2024-2025学年湘教版九年级数学上册第四章锐角三角函数导学案

九年级 数学 新授课 第4章 第 1 课时，总第_____课时 主备： 课题： 4.1.1正弦 素养目标 1.引导学生理解锐角三角函数中正弦的概念及其与现实生活的联系； 2.引导学生在直角三角形中求出某个锐角的正弦值，并进行简单计算； 3.引导学生勇于探索发现，在学习过程中养成仔细观察、认真思考的好习惯。 重点：正弦的定义，根据正弦定义求锐角的正弦值、30º角的正弦值 难点：探求在一个锐角等于a的所有直角三角形中，角a的对边与斜边的比值是一个常数的过程。 导学流程及学习内容 方法指导或行为提示 1、 目标导学 1. 视频导入 播放益阳市斗魁塔视频，亲近家乡的旅游文化。 2.下图是益阳市斗魁塔的实景图，你能用什么方法测出该塔的高度呢？说说你的想法。 除此之外，还有其它方法吗？ 今天我们一起走进锐角三角函数的第一课——正弦。 【明确目标】 这一节课的学习目标是：（教师或学生解读学习目标｝ 二、新知探究 （一）自学自研 【阅读教材P109——P110】，尝试完成下列探究： 探究一：角 的对边与斜边的比值是常量 拿出作图工具，画一画： 1. 画一个含有65度角的直角三角形并完成下表： 2. 教师：尺规作图画出一个角是65度的直角三角形，测量出这个角的对比、斜边的边长，求出它们的比值。 把这些角换成任一个锐角，则这个锐角的对边与斜边的比值是否也是一个常数？ 猜想 。 探究二：论证角 的对边与斜边的比值是固定的 证明：如右图,在△ABC和△A′B′C′中,∠C＝∠C′=90º,∠A＝∠A′= ,求证： 证明： 结论是： （1）事实：在一个锐角等于的所有直角三角形中，角的对边与斜边的比值是一个 ，与直角三角形的 无关。 （2）概念：在直角三角形中，我们把锐角的 与 的比叫作角的正弦（sine），记作sin。即 推导：sin30º＝ 。 探究三：正弦的理解与应用 [例1]　如图在中， ∠C= 90º，BC=3，AB=5． （1）求sinA的值；（2）求sinB的值． 做一做，解决目标导学中的问题： 小红想要测量斗魁塔的高度，她在A处测得塔顶B的仰角 为65度。AC=13.5m，sin25°≈ 0.42，求斗魁塔的高度。（精确到0.01） （2） 合作共研 1. 生生交流“自学自研”的内容。 2.请学生汇报交流后的结果，老师适时的点评、点拨。 三、巩固提升 （一）基础演练 1.判定对错。（趣味活动） （二）变式训练 2.如图在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= , BC=3 ，求sinB的值。 （三）拓展演练 3.(贵港中考)如图,点P在等边三角形ABC的内部,且PC=6,PA=8,PB=10,将线段PC绕点C顺时针旋转60°得到P’C,连接AP’,则sin∠PAP’的值为 四、课后反思 请谈谈这节课的收获或者疑惑。 五、课后达标（课外作业） 1．在Rt△中，∠B=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为、、，则 =( )。 A．　　　Ｂ．　　　Ｃ．　　　Ｄ． 2．在△中，∠=90°, AB＝3，AC＝4．则sinB＝（ 　 ） A．　　　Ｂ．　　　Ｃ．　　　Ｄ． 3．在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，则sinA的值等于（ ） A． B． C． D．1 4．在Rt△中，∠=90°，∠、∠、∠的对边分别为、、，已知∠和时，求.则∠、、之间的关系式是= 。 () 5.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则∠A= ． 6.如图，△ABC中，sin∠ABC＝ ，AB＝10，AC＝5， 求sin∠ACB的值。 用身边的旅游景点让学生感受数学与生活的联系，进一步感受家乡的美。 导入贴切自然。 每位同学只需按要求画一个三角形，并把所得的结果汇报到组长。 我的结论是： BC= AB＝ = E F D CC B A E F D ( A ' C ' B ' ) 1.趣味活动，提高学生的学习兴趣； 2.变式提升试题先独立做，如确有困难，请与同伴交流，还有困难老师再讲解。 教学反思 九年级 数学 新授课 第4章 第 2 课时，总第_____课时 主备： 课题： 4.1.2特殊角的正弦值 素养目标 1.会求特殊角45o、60o的正弦值。 2．会用计算器计算任意锐角的正弦值，会由任意锐角的正弦值求对应的锐角。 3.培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力。 重点：特殊角45o、60o的正弦值的求法. 难点： 特殊角45o、60o的正弦值的求法，由任意锐角的正弦值求对应的锐角. 导学流程及学习内容 设计意图或行为提示或方法指导 一、目标导学 温故知新 1.在Rt△ABC中， （1） 若∠ACB=90°，AB=5， sinA= ,则AC= ； （2） 若∠ACB=90°，BC=3， sinA= ，则AB= ； （3） 若∠ACB=90°，AB=5，∠A=30°， 则BC= ； 2. sin30°= 二、新知探究 (一)自学自研 请阅读教材P111～P112页，解答下面的问题： 探究一：特殊角的正弦值 1.想一想：如何求sin45°的值？ 我会填：如图，构造一个Rt△ABC，使∠C=90°, ∠A=45°. 于是 ∠B= . 从而 AC= . 根据 ，得 . 