4.3等比数列课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

等比数列（第一课时） 我们知道，等差数列的特征是“从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数”，类比等差数列的研究思路和方法，从运算的角度出发，你觉得还有怎样的数列是值得研究的？ 2 前一项 同一个常数 常数 d 3.等差数列的通项公式；an＝a1＋(n－1)d，n∈N* 请看下面几个问题中的数列. 观察以上数列的取值， 你发现了什么规律？ 类比等差数列的概念，从上述几个数列的规律中，你能抽象出等比数列的概念吗？ 一般的，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。(q≠0） 或 其数学表达式： 等比数列 定义 思考：等比数列中 (1)公比q为什么不能等于０？首项能等于０吗？ (2)公比q=1时是什么数列？ 说明： (1)公比q≠0，则an≠0(n∈Z+)； (2)既是等差又是等比数列的非零常数列； 等比中项 如果在两个同号的a和b两个数中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。 类比1: (1)1，-1/3， 1/9 ,-1/27，… (2)1, 2, 4, 8, 12,16,20, … (3)数列｛an｝的通项公式为 an=3n/2, (n∈N*) (4)1，1，1，… ，1 (5)a，a，a，…，a 练习：判断下列数列是否是等比数列， 是等比数列的求出公比。 √ q=-1/3 × √ q=3 √ q=1 不一定，当a≠0时是等比数列，q=1； 当a=0时非等比数列。 问题： ？ 已知等比数列的首项为a1，公比为q，求第n项an。 等比数列的通项公式 类比2: 方法一： a2=a1q a3=a2q=(a1q)q=a1q2 a4=a3q=(a1q2)q=a1q3 …… an=a1qn-1 不完全归纳法 从特殊到一般的方法称为归纳法 方法二： … , … 累乘法 等比数列的图象与指数函数之间的关系: 类比3: 等比数列与指数函数的关系 典例分析: 练习2.一个等比数列的第2项是10，第3项是20， 则它的第4项是 ； 练习3.一个等比数列的第2项是10，第6项是160， 则它的第4项是 ； 练习4.已知等比数列{ an }的a2=2， a5=54，则q= ； 练习5.已知等比数列{ an }的a5=1， an=256，q=2，则n= . 40 ±40 3 13 1 数 列 等 差 数 列 等 比 数 列 定 义 公差（比） 等差中项 通项公式  任意两项的关系  小结：填写下表 an+1-an=d d 叫公差 q叫公比 an= a1+(n-1)d an=a1qn-1 an=am+(n-m)d 2A=a+b G2=ab ？ 等比数列（第二课时） 数 列 等 差 数 列 等 比 数 列 定 义 公差（比） 等差中项 通项公式  任意两项的关系  小结：填写下表 an+1-an=d d 叫公差 q叫公比 an= a1+(n-1)d an=a1qn-1 an=am+(n-m)d 2A=a+b G2=ab ？ 例2 已知{an}是一个等比数列，请在下表中的空格处填入适当的数 a1 a3 a5 a7 q 2 8 2 0.2 50 0.08 0.0032 a5=a3q2=a3q5－3=4×2=8 a7=a3q4=a3q7－3=4×4=16 a1=a3q-2=a3q1－3=50 猜想： an= amqn－m 典例分析: 例2 已知等比数列{an}的公比为q，试用{an}的第m项am表示an 解：由题意得am=a1qm-1 ① an=a1qn-1 ② ②同时除以①的两边，得 所以an=amqn-m 等比数列的任意一项都可以用该数列的某一项和公比表示 新知 1.等比数列{an}的通项公式为 an=a1qn-1=amqn-m 练习 在等比数列{an}中，a4＝2，a7＝8，求an； 探究2：已知等比数列{an}的通项公式为an=2n，则 a1a9= a2a8= a3a7= a5= . 即 a1a9= = a2a8= = a3a7= = . 210 归纳：等比数列{an}，p,q,s,t,k∈N*,且p+q=s+t=2k, 则ap aq = as at= 210 210 25 210 210 210 210 新知 1.等比数列{an}的通项公式为 an=a1qn-1=amqn-m 2.等比数列{an}，若p,q,s,t,k∈N*,且p+q=s+t=2k,则ap aq = as at= 在等比数列{an}中，已知a7·a12＝5，则a8·a9·a10·a11等于(　　) A．10 B．25 C．50 D．75 解　运用等比数列的性质， 若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq 可得a8·a11＝a9·a10＝a7·a12＝5， 所以a8·a9·a10·a11＝25. 故选B. 练习 公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则log2a10＝(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 解　∵a3a11＝16，∴a7·a7＝16. 又等比数列{an}的各项都是正数，∴a7＝4. 又a10＝a7q3＝4×23＝25，∴log2a10＝5. 故选B. 练习 运用等比数列的性质应注意的问题 运用等比数列的性质ap aq = as at= 的关键是发现各项的序号之间满足关系p+q=s+t=2k,，它们往往涉及其中的四项或三项，注意不要和等差数列相应的性质混淆． 归纳 例3.数列{an}共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80,第2项与第4项的和等于136,第1项与第5项的和等于132.求这个数列. 解：设前三项的公比为q，后三项的公差为d 则数列的各项为 典例分析: 故这个数列是20，40，80，96，112或108，120，80，16，-48 有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，第一个数与第四个数的和为21，中间两个数的和为18，求这四个数． 