4.2.1 等差数列的概念课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.2.1 等差数列的概念 第一课时 数列是特殊的函数 对函数的研究 函数的概念 函数的性质 基本初等函数 函数的应用 对数列的研究 数列的概念 数列的性质 特殊的数列 数列的应用 等差数列 等比数列 定义 性质 通项公式 前n 项和 请看下面几个问题中的数列. 1.北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为 9,18,27,36,45,54,63,72,81.① 2.S,M,L,XL,XXL,XXXL型号的女装上衣对应的尺码分别是 38,40,42,44,46,48.② 一、等差数列的概念 3.测量某地垂直地面方向上海拔500m以下的大气温度，得到从距离地面20m起每升高100m处的大气温度（单位：℃）依次为 25,24,23,22,21. ③ 4.某人向银行贷款a万元，贷款时间为n年.如果个人贷款月利率为r,那么按照等额本金方式还款，他从某月开始，每月应还本金b(=12n)元，每月支付给银行的利息（单位：元）依次为 ar,ar-br,ar-2br,ar-3br,... ④ ( 1 ) 9,18,27,36,45,54,63,72,81. ( 2 ) 38,40,42,44,46,48. ( 3 ) 25,24,23,22,21. ( 4 ) ar,ar-br,ar-2br,ar-3br,... 思考1：你能通过运算发现以上数列的取值规律吗？ 1.等差数列：一般地，如果一数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列; 2.等差数列定义的递推公式： 一、等差数列的定义： 这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示. （或 an+1-an = d n∈N* ） an-an-1=d， ( n≥2 )，其中d为常数. ( 1 ) 9,18,27,36,45,54,63,72,81. ( 2 ) 38,40,42,44,46,48. ( 3 ) 25,24,23,22,21. ( 4 ) ar,ar-br,ar-2br,ar-3br,... 以上数列的公差是多少？ 1．判断题 (1)数列a，2a，3a，4a，…是等差数列 （ ） (2)数列a－2，2a－3，3a－4，4a－5，…是等差数列（ ） (3)若an－an+1=3 (n∈N*)，则{an}是公差为3的等差数列（ ） (4)若a2－a1=a3－a2, 则数列｛an｝是等差数列（ ） (5)若an+1 － an=n (n∈N*)，则{an}是公差为n的等差数列（ ） 概念辨析 思考2：观察所给的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列： (1)2 ,___, 4；(2)－1 ,___, 5；(3)a ,_______, b；(4)0 ,___, 0. 二、等差中项 3 2 0 由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列.这时,A叫做a与b的等差中项. 二、等差中项 这三个数满足关系式：2 A= a+b 若a,b是方程x2-2x-3=0的两根,则a,b的等差中项为 跟踪练习1： 三、等差数列通项公式 思考：若已知等差数列{an}的首项和公差，你能否根据等差数列的定义推导出等差数列的通项公式？ 不完全归纳法 累加法 若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则 an=a1+(n-1)d 在下列等差数列{an}中， （1）已知a1=2，d=3，n=10，求an （2）已知a1=3，an=21，d=2，求n （3）已知a1=12，a6=27，求d （4）已知d=-1/3，a7=8，求a1 跟踪练习2： 利用an=a1+(n-1)d a1, d, n, an, 知三求一 思考3：等差数列是特殊的函数，你认为应该研究等差数列的哪些函数特征呢？怎样研究？ 四、等差数列的函数特性 思考4:观察等差数列的通项公式,它与熟悉的哪一类函数有关? 由于 所以当 时, 等差数列 的第 项 是一次函数 当 时的函数值,即 如图,在平面直角坐标中画出函数 的图像,就得到一条斜率为 ,截距为 的直线.在这条直线上描出点 就得到等差数列 的图像. 事实上,公差 的等差数列 的图象是点 组成的集合,这些点均匀分布在直线 上面. 反之,任给一次函数 ,其中 和 为常数,则 构成一个等差数列 , 其首项为 ,公差为 .. 数列{an}的公差为d， 则d>0⇔{an}为_____数列； d<0⇔{an}为_____数列； d＝0⇔{an}为常数列． 递增 递减 当d≠0时，等差数列的an=a1+(n－1)d=dn+(a1-d)是一次函数 f(x)=dx+(a1-d)(x∈R)，当x=n时的函数值，即an=f(n)。 