于是 AB= BC 因此 sin45°= 2.进一步思考：如何求sin60°的值？ 探究二：用计算器求任意锐角的正弦值 3.完成P112页的做一做 用计算器求一个锐角的正弦值的方法是： 已知一个锐角的正弦值，用计算器求这个锐角的方法是 4.我发现： 1. sin45°= ，sin60°= 2.把sin30°、sin45°、sin60°按从小到大的顺序排列 3.你会发现： ＜ sinA ＜ 任意锐角A的正弦值随角度的变大而 。 探究三：计算 4.计算下列各题： (1)2sin30°-sin45°； (2)sin245°+sin30°sin60°. （3） 合作共研 2. 生生交流“自学自研”的内容。 2.请学生汇报交流后的结果，老师适时的点评、点拨。 三、巩固提升 （一）基础演练 1.在△ABC中，若sinA=，sinB=，下列判断中，你认为最确切的是( ) A.△ABC是直角三角形 B.△ABC是等腰直角三角形 C.△ABC是一般锐角三角形 D.△ABC是钝角三角形 2.用计算器计算下列各锐角的正弦值(精确到0.000 1). (1)20°；(2)23°13′. 3.已知下列正弦值，用计算器求对应的锐角(精确到0.1°). (1)sinα=0.822 1； (2)sinA=0.627 5. （二）变式训练 4.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=2∠A，则sinB的值为( ) A. B. C. D. （三）拓展演练 5.如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则sin∠AOB的值等于( ) A. B. C. D. 四.学后反思 这节课你学会了： ； 你还有哪些困惑： ； 五.课后达标 1.若∠α的余角是45°，则sinα的值是( ) A. B. C. D. 2.点M(-sin60°，sin30°)关于x轴对称的点的坐标是( ) A.(，) B.(-，-) C.(-，) D.(-，-) 3.Rt△ABC中，∠C=90°，a∶b=3∶4，运用计算器计算，∠A的度数(精确到1°)( ) A.30° B.37° C.38° D.39° 4.已知α为锐角，且sin(α-10°)=，则α等于( ) A.50° B.60° C.70° D.80° 5.身高相等的四名同学甲、乙、丙、丁参加放风筝比赛，四人放出风筝的线长、线与地面的夹角如下表(假设风筝线是拉直的)，则四名同学所放的风筝中最高的是( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 6.用计算器计算下列各锐角的正弦值(精确到0.000 1). (1)35°； (2)15°32′. 7.已知下列正弦值，用计算器求对应的锐角(精确到0.1°). (1)sinα≈0.737 2； (2)sinα≈0.128 8. 六．教后反思 九年级 数学 新授课 第4章 第 3 课时，总第____课时 主备： 课题： 4.1.3余弦 素养目标 1. 引导学生发现：特殊角的余弦值与其余角的正弦值相等。 2. 会求特殊角（）的余弦值并在理解的基础上记住这几个角的余弦值。 3. 培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力。 重点：特殊角的余弦值的求法。 难点：将特殊角的余弦值转化为求对应余角的正弦值。 导学流程及学习内容 设计意图或行为提示或方法指导 一、目标导学 (一)．温故知新 1.在Rt△ABC中， （4） 若∠ACB=90°，AB=5， sinA= ,则AC= ； （5） 若∠ACB=90°，BC=3， AB=4，则sinA= ； （6） 若∠ACB=90°，AB=5，∠A=30°， 则BC= ； 2. (1)sin30°= . (2) = . (3) = . (二).揭示课题，明确目标 今天我们学习特殊角的余弦。 二、新知探究 (一)自学自研 1.请大家阅读教材113-114页，尝试解答下面的问题： 问题1：余弦的定义是什么？ 在直角三角形中，我们把锐角的 与 的 叫做角的余弦，记作 ，即： 问题2：正弦与余弦有什么联系？ 在直角三角形中，两个锐角分别为角与角互余，即 ，而且角的邻边就是 ，所以 有： = 。 从而有： = 。 问题3：特殊角的余弦值 例：求的值。 解：= = = = = = = 我思考：如何求一个角的余弦值 方法一：先将特殊角的余弦值转换为对应余角的正弦值，再求解。 方法二：直接记忆特殊角的余弦值。 方法三：直接运用余弦的定义求解。 (二)合作共研 1、生生交流“自学自研”的内容 2、请学生汇报交流后的结果（反馈） 3.老师适时的点评、点拨、讲解、归纳 三、巩固提升 （一）基础演练 1、已知Rt△ABC中,∠C=90°,a=2.b=3.则sinA＝_______. cosA＝_______ 2、等腰三角形的底边长为16 cm，周长为36 cm，则底角的余弦值是（ ）. A . B . C . D. （二）变式提高 3、在直角△ABC中，∠B=90°，AC＝200，cosC＝0.6，求BC的长及△ABC的周长。（要求用两种方法求解） （三）拓展延伸 4、如图6，在Rt△ABC中,∠C=90°, cosA＝，AC=10，求AB及sinB. 四.学后反思 这一节课你有什么收获?你还有哪些疑惑？ 五.课后达标 1．RtΔABC中， AC=3，BC=4，则cosB= 。sinA= ， 2 .Rt△ABC中，∠C是直角，斜边AB是3，AC＝2，则sinA＝＿＿＿，sinB＝＿＿＿、cosA＝＿＿＿＿、cosB＝＿＿＿＿。 