25.1随机事件与概率（分层培优提升）-【上好课】2024-2025学年九年级数学上册同步精品课堂（人教版）

25.1随机事件与概率（分层培优提升） 一、单选题 1．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·开学考试）下列事件是必然事件的是（    ） A．打开电视，正在播放奥运赛事 B．袋中只有10个球，且都是红球，任意摸出一个球是红球 C．掷一枚质地均匀的硬币正面朝上 D．2024年全年有367天 2．（23-24九年级上·全国·单元测试）一个不透明的袋中装有3个白球和若干个红球，它们只有颜色上的区别．从袋中随机摸出一个球，若摸到白球的可能性更大，则袋中红球可能有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（24-25七年级上·重庆大渡口·阶段练习）盒子中有黄球个，白球个，前次摸到球的情况为：黄、白、白、黄、白、白、黄、白、白，问第次摸到球的颜色（    ）． A．一定是黄色 B．一定是白色 C．可能是黄色，可能是白色 D．是绿色 4．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）小宁任意抛掷一枚均匀骰子，六个面上分别刻着“”的整数．抛掷一次正面朝上为2的概率为（　　） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）哥德巴赫提出“每个大于的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.在质数，，，中，随机选取一个数，是偶数的概率是（   ） A． B． C． D． 6．（2024·广东·模拟预测）数学老师要在班上开展项目式学习，他将全班同学分成7个学习小组并采用随机抽签方法确定一个小组进行展示活动，则第4个小组被抽到的概率是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）不透明袋子中装有9个球，其中有7个绿球、2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球，则它是白球的概率是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）下列四个图形中，从中任取一个是中心对称图形的概率是（   ） A． B． C． D．1 9．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）小明观察某个路口的红绿灯，发现该红绿灯的时间设置为：红灯20秒，黄灯5秒，绿灯15秒．当他下次到达该路口时，遇到绿灯的概率是（   ） A． B． C． D． 10．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）袋中有黄、白两种颜色的球共10个，这些球除颜色外完全相同．6位同学想通过摸球来推测袋中两种颜色的球的多少．他们每次摸之前都要把球摇匀，摸出一个球记下颜色后，再将球放回袋中，接着进行下一次，每人各摸10次．6人摸球的结果如下： 淘气 笑笑 奇思 妙想 聪聪 强强 黄球（次） 7 9 4 6 7 8 白球（次） 3 1 6 4 3 2 根据这6位同学的摸球结果，以下分析更合理的是（    ） A．奇思肯定记录错了，摸出黄球次数不可能比白球少 B．虽然有可能推测错误，但还是应该推测袋里黄球多 C．6位同学中有5人都是摸出黄球次数多，所以袋里一定是黄球多 D．因为摸出球的次数有时黄球多，有时白球多，所以无法判断袋里那种颜色的球多 二、填空题 11．（24-25七年级上·云南昆明·期中）某超市举办迎新春活动：凡购物者都可从一个不透明的箱子中抽出一张卡片，然后放回．箱子中放有9张红卡、6张黄卡、8张绿卡，每张卡片除颜色外其余均相同．抽到红卡得一副春联，抽到黄卡得一幅窗花，抽到绿卡得一个灯笼，购物者抽得 的可能性最大．（填“春联”，“窗花”，“灯笼”） 12．（2024·贵州遵义·模拟预测）一个不透明的口袋中有2个红球，1个黄球，个白球（小球除颜色外，其它完全相同）．随机摸出一个小球，摸出白球的概率大于，写出一个符合条件的的值为 ． 13．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）在一个不透明的箱子里装有个球，其中红球4个，这些球除颜色外都相同，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率在，那么可以估算出的值为 ． 14．（23-24八年级上·全国·单元测试）盒内有 颗黑色弹珠，颗白色弹珠，把它们搅匀后，小红和小黄各在盒内摸出 颗弹珠，请在以下事件后面的横线上填出此事件是必然事件，随机事件还是不可能事件． （）摸出颗白色弹珠属于 ； （）摸出颗白色弹珠， 颗黑色弹珠属于 ； （）摸出的颗弹珠不是黑色就是白色属于 ； （）摸出颗红色弹珠属于 ． 15．（23-24八年级上·全国·单元测试）下列事件：①在足球比赛中，弱队战胜强队；②抛掷一枚硬币，落地后正面朝上；③任取两个正整数，其和大于；④长分别为厘米、厘米、厘米的三条线段能围成一个三角形，其中是确定事件的有 个． 16．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）生活在数字时代的我们，很多场合都要用到二维码，二维码的生成原理是用特定的几何图形按编排规律在二维方向上分布，采用黑白相间的图形来记录数据的符号信息．九年级学生王东帮妈妈打印了一个收款二维码如图所示，该二维码的面积为，他在该二维码上随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在白色区域的频率稳定在0.4左右，则据此估计此二维码中黑色区域的面积为 三、解答题 17．（23-24九年级上·全国·单元测试）下列事件中，哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件？ (1)张兵买来的电影票的座位号是偶数； (2)抛出去的铅球会落在地上； (3)婴儿会骑摩托车． 18．（21-22九年级上·全国·单元测试）在一个箱子里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外都相同．