B卷23-填空题以及B卷26几何压轴最值系列2024--2025学年北师大版数学九年级上学期中复习讲义-（成都使用）

B卷23-最值系列以及B卷26几何压轴最值系列--成都 一、B卷23-最值系列（线段（比）最值、面积最值、胡不归、周长最值、周长比最值） 1．如图，中，，，于点，是线段上的一个动点，则的最小值是 ．    2．如图，四边形的两条对角线和所成的锐角，则的最大值为 ． 3．如图，在正方形中，点是边延长线上一动点，连接、．则的最小值为 ． 4．如图，正方形的边长为8，点分别是边上的动点，且，连接交于点，点为上一点，且，连接，则的最小值为 ．    5．如图，在矩形中，，垂足为，动点 分别在上，则的长为 ，的最小值为 ． 6．如图，在平行四边形中，，，，点为上一点，且，点为线段上的一动点，将四边形沿翻转得到对应的四边形，当最小时，的长为 ． 7．如图，中，点分别在上，且，于点M，于点N，于点D，交于点E，且，连接，若 的面积等于75，则的最小值为 ． 8．如图，菱形的对角线交于点，作于点，且交于点．在上取点，使得，连接．记的周长分别为，则的最大值是 ．    9．如图，在中，为边上一动点（点除外），以为一边在边上方作正方形，连接，则的面积的最大值为 ． 10．如图，中，，，E在直线BC上，连接AE、DE，则的最大值是 ． 11．如图，在正方形中，是边延长线上一动点，连接，在点的运动过程中，的最小值为 ． 12．如图，在中，，于点，于点．交于点，点在直线上运动，，，，当取最小值时，的长为 ． 13．如图，直线经过正方形的顶点，先分别过此正方形的顶点、作于点、于点．然后再以正方形对角线的交点为端点，引两条相互垂直的射线分别与，交于，两点．若，，则线段长度的最小值是 ．    14．如图，是正方形边的中点，是正方形内一点，连接，线段以为中心逆时针旋转得到线段，连接．若，，则的最小值为 ．    15．如图，长方形ABCD中，，，E为BC上一点，且，F为AB边上的一个动点，连接EF，将EF绕着点E顺时针旋转30°到EG的位置，连接FG和CG，则CG的最小值为 ． 16．如图，在矩形纸片ABCD中，，，按以下步骤操作：第一步，在边AB上取一点M，且满足，现折叠纸片，使点C与点M重合，点B的对应点为点，则得到的第一条折痕EF的长为 ；第二步，继续折叠纸片，使得到的第二条折痕与EF垂直，点D的对应点为，则点和之间的最小距离为 ． 17．已知正方形的边长为4，点P是该正方形边上一点，以P为位似中心，作正方形正方形ABCD，相似比为，则点与点B的最大距离为 ；连接，若的周长为，则的面积为 ． 18．如图，在中，，，，点D为上一点，且，点E为上一动点，连接，过点D作，交直线于点F，点G为的中点，当点E从点A运动到点C，点G的运动路径长为 ． （用含n的式子表示）    19．如图，已知，若点、在射线上，且满足，，是射线上的动点，同时在右侧作，且满足，则的面积为 ．若点运动轨迹与射线交于点，当的最小值时，此时的值为 ． 二、B卷23--线段求值和找规律 20．在中，，，，一动点在线段上，以，为边作矩形，直线与直线，的交点分别为，，当是等腰三角形时，该三角形的腰长为 ． 21．有三角形纸片，，，按如下方式操作：第一步，将纸片沿折痕折叠，使点C落在线段上的点处，点B的对应点为点(如图①)；第二步，继续将纸片沿折痕折叠，使点M落在线段的点处(如图②)．连接，若，则的值为 ． 22．如图，是平行四边形的边的垂直平分线，垂足为点O，与的延长线交于点E，连接与交于点F，则下列结论正确的是： ①四边形是菱形；②；③；④ 23． 定义：如果两个实数m，n满足，均为整数，则称m，n为一组“齐整数”．现有一组“齐整数”，且x，y满足，则的值为 ． 24．如图1，将一张菱形纸片沿对角线剪开，得到和，再将以D为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，使，得到如图2所示的，连接，，，有下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是 ．（把所有正确结论的序号都填在横线上） 25．如图，在Rt中，平分交于点，作交于点平分交于点．若，则 ． 26．在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如右图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C，延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1，…按这样的规律进行下去，第1个正方形的面积为 ；第n个正方形的面积为 ． 27．如图，正方形中，点E是边上一点，连接，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点H，连接，有以下五个结论：①；②；③；④；⑤若，则，你认为其中正确的是 （填写序号）． 28．如图，中，，，，分别以，为边向两侧构造正方形，，连接，，；现取四边形四边的中点，，，，则四边形的面积为 ． 29．在，为上一点，为上一点，，若，，则 ． 30．如图，在平面直角坐标系中，点与点分别在轴、轴上，正方形与正方形的边长分别为和，正方形绕点旋转，当落在轴正半轴上时， ；当，，三点共线时，的长为 ．    31．如图，在，，为边上的一点，将沿翻折，得到，连接，，若，，则到边上的距离为 ． 32．在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点称为整点；把两个端点均为整点且长度为整数的线段称为整点线段．如图，梯形的四个顶点均为整点，点，直线过定点，作点关于直线的对称点，点为梯形内一点（包含边界），连接，当恰好落在梯形上，且是长度为5的整点线段，则这样的点共有 个． 33．如图， 正方形中，，点E为上一动点，将三角形沿折叠，点A落在点F处，连接并延长，与边交于点G，若点G为中点，则 ． 34．如图，菱形中，，点坐标为，过点作直线分别交、于点、，交于，点在反比例函数的图象上，若和（即图中两阴影部分）的面积之比为，则值为 ． 35．如图，在菱形中，，点E是上一点，连接，将绕点E顺时针旋转至，连接与交于点G，若，则 ．    三、B卷26几何压轴-十字架模型 36．问题探究：如图1，在正方形，点分别在边上，于点点分别在边上，． (1)①判断与的数量关系：_____； ②推断：______(填数值)； (2)类比探究：如图2，在矩形中，．将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，得到四边形，交于点，连接交于点．试探究与之间的数量关系，并说明理由； (3)拓展应用1：如图3，四边形中，，，，点分别在边上，求的值． (4)拓展应用2：如图2，在（2）的条件下，连接CP，若，，求的长． 37．（1）小曼和他的同学组成了“爱琢磨”学习小组，有一次，他们碰到这样一道题：“已知正方形，点E、F、G、H分别在边上，若，则．”为了解决这个问题，经过思考，大家给出了以下两个方案： 方案甲：过点A作交于点M，过点B作交于点N； 方案乙：过点H作交于点M，过点E作交于点N． 对他们遇到的问题，请在甲、乙两个方案中任一个加以证明（如图1）    （2）如果把条件中的“正方形”改成“矩形”，如图2，并设，求的值． （3）如图3，在四边形中，，，点E、F分别在线段上，且．求的值． 38．（1）问题探究；如图1，在正方形中，点E，Q分别在边上，于点O，点G，F分别在边上，．    ①判断与的数量关系：______；②推断：的值为________； （2）类比探究，如图（2），在矩形中，（k为常数），将矩形沿折叠，使点A落在边上的点E处，得到四边形交于点H，连接交于点O．试探究与之间的数量关系，并说明理由；    （3）拓展应用．如图3，四边形ABCD中，，点M、N分别在边上，求的值．    四、B卷26几何压轴-手拉手模型 39．[基础巩固] （1）如图1，在四边形中，对角线平分，求证：； [尝试应用] （2）如图2，四边形为平行四边形，F在边上，，点E在延长线上，连接、、，若，求的长； [拓展提高] （3）如图3，E是内部一点，F为边上一点，连接，已知，，求的值． 40．某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：    (1)问题发现：如图1，在等边中，点P是边上任意一点，连接，以为边作等边，连接．求证：． (2)变式探究：如图2，在等腰中，，点P是边上任意一点，以为腰作等腰，使，，连接．判断和的数量关系，并说明理由； (3)解决问题：如图3，在正方形中，点P是边上一点，以为边作正方形，Q是正方形的中心，连接．若正方形的边长为12，，求正方形的边长． 41．天府新区某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： （1）问题发现：如图1，在等边△ABC中，点P是边BC上任意一点，连接AP，以AP为边作等边△APQ，连接CQ．求证：BP CQ； （2）变式探究：如图2，在等腰△ABC中，ABBC，点P是边BC上任意一点，以AP为腰作等腰△APQ，使AP PQ，APQ ABC，连接CQ．判断∠ABC和∠ACQ的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图3，在正方形ADBC中，点P是边BC上一点，以AP为边作正方形 APEF，Q是正方形APEF的中心，连接CQ．若正方形APEF的边长为6，，求正方形ADBC的边长． 42．已知线段是正方形的一条对角线，点E在射线上运动，连接，将线段绕点C顺时针旋转，得到线段，连接．    （1）如图1，若点E在线段上，请直接写出线段与线段的数量关系与位置关系； 【模型应用】 （2）如图2，若点E在线段的延长线上运动，请写出线段，，之间的数量关系，并说明理由； 【模型迁移】 （3）如图3，已知线段是矩形的一条对角线，，，点E在射线上运动，连接，将绕点C顺时针旋转，得到，在上截取线段，连接，若，直接写出线段EF的长． 43．（1）如图1，在中，，，过点B在同侧作且，点E为的中点，连结、，分别交于点F、G． （ⅰ）求证：； （ⅱ）若，求的长； （2）如图2，在等腰中，，点D为线段上一点，．过点A作，连结，且，求的值． 44．如图1，已知，，点在上且，与的相交于点． (1)求的度数（用含的代数式表示）； (2)求证：； (3)如图2，是中点，连接与相交于点．当为中点时，若，求的值． 45．（1）问题背景：如图（1），已知，求证：； （2）尝试应用：如图（2），在和中，，，与相交于点F．点D在边上，，求的值； （3）拓展创新：如图（3），D是内一点，，，，，则的长为________． 46．如图1，在中，，点是边上一点，是等腰三角形，，交于点，探究与的数量关系． (1)先将问题特殊化，如图2，当时，直接写出的大小； (2)再探究一般情形，如图1，求与的数量关系． (3)将图1特殊化，如图3，当时，若，求的值. 47．问题背景：如图，在和中，若，，易知，与的夹角为： 问题提出：（）如图，若，，则与的数量关系为____，它们的夹角为_______． 尝试运用：（）如图，若，，点为线段上一点（不与点重合）；与相交于点，连接，若，，求的长度： 拓展创新：（）如图，在中，，，，点、点分别为上一点，，，求的值．    48．【操作发现】（1）如图1，在和，，，．求证：； 【问题解决】（2）如图2，在和中，，，，，点在内，延长交于点，求证：点是中点； 【灵活应用】（3）如图3，已知中，，，，以为底边在外作等腰三角形，且，连接，则的长为____________． 五、B卷26几何压轴-面积问题 49．如图1，点D为内一点，联结，，以为邻边作平行四边形，与边交于点F，． (1)求证：； (2)延长，交边于点G，如果，且的面积与平行四边形面积相等，求的值； (3)如图2，联结，若平分，，求线段的长． 50．教材再现：面积法是常用的求长度法，如例图中，等腰中，．即，∵，∴是个固定值． (1)如图1，在矩形中，与交于O，，P是上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作和的垂线，垂足分别为E，F，则的值为_________． 知识应用： (2)如图2，在矩形中，点M，N分别在边，上，将矩形沿直线折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点处．点P为线段上一动点（不与点M，N重合），过点P分别作直线，的垂线，垂足分别为E和F，以，为邻边作平行四边形，若的周长是否为定值？若是，请求出的周长；若不是，请说明理由． (3)如图3，当点P是等边．外一点时，过点P分别作直线、、的垂线、垂足分别为点E、D、F．若，请直接写出的面积_________． 51．在正方形中，为边上一动点，将沿折叠，得到，过点作直线，分别交，于点，． (1)如图①，试探究当的度数为多少时，为的中点？说明理由； (2)如图②，当时，若，求正方形的边长； (3)如图③，延长交边于点，连接交于点，记正方形的面积为，的面积为，当时，求的值． 52．点O为矩形的对称中心，，，点E为边上一点（），连接并延长，交于点F．四边形与四边形关于所在的直线成轴对称，线段交边于点G．    (1)求证：． (2)当时，求的长． (3)如图2，连接、，分别交、于点H，K．记四边形的面积为，的面积为，当时，求的值． 53．如图，在中，，，，、分别是、的中点，连接．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，当点停止运动时，点也停止运动．连接，设运动时间为．解答下列问题：    (1)当为何值时，以点、、为顶点的三角形与相似？ (2)当为何值时，为等腰三角形？（直接写出答案即可）； (3)当点在、之间运动时，是否存在某一时刻，使得分四边形所成的两部分的面面积之比为？若存在，求出此时的值以及点到的距离；若不存在，请说明理由． 六、B卷26-几何压轴-特殊三角形、相似三角形，四边形求线段长度 54．如图，射线上有一点，，点是射线上异于的一点，过作，且，过点作，交射线于，在射线取点，使得，连接并延长，交直线于点，设．    (1)当在点右侧时，求的长．（用关于的代数式表示） (2)当为何值时，是等腰三角形； (3)作点关于的对称点，连接，，若四边形是平行四边形，求的值．（直接写出答案） 55．如图1，在正方形中，点是边上的一点，，且交正方形外角的平分线于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)在边上是否存在点，使得四边形是平行四边形？若存在，请画出图形并给予证明；若不存在，请说明理由． 56．如图，已知在菱形中，是锐角，是边上的动点，将射线绕点按逆时针方向旋转，交于点．    (1)如图，当，时，证明：； (2)如图，连接，射线与线段的延长线交于点，射线与线段的延长线交于点，当时，，设，，求与之间的函数关系式； (3)在（）的条件下，若，当为直角三角形时，求的长； 57．【概念认识】如果，即，则b叫做a和c的比例中项，或等比中项．若一个三角形一条边长是另两条边长的等比中项，我们把这个三角形叫做等比三角形． （1）已知是等比三角形，，．请直接写出所有满足条件的的长； 【数学理解】 （2）如图1，在四边形中，，对角线平分，．求证：是等比三角形； 【问题解决】 （3）如图2，在（2）的条件下，当时，求的值． 58．在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，其中点，的对应点分别为点，． (1)如图1，当点落在的延长线上时，连接，求的长； (2)如图2，连接，与边交于点，当，求的值； (3)如图3，连接，点为的中点，点为的中点，连接.在旋转过程中，若为以为直角边的直角三角形，求的长． 59．如图，在菱形中，，点E是边上一动点，连接，以为边在直线的左侧作菱形，使得菱形菱形． (1)如图1，连接，我们感觉，在点E的运动过程中，与始终保持全等关系，请说明理由． (2)如图2，连接交于H； （Ⅰ）在点E的运动过程中，和有何位置关系，请说明理由； （Ⅱ）当H为中点时，求的值； (3)如图3，连接，当，是直角三角形时，求菱形的边长． 60．如图，在矩形中，，，动点P从点A开始以每秒2个单位长度沿向终点B运动，同时，动点Q从点C开始沿以每秒3个单位长度向终点A运动，它们同时到达终点．连接交于点E．过点E作，交直线于点F．    (1)当点Q在线段上时，求证：． (2)当时，求的面积． (3)在P，Q的运动过程中，是否存在某一位置，使得以点E，F，Q为顶点的三角形与相似？若存在，求的长；若不存在，请说明理由． 七、B26几何压轴-最值系列 61．提出问题：    (1)如图1，在中，，点为动点，且满足，则的面积最大值为________； 问题探究： (2)如图2，已知，，垂足分别为、，交于点，，，，求的长； 解决问题： (3)如图3，某景区内有一块形状为直角三角形的空地，点为边上的中点，为珍宝馆，计划沿边向外扩建一个比较大的自然馆，地方又不够用，设计师借助外部地皮，想在空地外找一点，满足，连接，其中，测得米，米，问自然馆的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值；若不存在，请说明理由． 62．在中，，将绕点B顺时针旋转得到，其中点A，C的对应点分别为点，． （1）如图1，当点落在的延长线上时，求的长； （2）如图2，当点落在的延长线上时，连接，交于点M，求的长； （3）如图3，连接，直线交于点D，点E为的中点，连接．