3、在直角三角形ABC中，若三边长都扩大2倍，则锐角A的余弦值（ ） A、扩大2倍 B、不变 C、缩小2倍 D、无法确定。 4、已知cosA=，则∠A＝＿＿＿＿； cosA=，则∠A＝＿＿＿＿； cosA=，则∠A＝＿＿＿＿；　　 5、计算：－22＋（）0＋sin60°cos30＝＿＿＿＿＿ 6、在Rt△ABC中，∠C是直角，，求：sinA与cosB的值。 设计意图： 1、第1小题帮助回顾正弦的定义。 2、第2小题帮助回顾特殊角的正弦值。 行为提示： 请学生猜一猜余弦会是什么样的！ 配合课件，训练从模型转化为相似三角形解决问题。 设计意图：培养学生的转化思想，养成动脑的习惯。 从多个角度解题，培养一题多解的能力，如可能，请自行添加例题或练习。 如果学生觉得容易，就交给学生进行点拨和归纳 教后反思： 九年级 数学 新授课 第4章 第 4 课时，总第____课时 主备： 课题： 4.2正切 素养目标： 1、会求特殊角的正切值。 2、会用计算器计算任意锐角的正切值，会由任意锐角的正切值求对应的锐角。 3、培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力。 教学重点：特殊角45o、60o的正切值的求法。 教学难点：特殊角45o、60o的正切值的求法，由任意锐角的正切值求对应的锐角. 导学流程及学习内容 方法指导或行为提示 一、目标导学 我们知道，在直角三角形中，当一个锐角的大小确定时，不管三角形的大小如何，这个锐角的对边（或邻边）与斜边的比值就确定了。那么这个锐角的对比与邻边的比值是否也是一个常数呢？ 揭示学习目标 二、新知探究 （一）自学自研 1、请大家自主学习教材P121，P122内容，尝试完成“探究1”，“探究2”， “探究3” 探究1：正切的定义 类似地，在有一个锐角等于的所有直角三角形中，角的对边与邻边的比值也为一个常数。 结论：在直角三角形中，锐角的对边与邻边的比叫作角的正切（tangent），记作，即 ；即 例1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,求tanA和tanB. 解： , 探究2：计算特殊角的正切值 例2：求的值。 分析：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，30° B A C 60° ∠A＝30°，∠B＝60°。 讲授：当有一个角为45°时，Rt△为等腰Rt△。 ∴tan45°＝1 综上所述，30°，45°，60°的正弦、余弦、正切值列表如下： α 30° 45° 60° sin cos tan 探究3：锐角三角函数的综合运用 例3：已知，是锐角，求，的值。 解：略 （二）合作共研 1、生生交流“自学自研”的内容 2、请学生汇报交流后的结果，老师适时的点评、点拨。 三、巩固提升 （一）基础演练 1、在中，一锐角的正切值为0.75，周长为24，则斜边长为（ ） A. 15 B. 14 C. 12 D. 10 （二）变式提高 3、如图，在中，，于，若，，则的值为（ ）A C B D Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． （三）拓展延伸 4、在等腰△ABC中,AB=AC=13,BC=10,求tanB. 四、学后反思 通过今天的学习你解决了那些问题？你有什么感受？你有什么收获？ 5、 课后达标 教后反思： 设计意图：引发学生的争论，激发学生的求知欲．从而教师可提出能否用铅直高度与水平长度的比值进行衡量呢？ 注意：正切的定义是在直角三角形中，相对其锐角而定义的，实质是两条线段长度的比，它只是一个数值，没有单位，其大小只与角的大小有关，与三角形的大小无关． 课外补充：tanA和tanB的值有什么样的关系？如右图tanA＝和tanB＝又有怎样的关系？ 九年级 数学 新授课 第4章 第 5 课时，总第______课时 主备： 课题： 4.1-4.2 正弦、余弦和正切 的练习 素养目标：1.通过梳理和剖析进一步理解正弦、余弦和正切的概念，能运用直角三角形正确求出锐角三角函数值以及特殊角的三角函数值,并加深锐角三角函数之间的关系的理解。 2. 通过练习,梳理知识,构建知识网络，培养学生归纳总结的能力。 教学重点：对正弦、余弦和正切的概念的理解 教学难点：锐角三角函数之间的关系的理解。 导学流程及学习内容 方法指导或行为提示 一、目标导学 揭示课题，明确目标 二、自主梳理 自主完成专题1、2、3 专题1：正弦、余弦和正切的概念 在直角三角形中，锐角α的____与____的比叫作角α的正弦，记作sinα，即sinα=____. 在直角三角形中，锐角α的_____与_____的比叫作角α的余弦，记作cosα，即cosα=_____. 在直角三角形中，锐角α的____与____的比叫作角α的正切，记作tanα，即tanα=____. 专题2：特殊角的三角函数值 做一做：将特殊角300，450，600的正弦、余弦、正切值归纳如下 30° 45° 60° sin cos tan 专题3: 锐角三角函数之间的关系 1.对于任意的锐角α，cosα=sin(________)， sinα=cos(___________). 2. 已知sin48°=0.743 1，那么cos42°=________________ 3.对于锐角∠A，∠B，如果sinA=cosB，那么∠A与∠B的关系一定满足( ) A.∠A=∠B B.