问题： (1)从箱子里摸出一个球，是黑球，这属于哪一类事件，摸出一个球，是白球或者是红球，这属于哪一类事件； (2)从箱子里摸出一个球，有几种可能，它们属于哪一类事件． 19．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，转盘中8个扇形的面积都相等，任意转动转盘1次，当转盘停止转动时． (1)指针指向奇数的概率为多少？ (2)指针指向大于5的数的概率为多少？ 20．（23-24七年级下·全国·单元测试）（1）如图①是书房地板的示意图，图中每一块地砖除了颜色外是完全相同的，现任意抛掷一个乒乓球，若乒乓球最后落在某一块地砖上算一次成功的抛掷，试求所有成功抛掷中，乒乓球抛掷后停留在黑地砖上的概率是多少？ （2）请在图②中，重新设计地砖的颜色，使乒乓球最后停留在地砖上的概率为． 21．（23-24七年级下·全国·单元测试）甲、乙两人玩“石头、剪刀、布”的游戏．他们在不透明的袋子中放入形状、大小均相同的10张卡片，其中写有“石头”“剪刀”“布”的卡片张数分别为2，3，5．两人各随机摸出一张卡片（先摸者不放回）来比胜负，并约定：“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”，同种卡片不分胜负． (1)若甲先摸，则他摸到“石头”的概率是多少? (2)若甲先摸到了“石头”，则乙获胜的概率是多少? 22．（2024·安徽·模拟预测）某校为了解初三年级的近视情况，在初三年级随机抽取五个班级的学生进行调查，统计结果如表所示： 所抽取的班级 班级 班级 班级 班级 班级 总学生数 近视学生数 (1)在这五个班级随机抽取一名学生，求抽中近视学生的概率； (2)该校初三年级共有学生人，估计该校初三年级近视的学生数． 一、单选题 1．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）下列事件中，属于必然事件的是（） A．在一个装着白球和黑球的袋中摸出红球 B．若是实数，则 C．在一张纸上任意画两条线段，这两条线段相交 D．三角形三个内角的和小于 2．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）在一个不透明的布袋中装有个白球和若干个黑球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，摸到白球的概率是，则黑球的个数为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）点A、B、C在同一条直线上，点D在直线外，过A，B，C，D四个点中的任意3个点，能画出图形“圆”的概率是（   ） A． B． C． D． 4．（2024·青海西宁·一模）背面图案、形状大小都相同的四张卡片的正面分别记录着有关函数的四个结论．现将卡片背面朝上，随机抽取一张，抽到卡片上的结论正确的概率是（    ） 该函数的顶点位于第二象限 当时，随的增大而增大 与坐标轴有2个交点 若点，，在该函数图像上，则 A． B． C．1 D． 5．（23-24七年级下·全国·单元测试）有下列命题：①过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；②有两个角互余的三角形是直角三角形；③垂直于同一条直线的两条直线互相平行；④在中，若，则为直角三角形．随机抽取一个，是真命题的概率为（   ） A． B． C． D．1 6．（23-24九年级上·全国·单元测试）已知电流在一定时间段内正常通过电子元件“”的概率是；则在一定时间段内，由该元件组成的图示电路A、之间，电流能够正常通过的概率是（    ） A． B． C． D． 7．（22-23七年级下·西藏·开学考试）某超市开展“迎藏历新年”大酬宾活动，凡购物满200元者，可参与一次转盘抽奖（如图1）．德吉购买了220元的物品，她最有可能抽中（    ） A．一等奖 B．二等奖 C．三等奖 D．谢谢惠顾 8．（2024·福建莆田·模拟预测）用一张正方形纸板，制成一副七巧板，如图1．在矩形区域内将它拼成一幅“火箭”图案，如图2．若在矩形区域内随机取点，则这个点落在“火箭”图案部分的概率为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在一个不透明的盒子里有个红球和个白球，这些球除了颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，摸到白球的概率是，则的值为 ． 10．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）在地面铺满的正方形地板，现在向上抛掷半径为的圆碟，求圆碟与地板间的间隙相交的概率大约是 ． 11．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）在一个不透明的袋子中装有6个白球，m个黑球，这些球除颜色外都相同．若从袋子中随机摸出1个球，摸到白球的概率为，则m的值为 12．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）有五张正面分别标有数字，0，1，3，5的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为，则使关于的分式方程解为正数的概率为 ． 13．（22-23九年级上·四川成都·阶段练习）如果从，0，1这5个数中任取一个数记作a，则关于x的一元二次方程有实数根的概率是 ． 14．（2024·北京·模拟预测）A国是一个思想独裁的国家，它共有m个异教，因此设立了一个异教徒监狱．监狱内有n个房间，每个房间关押一位罪犯，每个罪犯属于一个异教．如果相邻房间的犯人的宗教相同，就会发生暴乱．如果异教徒监狱进入了n个犯人，如果他们的宗教完全等可能随机，采用等可能随机的方式安排罪犯的监狱，发生暴乱的概率为 15．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图是一个学生自制的七巧板飞镖游戏盘，若向游戏盘内投掷飞镖，投掷在阴影区域的概率是 ． 16．