在旋转过程中，是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由． 、 63．在中，，，，E是线段上一动点，连接． (1)如图1，若，求的面积； (2)如图2，若，将线段绕C逆时针旋转得到线段，连接．若点G是线段的中点，过点G作交于点P，交于点H，证明； (3)如图3，将沿翻折至，连接．D是线段上的点，且，直接写出当取得最小值时的长度． 64．如图1，在中，，，点在线段上，点在直线上，连接、，且，直线交于点． (1)如图2，过点作于点，求证； (2)当点是的三等分点时，求的值； (3)如图3，连接，将沿着翻折，得到，点是上一点，且，当最短时，求的值． 65．如图1，等边中，为边上的一点，且，分别为上的两个动点，始终保持. (1)若，求证：①，②； (2)①如图2，若，试探究之间的数量关系，请写出证明过程； ②请通过类比、归纳、猜想，探究出之间的数量关系的一般结论（用含有的代数式直接写出，不用证明）； (3)如图3，为边上的中点，，连接，当点分别在线段上运动时，当时，直接写出线段扫过的图形的面积. 八、B卷26几何压轴-其他类型 66．在矩形中，点E为边上一动点（不与点A、B重合），连接，过点E作，连接与分别交于点G、H． (1)如图1，当矩形为正方形时，且，求证：； (2)在（1）的条件下，且点E为的中点，求的值； (3)如图2，已知：，，连接交于G，与交于H．若，求的长度． 67．如图，在菱形ABCD中，AC与BD交于点O，E是BD上一点，EF//AB，∠EAB=∠EBA，过点B作DA的垂线，交DA的延长线于点G． （1）∠DEF和∠AEF是否相等？若相等，请证明；若不相等，请说明理由； （2）找出图中与ΔAGB相似的三角形，并证明； （3）BF的延长线交CD的延长线于点H，交AC于点M．求证：BM2=MF⋅MH． 68．在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点P为AB边上的动点（P与A、B不重合），将△BCP沿CP翻折，点B的对应点B1在矩形外，PB1交AD于E，CB1交AD于点F． （1）如图1，求证：△APE∽△DFC； （2）如图1，如果EF＝PE，求BP的长； （3）如图2，连接BB′交AD于点Q，EQ：QF＝8：5，求tan∠PCB． 69．已知，如图，在矩形中，，．对角线与交于点，点是边上的一个动点，连接，作，且射线与边交于点． (1)求证：； (2)判断是否为定值，若是，则求出：若不是，请说明理由； (3)连接，，若，求的长． 70．综合与实践 （1）【操作发现】如图1，诸葛小组将正方形纸片沿过点的直线折叠，使点落在正方形内部的点处，折痕为，再将纸片沿过点的直线折叠，使与重合，折痕为，求的正切值； （2）【拓展探究】如图2，孔明小组继续将正方形纸片沿继续折叠，点的对应点恰好落在折痕上的点处，连接交于点，若，求线段的长； （3）【迁移应用】如图3，在矩形中，点分别在边上，将矩形沿折叠，点落在点处，点落在点处，点恰好在同一直线上，若点为的三等分点，，请求出线段的长．    71．在平行四边形中，，，点、分别为、的两点． (1)如图1，若，且，连接、，判断和的数量关系及位置关系，并说明理由； (2)如图2，，，求证：； (3)如图3，若，点关于的对称点为点，点为平行四边形对角线的中点，连接交于点，求的长． 72．如图，在正方形中，点在射线上(不与点，重合)，连接，将绕点顺时针旋转得，连接，连接交的延长线于点，过点作，垂足为，连结，．    (1)求证：； (2)________，并说明理由； (3)若，，直接写出的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ B卷23-最值系列以及B卷26几何压轴最值系列--成都 一、B卷23-最值系列（线段（比）最值、面积最值、胡不归、周长最值、周长比最值） 1．如图，中，，，于点，是线段上的一个动点，则的最小值是 ．    【答案】 【难度】0.65 【知识点】等腰三角形的定义、解直角三角形的相关计算、用勾股定理解三角形、垂线段最短 【分析】过点D作于，过点C作于，首先通过勾股定理及求出AE,BE的长度，然后根据等腰三角形两腰上的高相等得出，然后通过锐角三角函数得出，进而可得出，最后利用即可求值． 【详解】解：如图，过点D作于，过点C作于．    ∵， ∴， ∵， 设，， ∴， ∴， ∴或（舍弃）， ∴， ∵，，， ∴（等腰三角形两腰上的高相等） ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为, 故答案为：． 【点睛】本题主要考查解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，垂线段最短等，学会添加辅助线并利用转化的思想是解题的关键． 2．如图，四边形的两条对角线和所成的锐角，则的最大值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查二次函数的最值，关键是通过作辅助线，推出四边形的面积． 作于于，推出四边形的面积，令，得到四边形，即可求出的最大值是． 【详解】解：作于于， ∵， ∴， ∴， ∴的面积， 同理：的面积， ∴四边形的面积的面积的面积， 令，则， ∴， ∴的最大值是． 故答案为：． 3．如图，在正方形中，点是边延长线上一动点，连接、．则的最小值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、90度的圆周角所对的弦是直径、根据正方形的性质证明、用勾股定理解三角形 【分析】如图，以为直径作圆，在圆上找一点，使得，连接，，先证明，得到，再证明，得到，由此可得当最大时，的值最小，观察图形可得当经过圆心时，可取得最大值，此时，利用勾股定理求出 的值即可求出的值，进而求出答案． 【详解】解：如图，以为直径作圆，在圆上找一点，使得，连接，， 四边形是正方形， ， ， ， ， ，即， ， ， ， 当取最大值时，的值最小， 当经过圆心时，最大，令正方形的边长为，则， ， 为最小值， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质，圆周角定理，利用辅助圆构造相似三角形，找到的比例关系是解题关键． 4．如图，正方形的边长为8，点分别是边上的动点，且，连接交于点，点为上一点，且，连接，则的最小值为 ．    【答案】 【难度】0.65 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据正方形的性质求线段长、全等三角形综合问题 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，由“”可证，可得，可证，则点在以为直径的圆上运动，当点在上时，有最小值，最小值为，通过证明，可得，即可求解．添加恰当的辅助线构造相似三角形是解题的关键． 【详解】解：如图，取中点，连接， ， ∵四边形是正方形， ，，， ∵点是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ∴点在以为直径的圆上运动， ∴当点在上时，有最小值，最小值为， ， ，， ，， ， ∴， ， 的最小值为， 故答案给为：． 5．如图，在矩形中，，垂足为，动点 分别在上，则的长为 ，的最小值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】线段问题(轴对称综合题)、相似三角形的判定与性质综合、根据矩形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】在中，利用三角形相似可求得的长，设A点关于的对称点A′，当时，的值最小，进而求得即可． 【详解】解：设，则， ∵四边形为矩形，且， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 在中，由勾股定理可得， 即， 解得， ∴， ， 如图，设A点关于的对称点为，连接， 则， ∴当三点在一条线上，且时，最小， ∴由三角形的面积公式知，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查轴对称的应用，相似三角形的判定与性质，利用最小值的常规解法确定出A的对称点，从而确定出的最小值的位置是解题的关键． 6．如图，在平行四边形中，，，，点为上一点，且，点为线段上的一动点，将四边形沿翻转得到对应的四边形，当最小时，的长为 ． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】折叠问题、利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】当点D、、E在一条直线上时，最小，根据平行四边形的性质，得到，进而得到，由勾股定理，得到，，，，由折叠和平行的性质，推出，得到，即可求出的长． 【详解】解：如图，当点D、、E在一条直线上时，最小， 过点D作交于点G， 四边形是平行四边形，，，， ，，， ， ， 在中，， ， ， ，， 在中，， 由折叠的性质可知，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，折叠的性质，等腰三角形的性质等知识，利用相关知识找出线段之间的数量关系是解题关键． 7．如图，中，点分别在上，且，于点M，于点N，于点D，交于点E，且，连接，若 的面积等于75，则的最小值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】配方法的应用、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】先证，利用对应高之比等于相似比，设，根据勾股定理表示出，通过配方求最小值． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ，， ， ∴四边形是矩形， ，， ，， ， ， ； 的面积等于75， ， ， ， ，， 设，则，， ， ∴当时，有最小值． 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定、三角形面积、勾股定理，解决问题的关键熟练掌握相似三角形的判定和性质定理． 8．如图，菱形的对角线交于点，作于点，且交于点．在上取点，使得，连接．记的周长分别为，则的最大值是 ．    【答案】 【难度】0.4 【知识点】配方法的应用、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】先证明，设，，则，勾股定理可得，根据相似三角形的性质得出，，求得，进而表示出，计算，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 又∵,， ∴垂直平分， ∴ ∴， 又，则 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴， 设，，则 ∴ ∴， 而 ∴，， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，垂直平分线的性质与判定，相似三角形的性质与判定，配方法的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 9．如图，在中，为边上一动点（点除外），以为一边在边上方作正方形，连接，则的面积的最大值为 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】过点A作于点M，过点E作的延长线于点H，过点C作的延长线于点G，先根据等腰三角形三线合一求出的长，再证得，求出的长，再证和全等，得出，最后根据三角形面积公式计算，配方成二次函数顶点式，从而得出面积的最大值． 【详解】解：过点A作于点M，过点E作的延长线于点H，过点C作的延长线于点G， 由题可得，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， 设，则， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴S有最大值， 当时，的面积有最大值，是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的最值，正方形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质，配方法等知识点，熟练掌握这些性质是解题的关键． 10．如图，中，，，E在直线BC上，连接AE、DE，则的最大值是 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】作，交于点，证明，推出当时，最大，设，则，利用解直角三角形，勾股定理，即可解答． 【详解】解：如图1，作，交于点， ， ， ， 由题意可得为定值， 最小时，有最大值， 根据“垂线段最短”，可得当时，最小，如图2， 设，则， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 根据勾股定理可得，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，解直角三角形，垂线的性质，添加辅助线，灵活运用相似三角形的判定和性质是解题的关键． 11．如图，在正方形中，是边延长线上一动点，连接，在点的运动过程中，的最小值为 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】复合二次根式的化简、根据一元二次方程根的情况求参数、图象法解一元二次不等式、用勾股定理解三角形 【分析】设正方形的边长为，，，利用勾股定理分别表示出、，根据可建立关于的一元二次方程，进而即可求出的取值范围． 【详解】解：设正方形的边长为，，， 则，， ∴，整理得：， 显然， ， ∵该一元二次方程有实数根， ∴ 令，令， 解得： 结合图象可知：的解集为： 故：的最小值为， 的最小值为 故答案为 ： 【点睛】本题考查了勾股定理、一元二次方程、二次函数、复合二次根式的相关知识点，综合性较强．利用数形结合的思想解决一元二次不等式是解题关键． 12．如图，在中，，于点，于点．交于点，点在直线上运动，，，，当取最小值时，的长为 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】垂线段最短、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，垂线段最短，勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 如图，连接，．证明，推出，推出，推出点的运动轨迹是直线，推出当时，的值最小，再利用勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，连接，． ， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点的运动轨迹是直线， 当时，的值最小，最小值， 此时，， 故答案为：． 13．如图，直线经过正方形的顶点，先分别过此正方形的顶点、作于点、于点．然后再以正方形对角线的交点为端点，引两条相互垂直的射线分别与，交于，两点．若，，则线段长度的最小值是 ．    【答案】 【难度】0.4 【知识点】根据正方形的性质与判定求线段长 【分析】根据正方形的性质可得，，然后利用同角的余角相等求出，再利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，设，，然后列出方程组求出、的值，再利用勾股定理列式求出正方形的边长，根据正方形的对角线平分一组对角可得，根据同角的余角相等求出，然后利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，判断出是等腰直角三角形，再根据垂线段最短和等腰直角三角形的性质可得时最短，然后求解即可． 【详解】在正方形中，，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 设，， ，， ， 消掉并整理得，， 解得，， 当，， 当，， 由勾股定理得，， 在正方形中，，，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 是等腰直角三角形， 由垂线段最短可得，时最短，也最短， 此时，的最小值为． 故答案为． 【点睛】考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，难点在于多次证明三角形全等并判断出长度最小时的情况． 14．如图，是正方形边的中点，是正方形内一点，连接，线段以为中心逆时针旋转得到线段，连接．若，，则的最小值为 ．    【答案】 【难度】0.4 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、根据旋转的性质求解、线段问题(旋转综合题) 【分析】连接，将以中心，逆时针旋转，点的对应点为，由 的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆，可得：的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆，再根据“圆外一定点到圆上任一点的距离，在圆心、定点、动点，三点共线时定点与动点之间的距离最短”，所以当、、三点共线时，的值最小，可求，从而可求解． 