∠A+∠B=45° C.∠A+∠B=60° D.∠A+∠B=90° 三、典例剖析 1. 在Rt△ABC中，，㎝，㎝,分别求、的正弦、余弦、正切值． 2 求下列各式的值：⑴； ⑵ 3.已知，是锐角，求、 四、巩固提升 （一）基础演练 1． 在Rt△ABC中，，㎝，㎝,分别求、的正弦、余弦、正切值． 2.求下列各式的值：⑴；⑵；⑶ 3. 已知，是锐角，求、． （二）变式提高 4. 如图，在平面直角坐标系内一点P(5，12)，那么OP与x轴的夹角α的正弦值是____. 5.如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则cosA=_________ （三）拓展延伸 6. 如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，E为AC 的中点，BC=14，AD=12，sinB=．求：⑴线段DC的长； ⑵tan∠EDC的值. 五、学后反思 通过今天的学习我解决了那些问题？我有什么感受？我有什么收获？ 六、课后达标 1.若∠α的余角是45°，则sinα的值是( ) A. B. C. D. 2.点M(-sin60°，sin30°)关于x轴对称的点的坐标是( ) A.(，) B.(-，-) C.(-，) D.(-，-) 3. 若，那么△ABC是（ ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．锐角三角形 4. 计算： 5. 在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA= ，BC=8，则△ABC的面积为____. 6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，已知CD⊥AB，BC=1. (1)如果∠BCD=30°，求AC； (2)如果tan∠BCD=，求CD. 7. 如图，将一张矩形纸片ABCD沿CE折叠，B点恰好落在AD边上的F点，若AB∶BC=4∶5，求sin∠CFD. 自主梳理部分先让学生独立完成，可以翻阅教材资料等，加深对知识点的记忆。 依靠直角三角形，并用方程思想来解答便于学生理解。 教后反思： 九年级 数学 新授课 第4章 第 6 课时，总第_______课时 主备： 课题： 4.3.解直角三角形 素养目标： 1、理解直角三角形中，除直角外其余五个元素之间的关系，了解确定一个三角形和解直角三角形所需条件的一致性。 2、经历对满足什么条件可解直角三角形的问题分析过程，体会从一般到特殊的思考方法。 3、会解直角三角形，会选择合理的算法。 教学重点：解直角三角形的基本方法。 教学难点：锐角三角比在解直角三角形中的灵活运用。 导学流程及学习内容 方法指导或行为提示 一、目标导学 （一）复习回顾 1、在一个直角三角形中，共有 条边，除直角外还有 个角，直角三角形的边与角称为直角三角形的 。 2、直角三角形的边角关系： 在中，，则： （1）两锐角互余： 。 （2）三边满足勾股定理： 。 （3）边与角的关系：=。 =。=。 3、填一填，记一记： 二、新知探究 （一）自学自研 ( A B C b a c )1、请大家自主学习教材P121，P122内容，尝试完成“探究1”，“探究2”， “探究3” 探究1：已知一边一角，解直角三角形 例1、如右图，在中， 。 解： = 。 又， = = 。 ， = = 。 探究2：已知两直边，解直角三角形。 例2、在中，。 探究3：解直角三角形，可能出现的情况。 （1）解直角三角形的依据是 。 （2）解直角三角形可能出现的情况有两种：①已知 ；②已知 。直角三角形可解的条件是： 。 （二）合作共研 1、生生交流自学情况 2、反馈学情，老师针对性地进行讲解、点评、点拨、归纳 三、巩固提升 （一）基础演练 1、在中，( ) A、3 B、 C、 D、 2、在中， （二）变式提高 3、在中， A B C D 4、如图，在中， 。 （三）拓展延伸 5. 在中， 四、学后反思 通过今天的学习你解决了那些问题？你有什么感受？你有什么收获？ 五、课后达标 1、+2sin30°－tan60°＋cot45=__________。: 2、若∠A是锐角，cosA＝，则∠A＝ 。 3、在△ABC中，∠C＝90°，若tanA＝，则sinA＝ 。 4、在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形。 （1）C＝20，b=20; （2）∠B＝72°，c=14；（3）∠B＝30°，a= 5、如图，在△ABC中，已知∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AC＝，BD＝3。求BC的长及△ABC的面积。 （1）直角三角形中各元素之间的一些相等关系。 （2）两条边；一条边和一个锐角；至少已知一条边。 教后反思： 九年级 数学 新授课 第4章 第 7 课时，总第______课时 主备： 课题： 4.4 解直角三角形的应用（一） 素养目标： 1、通过实例引导学生了解什么是仰角和俯角；学生会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决． 2、渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识。 3.在探究学习过程中，注重培养学生的合作交流意识，激发学生学习数学的兴趣。 