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，现分别连接大、小正方形的四组顶点得到图2的“风车”图案（阴影部分），若图1中的四个直角三角形的较长直角边为7，较短直角边为4，现随机向图2大正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为 ； 三、解答题 17．（23-24七年级下·全国·单元测试）北方有个习俗，吃年夜饭时，谁吃到包有钱币的饺子，谁就在新的一年里吉祥如意，鸿运当头．不过，有钱币的饺子只有一个，否则就不灵了．今年外婆来我家过年，她在60个饺子中的一个放了钱币，吃饺子时外婆给每人盛了15个，结果爸爸、妈妈和外婆都没有吃到钱币，被外婆称之为“宝贝”的杨晨却吃到了． 请根据上述信息，简要回答下列问题： (1)若此游戏具有公平性，吃一个饺子能吃到钱币的概率是_____；杨晨能吃到钱币的概率是_____； (2)事后杨晨了解到：之所以杨晨能吃到钱币，是因为外婆做了手脚，在此前提下，杨晨吃第一个饺子就有钱币的概率是_____，外婆做手脚的方法我猜想是______； (3)还是4个人共吃60个饺子，且只有一个有钱币，请你设计一个办法能使妈妈、外婆吃到的概率都为，方法是：________． 18．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数与轴只有一个交点． (1)求的值． (2)从，中任选一个数记做，求使二次函数的图象开口方向向上的概率． 19．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，现有一个均匀的转盘被平均分成6等份，分别标有数字2、3、4、5、6、7这六个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字． 求： (1)转动转盘，转出的数字大于3的概率是多少． (2)现有两张分别写有3和4的卡片，要随机转动转盘，转盘停止后记下转出的数字，与两张卡片上的数字分别作为三条线段的长度． ①这三条线段能构成三角形的概率是多少？ ②这三条线段能构成等腰三角形的概率是多少？ 20．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，节日期间，某商场为吸引顾客，开展购物抽奖活动：一可自由转动的圆盘被平均分成个扇形，每个扇形标有数字，顾客一次性购物每满元可免费转动圆盘一次，当圆盘自动停止时，指针所指区域数字，即为商场奖励给顾客的金额数．某顾客一次性购物元．请问： (1)他转动一次转盘获得元奖励的概率是多少？ (2)如果是你，是参加一次抽奖还是再购买元的商品参加两次次抽奖？做出你的选择并简单说明你的理由． ( 9 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 25.1随机事件与概率（分层培优提升） 一、单选题 1．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·开学考试）下列事件是必然事件的是（    ） A．打开电视，正在播放奥运赛事 B．袋中只有10个球，且都是红球，任意摸出一个球是红球 C．掷一枚质地均匀的硬币正面朝上 D．2024年全年有367天 【答案】B 【分析】本题考查事件的分类，根据一定条件下，一定会发生的事是必然事件，不一定发生的事是随机事件，一定不会发生的事是不可能事件，进行判断即可． 【详解】解：A、打开电视，正在播放奥运赛事，是随机事件，不符合题意； B、袋中只有10个球，且都是红球，任意摸出一个球是红球，是必然事件，符合题意； C、掷一枚质地均匀的硬币正面朝上，是随机事件，不符合题意； D、2024年全年有367天，是不可能事件，不符合题意； 故选B． 2．（23-24九年级上·全国·单元测试）一个不透明的袋中装有3个白球和若干个红球，它们只有颜色上的区别．从袋中随机摸出一个球，若摸到白球的可能性更大，则袋中红球可能有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查了可能性的大小，根据题意判断出白球的数量大于红球的数量是解题的关键． 根据取到白球的可能性较大可以判断出白球的数量大于红球的数量，即可求解． 【详解】解：由题意可得袋中的白球数量大于红球数量，故袋中红球的个数少于3， 故选：A 3．（24-25七年级上·重庆大渡口·阶段练习）盒子中有黄球个，白球个，前次摸到球的情况为：黄、白、白、黄、白、白、黄、白、白，问第次摸到球的颜色（    ）． A．一定是黄色 B．一定是白色 C．可能是黄色，可能是白色 D．是绿色 【答案】C 【分析】本题考查了可能性，解答的关键是根据可能性的大小和事件发生的确定性和不确定性进行解答．摸第次是一个独立事件，和前面次摸的没有关系，因为盒子中有两种颜色的球，所以摸出一个黄、白三种颜色皆有可能． 【详解】解：盒子中有黄球个，白球个，且摸球没有规律， 第次摸到的球的颜色可能是黄色，可能是白色， 故选：C． 4．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）小宁任意抛掷一枚均匀骰子，六个面上分别刻着“”的整数．抛掷一次正面朝上为2的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键，根据任意抛掷一枚均匀骰子，有6种等可能的情况，从而得出抛掷一次正面朝上为2的概率为． 【详解】解：抛掷一次正面朝上为2的概率为． 故选：D． 5．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）哥德巴赫提出“每个大于的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.在质数，，，中，随机选取一个数，是偶数的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据概率公式计算概率，熟练掌握概率公式是解题的关键． 根据题意，直接利用概率公式即可得出答案． 【详解】解：在质数，，，中，随机选取一个数，共有种等可能的结果，即：，，，， 其中，是偶数的结果共有种，即：， 在质数，，，中，随机选取一个数，是偶数的概率为：， 故选：． 6．（2024·广东·模拟预测）数学老师要在班上开展项目式学习，他将全班同学分成7个学习小组并采用随机抽签方法确定一个小组进行展示活动，则第4个小组被抽到的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了概率的知识．