【详解】解，如图，连接，将以中心，逆时针旋转，点的对应点为，    的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆， 的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆， 如图，当、、三点共线时，的值最小， 四边形是正方形， ，， 是的中点， ， ， 由旋转得：， ， ， 的值最小为． 故答案：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，动点产生的线段最小值问题，掌握相关的性质，根据题意找出动点的运动轨迹是解题的关键． 15．如图，长方形ABCD中，，，E为BC上一点，且，F为AB边上的一个动点，连接EF，将EF绕着点E顺时针旋转30°到EG的位置，连接FG和CG，则CG的最小值为 ． 【答案】/ 【难度】0.4 【知识点】根据旋转的性质求解、四边形中的线段最值问题、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形 【分析】根据题意将线段BE绕点E顺时针旋转30°得到线段ET，连接GT，过E作，垂足为J，进而结合全等三角形判定可得当CG⊥TG时，CG的值最小，依据矩形的性质和含30°的直角三角形进行分析计算即可得出答案. 【详解】解：如图，将线段BE绕点E顺时针旋转30°得到线段ET，连接GT，过E作，垂足为J， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD=6，∠B=∠BCD=90°， ∵∠BET=∠FEG=30°， ∴∠BEF=∠TEG， 在△EBF和△TEG中， ， ∴△EBF≌△ETG（SAS）， ∴∠B=∠ETG=90°， ∴点G的在射线TG上运动， ∴当CG⊥TG时，CG的值最小， ∵∠EJG=∠ETG=∠JGT=90°， ∴四边形ETGJ是矩形， ∴∠JET=90°,GJ=TE=BE=2， ∵∠BET =30°， ∴∠JEC=180°-∠JET-∠BET=60°， ∵， ∴, ∴CG=CJ+GJ=. ∴CG的最小值为. 故答案为：. 【点睛】本题考查旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 16．如图，在矩形纸片ABCD中，，，按以下步骤操作：第一步，在边AB上取一点M，且满足，现折叠纸片，使点C与点M重合，点B的对应点为点，则得到的第一条折痕EF的长为 ；第二步，继续折叠纸片，使得到的第二条折痕与EF垂直，点D的对应点为，则点和之间的最小距离为 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】勾股定理与折叠问题、矩形与折叠问题、折叠问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）、过点E作EH垂直于CD于H，过点M作MG垂直于CD于点G，连接MD， 根据折叠的性质，设未知数，在、、分别用勾股定理列方程即可； （2）、根据线段长度可证明是平行四边形，则，则可得则在直线DM上，得到当时，此时最短，再证，对应线段成比例即可求解． 【详解】解：（1）、∵在矩形纸片ABCD中，，，， ， ， 过点E作EH垂直于CD于H，过点M作MG垂直于CD于点G，连接MD， 四边形BCHE，四边形AMGD，四边形EHGM都为矩形， 折叠纸片，点C与点M重合，点B的对应点为点， ∴设 ， ， 在中， ， 解得： ， ， 设 ， ， 在中， ， 解得： ， ， 在中， ； （2）、过 作DM的垂线，交其延长线于 ， 在中， ， ， 是平行四边形， ， ∵第二条折痕与EF垂直， ∴第二条折痕与MD垂直， 则在直线DM上， 当时，此时最短， ， ， ． ， ， ， ， ， ． 故答案为： ， 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，折叠的性质，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握各项性质和点到直线的距离最短是解题的关键． 17．已知正方形的边长为4，点P是该正方形边上一点，以P为位似中心，作正方形正方形ABCD，相似比为，则点与点B的最大距离为 ；连接，若的周长为，则的面积为 ． 【答案】 /0.5 【难度】0.4 【知识点】在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比、根据正方形的性质求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了位似，正确作出位似图形，理解位似相似性质是解题的关键， ①根据对角线最长，当位似中心P与点C重合时，点最远，此时与点B的距离也是最大的，根据勾股定理计算即可． ②根据正方形的边长为4，点P是该正方形边上一点，以P为位似中心，作正方形正方形ABCD，相似比为，得到正方形得边长为2，得到，设，则，根据，列式计算即可． 【详解】如图，位似中心P与点C重合时，点最远，此时与点B的距离也是最大的， ∵正方形的边长为4，点P是该正方形边上一点，以P为位似中心，作正方形正方形ABCD，相似比为， ∴正方形的边长为2， ∴， ∴， 故答案为：． ∵正方形的边长为4，点P是该正方形边上一点，以P为位似中心，作正方形正方形ABCD，相似比为， ∴正方形的边长为2， ∴， 设，则， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴的面积为． 故答案为：． 18．如图，在中，，，，点D为上一点，且，点E为上一动点，连接，过点D作，交直线于点F，点G为的中点，当点E从点A运动到点C，点G的运动路径长为 ． （用含n的式子表示）    【答案】 【难度】0.15 【知识点】用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、由平行截线求相关线段的长或比值、相似三角形的判定与性质综合 【分析】连接，，，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得点在线段的垂直平分线上运动，找到运动过程中的临界点：当点与点重合时，点在的延长线上，当点与点重合时，点在的延长线上，取的中点，则，，且，过点作于，于，则，，四边形为矩形，易得，，，，进而求得，，，再根据，，可证得，，可求得，，即可求得，，再结合，利用即可求得答案． 【详解】如图，连接，，，    ∵，， ∴ ∵的中点为， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上运动，    如图，当点与点重合时，点在的延长线上， 当点与点重合时，点在的延长线上， 取的中点，则，，且， 过点作于，于，则，，四边形为矩形， 则，， ∵，，则， ∴，，，， ∴， ，， ∵，即， ∴， 又∵， ∴，则，即：， ∴，则， 则， ∵，即， ∴， 又∵， ∴，则，即：， ∴， ∵为的中点，则为的中点， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，动点轨迹问题，平行线分线段成比例，找到动点轨迹的两个临界点，构造相似三角形求得、的长度是解决问题的关键． 19．如图，已知，若点、在射线上，且满足，，是射线上的动点，同时在右侧作，且满足，则的面积为 ．若点运动轨迹与射线交于点，当的最小值时，此时的值为 ． 【答案】 【难度】0.15 【知识点】线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】过点H作，利用勾股定理与逆定理可判断是等腰三角形，过E作于，在右侧作，则可证明，得出，进而得出，然后利用三角形的面积公式即可解答第一空；过H作于K，利用含的直角三角形的性质得出，则，故当A、H、K三点共线，且时，取最小值，过H作于P，得出，，然后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：过点H作， ∵，，， ∴，， 设， 则， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 过E作于，在右侧作， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴； 如图，过H作于K， ∵，， ∴， ∴， ∴当A、H、K三点共线，且时，取最小值， 如图，过H作于P， ∴，，， ∴， 又， ∴， ∴， 即当取最小值时，的值为． 故答案为：， 【点睛】本题考查了含的直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造相似三角形求解，判定点H在平行与的直线上运动，当A、H、k三点共线，且时，取最小值，是解题的关键． 二、B卷23--线段求值和找规律 20．在中，，，，一动点在线段上，以，为边作矩形，直线与直线，的交点分别为，，当是等腰三角形时，该三角形的腰长为 ． 【答案】4 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合、等腰三角形的定义 【分析】本题考查相似三角形的判定及性质，等腰三角形的定义，矩形的性质等知识，根据矩形的性质证得，，得，进而设，表示出相关线段的长度，再由，得，由此列出方程求解，是解决问题得关键． 【详解】解：在中，，， 则， 点在线段上时，为钝角，则是等腰三角形时，只有， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴，则，即：， 设，则，，， ∴，则，， ∵， ∴，， ∴， ∴，即：，整理得：， 解得：，（此时点与点重合，不符合题意，应舍去） ∴， 则腰长， 故答案为：4． 21．有三角形纸片，，，按如下方式操作：第一步，将纸片沿折痕折叠，使点C落在线段上的点处，点B的对应点为点(如图①)；第二步，继续将纸片沿折痕折叠，使点M落在线段的点处(如图②)．连接，若，则的值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】含30度角的直角三角形、勾股定理与折叠问题、折叠问题、解直角三角形的相关计算 【分析】如图②中，连接．设，则，，表示，，，从而可得答案． 【详解】解：如图②中，连接． ∵，， ∴， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查的是轴对称的性质，含的直角三角形的性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，掌握轴对称的性质是解本题的关键． 22．如图，是平行四边形的边的垂直平分线，垂足为点O，与的延长线交于点E，连接与交于点F，则下列结论正确的是： ①四边形是菱形；②；③；④ 【答案】①②④ 【难度】0.65 【知识点】全等三角形综合问题、利用平行四边形的性质证明、证明四边形是菱形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质、三角形全等的判定与性质、三角形相似的判定与性质、等高模型等知识，根据菱形的判定方法、三角形全等的判定与性质、三角形相似的判定与性质、直角三角形斜边中线的性质一一判断即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， ∵垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， ∴四边形是菱形，故①正确， ， ， ，故②正确， ， ， ， ， ， ，故③错误， 设的面积为a，则的面积为，的面积为， 的面积的面积， ∴四边形的面积为，的面积为， ． 故④正确， 故答案为：①②④． 23．定义：如果两个实数m，n满足，均为整数，则称m，n为一组“齐整数”．现有一组“齐整数”，且x，y满足，则的值为 ． 【答案】14或8或18或9 【难度】0.65 【知识点】新定义下的实数运算、因式分解的应用、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查了分解因式的应用，先把已知条件中的方程组的两根方程相减，然后把所得结果分解因式，求出，根据都是整数，分三种情况讨论，求出和的值，再利用完全平方公式求出答案即可．解题关键是熟练掌握常见的几种分解因式的方法，注意利用分类讨论的数学思想． 【详解】解：∵， ∴ ， ， ， ①当时，是方程的两根，，方程无解； ②当时，是方程的两根，，方程有解； ③当时，是方程的两根，，方程无解； ④当时，是方程的两根，，方程有解； ⑤当时，是方程的两根，，方程有解； ⑥当时，是方程的两根，，方程有解； 综上可知：或或或 ∴当时， 则； 当时， 则； 当时， 则； 当时， 则； 综上可知：的值为14或8或18或9． 故答案为：14或8或18或9． 24．如图1，将一张菱形纸片沿对角线剪开，得到和，再将以D为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，使，得到如图2所示的，连接，，，有下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是 ．（把所有正确结论的序号都填在横线上） 【答案】①②③ 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、利用菱形的性质证明、根据旋转的性质求解 【分析】证明四边形是矩形可判断①和②；求出可判断③；根据勾股定理可判断④． 【详解】解：如图2中，过点D作于点E， 由旋转的性质，得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 同理，， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴；；故①②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴；故③正确， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，故④错误， ∴正确的有①②③， 故答案为①②③． 【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 25．如图，在Rt中，平分交于点，作交于点平分交于点．若，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、利用同角三角函数关系求值 【分析】根据角平分线定义得，，再根据可知，进而得出，，过点E作，交于点G，可知，再由平行线分线段成比例得，可设，，则，然后证明∽，可得，再设，根据勾股定理用含有a的代数式表示，即可得出答案． 【详解】∵平分，平分， ∴，． ∵， ∴， ∴，， ∴，． 过点E作，交于点G， ∴， ∵， ∴， 设，，则， ∵，， ∴∽， ∴． 设， 则， 解得． 根据勾股定理，得， 再根据勾股定理，得， 即， 解得， ∴． 在中，． 故答案为：． 26．在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如右图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C，延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1，…按这样的规律进行下去，第1个正方形的面积为 ；第n个正方形的面积为 ． 【答案】5； 【难度】0.4 【知识点】相似多边形的性质 【分析】由题意可求出AD=， 所以第1个正方形的面积为5；先利用ASA证明△AOD和△A1BA相似，根据相似三角形对应边成比例可以得到AB=2A1B，所以正方形A1B1C1C的边长等于正方形ABCD边长的 ，以此类推，后一个正方形的边长是前一个正方形的边长的 ，然后即可求出第n个正方形的边长与第1个正方形的边长的关系，从而求出第n个正方形的面积为 ． 【详解】解：设正方形的面积分别为S1，S2…，Sn，根据题意， 得：AD∥BC∥C1A2∥C2B2，∴∠BAA1＝∠B1A1A2＝∠B2A2A3（同位角相等）． ∵∠ADO＋∠DAO＝90°，∠DAO＋∠BAA1＝90°， ∴∠ADO＝∠BAA1， 在直角△ADO中，根据勾股定理， 得：AD＝，tan∠ADO＝＝， ∵tan∠BAA1＝＝tan∠ADO， ∴BA1＝AB＝， ∴CA1＝， 同理，得：C1A2＝（）×（1＋）， 由正方形的面积公式，得：S1＝（）2＝5， S2＝（）2×（1＋）2， S3＝（）2×（1＋）4＝5×（）4， 由此，可得Sn＝（）2×（1＋）2（n−1）＝5×（）2n−2． 故答案为：5；． 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理的应用，解此题的关键是根据计算的结果得出规律，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目． 27．如图，正方形中，点E是边上一点，连接，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点H，连接，有以下五个结论：①；②；③；④；⑤若，则，你认为其中正确的是 （填写序号）． 