练习 在解决与等比数列有关的数的设法：对称设元法 1.连续奇数个项成等比数列，可设为…， ，a，aq，…； 2.连续偶数个项成等比数列，可设为…， ， ，aq，aq3，… 归纳 例5 已知数列{an}的首项为a1=3 (1)若{an}为等差数列，公差d=2,证明数列{ }为等比数列 (2)若{an}为等比数列，公比q= ,证明数列{ }为等差数列 典例分析: 问题1：如何证明数列是等比数列、等差数列？ 问题2：用部分项，如：能证明数列是等差数列吗？ 问题3：那么，用什么项证明呢？ 问题4： 已知且，如果数列是等差数列，那么数列是否一定是等比数列？如果数列是各项均为正的等比数列，那么数列是否一定是等差数列？ 特殊 一般 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1.证明：数列{an＋1}是等比数列． 典例分析: 类比等差数列的下列性质，探究等比数列的对应性质： 1. 等比数列的单调性和最大（小）项研究 等比数列的实际应用 例4 用 10 000元购买某个理财产品一年. （1）若以月利率的复利计息，12个月能获得多少利息（精确到1元）？ （2）若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息不少于按月结算的利息（精确到）？ 分析：复利是指把前一期的利息与本金之和算作本金，再计算下一期的利息. 存入 元， 第一期末 元， 第二期末 元， 第三期末 元， 各期的本利和构成等比数列. 这个等比数列的首项是，公比是 可得通项公式为. 分析：实际问题 数学问题 “用 10 000元购买某个理财产品” 本金10 000 “月利率” 12个月能获得的本利和 的值 “12个月能获得的利息” 利息=本利和-本金 = 设本利和组成数列 （1） 分析：实际问题 数学问题 “季度利息” 设为， 公比是 存4个季度的本利和 的值 “存4个季度结算的利息” “按季结算的利息不少于按月结算的利息” （2） 设本利和组成数列 对实际问题抽象、简化 梳理出变量之间的关系 将复利问题转化为相应的等比数列模型 用数学模型解释现实生活中的种种现象和规律 用数学方法解决它 确定“本金”、“利率”、“本利和”、“利息”对应的数学式子 课堂小结 方程思想 等比数列有关计算问题 建模思想 将实际问题转化为数学问题，并加以解决. 转化思想 非等比数列变成等比数列 47 2．等差中项 如果a，A，b成等差数列．那么A叫做a与b的等差中项． 1．等差数列的概念 文字语言 如果一个数列从第__项起，每一项与它的______的差都等于__________，那么这个数列就叫做等差数列，这个____叫做等差数列的公差，公差通常用字母__表示 符号语言 an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*) 1.两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了下面的数列： ；① ；② .③ 2.《庄子·天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”如果把“一尺之棰”的长度看成单位“1”，那么从第1天开始，各天得到的“棰”的长度依次是 .④ 3.在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20 min就通过分裂繁殖一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是 2，4，8，16，32，64，…⑤ 4.某人存入银行a元，存期为5年，年利率为r，那么按照复利，他5年内每年末得到的本利和分别是 .⑥ 由 可知，当且 时，等比数列 的第n项 是 指数函数 当 时的函数值，即 .（如图） 反之，任给指数函数 （k，a为常数， ， ，且 ）， 则 ， ，…， ，… 构成一个等比数列 ，其首项为 ，公比为 . 例1若等比数列 的第4项和第6项分别为48和12，求的第5项. 分析：等比数列 由 ， 唯一确定，利用条件列出关于 ， 的方程（组）， 进行求解. 解法1：由 ，，得 ， ②的两边分别除以①的两边，得 .解得 . 把 代入①，得 .此时 ， 把 代入①，得 .此时 . 因此， 的第5项是24或-24. 解法2：因为 是 与 的等比中项，所以 . 所以 .因此， 的第5项是24或-24. 例2.已知数列 满足 ， .证明：数列 是等比数列. 变式练习、已知等差数列 ，若 ，且 ， ， 成等比数列． 求数列 的通项公式. 解：法一：因为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a4＝a1q3，,a7＝a1q6，))所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1q3＝2，　①,a1q6＝8.　②)) 由eq \f(②,①)得q3＝4，从而q＝ ，而a1q3＝2， 于是a1＝eq \f(2,q3)＝eq \f(1,2)，所以an＝a1qn－1＝ 法二：因为a7＝a4q3，所以q3＝4. 所以an＝a4qn－4＝2·( )n－4＝ . 解：　设前三个数分别为eq \f(a,q)，a，aq(q≠0)，则第四个数为2aq－a， 由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(a,q)＋2aq－a＝21，,a＋aq＝18，))解得q＝2或q＝eq \f(3,5). 当q＝2时，a＝6，这四个数为3,6,12,18； 当q＝eq \f(3,5)时，a＝eq \f(45,4)，这四个数为eq \f(75,4)，eq \f(45,4)，eq \f(27,4)，eq \f(9,4). 证：　因为an＋1＝2an＋1， 所以an＋1＋1＝2(an＋1)． 由a1＝1，知a1＋1≠0，从而an＋1≠0. 所以eq \f(an＋1＋1,an＋1)＝2(n∈N*)． 所以数列{an＋1}是等比数列． $$