教学重点：用三角函数有关知识解决观测问题 教学难点：学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型 导学流程及学习内容 方法指导或行为提示 一、目标导学 （一）复习导入 1．直角三角形中除直角外五个元素之间具有什么关系？请学生口答． 2. 在Rt∆ABC中，∠C=900 若∠A=600，b=，求a （二）揭示课题，明确目标。 今天我们一起学习“4.4 解直角三角形的应用”，学会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决． 二、新知探究 （一）自学自研 自主阅读教材P125-P126，完成问题1和问题2 问题1：“动脑筋”和“做一做” 1. 平时我们观察物体时，我们的视线相对于水平线来说可有几种情况？（三种，重叠、向上和向下） 2. 在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫作_____角.在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的叫作_______角. 3. 先把图4-15抽象，并构造出直角三角形. 图中：BD表示_____的海拔，AE表示______的海拔; 在Rt∆ABC中，AC表示____________，要求AC，需测出仰角______和A.B的相对高度_______. 4. 如果测得点A的海拔AE=1600m，仰角∠BAC=400，求A.B两点之间的水平距离AC（tan4000.8391,结果保留整数）. 因为BD= _________，AE=_________，AC⊥BD，∠BAC=400， 所以BC= 在Rt∆ABC中，tan∠BAC= AC= 问题2;解答例1 分析：在Rt∆ABC中，已知_____和它的______，求对边利用该角的_____即可. 提示：有斜用弦，无斜用切 （二）合作共研 1. 生生交流“自学自研”中的问题1～问题2 2. 师生共研 （1） 反馈交流后的情况。 （2）根据反馈的情况，老师针对性的进行点评、讲解、点拨、归纳 三、巩固提升 （一）基础演练 1.一艘游船在离开码头A后，以和河岸成300角的方向行驶了500m到达B处，求B处与河岸的距离BC. （二）变式提高 2. 某厂家新开发的一种电动车的大灯A射出的光线AB.AC与地面MN所成的夹角∠ABN.∠ACN分别为80和150，大灯A与地面的距离为1m，求该车大灯照亮地面的宽度BC（tan80 0.14，tan1500.27，不考虑其他因素，结果精确到0.1m）. （3） 拓展延伸 3.(泰州中考)如图，为了测量山顶铁塔AE的高，小明在27 m高的楼CD底部D测得塔顶A的仰角为45°，在楼顶C测得塔顶A的仰角为36°52′.已知山高BE为56 m，楼的底部D与山脚在同一水平面上，求该铁塔的高AE.(参考数据：sin36°52′≈0.60，tan36°52′≈0.75) 四、学后反思 通过今天的学习我解决了那些问题？我有什么感受？我有什么收获？ 五、课后达标 1. 如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度，AC=7米，则树高BC为____米(用含α的代数式表示). 2如图，某直升飞机执行海上搜救任务，在空中A出观测到海面上有一目标B，俯角是α＝18°23′，这时飞机的高度为1500米，求飞机A与目标B的水平距离。 3. 如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，求AB两点的距离． 4. 建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的D处观察旗杆顶部A的仰角是54°，观察底部B的仰角为45°，求旗杆的高度（精确到0.1m） 5. (北海中考)如图是某超市地下停车场入口的设计图，请根据图中数据计算CE的长度.(结果保留小数点后两位；参考数据：sin22°=0.374 6，cos22°=0.927 2，tan22°=0.404 0) 让学生复习回顾；为后面的探究作铺垫 设计意图：学生思考问题，寻找解题方法。把问题抛给学生，对其养成独立思考、善于分析问题有所帮助，同时，通过实例创设问题情景，使学生感受到数学与生活的密切联系，增进对数学的理解，激发学习数学的兴趣。 结合示意图理解仰角和俯角的概念 学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型是难点，引导学生通过“画图”是突破难点的有效方法。 有斜用弦，无斜用切 小组讨论说出解决方法，然后完成解题过程，并展示解题过程，完成之后小组交流，师生评价，既落实双基又满足不同层次学生的学习需要 教后反思： 九年级 数学 新授课 第4章 第 8 课时，总第______课时 主备： 课题： 4.4 解直角三角形的应用（二） 素养目标： 1、通过实例引导学生理解坡度的概念；学会解决坡度问题． 2、引导学生将实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决． 3.在探究学习过程中，注重培养学生的合作交流意识，激发学生学习数学的兴趣。 教学重点：用解直角三角形有关知识解决坡度问题 教学难点：学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型 导学流程及学习内容 方法指导或行为提示 一、目标导学 （一）揭示课题，明确目标。 