【答案】①②③④ 【难度】0.4 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据正方形的性质证明、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】由正方形的性质和余角的性质可知，即可判定①；根据和都是等腰直角三角形，可得，从而得到即可判断②；由②相似知：，可得，可判定③；由可证，根据对应边成比例即可判定④；⑤设,则,由勾股定理知，借助④的证明即可判定⑤． 【详解】解：①∵正方形和正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即①正确． ②∵和都是等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴，即②正确． ③∵， ∴， ∴；即③正确． ④∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，即④正确． ⑤设, ∴, 在中，由勾股定理知：， ∵， ∴， ∴, ∴, ∴，即⑤错误． 综上所述，符合题意的结论有①②③④． 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理、正方形的性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定是解决问题的关键． 28．如图，中，，，，分别以，为边向两侧构造正方形，，连接，，；现取四边形四边的中点，，，，则四边形的面积为 ． 【答案】49 【难度】0.4 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、正方形性质理解 【分析】连接，交于点，设与交于点，过点作交的延长线于，先证和全等，得，，再证，由此可证四边形为正方形，然后求出，进而在中求出，，在中由勾股定理求出，进而得，据此可求出四边形的面积． 【详解】解：连接，交于点，设与交于点，过点作交的延长线于，如图所示： 四边形和四边形均为正方形， ，，，， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， 在中，，则， ，， ， ， 即， ，，，分别为，，，的中点， 为的中位线，为的中位线， ∴，，，， ∴，， 四边形为平行四边形， 又为的中位线， ∴，， ，， ，， 平行四边形为正方形， ， ， ， ， 在中，，， ， 由勾股定理得：， 在中，，， 由勾股定理得：， ， ． 故答案为：49． 【点睛】此题主要考查了正方形的判定和性质，三角形的中位线定理，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等，准确识图，熟练掌握正方形的判定和性质，三角形的中位线定理，全等三角形的判定和性质，灵活利用含有角的直角三角形的性质和勾股定理进行计算是解决问题的关键． 29．在，为上一点，为上一点，，若，，则 ． 【答案】/ 【难度】0.4 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、公式法解一元二次方程 【分析】过B点作交的延长线于点N，过C点作于点M，在上取一点P，使得，先证明，可得，再证明，可得，即有，最后证明，可得，进而可得，解方程即可求解． 【详解】过B点作交的延长线于点N，过C点作于点M，在上取一点P，使得，如图， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：（负值不符合题意，舍去）， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，作出合理的辅助线，是解答本题的关键． 30．如图，在平面直角坐标系中，点与点分别在轴、轴上，正方形与正方形的边长分别为和，正方形绕点旋转，当落在轴正半轴上时， ；当，，三点共线时，的长为 ．    【答案】 或 【难度】0.4 【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题属于四边形的综合题，考查了正方形的性质，勾股定理、全等三角形的判定与性质，解题的关键是学会添加辅助线构造三角形全等，学会分类讨论．过点作轴于点，根据题意得，从而得到，在中根据勾股定求出，最后在中，根据勾股定理即可得出；求分两种情况，画出图形即可求解． 【详解】如图，过点作轴于点，    正方形与正方形的边长分别为和， ，， 正方形绕点旋转，当落在轴正半轴上时， 平分， ， ， 在中，根据勾股定理得：，， ， 在中，根据勾股定理得： 故答案为：； 当，，三点共线时，分两种情况： ①如下图：作于，的延长线于，连接， 四边形为矩形，    ， ， 即， ， ， ≌， ，， 四边形为正方形， 设， 则， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：或（舍去）， ， 为正方形的对角线， ， ， ， ,， ≌， ； ②如下图：作于，的延长线于，连接， 四边形为矩形，    同理可证明四边形为正方形， 设，则， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：或（舍去）， ，即， 为正方形的对角线， ， 同理再证明≌， ， 综上所述：或， 故答案为：；或． 31．如图，在，，为边上的一点，将沿翻折，得到，连接，，若，，则到边上的距离为 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】解直角三角形的相关计算、相似三角形的判定与性质综合、折叠问题、勾股定理与折叠问题 【分析】根据折叠轴对称的性质可得，，，利用相似三角形和，，可求出，的长，进而求出，最后利用三角形的面积即可求出答案． 【详解】解：过点，垂足为，连接， 由折叠得，，，， ， ， 又， ， ， ， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得， ， ， 解得， ， 在中， ， 设点到的距离为，由的面积得， ， 即， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查折叠轴对称的性质，相似三角形，解直角三角形，三角形的面积公式，掌握折叠的性质和直角三角形的边角关系是解决问题的前提，求出、的长是得出正确答案的关键． 32．在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点称为整点；把两个端点均为整点且长度为整数的线段称为整点线段．如图，梯形的四个顶点均为整点，点，直线过定点，作点关于直线的对称点，点为梯形内一点（包含边界），连接，当恰好落在梯形上，且是长度为5的整点线段，则这样的点共有 个． 【答案】5 【难度】0.4 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、用勾股定理解三角形、坐标与图形 【分析】本题轴对称图形以及勾股定理，图形与坐标，勾股定理：先由“直线过定点，作点关于直线的对称点”，得对称点的轨迹为圆心M以为半径的圆上，结合整点线段的概念，可知满足题意的对称点有三个，根据“是长度为5的整点线段，且点为梯形内一点（包含边界）”，得分别以点，，为圆心，以5为半径画圆，与梯形相交于在整点上，即为满足条件的点，据此作答即可． 【详解】解：∵点，直线过定点， ∴， 依题意，如图：对称点的轨迹为圆心M以为半径的圆上， 因为恰好落在梯形上， 所以满足题意的对称点有三个，分别为图中的点，，； ∵是长度为5的整点线段，且点为梯形内一点（包含边界）， ∴分别以点，，为圆心，以5为半径画圆，与梯形相交于在整点上， 即为图中点，，，，； 所以当恰好落在梯形上，且是长度为5的整点线段，则这样的点共有5个； 故答案为：5 33．如图， 正方形中，，点E为上一动点，将三角形沿折叠，点A落在点F处，连接并延长，与边交于点G，若点G为中点，则 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】因式分解法解一元二次方程、根据矩形的性质与判定求线段长、根据正方形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、折叠的性质等知识点，通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键．过点作的平行线，分别交于点，先根据相似三角形的判定证出，根据相似三角形的性质可得，设，则，，再根据相似三角形的判定证出，根据相似三角形的性质可得的长，从而可得的长，然后根据建立方程，解方程可得的值，由此即可得． 【详解】解：如图，过点作的平行线，分别交于点， 四边形是正方形，， ，，四边形是矩形， ， 点为中点， ， ， ， ，即， 设，则， ， 由折叠的性质得：， ， 又， ， ， 在和中，， ， ，即， 解得，， ， 又， ， 解得或， 经检验，是所列方程的解，不是所列方程的解， ， 故答案为：． 34．如图，菱形中，，点坐标为，过点作直线分别交、于点、，交于，点在反比例函数的图象上，若和（即图中两阴影部分）的面积之比为，则值为 ． 【答案】/ 【难度】0.15 【知识点】由平行判断成比例的线段、利用菱形的性质求线段长、等边三角形的判定和性质、反比例函数与几何综合 【分析】设 ， 表示出 和 的面积（用 表示），构建方程求出 即可解决问题． 【详解】解：设 由题意，， 四边形是菱形，， ∴是等边三角形． ， ， ， 和的面积之比为， 解得：或(舍去)， 点在反比例函数图象上， 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，等边三角形的判定和性质，菱形的性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 35．如图，在菱形中，，点E是上一点，连接，将绕点E顺时针旋转至，连接与交于点G，若，则 ．    【答案】/ 【难度】0.15 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、利用菱形的性质求线段长、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】延长，交延长线于，在上截取，连接，，过于，由菱形的性质及，可证，进而可得，设菱形的边长，，则，，由旋转可知：，，进而可证得，得，，易知，可得，则，再证，可得，进而得，在中，，则，据此可得，整理得，可得，，即可求解． 【详解】解：延长，交延长线于，在上截取，连接，，过于，    ∵四边形是菱形，， ∴，， 则，， ∴， ∴，即：， 设菱形的边长，， 则，， 由旋转可知：，， ∴， 又∵，则， ∴， 又∵，则， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，则， ∴，则， ∵，， ∴，则， ∵，， ∴，则， 则， 又∵， ∴， ∴，即， ∵， ， 在中，，则 即：， 整理得：， 即：，亦即， 则，（舍去） ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，含的直角三角形的性质，添加辅助线构造与，再利用勾股定理及相似三角形的性质建立等式是解决问题的关键． 三、B卷26几何压轴-十字架模型 36．问题探究：如图1，在正方形，点分别在边上，于点点分别在边上，． (1)①判断与的数量关系：_____； ②推断：______(填数值)； (2)类比探究：如图2，在矩形中，．将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，得到四边形，交于点，连接交于点．试探究与之间的数量关系，并说明理由； (3)拓展应用1：如图3，四边形中，，，，点分别在边上，求的值． (4)拓展应用2：如图2，在（2）的条件下，连接CP，若，，求的长． 【答案】(1)；1 (2) (3) (4) 【难度】0.4 【知识点】全等三角形综合问题、利用平行四边形性质和判定证明、四边形其他综合问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）①由正方形的性质得，．所以，又知，所以，于是，可得． ②证明四边形是平行四边形即可解决问题． （2）如图2中，过点作于．证明即可解决问题． （3）如图3，过点作，交的延长线于点，过点作，连接，证明，得出，证明，可得出，由勾股定理求出，则可得出答案． （4）过点作交的延长线于．利用相似三角形的性质求出，即可解决问题． 【详解】（1）解：（1）①证明：四边形是正方形， ，． ． ， ． ． ， ． 故答案为：． ②结论：． 理由：，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ． 故答案为：1． （2）结论：． 理由：如图2中，过点作于． 根据折叠的性质可得，， ， ，， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ． （3）如图3，过点作，交的延长线于点，过点作，连接， ，，， 四边形是矩形， ，，， ，，， ， ， ，且， ，且， ， ， ，， ， ， (不合题意，舍去)，， ， 由（2）的结论可知：． （4）解：如图2中，过点作交的延长线于． ， 设，，， ，， ， ， 或(舍弃)， ，， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ． 【点睛】本题考查四边形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题． 37．（1）小曼和他的同学组成了“爱琢磨”学习小组，有一次，他们碰到这样一道题：“已知正方形，点E、F、G、H分别在边上，若，则．”为了解决这个问题，经过思考，大家给出了以下两个方案： 方案甲：过点A作交于点M，过点B作交于点N； 方案乙：过点H作交于点M，过点E作交于点N． 对他们遇到的问题，请在甲、乙两个方案中任一个加以证明（如图1）    （2）如果把条件中的“正方形”改成“矩形”，如图2，并设，求的值． （3）如图3，在四边形中，，，点E、F分别在线段上，且．求的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 【难度】0.15 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据正方形的性质证明、根据矩形的性质与判定求线段长、全等三角形综合问题 【分析】（1）①选择甲方案，先证明四边形、四边形是平行四边形，得到，，再证明得到即，由此可得结论；②选择乙方案，先证明四边形，四边形都是矩形，得到，，再证明，得到，即； （2）如图2中，过点A作交于点M，作交的延长线于点N，证明四边形，四边形都是平行四边形，得到，，再证明，得到，即； （3）如图所示，过点D作交延长线于N，过点A作于M， ∵，证明，得到，进而证明，得到，设，则，，由勾股定理得，，则，，同（2）可得． 【详解】解：（1）①选择甲方案，证明如下：    如图，过点A作交于点M，过点B作交的延长线于点N． ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴四边形、四边形是平行四边形， ，， 又， ， ， ∴， 又∵ ∴， 在和中， ， ， ，即， ∴； ②选择乙方案，证明如下： 如图所示，过点H作交于点M，过点E作交于点N，交于T ∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴四边形，四边形都是矩形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即；    （2）如图2中，过点A作交于点M，作交的延长线于点N，    在长方形中，，，，， ∴四边形，四边形都是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即； （3）如图所示，过点D作交延长线于N，过点A作于M， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴， ∴同（2）可得    【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题． 38．（1）问题探究；如图1，在正方形中，点E，Q分别在边上，于点O，点G，F分别在边上，．    ①判断与的数量关系：______；②推断：的值为________； （2）类比探究，如图（2），在矩形中，（k为常数），将矩形沿折叠，使点A落在边上的点E处，得到四边形交于点H，连接交于点O．试探究与之间的数量关系，并说明理由；    （3）拓展应用．如图3，四边形ABCD中，，点M、N分别在边上，求的值．    【答案】（1）：=，1；（2），理由见详解；（3） 【难度】0.15 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、四边形其他综合问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）证，可得，证四边形是平行四边形，进而即可求解； （2）作，由折叠性质知，证，进而即可求解； （3）作，连接，证得，由 ， 可得，证，进而即可求解； 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 故答案为：=，1． （2）作， 由折叠性质知， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴．    （3）作，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，   ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，（舍去）， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴．    【点睛】本题主要考查三角形的全等证明及性质、相似三角形的性质及证明、勾股定理等，正确做出辅助线是解题的关键． 四、B卷26几何压轴-手拉手模型 39．[基础巩固] （1）如图1，在四边形中，对角线平分，求证：； [尝试应用] （2）如图2，四边形为平行四边形，F在边上，，点E在延长线上，连接、、，若，求的长； [拓展提高] （3）如图3，E是内部一点，F为边上一点，连接，已知，，求的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）． 【难度】0.65 【知识点】利用平行四边形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）只需要证明，得到，即可证明； （2）证明，得到，然后代值计算即可得到答案； （3）过点C作，交的延长线于点M，证明，得到，求出，再证明，即可得到． 【详解】解：（1）∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵四边形为平行四边形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）过点C作，交的延长线于点M， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键． 40．某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：    (1)问题发现：如图1，在等边中，点P是边上任意一点，连接，以为边作等边，连接．求证：． (2)变式探究：如图2，在等腰中，，点P是边上任意一点，以为腰作等腰，使，，连接．判断和的数量关系，并说明理由； (3)解决问题：如图3，在正方形中，点P是边上一点，以为边作正方形，Q是正方形的中心，连接．若正方形的边长为12，，求正方形的边长． 【答案】(1)证明见解答过程 (2)和的数量关系为：；理由见解答过程 (3) 【难度】0.65 【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的性质、根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）证明，即可得到结论； （2）证明，则，由得到，则，即可证明结论； （3）连接，证明，得到，求出，设，则，在中，，则，求出，即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵与都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：和的数量关系为：； 理由如下： 在等腰中，， ∴， 在等腰中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：连接，如图3所示：    ∵四边形是正方形， ∴，， ∵Q是正方形的中心， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得：， ∵， ∴， ∴正方形的边长． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、正方形的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质是解题的关键． 41．天府新区某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： （1）问题发现：如图1，在等边△ABC中，点P是边BC上任意一点，连接AP，以AP为边作等边△APQ，连接CQ．求证：BP CQ； （2）变式探究：如图2，在等腰△ABC中，ABBC，点P是边BC上任意一点，以AP为腰作等腰△APQ，使AP PQ，APQ ABC，连接CQ．判断∠ABC和∠ACQ的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图3，在正方形ADBC中，点P是边BC上一点，以AP为边作正方形 APEF，Q是正方形APEF的中心，连接CQ．若正方形APEF的边长为6，，求正方形ADBC的边长． 【答案】（1）证明见解析；（2），理由见解析；（3）正方形ADBC的边长为． 【难度】0.65 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、公式法解一元二次方程 【分析】（1）易证∠BAP＝∠CAQ，根据AB＝AC，AP＝AQ，由SAS证得△BAP≌△CAQ，即可得出结论； （2）由等腰三角形的性质得出∠BAC＝∠PAQ，证得△BAC∽△PAQ，得出，易证∠BAP＝∠CAQ，则△BAP∽△CAQ，可得∠ABC＝∠ACQ； （3）连接AB、AQ，由正方形的性质得出，∠BAC＝45°，，∠PAQ＝45°，易证∠BAP＝∠CAQ，则可得△ABP∽△ACQ，根据相似三角形的性质求出BP＝4，设PC＝x，则BC＝AC＝4＋x，在Rt△APC中，利用勾股定理列方程求出x，即可得出结果． 【详解】（1）证明：如图1，与都是等边三角形， ， ， ． 又，， ， ； （2）， 理由：如图2，在中，， ， 在中，， ， ， ， ， ， 又，， ， ， ∴； （3）如图3，连接，， 正方形， ，， 又为正方形的中心， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，，即， 解得：， ， ， 边长. 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、解一元二次方程等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形相似是解题的关键． 42．已知线段是正方形的一条对角线，点E在射线上运动，连接，将线段绕点C顺时针旋转，得到线段，连接．    （1）如图1，若点E在线段上，请直接写出线段与线段的数量关系与位置关系； 【模型应用】 （2）如图2，若点E在线段的延长线上运动，请写出线段，，之间的数量关系，并说明理由； 【模型迁移】 （3）如图3，已知线段是矩形的一条对角线，，，点E在射线上运动，连接，将绕点C顺时针旋转，得到，在上截取线段，连接，若，直接写出线段EF的长． 【答案】【小问1】，；     【小问2】，理由见解析；     【小问3】线段EF的长为或． 【难度】0.4 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明、根据旋转的性质求解 【分析】（1）利用正方形、旋转的性质以及边角边关系证全等，即可得到结论； （2）利用全等的性质得到，利用勾股定理求得，代入转化即可； （3）利用旋转的性质得到是直角三角形，再根据转化为求的长，通过作垂线构造，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1），； ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵将线段绕点C顺时针旋转，得到线段， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， 则，即； （2）； 理由：∵四边形是正方形， ∴，， 由旋转得，，， ∴， 即， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴； （3）过点C作于点H， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 若点E在线段上，    ∵， ∴， ∴， ∵将绕点C顺时针旋转，得到， ∴，， ∵， ∴， 若点E在的延长线上时，    同理，， ∴， 同理，， 综上，线段EF的长为或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质以及矩形的性质等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形和直角三角形． 43．（1）如图1，在中，，，过点B在同侧作且，点E为的中点，连结、，分别交于点F、G． （ⅰ）求证：； （ⅱ）若，求的长； （2）如图2，在等腰中，，点D为线段上一点，．过点A作，连结，且，求的值． 【答案】（1）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）；（2）10 【难度】0.4 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、根据等边对等角证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）（ⅰ）先求出，再利用定理即可得证； （ⅱ）过点作，交延长线于点，先利用勾股定理、含30度角的直角三角形的性质可得，再利用勾股定理可得，然后证出，根据相似三角形的性质求解即可得； （2）过点作，交于点，先证出，根据相似三角形的性质可得，，从而可得，再证出，根据相似三角形的性质求解即可得． 【详解】证明：（1）（ⅰ）点为的中点， ， ， ， 在和中， ， ． （ⅱ）如图，过点作，交延长线于点， ，，点为的中点， ， ， ， ， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ，即， 解得． （2）如图，过点作，交于点， ， ，即， 解得，， ， ， ， ， ， ， ， ， 又，， ， 在和中， ， ， ，即， ． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质等知识，通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键． 44．如图1，已知，，点在上且，与的相交于点． (1)求的度数（用含的代数式表示）； (2)求证：； (3)如图2，是中点，连接与相交于点．当为中点时，若，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【难度】0.4 【知识点】三线合一、用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）由，结合三角形内角和定理得，进而根据，可得； （2）由，可得，再结合，，可证，得，，进而可证得，，由，，证得，进而可证得，可得，再根据，可证得结论； （3）连接，，作，设，可知，，由等腰三角形的性质可得，则，根据题意知，则，由（2）可知，，结合点为的中点，可求得，则，由勾股定理可得：，，取点为的中点，连接，则为的中位线，，可证得，得，易得，则，进而可求得的值． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵，， ∴； （2）证明：∵， ∴，， 由（1）知，，则， 又∵， ∴， ∴，，则， ∴，则， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）连接，，作， 设， ∵， ∴，， ∵，， ∴，则， ∵点为的中点， ∴，则， ∵点为的中点， ∴， 由（2）可知，，即， ∴，则， 由勾股定理可得：， ， 取点为的中点，连接，则为的中位线，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴，则， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识点，证明，利用其性质得，是解决问题的关键． 45．（1）问题背景：如图（1），已知，求证：； （2）尝试应用：如图（2），在和中，，，与相交于点F．点D在边上，，求的值； （3）拓展创新：如图（3），D是内一点，，，，，则的长为________． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）． 【难度】0.4 【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）问题背景：根据，得出，，推出，，即可证明结论； （2）尝试应用：连接，先证，由问题背景知，得出，在中，，得，再证，即可得出； （3）拓展创新：过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线交于点，连接，证，得出比例关系和角的关系，再证，根据，得出的值，根据勾股定理得出，即可求出的长． 【详解】解：（1）问题背景：， ，， ，， 即，， ； （2）尝试应用：连接， ，， ， 由问题背景知， ， 在中，， ， ， ，， ， ； （3）拓展创新：过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线交于点，连接， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， 即， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，特殊角的三角函数值的应用，勾股定理等知识点，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 46．如图1，在中，，点是边上一点，是等腰三角形，，交于点，探究与的数量关系． (1)先将问题特殊化，如图2，当时，直接写出的大小； (2)再探究一般情形，如图1，求与的数量关系． (3)将图1特殊化，如图3，当时，若，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.4 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）作，交的延长线于点，如图，证明，得到，再通过线段的代换得出，即得，进而求解； （2）延长并截取，如图，证明，得到，，再通过线段的代换得出，即得，进而求解； （3）证明都是等边三角形，可得，，进而得，可证，设，则，根据相似三角形的性质求出，进而可得，过点作，勾股定理求得，证明，根据相似三角形的性质，即可求解. 【详解】（1）解：作，交的延长线于点，如图， 则，， ∵， ∴， ∴，   ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）延长并截取，连接，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴，   ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）延长并截取，连接，如图，由（2）可得，， ∴都是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，则，   ∴，，， ∴， ∴，， 过点作 ∴， 在中，， 在中，， ∵，则是等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，正确添加辅助线、证明三角形全等与相似是解题的关键. 47．问题背景：如图，在和中，若，，易知，与的夹角为： 问题提出：（）如图，若，，则与的数量关系为____，它们的夹角为_______． 尝试运用：（）如图，若，，点为线段上一点（不与点重合）；与相交于点，连接，若，，求的长度： 拓展创新：（）如图，在中，，，，点、点分别为上一点，，，求的值．    【答案】（），；（）；（） 【难度】0.15 【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（）延长相交于点，与相交于点，由题意易证明，得到，，，再根据，即可得到与的夹角为； （）先证明，得到，，再证明，得到，根据得到，利用三角函数即勾股定理即可求出的长度； （）过点作，过点作，过点作，分别证明、、、，利用相似三角形的性质即可求出的值． 【详解】解：()如图，延长相交于点，与相交于点，    ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即与的夹角为， 故答案为：，； （）如图，    ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴； （）如图，过点作，过点作，过点作， 则，    ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可证， ∴， 即， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角函数，正确作出辅助线构造出相似三角形是解题的关键． 48．【操作发现】（1）如图1，在和，，，．