根据概率是所求情况数与总情况数之比，可得答案． 【详解】解：随机抽取一个小组，共有种等可能结果，抽到第4个小组的有种结果， ∴概率为， 故选：C． 7．（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）不透明袋子中装有9个球，其中有7个绿球、2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球，则它是白球的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，直接用白球的个数除以球的总数即可得到答案． 【详解】解：由题意得，它是白球的概率是， 故选：C． 8．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）下列四个图形中，从中任取一个是中心对称图形的概率是（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了中心对称图形的定义和求简单事件的概率，属于基础题型，熟练掌握中心对称图形的概念和求解的方法是解题的关键． 先根据中心对称图形的定义判断其中的中心对称图形的个数，然后利用概率公式求解即可． 【详解】解：在以上4个图形中，第2个和第4个是中心对称图形， ∵任取一个是中心对称图形的有2种情况，共有4种等可能的结果， ∴任取一个是中心对称图形的概率是：． 故选：B． 9．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）小明观察某个路口的红绿灯，发现该红绿灯的时间设置为：红灯20秒，黄灯5秒，绿灯15秒．当他下次到达该路口时，遇到绿灯的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查概率的意义以及概率求法，正确理解概率的意义是解题关键．用绿灯时间除以红绿灯时间之和，即可得到答案． 【详解】解：红灯20秒，黄灯5秒，绿灯15秒， 遇到绿灯的概率是， 故选：C． 10．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）袋中有黄、白两种颜色的球共10个，这些球除颜色外完全相同．6位同学想通过摸球来推测袋中两种颜色的球的多少．他们每次摸之前都要把球摇匀，摸出一个球记下颜色后，再将球放回袋中，接着进行下一次，每人各摸10次．6人摸球的结果如下： 淘气 笑笑 奇思 妙想 聪聪 强强 黄球（次） 7 9 4 6 7 8 白球（次） 3 1 6 4 3 2 根据这6位同学的摸球结果，以下分析更合理的是（    ） A．奇思肯定记录错了，摸出黄球次数不可能比白球少 B．虽然有可能推测错误，但还是应该推测袋里黄球多 C．6位同学中有5人都是摸出黄球次数多，所以袋里一定是黄球多 D．因为摸出球的次数有时黄球多，有时白球多，所以无法判断袋里那种颜色的球多 【答案】B 【分析】本题考查的是判断可能性大小的方法，掌握判断可能性大小的方法是解题的关键，根据判断可能性大小的方法解答． 【详解】解： A、奇思不一定记录错了，摸出黄球次数可能比白球少；原题说法错误； B、虽然有可能推测错误，但还是应该推测袋里黄球多；原题说法正确； C、6位同学中有5人都是摸出的黄球次数多，所以袋里可能是黄球多；原题说法错误； D、因为摸出球的次数有时黄球多，有时白球多，但是总体来说摸出的黄球次数多，所以袋里可能是黄球多；原题说法错误． 故选：B． 二、填空题 11．（24-25七年级上·云南昆明·期中）某超市举办迎新春活动：凡购物者都可从一个不透明的箱子中抽出一张卡片，然后放回．箱子中放有9张红卡、6张黄卡、8张绿卡，每张卡片除颜色外其余均相同．抽到红卡得一副春联，抽到黄卡得一幅窗花，抽到绿卡得一个灯笼，购物者抽得 的可能性最大．（填“春联”，“窗花”，“灯笼”） 【答案】春联 【分析】本题考查了可能性大小，根据红卡数量最多，即可求解． 【详解】解：红卡数量最多，依题意，购物者抽得春联的可能性最大． 故答案为：春联． 12．（2024·贵州遵义·模拟预测）一个不透明的口袋中有2个红球，1个黄球，个白球（小球除颜色外，其它完全相同）．随机摸出一个小球，摸出白球的概率大于，写出一个符合条件的的值为 ． 【答案】4（答案不唯一） 【分析】本题考查了概率公式计算概率，解题关键是熟练运用概率公式计算．根据概率公式得出不等式，求出的范围即可． 【详解】解：由题意可得：，是正整数， 解得：， 则取； 故答案为：4（答案不唯一）． 13．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）在一个不透明的箱子里装有个球，其中红球4个，这些球除颜色外都相同，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率在，那么可以估算出的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，已知概率求数量，解答此题的关键是利用红球的个数除以总数等于频率．在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，根据红球的个数除以总数等于频率，求解即可． 【详解】解：∵大量重复试验后发现，摸到红球的频率在， ∴任意摸出一个球，摸到红球的概率为， ∴， ∴．经检验符合题意； 故答案为：． 14．（23-24八年级上·全国·单元测试）盒内有 颗黑色弹珠，颗白色弹珠，把它们搅匀后，小红和小黄各在盒内摸出 颗弹珠，请在以下事件后面的横线上填出此事件是必然事件，随机事件还是不可能事件． （）摸出颗白色弹珠属于 ； （）摸出颗白色弹珠， 颗黑色弹珠属于 ； （）摸出的颗弹珠不是黑色就是白色属于 ； （）摸出颗红色弹珠属于 ． 【答案】 随机事件 随机事件 必然事件 不可能事件 【分析】本题考查事件类型的判定，掌握随机事件、必然事件和不可能事件的定义是关键． 随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；不可能事件：在一定条件下不发生的事件；必然事件：在一定条件必发生的事件，据此求解即可． 