江西省上高二中2024-2025学年高二上学期11月月考数学试卷

高二年级数学月考试卷2024.11.3 一．单选题（5分×8=40分） 1．已知是关于x的方程的一个根，aϵ R，bϵ R.则（    ） A．0 B．2 C．1 D．4 2．已知直线和直线，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．设是虚数单位，是复数的共轭复数，若，则= A． B． C． D． 4．已知点， 若直线与线段 相交，则a的取值范围是（  ） A． B． C． D． 5．若点在直线上，则点到点的距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在直三棱柱中，，点为侧棱上的动点．当最小时，三棱锥的体积为（    ） A．1 B． C． D． 7．如图，在四棱锥中，底面为菱形，底面，为对角线与的交点，若，则三棱锥的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 8．如图，若P是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则下列结论正确的是（    ） A．当P在平面内运动时，四棱锥的体积变化 B．当P在线段上运动时，与所成角的取值范围是 C．使直线与平面所成的角为45°的点P的轨迹长度为 D．若F是棱的中点，当P在底面内运动，且满足平面时，长度的最小值是 二．多选题（6分×3=18分） 9．下列结论正确的有（    ） A．直线恒过定点 B．直线的倾斜角的取值范围是 C．经过点，的直线方程均可用表示 D．直线和都经过点，则过两点，的直线方程为 10．下面四个结论正确的是（   ） A．已知向量，，若，则为钝角 B．已知，，则向量在向量上的投影向量是 C．若直线经过第三象限，则， D．已知，，三点不共线，对于空间任意一点，若，则，，，四点共面 11．在正三棱柱中，，点满足，则下列说法正确的是（    ） A．当时，点在棱上 B．当时，点到平面的距离为定值 C．当时，点在以的中点为端点的线段上 D．当时，平面 三．填空题（5分×3=15分） 12．已知直线经过点，且在轴上的截距是在轴上截距的两倍，则直线的方程为 ． 13．过定点且倾斜角是直线倾斜角的两倍的直线方程为 . 14．已知矩形，，，沿对角线将折起，使得，则二面角的余弦值是 四．解答题（13分+15分+15分+17分+17分=77分） 15（13分）．（1）经过点，且与直线垂直的直线一般式方程.（4分） （2）求过点，且与直线平行的直线的一般式方程；（4分） （3）求过点，且在轴上的截距与在轴上的截距之和为2的直线斜率.（5分） 16（15分）．已知一条动直线， (1)求直线恒过的定点的坐标；（4分） (2)若直线不经过第二象限，求m的取值范围；（4分） (3)若直线与x、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，的面积为6，求直线的方程.（7分） 17（15分）．如图，在三棱柱中，平面，为线段上的一点． (1)求证:平面；（4分） (2)求直线与直线所成角的余弦值；（4分） (3)若直线与平面所成角为，求点到平面的距离．（7分） 18（17分）．如图，在四棱锥中，平面，与底面所成角为，四边形是梯形，．   (1)证明：平面平面；（5分） (2)若点T是的中点，点M是的中点，求点P到平面的距离．（5分） (3)点是线段上的动点，上是否存在一点M，使平面，若存在，求出M点坐标，若不存在，请说明理由．（7分） 19（17分）．如图1，是边长为3的等边三角形，点、分别在线段、上，，，沿将折起到的位置，使得，如图2．   (1)求证：平面平面；（5分） (2)若点在线段上，且，，求直线与平面所成角的正弦值；（5分） (3)在（2）的条件下，判断线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．（7分） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A A D B C B D ACD BD 题号 11 答案 BCD 3．A 【详解】令， 由即所以 5．B 【详解】由已知，设关于直线的对称点为， 则解得，即， 所以． 6．C 【详解】将直三棱柱展开成矩形， 如下图，连接，交于，此时最小， ∵，则，而， 由且都在面，则面， 又，则面，即面， 点为侧棱上的动点，当最小时，即，得， 又为直角三角形，此时三棱锥的体积为： . 故选：C 7．B 【详解】 因为底面，底面，即， 根据题意可知为等边三角形，为直角三角形， 而， 则， 取的中点，连接，所以， 易知，则， 所以三棱锥的外接球的球心为F， ， ∴该外接球的体积为. 8．D 【详解】对于A，因为底面正方形的面积不变，点P到平面的距离为正方体棱长， 所以四棱锥的体积不变，故A错误； 对于B，如图①，以D为坐标原点，，，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系， 可得，，.设，， 则，. 设直线与所成角为θ，则， 因为，当时，可得，所以； 当时，，所以， 所以异面直线与所成角的取值范围是，所以B错误； 对于C，已知直线与平面所成的角为45°，若点P在平面和平面内， 因为，最大，点P仅在点；若点P在平面内， 则点P的轨迹长度是；若点P在平面内，则点P的轨迹长度是； 若点P在平面内，作平面，如图②所示， 因为，所以. 