今天我们一起学习“4.4 解直角三角形的应用（二）”，进一步学会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决． （二）引入新课 如图， 从山脚到山顶有两条路AB与BD， 问哪条路比较陡？如何用数量来刻画坡路的陡缓呢？ 二、新知探究 （一）自学自研 自主阅读教材P127-P128，完成专题1和专题2 专题一：坡度（坡比）与坡角的概念 1.如图，从山坡脚下点P上坡走到点N时，升高的高度h（即线段MN的长）与水平前进的距离l（即线段PM的长）的比叫做 ，用字母i表示，即i= ，坡度通常写成1：m的形式. 2.图中的∠MPN叫做 ，显然坡度等于坡角的 .即i= .坡度越大，山坡越陡. 3.对应小练习 （1）如图，修建抽水站时，沿着坡度为i=1∶6的斜坡铺设管道，下列等式成立的是( ) A.sinα= B.cosα= C.tanα= D.以上都不对 （2）某堤的横断面如图.堤高BC是5米，迎水斜坡AB的长是13米，那么斜坡AB的坡度是( ) A.1∶3 B.1∶2.6 C.1∶2.4 D.1∶2 专题二：坡度（坡比）与坡角的运用 例2.山坡的坡度为i=1：2.小刚从山脚A出发，沿山坡向上走了240m到达点C，这座山坡的坡角是多少度？小刚上升了多少米？（角度精确到0.010，长度精确到0.1m） 1.分析：已知山坡的坡度为1：2，其实就是告诉我们=1；2，即tanA=1：2.由此可得出∠A的度数；又知AC的长，要求BC的长，可以利用∠A的正弦值求得. 解：由题意可得tanA= ，因此∠A≈26.570 在Rt∆ABC中，∠B=900，∠A=26.570，AC=240m， 所以sinA= 所以BC= （m） 答：这座山坡的坡角约为26.570，小刚上升了约07.3m. 3.你还可以用其它方法求出BC吗？ （二）合作共研 3. 生生交流“自学自研”中的专题题1～专题2 4. 师生共研 （2） 反馈交流后的情况。 （2）根据反馈的情况，老师针对性的进行点评、讲解、点拨、归纳 三、巩固提升 （1） 基础演练 1.如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1： 堤坝高BC=50m，则迎水坡面AB的长度？ （二）变式提高 2.一段河坝的横断面为等腰梯形ABCD，试根据下图中的数据求出坡角α和坝底宽AD．（单位是米，结果保留根号） （三）拓展延伸 3. 如图所示，沿水库拦水坝（横断面为梯形ABCD）的背水坡AB将坝顶AD加宽2米，背水坡的坡度由原来的1：2改为1：2.5.已知坝高6m，求加宽部分横断面AFEB的面积. 四、学后反思 通过今天的学习我解决了那些问题？我有什么感受？我有什么收获？ 五、课后达标 1.某堤的横断面如图.堤高BC是5米，迎水斜坡AB的长是13米，那么斜坡AB的坡度是( ) A.1∶3 B.1∶2.6 C.1∶2.4 D.1∶2 2.(三明中考)如图，在山坡上植树，已知山坡的倾斜角α是20°，小明种植的两棵树间的坡面距离AB是6米，要求相邻两棵树间的水平距离AC在5.3～5.7米范围内，问小明种植的这两棵树是否符合这个要求？(参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36) 设计意图：学生思考问题，寻找解题方法。把问题抛给学生，对其养成独立思考、善于分析问题有所帮助，同时，通过实例创设问题情景，使学生感受到数学与生活的密切联系，增进对数学的理解，激发学习数学的兴趣。 可用方程思想，利用勾股定理解答 教后反思： 九年级 数学 新授课 第4章 第 9 课时，总第______课时 主备： 课题： 4.4 解直角三角形的应用（三） 素养目标： 1、通过实例引导学生理解方位角的概念；学会解决方位角问题． 2、学生会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决． 3.在探究学习过程中，注重培养学生的合作交流意识，激发学生学习数学的兴趣。 教学重点：用解直角三角形有关知识解决方位角问题 教学难点：学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型 导学流程及学习内容 方法指导或行为提示 一、目标导学 揭示课题，明确目标。 今天我们一起学习“4.4 解直角三角形的应用（三）”，进一步学会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决． 二、新知探究 （一）自学自研 自主阅读教材P127-P128，完成专题1和专题2 专题一：方位角的概念 1. 在练习薄上画出方向图（表示东南西北四个方向的）。 2、依次画出表示东南方向、西北方向、北偏东65度、南偏东34度方向的射线 3.从正北方向或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角叫作方位角.如图中点A的方向角为_________°. 4.对应小练习：30° C B A 东 西 南 北 O 80° 45° 如图所示：（1）说出射线OA,OB,OC分别表示的方向； （2）在图中画出南偏东60° 专题二：方位角的运用（解答例2） 1.分析：要判断船有没有触礁的危险，就是看船距灯塔的最近的距离与30km相比较的结果.若最近的距离超过30km，则船是安全的，若最近的距离小于或等于30km，则船有触礁的危险.船距灯塔的最近的距离即过点C向航线AB作垂线CD，所以先得求出CD的长.但CD在Rt∆ACD中不能直接求出，而且在Rt∆BCD中也不能直接求出，怎么办？ 