13.3.2 等边三角形能力提升训练 2024—2025学年人教版数学八年级上册

13.3.2 等边三角形能力提升训练人教版2024—2025学年八年级上册 【考点·方法·破译】 1．等边三角形的判定：三边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形； 2．在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半，反之也成立． 【典型例题解析】 类型一.等边三角形判定与性质 例1如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，A、C、B三点在一条直线上．AE、BD分别与CD、CE交于点M、N． (1)求证：△ACE≌△DCB; (2)求∠AFD的度数； (3)判断△CMN的形状 【变式练习】 1.如图所示，已知△ABC中，AB＝AC，∠DBC＝∠D＝60°，AE平分∠BAC，若BD＝8cm，DE＝3cm，求BC的长． 2.如图，已知△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AE＝BD，连接CE，DE．求证：EC＝ED． 3.如图，已知△ABC是等边三角形，D是边AC的中点，连接BD，EC⊥BC于点C，CE＝BD．求证：△ADE是等边三角形． 4.如图，等边△ABC中，点D在延长线上，CE平分∠ACD，且CE＝BD． 说明：△ADE是等边三角形． 5.已知：如图，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN都是等边三角形，AN交MC于点E，BM交CN于点F． （1）求证：AN＝BM； （2）求证：△CEF为等边三角形． 6.已知：如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段AD、BE的中点． （1）求证：AD＝BE； （2）求∠DOE的度数； （3）求证：△MNC是等边三角形． 7.等边△ABC，点D是直线BC上一点，以AD为边在AD的右侧作等边△ADE，连接CE． （1）如图1，若点D在线段BC上，求证：CE+CD=AB； （2）如图2，若点D在CB的延长线上，线段CE，CD，AB的数量有怎样的数量关系？请加以证明． 8.如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，∠BAD＝60°，点E为AD上一点，连接BD，CE相交于点F，CE∥AB． （1）判断△DEF的形状，并说明理由． （2）若AD＝10，CE＝8，求CF的长． 9.如图，E为等边△ABC的边AC上一点，且∠1＝∠2，CD＝BE，试判定△ADE的形状，并说明理由． 10.如图，在等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P。 （1）求∠APE的度数； （2）连接CP，若CP⊥AD，求BP：AP的值 11.如图：在△ABC中，AB＝BC＝AC，AE＝CD，AD与BE相交于点P，BQ⊥AD于Q． 求证：①△ADC≌△BEA； ②BP＝2PQ． 12.如图，△ABD和△BCD均是边长为2的等边三角形，E、F分别是AD、CD上的两个动点，且满足AE+CF＝2． （1）求证：△BDE≌△BCF； （2）判断△BEF的形状，并说明理由． 类型二.含30°角的直角三角形 例2如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分线MN平分线MN分别交BC，AB于点M，N，求证：CM=2BM 【变式练习】 13.如图，O点是直线BC上一点，∠AOB=30°，PO平分∠AOC，PM∥BC交AO于点M，MP=8cm，PD⊥OC于点D，则PD等于( ) A.7cm B.6cm C.5cm D.4cm 14.已知△ABC是等腰三角形，A为顶点，BC边上的高恰好等于BC边长的一半，则∠BAC的大小为___________________。 15.如图，在△ABC中，∠A＝∠C＝15°，AB＝5，求△ABC的面积． 16.如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AD⊥BC于D，BF平分∠ABC，交AD于E，交AC于F． （1）求证：△AEF是等边三角形； （2）求证：BE＝EF． 17．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，线段AB的垂直平分线MN交BC于D，求证：CD＝2BD． 18．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠ACB＝45°，BD⊥AC，垂足为D，点E为AB的中点，连接CE． （1）求的值； （2）求∠BEC的度数； （3）若BC＝，求AC的长． 20．在Rt△ABC中∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE是线段AB的垂直平分线． （1）求∠B的大小； （2）求证：BC＝3DC． 21．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F．求证：BF＝2CF． 22.如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，∠ABC的角平分线BE交AC于点E．点D为AB上一点，且AD＝AC，CD，BE交于点M． （1）求∠DMB的度数； （2）若CH⊥BE于点H，AB＝16，求MH的长． 类型三.构造等边三角形解题 例3如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为__________。 【变式练习】 23.如图，在等边△ABC中，AB＝6，点D，E分别在边BC，AC上，且BD＝CE，连接AD，BE交于点F，连接CF，则CF的最小值是（　　） A．2 B．3 C．2 D．2 24.如图，△ABC中AB＝AC，BC＝6，点P从点B出发沿射线BA移动，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，已知点P、Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D． （1）如图①，当点P为AB的中点时，求CD的长； （2）如图②，过点P作直线BC的垂线垂足为E，当点P、Q在移动的过程中，线段BE、DE、CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由． 25.如图，在△ABC中，∠A＝60°，AC＝12，AD＝4，点D在边AB上，且CD＝CB，过点C作CE⊥AB于点E，求BE的长度． 26.如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=80°，P在△ABC内，∠PBC=10°，∠PCB=30°，则∠PAB=． 27.已知：等边三角形ABC （1）如图1，P为等边△ABC外一点，且∠BPC=120°．试猜想线段BP、PC、AP之间的数量关系，并证明你的猜想； （2）如图2，P为等边△ABC内一点，且∠APD=120°．求证：PA+PD+PC＞BD． 28.如图，在等边△ABC中，在BC边上任意取一点P，过点P作AC的平行线，过点C做AB的平行线，两线交于点Q，如图1. （1）求证：AP=BQ （2）若点P在BC上任意运动，延长AP交BQ于点D，如图2问：AD与BD+CD之间是否存在确定的关系？若存在，请指明这个关系，并证明你的结论；若不存在，请说明理由。 学科网（北京）股份有限公司 $$