【详解】解：因为盒内有 颗黑色弹珠和 颗白色弹珠，所以摸出的弹珠不是黑色就是白色，故（）属于必然事件； 盒中共有 颗弹珠，只摸出 颗，可能会出现（）和（）的情况，故（）和（）属于随机事件； 盒内只有黑，白两种颜色的弹珠，不可能摸出红色弹珠，故（）属于不可能事件． 故答案为：随机事件，随机事件，必然事件，不可能事件． 15．（23-24八年级上·全国·单元测试）下列事件：①在足球比赛中，弱队战胜强队；②抛掷一枚硬币，落地后正面朝上；③任取两个正整数，其和大于；④长分别为厘米、厘米、厘米的三条线段能围成一个三角形，其中是确定事件的有 个． 【答案】 【分析】本题考查确定事件和随机事件的概念．熟练应用确定事件和随机事件的概念进行判断是解题的关键．根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行判断即可． 【详解】解：①在足球比赛中，弱队战胜强队，此事件为随机事件． ②抛掷一枚硬币，落地后正面朝上，此事件为随机事件． ③任取两个正整数，其和大于1，此事件为必然事件，为确定事件． ④长分别为3厘米、5厘米、9厘米的三条线段能围成一个三角形，此事件不可能发生，为确定事件． ∴其中是确定事件的有2个． 故答案为：2． 16．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）生活在数字时代的我们，很多场合都要用到二维码，二维码的生成原理是用特定的几何图形按编排规律在二维方向上分布，采用黑白相间的图形来记录数据的符号信息．九年级学生王东帮妈妈打印了一个收款二维码如图所示，该二维码的面积为，他在该二维码上随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在白色区域的频率稳定在0.4左右，则据此估计此二维码中黑色区域的面积为 【答案】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是掌握概率公式．用总面积乘以落入黑色部分的频率稳定值即可． 【详解】解：经过大量重复试验，发现点落在白色区域的频率稳定在0.4左右 则 ∴点落入黑色部分的频率稳定在左右， 据此可以估计黑色部分的面积为． 故答案为：． 三、解答题 17．（23-24九年级上·全国·单元测试）下列事件中，哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件？ (1)张兵买来的电影票的座位号是偶数； (2)抛出去的铅球会落在地上； (3)婴儿会骑摩托车． 【答案】(1)是随机事件 (2)是必然事件 (3)是不可能事件 【分析】本题考查事件的分类，掌握随机事件，必然事件，不可能事件的定义是解题的关键． （1）根据相关定义判断即可； （2）根据相关定义判断即可； （3）根据相关定义判断即可． 【详解】（1）解：张兵买来的电影票的座位号是偶数，也可能是奇数，是随机事件； （2）解：抛出去的铅球一定会落在地上，是必然事件； （3）解：婴儿会骑摩托车，是不可能事件． 18．（21-22九年级上·全国·单元测试）在一个箱子里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外都相同．问题： (1)从箱子里摸出一个球，是黑球，这属于哪一类事件，摸出一个球，是白球或者是红球，这属于哪一类事件； (2)从箱子里摸出一个球，有几种可能，它们属于哪一类事件． 【答案】(1)从箱子里摸出一个球，是黑球是不可能事件；摸出一个球，是白球或者红球，这属于随机事件 (2)从箱子里摸出一个球，有两种可能，有可能是白球，也有可能是红球，它们是随机事件 【分析】本题考查了随机事件，不可能事件，正确的理解题意是解题的关键． （1）由不可能事件与随机事件的定义，即可求得答案． （2）根据摸球的结果有红球和白球，再结合随机事件的概念可得答案； 【详解】（1）解：箱子中不含黑球，只含红球和白球，故从箱子里摸出一个球，是黑球是不可能事件 摸出一个球，是白球或者红球，这属于随机事件； （2）解：从箱子里摸出一个球，有两种可能，有可能是白球，也有可能是红球，它们是随机事件． 19．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，转盘中8个扇形的面积都相等，任意转动转盘1次，当转盘停止转动时． (1)指针指向奇数的概率为多少？ (2)指针指向大于5的数的概率为多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）指针指向奇数的有4个，再除以总数8即可； （2）指针指向大于6的数有3个，再除以总数8即可． 【详解】（1）解：∵8个扇形中奇数有1，3，5，7共4个， ∴指针指向奇数的概率为； （2）解：∵8个扇形中大于5的数有6，7和8，共3个， ∴指针指向大于5的数的概率为． 20．（23-24七年级下·全国·单元测试）（1）如图①是书房地板的示意图，图中每一块地砖除了颜色外是完全相同的，现任意抛掷一个乒乓球，若乒乓球最后落在某一块地砖上算一次成功的抛掷，试求所有成功抛掷中，乒乓球抛掷后停留在黑地砖上的概率是多少？ （2）请在图②中，重新设计地砖的颜色，使乒乓球最后停留在地砖上的概率为． 【答案】（1）；（2）见解析 【分析】本题考查几何中概率的求法，熟练掌握“几何概率相应的面积与总面积之比”是解题的关键． （1）先确定黑色方砖的面积在整个地板中占的比例，这个比例即为出乒乓球停留在黑色方砖上的概率； （2）乒乓球最后停留在黑色地砖上的概率为，则只需黑色块即可． 【详解】解：（1）由图可知共有方砖块，黑色方砖为块， 则乒乓球停留在黑色方砖上的概率是； （2）因为乒乓球最后停留在黑色地砖上的概率为， 所以黑色地砖共有（块）， 画图如下（不唯一）： 21．（23-24七年级下·全国·单元测试）甲、乙两人玩“石头、剪刀、布”的游戏．他们在不透明的袋子中放入形状、大小均相同的10张卡片，其中写有“石头”“剪刀”“布”的卡片张数分别为2，3，5．两人各随机摸出一张卡片（先摸者不放回）来比胜负，并约定：“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”，同种卡片不分胜负． (1)若甲先摸，则他摸到“石头”的概率是多少? (2)若甲先摸到了“石头”，则乙获胜的概率是多少? 