2.解：作CD⊥AB，交AB延长线于点D，设CD=. 在Rt∆ACD中，因为tan∠CAD= ， 所以AD= 同理，在Rt∆BCD中，BD= ， 因为AB=AD-BD 所以 解得= 又因为 30，所以 （二）合作共研 5. 生生交流“自学自研”中的专题题1～专题2 6. 师生共研 （3） 反馈交流后的情况。 （2）根据反馈的情况，老师针对性的进行点评、讲解、点拨、归纳 三、巩固提升 （2） 基础演练 1.如图，C、D是两个村庄，分别位于一个湖的南、北两端A和B的正东方向上，且D位于C的北偏东30°方向上，且CD=6 km，则AB=_____km. （二）变式提高 2. (湘西中考)钓鱼岛自古以来就是中国的神圣领土，为宣誓主权，我海监船编队奉命在钓鱼岛附近海域进行维权活动，如图，一艘海监船以30海里/时的速度向正北方向航行，海监船在A处时，测得钓鱼岛C在该船的北偏东30°方向上，航行半小时后，该船到达点B处，发现此时钓鱼岛C与该船距离最短. (1)请在图中作出该船在点B处的位置； (2)求钓鱼岛C到B处的距离.(结果保留根号) （三）拓展延伸 3.如图，在东西方向的海岸线MN上有A、B两艘船，均收到已触礁搁浅的船P的求救信号，已知船P在船A的北偏东58°方向，船P在船B的北偏西35°方向，AP的距离为30海里.(参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，sin55°≈0.82，cos55°≈0.57) (1)求船P到海岸线MN的距离(精确到0.1海里)； (2) 若船A、船B分别以20海里/小时、15海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往救援，试通过计算判断哪艘船先到达船P处. 四、学后反思 通过今天的学习我解决了那些问题？我有什么感受？我有什么收获？ 五、课后达标 1. 某次军事演习中，有三艘船在同一时刻向指挥所报告：A船说B船在它的正东方向，C船在它的北偏东550方向；B船说C船在它的北偏西350方向；C船说它到A船的距离比它到B船的距离远40km.求A，B两船的距离（结果精确到0.1km）. 2. 亮在西湖划船游玩（如图），小船从P处出发，沿北偏东60°方向划行200米到A处，接着向正南方向划行一段时间到B处.从B处沿北偏西37°的方向上划回P处，这时小亮一共划了多少米（精确到1米）？ 设计意图：学生思考问题，寻找解题方法。把问题抛给学生，对其养成独立思考、善于分析问题有所帮助，同时，通过实例创设问题情景，使学生感受到数学与生活的密切联系，增进对数学的理解，激发学习数学的兴趣。 确定最近距离与30km比较是关键 教后反思： 九年级 数学 新授课 第4章 第 10 课时，总第______课时 主备： 《锐角三角函数》小结与复习（第一课时） 素养目标： 1．引导学生系统地复习本章知识，熟练应用三角函数进行计算； 2．让学生掌握直角三角形的边与边，角与角，边与角的关系，能应用这些关系解决相关的问题； 3．通过复习解直角三角形的应用，进一步体会数学在实际问题中的作用； 教学重点： 1． 三角函数的基本定义； 2． 解直角三角形及其简单应用； 教学难点：解直角三角形及其简单应用； 导学流程及学习内容 方法指导或行为提示 一、目标导学 揭示课题,明确目标 本节课我们一起来复习第四章,学会自己整理知识点,形成知识体系.并且能灵活运用所学知识解决相关的问题.下面我们进入自主梳理的环节: 二、自主梳理 (一)自学自研 请学生自主阅读教材P134(可以查阅教材或相关资料等),然后试着完成下面的专题. 专题一:回顾 1. 在直角三角形中,锐角的正弦、余弦、正切分别是哪两条边的比? 2. ,,角的正弦、余弦、正切值分别是多少？ 0＜sinA＜1，0＜cosA＜1 3. 我们可以利用计算器计算任意一个锐角的三角函数值，反过来，已知一个三角函数值，我们也可以利用计算器求出相应的锐角的大小. 4.在直角三角形中，已知几个元素就可以解直角三角形？ 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？ (1)边角之间关系：sinA= cosA= tanA= (2)三边之间关系： (勾股定理) (3)锐角之间关系：∠A+∠B= ． 5.锐角三角函数在生活中有着广泛的应用，试结合实例谈谈如何将实际问题转化为解直角三角形的数学问题. 专题二：本章知识结构图 锐角的正弦、余弦、正切的定义 锐角三角函数 特殊角（,,）的三角函数值 解直角三角形 已知锐角求三角函数值或已知三角函数 值求对应的锐角 （二）合作共研 3. 生生交流“专题一和专题二”的内容 4. 请学生汇报交流后的结果，老师适时的点评、点拨。 三、典例剖析 典例1. 如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB＝8，∠ABD＝30°， ∠CAD＝45°，则BC的长为多少？ 典例2.如图示，△ABC中，∠A=30°，AB=8 ，AC= 6 ,求△ABC的面积S及A到BC边的距离d. 典例3. 如图，已知，△ABC中，∠ABC＝135°，tanA＝，BC＝2，求sinA． 四、巩固提升 （一）基础演练 1．下列结论错误的是( ) A．sin60°－sin30°＝sin30° B．sin30°＝cos60° C．tan60°＝ D．sin245°＋cos245°＝1 2.在Rt∆ABC中，∠C=900，AB=12cm，BC=10cm，分别求∠A.