求证：； 【问题解决】（2）如图2，在和中，，，，，点在内，延长交于点，求证：点是中点； 【灵活应用】（3）如图3，已知中，，，，以为底边在外作等腰三角形，且，连接，则的长为____________． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【难度】0.15 【知识点】全等三角形综合问题、含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】（1）利用证明即可； （2）过点作平行线，交延长线于点，连接，由（1）可知，易得，，再证明为等腰三角形，可知，即可证明，由全等三角性质的性质可得，即可证明点为中点； （3）以为腰构造如图所示等腰，且，连接，过点作延长线的垂线，垂足为，过点作垂线，垂足为，易得，即有，，进而确定，在中，可得，，进而确定，再在中，由勾股定理可得，然后在为等腰三角形中计算的长度． 【详解】证明：如下图，    ∵，，， ∴， ∴ 在和中， ， ∴； （2）过点作平行线，交延长线于点，连接，如下图，    由（1）可知， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点为中点； （3）如下图，以为腰构造如图所示等腰，且， 连接，过点作延长线的垂线，垂足为，过点作垂线，垂足为，    ∴， ∴，， ∴， ∴ ， ∴， ∴在中，，， ∴， ∴在中，， ∵为等腰三角形，，且， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． 五、B卷26几何压轴-面积问题 49．如图1，点D为内一点，联结，，以为邻边作平行四边形，与边交于点F，． (1)求证：； (2)延长，交边于点G，如果，且的面积与平行四边形面积相等，求的值； (3)如图2，联结，若平分，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 (3) 【难度】0.65 【知识点】利用平行四边形的性质求解、与三角形中位线有关的求解问题、斜边的中线等于斜边的一半、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据平行的性质推导出，即可证明； （2）延长交于点H，由题意可得，，再由（1）可得，从而得到是等腰三角形，H是的中点，由，可得，则，即可求； （3）延长交AE于点N，交于点M，根据平行四边形的性质和角平分线的定义，可得，则，再由，可知N是的中点，M是的中点，求出，证明，则有，可求，再求，由此即可求出． 【详解】（1）解：证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：延长交于点H， ∵的面积与平行四边形面积相等， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴H是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：延长交AE于点N，交于点M， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴N是的中点， ∵， ∴M是的中点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的综合应用，熟练掌握平行四边形的性质，三角形相似的判定及性质，直角三角形的性质，中位线的性质是解题的关键． 50．教材再现：面积法是常用的求长度法，如例图中，等腰中，．即，∵，∴是个固定值． (1)如图1，在矩形中，与交于O，，P是上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作和的垂线，垂足分别为E，F，则的值为_________． 知识应用： (2)如图2，在矩形中，点M，N分别在边，上，将矩形沿直线折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点处．点P为线段上一动点（不与点M，N重合），过点P分别作直线，的垂线，垂足分别为E和F，以，为邻边作平行四边形，若的周长是否为定值？若是，请求出的周长；若不是，请说明理由． (3)如图3，当点P是等边．外一点时，过点P分别作直线、、的垂线、垂足分别为点E、D、F．若，请直接写出的面积_________． 【答案】(1) (2)的周长是定值24，理由见解答过程 (3) 【难度】0.4 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质证明、矩形与折叠问题、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】（1）由矩形的性质得出，，，，，再由勾股定理得，则，，然后由三角形面积即可得出结论； （2）先求，则，再由勾股定理得，然后由三角形面积求出，即可解决问题； （3）由，可求的长，从而求出． 【详解】（1）解：如图1，设与的交点为，连接， 四边形是矩形，，， ，，，，， ，， ，， ，， ， 解得：． （2）解：的周长是定值24，理由如下： 四边形是矩形， ，，， ， 连接，过点作于，如图2所示： 则四边形是矩形， ， 由折叠的性质得：，， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ，，， ， ， ， 的周长， 的周长是定值24； （3）解：如图3，连接，，， ，是等边三角形， ， ， ， ， ， 【点睛】本题考查四边形的综合应用，掌握矩形的性质和判定，折叠的性质，平行四边形的性质，勾股定理，等边三角形的性质，三角形面积等知识是解题的关键． 51．在正方形中，为边上一动点，将沿折叠，得到，过点作直线，分别交，于点，． (1)如图①，试探究当的度数为多少时，为的中点？说明理由； (2)如图②，当时，若，求正方形的边长； (3)如图③，延长交边于点，连接交于点，记正方形的面积为，的面积为，当时，求的值． 【答案】(1)当时，为的中点，理由见解析 (2)正方形的边长为10； (3) 【难度】0.4 【知识点】用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、根据正方形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）由正方形的性质得，，而，可证明四边形是矩形，则，由折叠得，，从而利用中点的定义得到， ，所以，即当时，为的中点； （2）先证明，得，则，而，所以，则，求得，则，再根据勾股定理求得，所以，则，所以正方形的边长为10； （3）先根据证明，得，再证明，得，由，得，则，所以为的中点，设，，由勾股定理得，求得，则，所以． 【详解】（1）解：当时，为的中点， 理由：四边形是正方形， ，， ∵， ， 四边形是矩形， ， ∵为的中点， ∴， 由折叠得，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴, 当时，为的中点； （2）解：，， ， ， ， ， ， ， ， 解得或（不符合题意，舍去）， ，， ， ， 正方形的边长为10； （3）解：，，， ，， 在和中， ， ， ，， ∵，， ∴， ， ， ， ， ， ， 为的中点， 设，，则， ，， ， ， 解关于的方程得， ，， ，， ， ， ， 的值为． 【点睛】此题重点考查正方形的性质、轴对称的性质、平行线的性质、同角的余角相等、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 52．点O为矩形的对称中心，，，点E为边上一点（），连接并延长，交于点F．四边形与四边形关于所在的直线成轴对称，线段交边于点G．    (1)求证：． (2)当时，求的长． (3)如图2，连接、，分别交、于点H，K．记四边形的面积为，的面积为，当时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【难度】0.4 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、矩形与折叠问题、等腰三角形的性质和判定、全等三角形综合问题 【分析】（1）根据矩形的性质得到对边平行，再利用平行线的性质，可得，再利用轴对称的性质，可得，即可解答； （2）过点作的垂线段，交于点，设，则，，利用中心对称的性质得到，从而得到的值，再根据勾股定理列方程，即可解答； （3）过点作于点，连接，通过全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，得到，再利用相似三角形的性质，得到，通过角度的转换得到，即可求出的值，即可解答． 【详解】（1）证明：四边形为矩形， ， ， 四边形与四边形关于所在的直线成轴对称， ， ； （2）解：如图，过点作的垂线段，交于点，    设，则，， ， ， ， 四边形为矩形， ，， 点O为矩形的对称中心， ， ， 在中，， 可得方程， 解得， ， 不符合题意， ， ； （3）解：如图，过点作于点，连接， 点O为矩形的对称中心，过点， 为的中点，，， ， ， ， ， ， ， ， ， , ， ， ， ， 四边形与四边形关于所在的直线成轴对称， ， 点O是矩形的对称中心， ， 同理可得， ， 即， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即．    【点睛】本题考查了四边形的综合应用，轴对称变换，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，作出正确的辅助线，构造全等三角形和相似三角形是解题的关键． 53．如图，在中，，，，、分别是、的中点，连接．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，当点停止运动时，点也停止运动．连接，设运动时间为．解答下列问题：    (1)当为何值时，以点、、为顶点的三角形与相似？ (2)当为何值时，为等腰三角形？（直接写出答案即可）； (3)当点在、之间运动时，是否存在某一时刻，使得分四边形所成的两部分的面面积之比为？若存在，求出此时的值以及点到的距离；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2)或或或 (3)， 【难度】0.4 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、已知正弦值求边长 【分析】 （1）根据题意得，，再由相似三角形的判定和性质分情况分析求解即可； （2）分三种情况：当时，当时，当时，作出相应图形，理由相似三角形的判定和性质求解即可； （3）由题意得，作于H，根据正弦函数表示出PH，从而表示出和梯形的面积，列出方程求得t，最后利用等面积法求得距离h． 【详解】（1） 解：∵， ∴， ∴、分别是、的中点， ∴，， ∴， ∵与相似， ∴与相似， ∵以点、、为顶点的三角形与相似，， ∴点Q在线段上， ∵点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，设运动时间为． ∴， 当点Q在上，时，如图，    则， ∴ ， ∴； 当时，如图，    则 ， ∴， ∴， 综上所述：或； （2） ∵为等腰三角形， ∴当时，即或， 解得：或； 当时，    过点Q作于F， ∵， ∴， 类比（1）得：， ∴， ∴ ， ∴； 当时，过点P作于点H，    同理得， ∴， 解得：； 综上可得：t的值为或或或； （3） 解：如图，    存在，使，理由如下： ∵， ∴ ， 作于H， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴，（舍去）， ∴当时，． 当时，，，，， ∴， ∴， ∴即， 解得：． 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形性质，三角形中位线性质及正弦函数等知识，解决问题的关键是充分利用相似三角形知识进行分类讨论分析． 六、B卷26-几何压轴-特殊三角形、相似三角形，四边形求线段长度 54．如图，射线上有一点，，点是射线上异于的一点，过作，且，过点作，交射线于，在射线取点，使得，连接并延长，交直线于点，设．    (1)当在点右侧时，求的长．（用关于的代数式表示） (2)当为何值时，是等腰三角形； (3)作点关于的对称点，连接，，若四边形是平行四边形，求的值．（直接写出答案） 【答案】(1)， (2)或或 (3)4或 【难度】0.65 【知识点】等腰三角形的性质和判定、利用平行四边形的性质求解、根据菱形的性质与判定求线段长、利用同角三角函数关系求值 【分析】（1）由已知条件可得:，根据勾股定理得:，由且在点右侧，可以依次表示的长； （2）分两种情况：①当在点的右侧时，，②当在线段上时，又分两种情况：当时，如图3，当时，如图4，由，作等腰三角形的高线，由等腰三角形三线合一得：，利用同角的三角函数列比例式可求得的值； （3）先根据题意证明为菱形，由角的关系得：平分，作辅助线，由角平分线的性质得：，根据第2问分两种情况进行计算，根据同角的三角函数列式可求得的值． 【详解】（1）解：， ， ∵ , 由勾股定理得：, ，在点右侧， , , （2）解：分两种情况： 当在点的右侧时， , 必在线段上， , 是钝角，若为等腰三角形，只可能，过作于，如图2    ， 当在线段上时，同理可知若为等腰三角形，只可能， 当时，过作于，如图3,    ， , , 当时，如图4，    , 则, 综上所述，当或或时，是等腰三角形． （3）解：四边形是平行四边形，且, 是菱形， , , , , , , 即平分,过作于， 当在的延长线上时，如图2， 解得：, 当在边上时，如图5，    综上所述，若四边形是平行四边形， 的值是4或 【点睛】本题主要考查四边形的综合题，考查了平行四边形、菱形的性质和判定、等腰三角形的性质和判定、同角的三角函数以及动点问题，采用分类讨论的思想，并参考数形结合解决问题是解题的关键． 55．如图1，在正方形中，点是边上的一点，，且交正方形外角的平分线于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)在边上是否存在点，使得四边形是平行四边形？若存在，请画出图形并给予证明；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)存在，画图和证明见解析． 【难度】0.65 【知识点】根据正方形的性质证明、证明四边形是平行四边形、等腰三角形的性质和判定、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）由正方形的性质可知，，再利用同角的余角相等，即可证明结论； （2）在​上截取，连接，由正方形和等腰三角形的性质，得出​，，进而可证，即可证明结论； （3）过点​作，交​于点​，交​于点​，连接​，证明，得到，进而得到​，证得​四边形​是平行四边形即可． 【详解】（1）证明：​四边形​为正方形， ​， ​， ​， ​， ​； （2）证明：如图，在​上截取，连接， ​四边形​为正方形， ​， ​， ​， ​为正方形​的外角平分线， ​， ​， ​， ​， ​， ​， 在​和​中， ， ， ​； （3）解：存在点​使得四边形​是平行四边形，理由如下： 过点​作，交​于点​，交​于点​，连接​， ​， ​， ​， ​， 在​和​中， ， ， ​， 由（2）可知，， ​， ​四边形​是平行四边形． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判定等知识，作辅助线构造全等三角形是解题关键． 56．如图，已知在菱形中，是锐角，是边上的动点，将射线绕点按逆时针方向旋转，交于点．    (1)如图，当，时，证明：； (2)如图，连接，射线与线段的延长线交于点，射线与线段的延长线交于点，当时，，设，，求与之间的函数关系式； (3)在（）的条件下，若，当为直角三角形时，求的长； 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)或． 【难度】0.4 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用菱形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）由得到，继而得到，进一步得到，即可证明 ； （2）通过角之间的关系可得到，，继而得到，即可证明，故得到，即有； （3）根据（2），分两种情况讨论，即可求出的长． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴，，， 在中，， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：在菱形中，，    即， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即， ∴； （3）解：当时， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（）知：， ∴， 当时，同理可得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴或． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，相似三角形的判定和性质，菱形的性质，熟练掌握这些定理是解题的关键． 