等差数列的函数性质 在数列{an}中, an=p n + q (p、q是常数) ，证明数列{an}是等差数列. 证明:an+1-an=[p (n+1) + q ]-(p n + q ) = p (n∈N*), 故该数列为等差数列. 结论：数列{an}是等差数列 an=p n + q (p、q是常数). 例1. (1)已知等差数列{an}的通项公式为an=5-2n，求数列{an}的公差和首项； (2)求等差数列8，5，2,······的第20项； (3)-401是不是等差数列-5，-9，-13，·····的项？如果是，是第几项？ 等差数列基本量的计算 例2. 已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝. (1)数列{}是否为等差数列？说明理由；(2)求an. 等差数列的判定与证明 19 用定义法判定(或证明)数列{an}是等差数列的基本步骤为: (1)作差an+1-an. (2)对差式进行变形. (3)当an+1-an是一个与n无关的常数时,数列{an}是等差数列;当an+1-an不是常数,而是与n有关的代数式时,数列{an}不是等差数列. 课堂小结 1.等差数列定义：an-an-1=d （n≥2）或 an+1-an=d (n∈N*) 3 通项公式 an =a1+(n-1)d {an}为等差数列  4. 等差数列的判断 an-an-1=d （n≥2）或 an+1-an=d (n∈N*) 由三个数a,A,b组成等差数列,则称A叫做a与b的等差中项. 2.等差中项 这三个数满足关系式： A= 在等差数列中,已知a5=10,a12=31,求首项与公差. 解：设数列的首项为a1与公差为d 由题意可知 即这个等差数列的首项是-２，公差是３. 解得 当堂练习 已知在等差数列中,a4+a8=20,a7=12,求a4. 解：设数列的首项为a1与公差为d 由题意可知 ∴这个等差数列的通项公式为an=0+(n-1)×2=2n－2 则a4=2×4－2=6 解得 学习目标 学习目标 4.2.1 等差数列的概念（2） 2 前一项 同一个常数 常数 d 温故知新 复习巩固 26 a＋b＝2A 3.等差数列的通项公式；an＝a1＋(n－1)d，n∈N*； 4.通项公式的应用： 27 例1.已知数列{an}是等差数列，若a2＋a3＋a10＋a11＝36，则a5＋a8＝________. 你还有其他的解法吗？ 已知等差数列{an}的通项公式为an=4n－3,则 (1)a1+a9= a2+a8= a3+a7= 2a5= . (2)a3+a15= a5+a13= a8+a10= 2a9= . 34 34 34 34 66 66 66 66 猜想：等差数列{an}中，若p,q,s,t,k∈N*,且p+q=s+t=2k, 则ap + aq = as + at= 2ak 一、探究等差数列的性质 例5. 已知数列是等差数列，, 且 求证: 跟踪训练 思考1：通过上节课我们知道等差数列对应的点分布在一条直线上，那么你能从 直线斜率的角度来解释性质1吗？ 思路： ∵, 思考2：已知数列{an}是等差数列， 由am＋an＝ap＋aq 能推出 m+n=p+q吗？ 等差数列的性质1   18 跟踪练习1：已知数列{an}是等差数列， (1)a6+a9+a12+a15=20，则a1+a20= ； (2)a3+a11=10，则a6+a7+a8= ； (3)若a4＋a7＋a10＝30，则a3－2a5＝________. (4)若a15=8，a60=20，则a75＝________. 10 15 －10 24 思考3： 已知一个等差数列的任意两项，这个数列的通项公式是否可以确定？请从几何意义给予解释。 首项a1公差d，的等差数列{an}的通项公式为: an=a1+(n－1)d=an=am+(n－m)d 等差数列的性质2 典例解析 例4. 已知等差数列{an} 的首项a1＝2，在{an} 中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}. (1)求数列{bn}的通项公式. (2) b29是不是数列{an}的项？若是，它是{an} 的第几项？若不是，请说明理由. 分析：（1） {an}是一个确定的数列，只要把a1 ，a2表示为{bn}中的项，就可以利用等差数列的定义得出的通项公式； （2）设{an}中的第n项是{bn}中的第cn项，根据条件可以求出n与cn的关系式，由此即可判断b29是否为{an}的项. 解：（1）设等差数列的公差为 ∵b1,b5,b5b1 =8 ∵b5b1 ,8,, +() 2=2 所以数列的通项公式是=2 （2）数列的各项依次是数列的第1,5,9,13，…项，这些下标构成一个首项为1，公差为4的等差数列，则=43 令43=29, 解得:=8 所以， b29是数列的第8项 思考：对于第（2）小题，你还有其他解法吗？ 