1.3 正方形的性质与判定 同步练习 2024—2025学年北师大版数学九年级上册

1.3 正方形的性质与判定 【基础达标】 1.正方形是轴对称图形,它的对称轴共有 (　　) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 2.正方形、矩形、菱形都具有的特征是 (　　) A.对角线互相平分 B.对角线相等 C.对角线互相垂直 D.对角线平分一组对角 3.如图,边长为2的正方形ABCD的对角线相交于点O,过点O的直线分别交AD、BC于点E、F,则阴影部分的面积是　　　　.  4.如图,四边形ABCD为正方形,△ADE为等边三角形.AC为正方形ABCD的对角线,则∠EAC=　　　　度.  5.如图,已知P是正方形ABCD对角线BD上一点,且BP=BC,则∠ACP的度数是　　　　度.  【能力巩固】 6.如图,在正方形ABCD的外侧,作等边三角形ADE,连接BE,则∠AEB的度数为 (　　) A.10° B.15° C.20° D.12.5° 7.如图,正方形 ABCD中,点E、F 分别在 BC、CD上,△AEF是等边三角形,连接AC 交 EF于G,下列结论:①BE=DF,②∠DAF=15°,③AC 垂直平分EF,④BE+DF=EF,⑤S△CEF=2S△ABE .其中正确结论有 (　　) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 8.如图,在边长为2的正方形ABCD中,M为边AD的中点,延长MD至点E,使ME=MC,以DE为边作正方形DEFG,点G在边CD上,则DG的长为　　　　　　　　.  9.如图,直线a经过正方形ABCD的顶点A,分别过顶点B、D作DE⊥a于点E、BF⊥a于点F,若DE=4,BF=3,则EF的长为　　　　.  10.如图,正方形ABCD的边长为4,E、F分别为DC、BC的中点. (1)求证:△ADE≌△ABF. (2)求△AEF的面积. 【素养拓展】 11.如图,四边形ABCD是正方形,G是CD边上任意一点,BE⊥AG于点E,DF∥BE,且交AG于点F.若EF=1,BE=3,求DF的长. 参考答案 【基础达标】 1.D　2.A　3.1　4.105　5.22.5 【能力巩固】 6.B　7.C　8.-1　9.7 10.解:(1)证明:∵四边形ABCD为正方形, ∴AB=AD,∠B=∠D=90°,DC=CB. ∵E、F分别为DC、BC的中点, ∴DE=DC,BF=BC, ∴DE=BF,∴△ADE≌△ABF(SAS). (2)由题知△ABF、△ADE、△CEF均为直角三角形,且AB=AD=4,DE=BF=×4=2,CE=CF=×4=2, ∴S△AEF=S正方形ABCD-S△ADE-S△ABF-S△CEF=4×4-×4×2-×4×2-×2×2=6. 【素养拓展】 11.解:∵四边形ABCD是正方形, ∴AB=AD,∠DAB=∠ADC=90°. ∵BE⊥AG,DF∥BE, ∴DF⊥GA. ∵∠BAE+∠ABE=90°,∠DAF+∠BAE=90°, ∴∠DAF=∠ABE,且AB=AD,∠AFD=∠AEB=90°, ∴△ABE≌△DAF(AAS), ∴AE=DF,AF=BE=3. ∵AE=AF-EF=3-1=2, ∴DF=2. 1.3 正方形的性质与判定 【基础达标】 1.下列说法不正确的是 (　　) A.一组邻边相等的矩形是正方形 B.对角线相等的菱形是正方形 C.对角线互相垂直的矩形是正方形 D.有一个角是直角的平行四边形是正方形 2.下列命题中的真命题是 (　　) A.三个角相等的四边形是矩形 B.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 C.顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形 D.平行四边形是轴对称图形 3.黑板上画有一个图形,学生甲说它是多边形,学生乙说它是平行四边形,学生丙说它是菱形,学生丁说它是矩形,老师说这四名同学的答案都正确,则黑板上画的图形是　　　　.  4.如图,菱形ABCD的对角线相交于点O,请你添加一个条件:　　　　,使得该菱形为正方形.   5.把“直角三角形,等腰三角形,等腰直角三角形”填入下列相应的空格上. (1)正方形可以由两个能够完全重合的　　　　拼合而成;  (2)菱形可以由两个能够完全重合的　　　　拼合而成;  (3)矩形可以由两个能够完全重合的　　　　拼合而成.  【能力巩固】 6.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分线EF交BC于点D,交AB于点E,且BE=BF.添加一个条件,仍不能证明四边形BECF为正方形的是 (　　) A.BC=AC B.CF⊥BF C.BD=DF D.AC=BF 7.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,BD平分∠ABC,DE⊥BC,DF⊥AB. 求证:四边形BEDF是正方形. 【素养拓展】 8.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD=CD,E是边AC的中点,连接DE,DE的延长线与边BC相交于点F,AG∥BC,交DE于点G,连接AF、CG. (1)求证:AF=BF. (2)如果AB=AC,求证:四边形AFCG是正方形. 参考答案 【基础达标】 1.D　2.C　3.正方形 4.AC=BD或AB⊥BC(答案不唯一) 5.(1)等腰直角三角形 (2)等腰三角形 (3)直角三角形 【能力巩固】 6.D 7.证明:∵∠ABC=90°,DE⊥BC,DF⊥AB, ∴∠BFD=∠BED=∠ABC=90°, ∴四边形BEDF为矩形. 又∵BD平分∠ABC,DE⊥BC,DF⊥AB, ∴DF=DE.∴矩形BEDF为正方形. 【素养拓展】 8.证明:(1)∵AD=CD,E是边AC的中点,∴DE⊥AC,即得DE是线段AC的垂直平分线, ∴AF=CF, ∴∠FAC=∠ACB. 在Rt△ABC中,由∠BAC=90°, 得∠B+∠ACB=90°,∠FAC+∠BAF=90°, ∴∠B=∠BAF,∴AF=BF. (2)∵AG∥CF,∴∠AGE=∠CFE. 又∵E是边AC的中点, ∴AE=CE.在△AEG和△CEF中, ∵∠AGE=∠CFE,∠AEG=∠CEF,AE=CE, ∴△AEG≌△CEF,∴AG=CF. 又∵AG∥CF,∴四边形AFCG是平行四边形. ∵AF=CF,∴四边形AFCG是菱形. 在Rt△ABC中,由AF=CF,AF=BF,得BF=CF,即得F是边BC的中点. 又∵AB=AC,∴AF⊥BC,即得∠AFC=90°, ∴四边形AFCG是正方形. 课时作业第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$