基本定理、阿贝尔极限定理、阿贝尔可和性，等等。只有很少几个数学家能使自己的名字同近代数学中这么多的概念和定理联系在一起。可见这是一位非常卓越的数学家。 1 仁 爱 旷 达 博 学 笃 行 数学家阿贝尔，利用阶梯形，发现了一个重要的恒等式——阿贝尔公式，下图是一个简单的阶梯形，可用两种方法，把图形分割成为两个矩形。利用它们之间的面积关系，可以得到：a1b1+a2b2= __________ A、a1(b1－b2)+(a1+a2)b1 B、a2(b2－b1)+(a1+a2)b2 C、a1(b1－b2)+(a1+a2)b2 D、a2(b1－b2)+(a1+a2)b1 a1 a2 b1 b2 a1 a2 b1 b2 1 仁 爱 旷 达 博 学 笃 行 (1)用图形面积解释代数恒等式： (3a-b)(a-b)=3a2-4ab+b2 3a-b a-b a a b b 拓展探究 1 仁 爱 旷 达 博 学 笃 行 20 www.gzsxw.net 港中数学网 (2)结合下图，写出与之相关的代数恒等式. a a b b b a a c c c c b 拓展探究 1 仁 爱 旷 达 博 学 笃 行 21 www.gzsxw.net 港中数学网 图形面积与代数恒等式的关系 代数 恒等式 图形 面积 六、课堂总结，梳理提升 运用不同表达形式 根据代数式的几何意义 以形想数，由数思形，体会数形结合的美妙之处 数到形技巧： 形到数技巧： 弄清边长，外加内减 加用接，减用截，等式两边都要看 1 仁 爱 旷 达 博 学 笃 行 22 数缺形时少直观， 形少数时难入微。 数形结合百般好， 隔离分家万事休。 ——华罗庚 1 仁 爱 旷 达 博 学 笃 行 $$