57．【概念认识】如果，即，则b叫做a和c的比例中项，或等比中项．若一个三角形一条边长是另两条边长的等比中项，我们把这个三角形叫做等比三角形． （1）已知是等比三角形，，．请直接写出所有满足条件的的长； 【数学理解】 （2）如图1，在四边形中，，对角线平分，．求证：是等比三角形； 【问题解决】 （3）如图2，在（2）的条件下，当时，求的值． 【答案】（1）或或；（2）见解析；（3） 【难度】0.4 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系、等腰三角形的性质和判定、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）设，分类讨论：当为等比中项时，当为等比中项时，当为等比中项时，根据等比中项定义即可求解； （2）根据平行线的性质及相似三角形的判定及性质得，再根据角平分线的性质及等角对等边得，进而可求证结论； （3）过点作于，根据等腰三角形的性质得，再根据平行线的性质及相似三角形的判定及性质得，由（2）得，进而可求解． 【详解】解：设， 当为等比中项时， 则，即：， 解得：， 当为等比中项时， 则，即：， 解得：或（舍去）， 当为等比中项时， 则，即：， 解得：， 综上所述，满足条件的的长为：或或． （2）证明：， ，， ， ， ， 即：， 平分， ， ， ， ， 是等比三角形． （3）过点作于，如图： ， ， ，， ， ， ， ， ， 即：， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质、等腰三角形的判定及性质、角平分线的性质、平行线的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键. 58．在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，其中点，的对应点分别为点，． (1)如图1，当点落在的延长线上时，连接，求的长； (2)如图2，连接，与边交于点，当，求的值； (3)如图3，连接，点为的中点，点为的中点，连接.在旋转过程中，若为以为直角边的直角三角形，求的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【难度】0.4 【知识点】解直角三角形的相关计算、相似三角形的判定与性质综合、根据旋转的性质求解、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】（1）直接勾股定理即可求解； （2）过点作于点，过点作于点，则，证明得出，设，则，设，则，证明得出，进而在中，,得出，进而根据正弦的定义，即可求解； （3）分两种情况讨论；①连接，点为的中点，点为的中点，则是的中位线，当时，当在的延长线上时，根据中位线的性质，即可求解；②当时，如图所示，连接，过点作于点，则三点共线，进而解，即可求解． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴， 依题意，当点落在的延长线上时，， ∴； （2）解：如图所示，过点作于点，过点作于点，则 ∵， ∴， ∵，，则， ∴，， ∴， ∴ ∴ 设，则，设，则， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 解得：（舍去）或 ∴, 在中，, ∴， 解得：（负值舍去） ∴， ∴； （3）解：连接， ∵点为的中点，点为的中点， ∴是的中位线， 当时，，如图所示，当在的延长线上时， ∴；      ②当时，如图所示，连接，过点作于点，    ∵，， ∴三点共线， ∵， ∴， 则, ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，三角形的中位线的性质，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键． 59．如图，在菱形中，，点E是边上一动点，连接，以为边在直线的左侧作菱形，使得菱形菱形． (1)如图1，连接，我们感觉，在点E的运动过程中，与始终保持全等关系，请说明理由． (2)如图2，连接交于H； （Ⅰ）在点E的运动过程中，和有何位置关系，请说明理由； （Ⅱ）当H为中点时，求的值； (3)如图3，连接，当，是直角三角形时，求菱形的边长． 【答案】(1)证明见解析 (2)（Ⅰ），理由见解析；（Ⅱ） (3)或 【难度】0.4 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、利用菱形的性质证明、相似多边形的性质、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）由菱形菱形，可得，则，进而可证； （2）（Ⅰ）如图2，连接，，由菱形菱形，可得，，则，，证明，则，进而可得；（Ⅱ）如图2，作交延长线于，交于，证明，则，设，则，，，由勾股定理得，，则，证明，则，解得，由，可求，则，然后求解的值即可； （3）由题意知，分，，，三种情况求解；①当时，如图3，连接，则，由勾股定理得，，求的值，进而可得的值，由，可求，由勾股定理求即可；②当时，如图4，证明与重合，则；③当时，此情况不存在． 【详解】（1）证明：∵菱形菱形， ∴， ∴，即， ∵， ∴； （2）（Ⅰ）解：，理由如下： 如图2，连接， ∵菱形，， ∴， ∵菱形菱形， ∴，， ∴，，即， ∴， ∴， ∴， ∴； （Ⅱ）解：如图2，作交延长线于，交于， ∴，， ∴， ∵H为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∵， ∴， ∴，解得， ∵， ∴，即，解得， ∴， ∴， ∴的值为； （3）解：由题意知，分，，，三种情况求解； ①当时，如图3，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， 由勾股定理得，， 解得， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得，， ∴菱形的边长为； ②当时，如图4， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与重合， ∴， ∴菱形的边长为； ③当时， ∵点在运动过程中，在菱形内部，， ∴此情况不存在， 综上所述，是直角三角形时，菱形的边长为或． 【点睛】本题考查了相似的性质，菱形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，含的直角三角形等知识．熟练掌握菱形的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键． 60．如图，在矩形中，，，动点P从点A开始以每秒2个单位长度沿向终点B运动，同时，动点Q从点C开始沿以每秒3个单位长度向终点A运动，它们同时到达终点．连接交于点E．过点E作，交直线于点F．    (1)当点Q在线段上时，求证：． (2)当时，求的面积． (3)在P，Q的运动过程中，是否存在某一位置，使得以点E，F，Q为顶点的三角形与相似？若存在，求的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)或 (3)BP的长为或2或 【难度】0.15 【知识点】公式法解一元二次方程、用勾股定理解三角形、矩形性质理解、相似三角形——动点问题 【分析】（1）证明即可得到答案； （2）①当点Q在上时，如图1，．过点E作的垂线交于点M，交于点N．②当点Q在上时，如图2，作于点M，设，再利用相似三角形的性质求解三角形的高，再利用面积公式计算即可； （3）分三种情况讨论：①当点Q在上时，设，则，若点F在Q的右侧，如图3，当，则，作于点H，而， ∴，则，从而可得答案；若点F在Q的左侧，如图4，，点F与点C重合，从而可得答案；②当点Q在AD上时，如图5，，，，作于点N，于点G．，则，再结合相似三角形的性质建立方程可得答案． 【详解】（1）当点Q在线段上时，由题意可得：，，， ∴， ∴． （2）①当点Q在上时，如图1，．过点E作的垂线交于点M，交于点N．    由，得． 由，得， ∴， ∴． ②当点Q在上时，如图2，作于点M，设．    ，． 同理：， ∴， ∴． 同理：，得， ∴． ∴，解得， ∴． ∴的面积为或． （3）①当点Q在上时，设，则．    若点F在Q的右侧，如图3，当，则． 作于点H，而， ∴，则， ∴． ∵， ∴， 解得． ∴． 若点F在Q的左侧，如图4，，点F与点C重合．    ∵， 又∵ ∴． ∵由结合对顶角可得：，而， ∴， ∴，即，则， ∴． ②当点Q在AD上时，如图5，，，， 作于点N，于点G．，则，    由，得， ∴， ∴． 同理可得：， 设，则，． ∴，， 由，得，， ∴，． 由题意，， 设，则，，， 由，得，即， 化简，得， 解得（舍去），． ∴． 综上所述，BP的长为或2或． 【点睛】本题考查的是动态几何问题，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，清晰的分类讨论，细心的计算是解本题的关键． 七、B26几何压轴-最值系列 61．提出问题：    (1)如图1，在中，，点为动点，且满足，则的面积最大值为________； 问题探究： (2)如图2，已知，，垂足分别为、，交于点，，，，求的长； 解决问题： (3)如图3，某景区内有一块形状为直角三角形的空地，点为边上的中点，为珍宝馆，计划沿边向外扩建一个比较大的自然馆，地方又不够用，设计师借助外部地皮，想在空地外找一点，满足，连接，其中，测得米，米，问自然馆的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)10 (2) (3)的面积存在最大值，其最大值为80000平方米 【难度】0.65 【知识点】几何问题(一次函数的实际应用)、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）过点作交的延长线于点，设，将的面积用含的代数式表示，根据函数的性质求解即可； （2）先证明，利用相似三角形的性质求解即可； （3）由勾股定理求得，取的中点，连接，过点作，交的延长线于点，过点作于，可得当、、三点共线时，取最大值，求得，证明，利用相似三角形的性质求得，进一步求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作交的延长线于点，    则， 随着的增大而增大， ， 当时，即，时， ， 故答案为：10； （2）解；，， ， ， ， ， ，，， ， ． （3）解；点是边上的中点，米， （米）， 在中，米，米， （米）． 取的中点，连接，过点作，交的延长线于点，过点作于，如图1． ， ，    如图2，当、、三点共线时，取等号，此时取最大值， 在中，是的中点， （米）， ，， ， ，即：， （米）． （平方米）． 故的面积存在最大值，其最大值为80000平方米． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的面积，勾股定理，一次函数的性质，面积最大值问题的求解，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键． 62．在中，，将绕点B顺时针旋转得到，其中点A，C的对应点分别为点，． （1）如图1，当点落在的延长线上时，求的长； （2）如图2，当点落在的延长线上时，连接，交于点M，求的长； （3）如图3，连接，直线交于点D，点E为的中点，连接．在旋转过程中，是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在，最小值为1 【难度】0.15 【知识点】旋转综合题(几何变换)、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】（1）根据题意利用勾股定理可求出AC长为4．再根据旋转的性质可知，最后由等腰三角形的性质即可求出的长． （2）作交于点D，作交于点E．由旋转可得，．再由平行线的性质可知，即可推出，从而间接求出，．由三角形面积公式可求出．再利用勾股定理即可求出，进而求出．最后利用平行线分线段成比例即可求出的长． （3）作且交延长线于点P，连接．由题意易证明， ，，即得出．再由平行线性质可知，即得出，即可证明，由此即易证，得出，即点D为中点．从而证明DE为的中位线，即．即要使DE最小，最小即可．根据三角形三边关系可得当点三点共线时最小，且最小值即为，由此即可求出DE的最小值． 【详解】（1）在中，． 根据旋转性质可知，即为等腰三角形． ∵，即， ∴， ∴． （2）如图，作交于点D，作交于点E． 由旋转可得，． ∵， ∴， ∴， ∴，． ∵，即， ∴． 在中，， ∴． ∴． ∵， ∴，即， ∴． （3）如图，作且交延长线于点P，连接． ∵， ∴， ∵，即， 又∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴在和中 ， ∴， ∴，即点D为中点． ∵点E为AC中点， ∴DE为的中位线， ∴， 即要使DE最小，最小即可． 根据图可知，即当点三点共线时最小，且最小值为． ∴此时，即DE最小值为1． 【点睛】本题为旋转综合题．考查旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，平行线分线段成比例，全等三角形的判定和性质，中位线的判定和性质以及三角形三边关系，综合性强，为困难题．正确的作出辅助线为难点也是解题关键． 63．在中，，，，E是线段上一动点，连接． (1)如图1，若，求的面积； (2)如图2，若，将线段绕C逆时针旋转得到线段，连接．若点G是线段的中点，过点G作交于点P，交于点H，证明； (3)如图3，将沿翻折至，连接．D是线段上的点，且，直接写出当取得最小值时的长度． 【答案】(1) (2)见解析 (3)6 【难度】0.15 【知识点】用SAS间接证明三角形全等（SAS）、根据成轴对称图形的特征进行求解、解直角三角形的相关计算 【分析】(1)作于点， 解， 求得和， 进而解， 求得从而进一步得出结果； (2)取的中点 连接可证明，从而得出， 进而求得， 进而得出，从而得到 在的垂直平分线上，进一步得出点在的垂直平分线上，从而和点重合，进而得出结论； (3)在的下方作， 截取， 连接， 交于点，作关于对称连接， 可证明，从而得出， 进而得出当共线时， 最小， 此时点在处， 点在， 可得出， 进而得出 作于， 可得出，进一步得出结果. 【详解】（1）如图，作于点，    在中，， ， 在中， ， ， ， ． （2）证明: 如图，取的中点连接    ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， 在的垂直平分线上， ∵， ∴， ∴是的中点， ∴， ∴， ∴点在的垂直平分线上， 和点重合， ∴； （3）如图，在的下方作， 截取， 连接，，交于点，作关于对称 连接    ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当共线时，最小，此时点在处，点在 连接， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴四边形是等腰梯形， ∴ ∴，， ， ∴，作于， ∴ ， ， 即: 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形. 64．如图1，在中，，，点在线段上，点在直线上，连接、，且，直线交于点． (1)如图2，过点作于点，求证； (2)当点是的三等分点时，求的值； (3)如图3，连接，将沿着翻折，得到，点是上一点，且，当最短时，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【难度】0.15 【知识点】其他问题(轴对称综合题)、相似三角形的判定与性质综合、根据矩形的性质与判定求线段长、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）根据等边对等角可得，，继而得到，则，根据即可得证； （2）过点作于点，过点作于点，证明四边形是矩形，得到，证明，得到， 设，则，， ，证明，表示出，，代入计算即可； （3）根据对称的性质和已知得出当最短时，点，，三点共线，过点作于点，过点，作的垂线，垂足分别为，，则，，四边形是矩形，根据平行线分线段成比例定理可得，设，则，，在中，，证明，继而得到，设，则，，，根据，设，则，在中，有，可推出，，证明，表示出，，再根据勾股定理可得，再代入化简即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：过点作于点，过点作于点， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵； ∴， ∵，，点是的三等分点时， ∴，， ∴， 设， ∴，， ， ∵， ∴， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴的值为； （3）∵将沿着翻折，得到， ∴， ∴点在以为圆心的长为半径的圆上运动， ∵点是上一点，最短， ∴点，，三点共线， 此时如图所示，过点作于点，过点，作的垂线，垂足分别为，， ∴，，四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则，，， 在中，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∴， 由（1）知：， 设，则， 在中，， ∴，即， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， 在中，， ∴， ∴的值为． 