归纳总结 等差数列的性质3 如果在一个等差数列的每相邻两项之间都插入k个合适的数，仍然可以构成一个新的等差数列 已知等差数列{an},{bn},则 ①将等差数列{an}中的前m项去掉,其余各项组成一个新的数列， 它仍是等差数列. ②取出等差数列{an}中的所有奇数项,组成一个新的数列， 它仍是等差数列. ③在等差数列{an}中每隔m项取出一项,组成一个新的数列， 它仍是等差数列. ④数列{an+bn}， 它仍是等差数列. {an-bn}， {an+c}， {kan}， {kan+mbn}， 等差数列的性质3拓展 例6 三数成等差数列，它们的和为12，首尾二数的积也为12，求此三数. 解：设这三个数分别为a-d，a，a+d, 则 (a-d)+a+(a+d)=12，即3a=12 ∴a=4 又∵ (a-d)(a+d)=12，即(4-d)(4+d)=12 解得 d=±2 ∴当d=2时，这三个数分别为2，4，6; 当d=-2时，这三个数分别为6，4，2. 二、等差数列的性质设项技巧 几个数成等差数列的设项方法与技巧 (1)当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，公差为d，利用已知条件建立方程求出a1和d，即可确定数列. (2)当已知数列有3项时，可设为a－d，a，a＋d，此时公差为d. (3)当已知数列有4项时，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，此时公差为2d. 已知三个数成等差数列,其和为15,其平方和为83,求此三个数? 三个数分别为3,5,7或7,5,3. 跟踪练习2： 典例解析 例3.某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少.经验表明，每经过一年其价值会减少d(d为正常数）万元.已知这台设备的使用年限为10年，超过10年 ，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废.请确定d的范围. 三、等差数列的实际应用 解决等差数列实际问题的基本步骤 将已知条件翻译成数学(数列)问题 构造合适的数列模型 利用数列知识解决数列问题 将所求出的结果回归为实际问题. 跟踪训练3. 我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载；一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度）.二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始.已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则说法不正确的是（ ） A．相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺 B．春分和秋分两个节气的晷长相同 C．立春的晷长与立秋的晷长相同 D．立冬的晷长为一丈五寸 跟踪训练 当堂达标 当堂检测 1.已知数列{an}是一个等差数列，且a2=11，S5=45. （1）求{an}的通项an；（2）求{an}的前n项和为Sn的最大值. 2.已知数列{an}满足an＋1＝ ，且a1＝3(n∈N*).求数列{an}的通项公式. 3.正项数列 的前n项和Sn满足： ，求数列 的通项公式 . 证明：数列 是等差数列. 1．等差数列的概念 文字语言 如果一个数列从第__项起，每一项与它的______的差都等于__________，那么这个数列就叫做等差数列，这个____叫做等差数列的公差，公差通常用字母__表示 符号语言 an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*) 2．等差中项 (1)条件：如果a，A，b成等差数列． (2)结论：那么A叫做a与b的等差中项． (3)满足的关系式是____________. 2．某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元．如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付车费________元． 1．在等差数列{an}中，若a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，则3a9－a13的值为(　　) A．20　　　　　　　　 B．30 C．40 D．50 5．已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数. 3．已知数列{an}是等差数列，若a4＋a7＋a10＝17，a4＋a5＋a6＋…＋a12＋a13＋a14＝77且ak＝13，则k＝________. 4．在首项为31，公差为－4的等差数列中，绝对值最小的项是________. $$