【答案】(1)甲摸到“石头”的概率为 (2)乙获胜的概率为 【分析】本题考查了简单的概率计算； （1）共有10张卡片，其中2张上写有“石头”，直接利用概率公式求解即可； （2）若甲先摸出“石头”，则还剩下9张卡片，乙需要摸到“布”，据此根据概率公式求解即可． 【详解】（1）甲摸到“石头”的概率为 （2）因为甲先摸到了“石头”，又要乙获胜，所以乙必须摸到“布”，所以乙获胜的概率为 22．（2024·安徽·模拟预测）某校为了解初三年级的近视情况，在初三年级随机抽取五个班级的学生进行调查，统计结果如表所示： 所抽取的班级 班级 班级 班级 班级 班级 总学生数 近视学生数 (1)在这五个班级随机抽取一名学生，求抽中近视学生的概率； (2)该校初三年级共有学生人，估计该校初三年级近视的学生数． 【答案】(1) (2)378人 【分析】本题考查了概率公式、统计表、样本估计总体等知识；熟练掌握概率公式是解题的关键． （1）由概率公式求解即可； （2）由该校初三年级总人数乘以该校初三年级近视的概率即可． 【详解】（1）解：这五个班级的学生中随机抽取一名学生，抽中近视的学生为事件A， 则； （2）解：（人）， 即估计该校初三年级近视的学生为人． 一、单选题 1．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）下列事件中，属于必然事件的是（） A．在一个装着白球和黑球的袋中摸出红球 B．若是实数，则 C．在一张纸上任意画两条线段，这两条线段相交 D．三角形三个内角的和小于 【答案】B 【分析】本题考查了随机事件，必然事件，不可能事件，根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点判断即可，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键． 【详解】解：A、在一个只装有白球和黑球的袋中摸出红球，这是不可能事件，故选项不符合题意； B、若是实数，则，这是必然事件，故选项符合题意； C、在一张纸上任意画两条线段，这两条线段相交，这是随机事件，故选项不符合题意； D、一个三角形三个内角的和小于，这是不可能事件，故选项不符合题意； 故选：B． 2．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）在一个不透明的布袋中装有个白球和若干个黑球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，摸到白球的概率是，则黑球的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查概率计算公式，根据题意计算出球的总数量是解题的关键． 先用求出球的总数量为，然后再减去白球的个数即可求出黑球的个数． 【详解】解：球的总数为：（个）， 黑球的个数为：（个）， 故选：C． 3．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）点A、B、C在同一条直线上，点D在直线外，过A，B，C，D四个点中的任意3个点，能画出图形“圆”的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查确定圆的条件和概率公式，先确定四点中，每三点一组，可分为4组，而能画出圆的有3组，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：四点中，每三点一组，共有；；；四种情况， 而能画出圆的是；；三种情况， ∴画出图形“圆”的概率是， 故选：B 4．（2024·青海西宁·一模）背面图案、形状大小都相同的四张卡片的正面分别记录着有关函数的四个结论．现将卡片背面朝上，随机抽取一张，抽到卡片上的结论正确的概率是（    ） 该函数的顶点位于第二象限 当时，随的增大而增大 与坐标轴有2个交点 若点，，在该函数图像上，则 A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查了概率公式及二次函数的性质，利用二次函数确定正确的结论，然后利用概率公式求解即可． 【详解】解：，且 ∴抛物线开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线， ∴该函数的顶点位于第一象限，当时，随的增大而增大，与坐标轴有3个交点， ∵点，，在该函数图像上， ∴， ∴四张卡片中有张卡片是正确的， ∴随机抽取一张，抽到卡片上的结论正确的概率是， 故选：D 5．（23-24七年级下·全国·单元测试）有下列命题：①过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；②有两个角互余的三角形是直角三角形；③垂直于同一条直线的两条直线互相平行；④在中，若，则为直角三角形．随机抽取一个，是真命题的概率为（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查命题与定理，概率公式等知识．首先判断各个命题是真假，再利用概率公式计算即可． 【详解】解：①过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，是真命题； ②有两个角互余的三角形是直角三角形，是真命题； ③在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，原命题是假命题； ④在中，若，∵， ∴， ∴， ∴不是直角三角形，原命题是假命题． 随机抽取一个，是真命题的概率是， 故选：B． 6．（23-24九年级上·全国·单元测试）已知电流在一定时间段内正常通过电子元件“”的概率是；则在一定时间段内，由该元件组成的图示电路A、之间，电流能够正常通过的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等可能事件的概率，解题的关键是理解两个电子元件只要有一个能正常通过，电路A、B之间电流能够正常通过．根据电流能正常通过的概率电流不能正常通过的概率，即可解题． 【详解】 解：电流在一定时间段内正常通过电子元件“”的概率是， 电流不能正常通过电子元件“”的概率也是是， 由图可知：两个电子元件“”同时不正常运行即电流不能正常通过的概率为：，图中电流能够正常通过的概率是， 故选：A． 7．（22-23七年级下·西藏·开学考试）某超市开展“迎藏历新年”大酬宾活动，凡购物满200元者，可参与一次转盘抽奖（如图1）．