∠B的正弦、余弦和正切值. （二）变式提高 3．在△ABC中，(2cosA－)2＋|1－tanB|＝0，则△ABC一定是( ) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 4.如图左下图，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则cos∠AOB的值是__________． （三）拓展延伸 5．如右下图，Rt中，，的垂直平分线交的延长线于，垂足为，求①，②求sin∠CAD. 五、学后反思 1．本节课你有哪些收获？ 2．你还有哪些疑问？ 六、课后达标 1．△ABC中，∠B＝90°，AC＝，tanC＝，则BC边的长为( ) A．2 B． 2 C. D．4 2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知BC＝2，AC＝6，求∠A，∠B，AB.． 3．如图，D是△ABC边AC上一点，CD＝2AD，AE⊥BC交BC于E，若BD＝8，，求AE的长。A B C D E F 要求学生准确无误地记住特殊三角函数值 遇到特殊角宜将它构造在直角三角形中来研究，或由三角形的面积也可想到作高，因此本题关键是作辅助线BD． 这是一个需构造直角三角形的典型题目，将∠A构造在直角三角形中，可过点C作CD⊥AB交延长线于点D A E B D C 提示：将BD这条已知线段构造中直角三角形中，故过点D作DF垂直BC于F 教后反思： 九年级 数学 新授课 第4章 第 11 课时，总第_______课时 主备： 《锐角三角函数》小结与复习（第二课时） 素养目标： 1．让学生掌握互余两角三角函数间的关系和同角三角函数间的关系； 2．引导学生学会利用解直角三角形来解决相关的实际问题； 3．让学生通过建立直角三角形模型来解决实际问题，体会数学的建模思想； 教学重点： 3． 互余两角三角函数关系及同角三角函数关系； 4． 解直角三角形在实际问题中的应用； 教学难点：灵活运用解直角三角形解决实际问题； 导学流程及学习内容 方法指导或行为提示 2、 目标导学 揭示课题,明确目标 本节课我们进一步复习解直角三角形在实际问题中的运用，主要是学会依据实际问题构造直角三角形的模型，再来解直角三角形. 二、自主梳理 (一)自学自研（复习引入） 1．学生回顾互余两角三角函数间的关系： sinA=cos 　　；cosA=sin 　． 2．学生回顾同角三角函数间的关系： ； ． （二）合作共研 5. 生生交流上述复习引入问题； 6. 请学生汇报交流后的结果，老师适时的点评、点拨。 三、典例剖析 典例1．已知∠+∠=，sin+cos=，求∠和∠的度数各是多少度？ 典例2.如左下图， 小明（M）和小丽（N）两人一前一后在水平地面上放风筝，结果风筝在空中E处纠缠在一起，如图所示，若∠EMF=，∠ENF=，且小丽、小明之间的距离MN为25m，则点E到地面的距离ED为多少(结果保留两位小数)？M N D E D C B A 典例3.如右上图，为了测量河的宽度AB，测量人员在高21m的建筑物CD的顶端D处测得河岸B处的俯角为，测得河对岸A处的俯角为（A、B、C在同一直线上），求河的宽度AB是多少？ 四、巩固提升 （一）基础演练 1．已知α是锐角,且sinα＝,那么cos(90°－α)＝______． 2．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanA=__________． 3．如图，为了测量楼的高度，自楼的顶部A看地面上的一点B，俯角为30°，已知地面上的这点与楼的水平距离BC为30m，那么楼的高度AC为__________m（结果保留根号）． （二）变式提高 4．如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从港口A出发，沿北偏东方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东的方向，求该船航行的距离（即AB的长） B D O C A 四、学后反思 这节课你有什么收获或感悟： ； 你还有哪些困惑： ； 五、课后达标 A组 1．如图，当小杰沿坡度i=1：5的坡面由B到A行走了26米时，小杰实际上升高度AC=__________米．（可以用根号表示） 2．测量计算是日常生活中常见的问题．如左下图，建筑物BC的屋顶有一根旗杆AB，从地面上D点处观测旗杆顶点A的仰角为50°，观测旗杆底部B点的仰角为45°.(可用参考数据：sin50°≈0.8，tan50°≈1.2) B组 3．如右上图是一座人行天桥的示意图，天桥的高度是10米，CB⊥DB，坡面AC的倾斜角为45°．为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面DC的坡度为i=：3．若新坡角外需留3米宽的人行道，问离原坡角（A点处）10米的建筑物是否需要拆除？（参考数据：≈1.414，≈1.732） 复习这些特殊的三角函数关系，便于学生灵活地解决与此相关的问题 典例1正好运用复习中互余两角的三角函数间的关系来解决 此题以学生 非常熟悉的题材为背景，学生既感兴趣又觉得学有所用 典例3是例2的变式，让学生学会举一反三，达到熟练掌握这类典型问题的研究方法 1题和2题为互余两角的三角函数关系及同角三角函数关系的运用。 强调：对于2题除了用同角三角函数间的关系来解决，当然仍可用定义法来求 教后反思： 学科网（北京）股份有限公司 $$