因为，所以，所以， 所以点P的轨迹是以点A1为圆心，以2为半径的四分之一圆， 所以点P的轨迹长度为. 综上，点P的轨迹总长度为，故C错误； 对于D，如图③，由前面建系得，，，， 设，，， 则，，. 设平面的法向量为， 则，令，则，所以. 因为平面，所以，可得， 所以， 当时，等号成立，故D正确． 9．ACD 【详解】对于A，直线，即，直线恒过定点，故A正确； 对于B，直线的斜率，设直线的倾斜角为，则,所以，故B错误； 对于C，经过点，的直线方程均可用表示，故C正确； 对于D，直线和都经过点，则 所以点，的直线方程为上，故D正确. 故选：ACD. 10．BD 【详解】对于A，当时，，，， 此时为，故A错误； 对于B，向量在向量上的投影向量为，故B正确； 对于C，令，则直线为，且经过第三象限， 但此时，故C错误； 对于D，因为，， 所以由向量共面定理的推论可得，，，四点共面，故D正确； 故选：BD. 11．BCD 【详解】对于A，当时，， 又，所以即，又， 所以三点共线，故点在上，故A错误； 对于B，当时，， 又，所以即，又， 所以三点共线，故点在棱上， 由三棱柱性质可得平面，所以点到平面的距离为定值，故B正确； 对于C，当时，取的中点的中点， 所以且，，即， 所以即，又， 所以三点共线，故在线段上，故C正确； 对于D，当时，点为的中点，连接， 由题为正三角形，所以，又由正三棱柱性质可知， 因为，平面，所以平面， 又平面，所以， 因为，所以，又， 所以，所以， 所以， 设与相交于点O，则，即， 又，平面， 所以平面，因为平面， 所以，由正方形性质可知， 又，平面， 所以平面，故D正确. 12．或 【详解】因为直线经过点，且在轴上的截距是在轴上截距的两倍， 当截距为时，斜率为，此时直线方程为，即， 当截距不为时，由题可设直线方程为，又直线过点， 所以，得到，故直线方程为，即， 故答案为：或. 13． 【详解】直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，可得， 即可得，所以所求直线的斜率为， 所求直线方程为，即， 故答案为：. 14．/-0.5 【详解】过和分别作，， ，， ， ， ， 则，即， ， ， ， ， 二面角的余弦值为， 15．（1）；（2）；（3）或. 【详解】（1）设与直线垂直的直线方程为，又该直线过点， 则，解得， 所以所求直线方程为. （2）设与直线平行的直线方程为， 又该直线过点，则，解得， 所以所求直线方程为. （3）显然直线不过原点，设其方程为，则， 整理得，即，因此，解得， 而直线，即，其斜率为， 所以所求直线的斜率为或. 16．(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意， 整理得，所以不管取何值时， 直线恒过定点的坐标满足方程组，解得， 即 （2）由上问可知直线恒过定点，当，直线斜率不存在时， 此时直线是，显然满足题意； 当时，由直线不经过第二象限，直线与轴有交点时， 则纵截距小于或等于零即可，令，则， 即 ，解得； 综上所述： （3）设直线方程为，则， 由直线恒过定点，得， 由整理得：， 解得或， 所以直线方程为：或， 即或， 又直线的斜率， 所以不合题意， 则直线方程为. 17．(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）连接，由三棱柱性质可得平面平面， 又平面，故平面； （2）因为平面，平面， 所以，而， 故两两垂直， 故可建立如图所示的空间直角坐标系： 则， 连接，则， 由，故， 故直线与直线所成角的余弦值为； （3）设，，则， 设平面的法向量为， 有，令，则，， 即， 因为直线与平面所成角为， 所以， 解得，即，因为， 所以点到平面的距离为. 18．(1)证明过程见解析 (2) (3) 【详解】（1）由平面，平面，平面， 得，， 与底面所成角为 ． 所以三角形 为等腰直角三角形， ． 又由四边形是直角梯形，，可知， 所以为等腰直角三角形，而，故． 在直角梯形中，过C作，垂足为E，则四边形为正方形， 可知 ． 所以 ，在等腰直角三角形 中，． 则有，所以． 又因为，，平面 ，平面． 所以平面．因为平面 ，所以平面平面． （2）以A为坐标原点，分别以所在的直线为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．    则，，，，． 因为T是 的中点，点M是 的中点，所以，． 设平面 的法向量为，，， 则 ，得 ， 取 ，则 ，得平面的一个法向量为， 而,所以点P到平面的距离为． （3）设，注意到， 所以，所以， 设，注意到， 所以， 因为，，所以， 若平面， 则当且仅当，即当且仅当， 此时， 综上所述，当且仅当重合，此时存在，使平面. 19．(1)证明见解析 (2) (3)存在，． 【详解】（1）证明：在中，，，， 由余弦定理得， ∴， ∴． 在中，，，， ∴， ∴． ∵，、平面， ∴平面． 又平面， ∴平面平面． （2）设点到平面的距离为， 由题意得，，，， ∴， ∴，， 由可得， ，解得， 设直线与平面所成角为，又因为， 所以， 故直线与平面所成角的正弦值为． （3）在线段上存在点，使得平面且, 证明如下：是边长为3的等边三角形，且， 故，为等边三角形， 在平面内，， ∴，    又平面，平面， ∴平面； 在平面内，，， ∴． 又平面，平面， ∴平面， 又， ∴平面平面，又平面， ∴平面． ∴在线段上存在点，使得平面且． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$