德吉购买了220元的物品，她最有可能抽中（    ） A．一等奖 B．二等奖 C．三等奖 D．谢谢惠顾 【答案】C 【分析】本题主要考查可能性的大小，理解面积大的转到的可能性就大是解题的关键．根据图示发现三等奖所占面积最大即可得到答案． 【详解】解：根据图示发现三等奖所占面积最大， 故她最有可能抽中三等奖． 故选C． 8．（2024·福建莆田·模拟预测）用一张正方形纸板，制成一副七巧板，如图1．在矩形区域内将它拼成一幅“火箭”图案，如图2．若在矩形区域内随机取点，则这个点落在“火箭”图案部分的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率． 根据几何概率的求法即可得出答案． 【详解】解：设①的面积为， 则一副七巧板的面积为，正方形纸板的边长为， 则矩形区域面积为， ∴若在矩形区域内随机取点，则这个点落在“火箭”图案部分的概率为． 故选：A． 二、填空题 9．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在一个不透明的盒子里有个红球和个白球，这些球除了颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，摸到白球的概率是，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用概率计算公式求数量，根据概率计算公式可得，解方程即可求解，掌握概率计算公式是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解， 故答案为：． 10．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）在地面铺满的正方形地板，现在向上抛掷半径为的圆碟，求圆碟与地板间的间隙相交的概率大约是 ． 【答案】 【分析】本题考查了几何概率的知识，根据题意可得圆心应该落在边长为的正方形内部，就不会与地板的间隙相交，然后根据概率公式即可求解，熟练掌握概率公式解题的关键． 【详解】∵正方形地板的面积为，圆碟与地板间的间隙不相交， ∴圆碟的圆心距离边框的距离大于4厘米， ∴圆心应该落在边长为的正方形内部，就不会与地板的间隙相交， ∴圆碟与地板间的间隙不相交的概率大约是， ∴圆碟与地板间的间隙相交的概率是， 故答案为：． 11．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）在一个不透明的袋子中装有6个白球，m个黑球，这些球除颜色外都相同．若从袋子中随机摸出1个球，摸到白球的概率为，则m的值为 【答案】12 【分析】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．摸到白球的概率为，利用概率公式建立关于m的方程，解之可得． 【详解】解：根据题意，得：， 解得， 经检验：是分式方程的解， 故答案为：12． 12．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）有五张正面分别标有数字，0，1，3，5的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为，则使关于的分式方程解为正数的概率为 ． 【答案】 【分析】此题考查解分式方程，根据分式方程的整数解求参数，概率的计算公式，正确求出分式方程的整数解得到a的值是解题的关键．去分母求出方程的解，根据分式方程有正数解及分母不等于零求出a的值，再根据概率公式计算得出答案． 【详解】解： 去分母得：， 当时， 解得：， ∵， ∴， ∴， 若为正数，则， ∴， ∴或0， ∴方程有正数解的概率为：． 故答案为： 13．（22-23九年级上·四川成都·阶段练习）如果从，0，1这5个数中任取一个数记作a，则关于x的一元二次方程有实数根的概率是 ． 【答案】 【分析】根据关于x的一元二次方程有实数根，得到且，得出关于a的不等式，据此可解决问题． 本题主要考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴且， 解得且， 故， 一共有5种可能性，符合题意的有1种可能性， 故关于x的一元二次方程有实数根的概率是． 故答案为：． 14．（2024·北京·模拟预测）A国是一个思想独裁的国家，它共有m个异教，因此设立了一个异教徒监狱．监狱内有n个房间，每个房间关押一位罪犯，每个罪犯属于一个异教．如果相邻房间的犯人的宗教相同，就会发生暴乱．如果异教徒监狱进入了n个犯人，如果他们的宗教完全等可能随机，采用等可能随机的方式安排罪犯的监狱，发生暴乱的概率为 【答案】 【分析】本题考查了概率问题，解题的关键是利用间接法来求解，先求出不发生暴乱的概率，再求解发生暴乱的概率． 【详解】解：有个房间和个不同的异教， 所以每个房间有种选择，共有种不同的安排方式， 先考虑不会发生暴乱的情况， 第一个房间有种选择，第二个房间有种，第三个房间有种，第四个房间有种，以此类推，不会发生暴乱的情况有， 故不会发生暴乱的概率为：， 故发生暴乱的概率为：， 故答案为：． 15．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图是一个学生自制的七巧板飞镖游戏盘，若向游戏盘内投掷飞镖，投掷在阴影区域的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了几何概率，确定阴影部分占整体的份数成为解题的关键． 先作辅助线把正方形分成若干等份以及阴影部分的份数，然后运用概率公式计算即可． 【详解】解：如图：作辅助线可将正方形分成16等份，其中阴影部分占6份，则投掷在阴影区域的概率是． 故答案为：． 16．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，现分别连接大、小正方形的四组顶点得到图2的“风车”图案（阴影部分），若图1中的四个直角三角形的较长直角边为7，较短直角边为4，现随机向图2大正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为 ； 【答案】 【分析】此题主要考查了几何概率及勾股定理，用到的知识点为：概率相应的面积与总面积之比．