【点睛】本题是折叠变换综合题，考查了折叠的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例定理，勾股定理等知识点，本题 难度大．通过作适当的辅助线并综合运用以上知识是解题的关键． 65．如图1，等边中，为边上的一点，且，分别为上的两个动点，始终保持. (1)若，求证：①，②； (2)①如图2，若，试探究之间的数量关系，请写出证明过程； ②请通过类比、归纳、猜想，探究出之间的数量关系的一般结论（用含有的代数式直接写出，不用证明）； (3)如图3，为边上的中点，，连接，当点分别在线段上运动时，当时，直接写出线段扫过的图形的面积. 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)①；②； (3) 【难度】0.15 【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）过点分别作的垂线，垂足分别为，连接，根据等边三角形的性质可得，，证明，根据全等三角形的性质，即可得证； ②根据含30度角的直角三角形的性质，得出，根据全等三角形的性质得出，则，即可得出； （2）①过的中点作的平行线，交于点，交于点，当时，，根据，可得是等腰直角三角形，，根据（1）中结论可得，再根据，，即可得到； ②分类讨论，根据①的方法证明即可； （3）如图，当与重合时，取的中点，当与重合时，取的中点，可得是等边三角形；则扫过的图形的面积即为的面积，可利用建系的方法表示出的坐标，再利用中点公式求出，最后利用勾股定理即可求出的长度，进而即可求解． 【详解】（1）证明：①如图所示，过点分别作的垂线，垂足分别为，连接， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， 在中， ， ∴， ∴； ②证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）① 证明：如图，过的中点作的平行线，交于点，交于点， 当时，，即， 是的中点， ，， ， ，， ， 是等边三角形， ， ， 根据（1）中的结论可得， ； 故线段之间的数量关系为； ②解：如图，在上取一点使得，过作的平行线，交于点，交于点，    同①，可得， ，， ，， 同①可得， ， 即线段之间数量关系为； （3）解：如图，当与重合时，取的中点，当与重合时，取的中点， 当与重合时，，则， ∴是等边三角形， 当与重合时，同理可得是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∵分别为的中点， ∴ 则 ∴，则 又∵ ∴ ∴ ∴是等边三角形；则扫过的图形的面积即为的面积， ， ，， 以点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示， ，如图所示，过点作于点， ∴ ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 过点作于点，则， ∴， ∴， 即线段扫过的图形的面积为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，平行线的性质，正确地画出图形，作出辅助线，找对边之间的关系是解题的关键． 八、B卷26几何压轴-其他类型 66．在矩形中，点E为边上一动点（不与点A、B重合），连接，过点E作，连接与分别交于点G、H． (1)如图1，当矩形为正方形时，且，求证：； (2)在（1）的条件下，且点E为的中点，求的值； (3)如图2，已知：，，连接交于G，与交于H．若，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) (3)2 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据和是等腰直角三角形，可得，，则； （2）作于点M，由（1）可得，得出，证明得，证明，利用（1）的结论，求比值即可． （3）中，设由乐股定理得，证明，得，证得，根据证明得出，从而可得结论． 【详解】（1）∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵，且， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）作于点M． 由（1）可得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵E为中点， ∴． ∴， ∴． ∵． ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴； （3）如图2， 中，设 ∵． ∴， ∵． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵． ∴， ∴，即． ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是矩形、正方形，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识．灵活掌握三角形相似是解题的关键. 67．如图，在菱形ABCD中，AC与BD交于点O，E是BD上一点，EF//AB，∠EAB=∠EBA，过点B作DA的垂线，交DA的延长线于点G． （1）∠DEF和∠AEF是否相等？若相等，请证明；若不相等，请说明理由； （2）找出图中与ΔAGB相似的三角形，并证明； （3）BF的延长线交CD的延长线于点H，交AC于点M．求证：BM2=MF⋅MH． 【答案】（1），理由见解析；（2），证明见解析；（3）证明见解析． 【难度】0.65 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）先判断出∠DEF=∠EBA，∠AEF=∠EAB，即可得出结论； （2）先判断出∠GAB=∠ABE+∠ADB=2∠ABE，进而得出∠GAB=∠AEO，即可得出结论； （3）先判断出BM=DM，∠ADM=∠ABM，进而得出∠ADM=∠H，判断出△MFD∽△MDH，即可得出结论． 【详解】（1）∠DEF=∠AEF，理由如下： ∵EF∥AB， ∴∠DEF=∠EBA，∠AEF=∠EAB． ∵∠EAB=∠EBA， ∴∠DEF=∠AEF； （2）△EOA∽△AGB，理由如下： ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=AD，AC⊥BD， ∴∠GAB=∠ABE+∠ADB=2∠ABE． ∵∠AEO=∠ABE+∠BAE=2∠ABE． ∵∠GAB=∠AEO，∠GAB=∠AOE=90°， ∴△EOA∽△AGB； （3）如图，连接DM． ∵四边形ABCD是菱形，由对称性可知，BM=DM，∠ADM=∠ABM． ∵AB∥CH， ∴∠ABM=∠H， ∴∠ADM=∠H． ∵∠DMH=∠FMD， ∴△MFD∽△MDH， ∴， ∴DM2=MF•MH， ∴BM2=MF•MH． 【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了菱形的性质，对称性，相似三角形的判定和性质，判断出△EOA∽△AGB是解答本题的关键． 68．在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点P为AB边上的动点（P与A、B不重合），将△BCP沿CP翻折，点B的对应点B1在矩形外，PB1交AD于E，CB1交AD于点F． （1）如图1，求证：△APE∽△DFC； （2）如图1，如果EF＝PE，求BP的长； （3）如图2，连接BB′交AD于点Q，EQ：QF＝8：5，求tan∠PCB． 【答案】（1）见解析；（2）BP＝2.4；（3）tan∠PCB＝. 【难度】0.4 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）由矩形的性质可得∠A=∠D=∠ABC=∠BCD=90°，由余角的性质和对顶角的性质可得∠DFC=∠APE，即可得结论； （2）由题意可证△APE≌△B1FE，可得AE=B1E，AP=B1F，即AF=B1P，由折叠的性质可得BP=B1P=a，BC=B1C=4，根据勾股定理可求BP的长． （3）由折叠的性质和等腰三角形的性质可得∠PB1B=∠PCB，设EQ=8k，QF=5k，可得B1F=5k，EF=EQ+QF=13k，由勾股定理可得B1E=12k，由相似三角形的性质可得EH= ，HQ= ，即可求tan∠PCB． 【详解】（1）∵四边形ABCD是矩形 ∴∠A＝∠D＝∠ABC＝∠BCD＝90° ∴∠APE+∠AEP＝90°，∠DCF+∠DFC＝90°， ∵折叠 ∴∠ABC＝∠PB1C＝90°， ∴∠B1EF+∠B1FE＝90°， 又∵∠B1EF＝∠AEP，∠B1FE＝∠DFC， ∴∠DFC＝∠APE，且∠A＝∠D， ∴△APE∽△DFC （2）∵PE＝EF，∠A＝∠B1＝90°，∠AEP＝∠B1EF， ∴△APE≌△B1FE（AAS）， ∴AE＝B1E，AP＝B1F， ∴AE+EF＝PE+B1E， ∴AF＝B1P， 设BP＝a，则AP＝3﹣a＝B1F， ∵折叠 ∴BP＝B1P＝a，BC＝B1C＝4， ∴AF＝a，CF＝4﹣（3﹣a）＝a+1 ∴DF＝AD﹣AF＝4﹣a， 在Rt△DFC中，CF2＝DF2+CD2， ∴（a+1）2＝（4﹣a）2+9， ∴a＝2.4 即BP＝2.4 （3）∵折叠 ∴BC＝B1C，BP＝B1P，∠BCP＝∠B1CP， ∴CP垂直平分BB1， ∴∠B1BC+∠BCP＝90°， ∵BC＝B1C， ∴∠B1BC＝∠BB1C，且∠BB1C+∠PB1B＝90° ∴∠PB1B＝∠PCB， ∵四边形ABCD是矩形 ∴AD∥BC ∴∠B1BC＝∠B1QF， ∴∠B1QF＝∠BB1C， ∴QF＝B1F ∵EQ：QF＝8：5， ∴设EQ＝8k，QF＝5k， ∴B1F＝5k，EF＝EQ+QF＝13k， 在Rt△B1EF中，B1E＝ ＝12k， 如图，过点Q作HQ⊥B1E于点H， 又∵∠PB1C＝90°， ∴HQ∥B1F ∴△EHQ∽△EB1F， ∴== ∴== ∴EH＝，HQ＝ ∴B1H＝ ∴tan∠PCB＝tan∠PB1B＝＝ 【点睛】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质进行推理是解本题关键． 69．已知，如图，在矩形中，，．对角线与交于点，点是边上的一个动点，连接，作，且射线与边交于点． (1)求证：； (2)判断是否为定值，若是，则求出：若不是，请说明理由； (3)连接，，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)是定值，且，见解析 (3)2 【难度】0.4 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、利用矩形的性质证明、根据矩形的性质求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】（1）根据得到，根据，得到即可证明． （2）根据得到，证明即可证明． （3）根据得到，，利用勾股定理构造出方程，解方程即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）是定值，且，理由如下： ∵矩形中，，， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴， 故． （3）∵， ∴， ∴， ∵，， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 整理得，， 解得（舍去） 故的长2． 【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，解方程，熟练掌握相似的性质，勾股定理，解方程是解题的关键． 70．综合与实践 （1）【操作发现】如图1，诸葛小组将正方形纸片沿过点的直线折叠，使点落在正方形内部的点处，折痕为，再将纸片沿过点的直线折叠，使与重合，折痕为，求的正切值； （2）【拓展探究】如图2，孔明小组继续将正方形纸片沿继续折叠，点的对应点恰好落在折痕上的点处，连接交于点，若，求线段的长； （3）【迁移应用】如图3，在矩形中，点分别在边上，将矩形沿折叠，点落在点处，点落在点处，点恰好在同一直线上，若点为的三等分点，，请求出线段的长．    【答案】（1）1；（2）；（3）或2 【难度】0.4 【知识点】正方形折叠问题、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形、全等三角形综合问题 【分析】（1）由正方形的性质得，再由折叠的性质得：，即可求解； （2）证是等腰直角三角形，得，则，求出，由等腰直角三角形的性质得，再证，由证明，由全等三角形的性质得，再证，然后由含角的直角三角形的性质得，，，，由得出方程，求解即可； （3）分两种情形：当，当，分别求解即可． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ， 由折叠的性质得：， ， 即， ， 的正切值为1； （2）∵四边形是正方形， ， 由折叠的性质得：， ， 由（1）得：， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， ， ，， ， ， 解得：， ， ； （3）如图3中，在上取一点，使得，过点作于点，交于点，连接，得正方形，    当时，， ， ∴， ∴， ∴， ， 由（1）可知， 设，则， ， ， ． 当时，同法可得． 综上所述，满足条件的的值为或2． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和翻折变换的性质，证出是解题的关键． 71．在平行四边形中，，，点、分别为、的两点． (1)如图1，若，且，连接、，判断和的数量关系及位置关系，并说明理由； (2)如图2，，，求证：； (3)如图3，若，点关于的对称点为点，点为平行四边形对角线的中点，连接交于点，求的长． 【答案】(1)，；理由见解析 (2)见解析 (3) 【难度】0.4 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、利用平行四边形的性质证明、用勾股定理解三角形、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）根据平行四边形的性质结合、、、的长度，即可证出，利用全等三角形的性质可得出、，再通过角的计算即可找出，即； （2）在上取点，使，连接，则为等边三角形，根据平行四边形的性质结合角的计算可找出、，进而可证出，根据相似三角形的性质可得出，等量替换后可得出； （3）连接、、，设交于点，利用面积法及勾股定理可求出的长度，易知为中位线，根据中位线的性质可得出的长度及，进而可得出，利用相似三角形的性质可得出，结合的长度即可求出的长度． 【详解】（1），．理由如下： 四边形为平行四边形，， ． ，，， ． 在和中， ， ， ，． ， ， ，即． （2）证明：如图2，在上取点，使，连接，则为等边三角形， ， ． 四边形为平行四边形，， ， ． ，， ， ， ， ，即． （3）解：连接、、，设交于点，如图3所示，则为线段的垂直平分线． ， 平行四边形为矩形， ，，， ． 点为的中点，点为的中点， ，且， ， ， ． 【点睛】考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行四边形的性质、三角形的面积以及勾股定理，解题的关键是灵活运用一线三等角模型，构造全等三角形与相似三角形． 72．如图，在正方形中，点在射线上(不与点，重合)，连接，将绕点顺时针旋转得，连接，连接交的延长线于点，过点作，垂足为，连结，．    (1)求证：； (2)________，并说明理由； (3)若，，直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【难度】0.4 【知识点】由平行判断成比例的线段、根据旋转的性质求解、同弧或等弧所对的圆周角相等、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）根据旋转的性质，等腰直角三角形判定与性质，即可求得． （2）由可知点四点共圆，从而得到． （3）根据，先证明，再利用平行线截线段成比例得到． 【详解】（1）解：∵绕点A顺时针旋转得， ∴， ∴为等腰直角三角形，即， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴点四点共圆， ∵， ∴    （3）解：如图所示：    ∵, ∴, 在和中， ∴， ∴， 故三点共线， ∵，， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、四点共圆、平行线截线段成比例，掌握等腰直角三角形的判定与性质和判定和平行线截线段成比例是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$