根据题意易得，则图中阴影部分是由中间的小正方形和四个全等三角形组成的，利用三角形和正方形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图， 由题意可知，，， ∴， ， 则中间小正方形的面积为， 小正方形的外阴影部分的， 阴影部分的面积为， 针尖落在阴影区域的概率为． 故答案为：． 三、解答题 17．（23-24七年级下·全国·单元测试）北方有个习俗，吃年夜饭时，谁吃到包有钱币的饺子，谁就在新的一年里吉祥如意，鸿运当头．不过，有钱币的饺子只有一个，否则就不灵了．今年外婆来我家过年，她在60个饺子中的一个放了钱币，吃饺子时外婆给每人盛了15个，结果爸爸、妈妈和外婆都没有吃到钱币，被外婆称之为“宝贝”的杨晨却吃到了． 请根据上述信息，简要回答下列问题： (1)若此游戏具有公平性，吃一个饺子能吃到钱币的概率是_____；杨晨能吃到钱币的概率是_____； (2)事后杨晨了解到：之所以杨晨能吃到钱币，是因为外婆做了手脚，在此前提下，杨晨吃第一个饺子就有钱币的概率是_____，外婆做手脚的方法我猜想是______； (3)还是4个人共吃60个饺子，且只有一个有钱币，请你设计一个办法能使妈妈、外婆吃到的概率都为，方法是：________． 【答案】(1)， (2)，作记号或分开煮后再盛 (3)给妈妈和外婆每人盛个饺子 【分析】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． （1）根据概率公式计算即可得出答案； （2）根据概率公式计算即可得出答案； （3）根据概率公式结合题意即可得出答案． 【详解】（1）解：若此游戏具有公平性，吃一个饺子能吃到钱币的概率是；杨晨能吃到钱币的概率是； （2）解：事后杨晨了解到：之所以杨晨能吃到钱币，是因为外婆做了手脚，在此前提下，杨晨吃第一个饺子就有钱币的概率是，外婆做手脚的方法我猜想是作记号或分开煮后再盛； （3）解：还是4个人共吃60个饺子，且只有一个有钱币，使妈妈、外婆吃到的概率都为，方法是：给妈妈和外婆每人盛个饺子． 18．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数与轴只有一个交点． (1)求的值． (2)从，中任选一个数记做，求使二次函数的图象开口方向向上的概率． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查二次函数的知识，解题的关键是掌握二次函数与一元二次方程的结合，二次函数根的判别式，简单概率的计算，即可． （1）根据题意，二次函数与轴只有一个交点，则，解出，即可； （2）根据（1）所求的值，根据二次函数图象开口方向向上，则，进行解答，即可． 【详解】（1）解：∵二次函数与轴只有一个交点 ∴有两个相等的实数根 ∴ 解得：或． （2）解：由（1）得或， ∴当时，；； 当时，；； ∴，对应值为，，，； ∵二次函数的图象开口方向向上， ∴， ∴二次函数的图象开口方向向上的概率为：． 19．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，现有一个均匀的转盘被平均分成6等份，分别标有数字2、3、4、5、6、7这六个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字． 求： (1)转动转盘，转出的数字大于3的概率是多少． (2)现有两张分别写有3和4的卡片，要随机转动转盘，转盘停止后记下转出的数字，与两张卡片上的数字分别作为三条线段的长度． ①这三条线段能构成三角形的概率是多少？ ②这三条线段能构成等腰三角形的概率是多少？ 【答案】(1)； (2)①；②． 【分析】本题主要考查概率公式的运用及三角形三边间的关系、等腰三角形的判定，熟练掌握三角形三边之间的关系和等腰三角形的判定是解题的关键． （1）转盘被平均分成6等份，转到每个数字的可能性相等，共有6种可能结果，大于3的结果有4种，由概率公式可得； （2）①转盘被平均分成6等份，转到每个数字的可能性相等，共有6种可能结果，能够成三角形的结果有5种，由概率公式可得； ②转盘被平均分成6等份，转到每个数字的可能性相等，共有6种可能结果，能够成等腰三角形的结果有2种，由概率公式可得． 【详解】（1）解：转盘被平均分成6等份，转到每个数字的可能性相等，共有6种可能结果，大于3的结果有4种， ∴转出的数字大于3的概率是； （2）解：①设第三边长为，则即， ∴转盘被平均分成6等份，转到每个数字的可能性相等，共有6种可能结果，能够成三角形的结果有5种， ∴这三条线段能构成三角形的概率是； ②转盘被平均分成6等份，转到每个数字的可能性相等，共有6种可能结果，能够成等腰三角形的结果有2种， ∴这三条线段能构成等腰三角形的概率是． 20．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，节日期间，某商场为吸引顾客，开展购物抽奖活动：一可自由转动的圆盘被平均分成个扇形，每个扇形标有数字，顾客一次性购物每满元可免费转动圆盘一次，当圆盘自动停止时，指针所指区域数字，即为商场奖励给顾客的金额数．某顾客一次性购物元．请问： (1)他转动一次转盘获得元奖励的概率是多少？ (2)如果是你，是参加一次抽奖还是再购买元的商品参加两次次抽奖？做出你的选择并简单说明你的理由． 【答案】(1) (2)如果是我，我会选再购买元的商品参加两次次抽奖，理由见解析 【分析】本题考查了概率公式的应用及加权平均数，概率所求情况数与总情况数之比．熟练掌握概率公式是解题关键． （1）直接利用概率公式求解即可； （2）分别算出一次抽奖和两次抽奖获奖平均金额与付出资金的比，比较即可求得答案． 【详解】（1）解：转盘被等分成个扇形，所以每种结果出现的可能性相同，共有种等可能的结果．其中获得元奖励的占了份． ∴ （2）解：如果是我，我会选再购买元的商品参加两次次抽奖，理由如下： ∵转盘被等分成个扇形，所以每种结果出现的可能性相同，共有种等可能的结果．其中获得元奖励的占了份，获得元奖励的占了份，获得元奖励的占了份，获得元奖励的占了份，获得元奖励的占了份． ∴，，，，， ∴抽一次平均获得奖励元， ∴不再购买元获奖金额与付出资金比为，再购买元获奖金额与付出资金比为， ∵， ∴如果是我，我会选再购买元的商品参加两次次抽奖 ( 24 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$