1.2 矩形的性质与判定 同步练习-2024-2025学年北师大版九年级数学上册

1.2 矩形的性质与判定 （1） 【基础达标】 1.矩形具有而菱形不一定具有的性质是 (　　) A.对角线互相垂直 B.对角线相等 C.对角线互相平分 D.对角互补 2.直角三角形的斜边长为20,则此斜边上的中线长为 (　　) A.5 B.10 C.20 D.不能确定 3.如图,在矩形ABCD中,AB<BC,对角线AC、BD相交于点O,则图中的等腰三角形有 (　　) A.2个 B.4个 C.6个 D.8个 4.如图,E、F分别是矩形ABCD的对角线AC和BD上的点,且AE=DF.求证:BE=CF. 【能力巩固】 5.如图,已知矩形纸片ABCD,E 是AB的中点,G是BC上的一点,∠BEG>60°,现沿直线EG将纸片折叠,使点B落在纸片上的点H处,连接AH,则与∠BEG相等的角的个数为 (　　) A.4 B.3 C.2 D.1 6.如图,在矩形ABCD中,E为BC的中点,作∠AEC的平分线交AD于F点.若AB=6,AD=16,则FD=　　　　.  【素养拓展】 7.如图,在矩形ABCD中,BE⊥AC,DF⊥AC,垂足分别为E、F,连接DE、BF. (1)求证:BE=DF. (2)判断四边形BEDF的形状,并说明理由. 参考答案 【基础达标】 1.B　2.B　3.B 4.证明:∵E、F分别是矩形ABCD的对角线AC和BD上的点,AE=DF, ∴EO=FO,BO=CO,∠BOE=∠COF, ∴△BOE≌△COF(SAS), ∴BE=CF. 【能力巩固】 5.B　6.6 【素养拓展】 7.解:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形, ∴AB∥CD,AB=CD, ∴∠BAE=∠DCF. ∵BE⊥AC,DF⊥AC, ∴∠BEA=∠DFC=90°, ∴△ABE≌△CDF(AAS), ∴BE=DF. (2)四边形BEDF是平行四边形. 理由:∵BE⊥AC,DF⊥AC, ∴BE∥DF. 又∵BE=DF, ∴四边形BEDF是平行四边形. 1.2 矩形的性质与判定 （2） 【基础达标】 1.要使▱ABCD成为矩形,需添加的条件是 (　　) A.AB=BC B.AC⊥BD C.∠ABC=90° D.AB=CD 2.在给定的条件中,能画出矩形的是 (　　) A.以6 cm为一条对角线,3 cm、10 cm为两条邻边 B.以10 cm、10 cm为对角线,12 cm为一边 C.以14 cm为对角线,7 cm、8 cm为两条邻边 D.以50 cm为一条对角线,30 cm、40 cm为两条邻边 3.如图,四边形ABCD的对角线互相平分,要使它变为矩形,需要添加的条件是(　　) A.AB=CD B.AD=BC C.AB=BC D.AC=BD 4.已知四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°,则该四边形的形状是　　　　.  【能力巩固】 5.如图,将△ABC绕AC的中点O顺时针旋转180°得到△CDA,添加一个条件　　　　,使四边形ABCD为矩形.  6.如图,四边形ABCD是平行四边形,AC、BD交于点O,∠1=∠2. (1)求证:四边形ABCD是矩形. (2)若∠BOC=120°,AB=4 cm,求四边形ABCD的面积. 【素养拓展】 7.如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD的中点,过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F,连接CF. (1)求证:AF=DC. (2)△ABC满足什么条件时,四边形ADCF是矩形?并说明理由. 参考答案 【基础达标】 1.C　2.D　3.D　4.矩形 【能力巩固】 5.∠B=90°或∠BAC+∠BCA=90° 6.解:(1)证明:∵∠1=∠2, ∴BO=CO,即2BO=2CO. ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AO=CO,BO=OD, ∴AC=2CO,BD=2BO, ∴AC=BD. ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴四边形ABCD是矩形. (2)在△BOC中,∵∠BOC=120°, ∴∠1=∠2=(180°-120°)÷2=30°, ∴在Rt△ABC中,AC=2AB=2×4=8(cm), ∴BC==4(cm), ∴四边形ABCD的面积=4×4=16(cm2). 【素养拓展】 7.解:(1)证明:∵AF∥BC, ∴∠AFE=∠DBE. ∵E为AD的中点, ∴AE=DE. 在△AFE和△DBE中, ∴△AFE≌△DBE(AAS), ∴AF=BD. 又∵AD为中线, ∴BD=CD, ∴AF=CD. (2)△ABC是等腰三角形,即AC=AB时,四边形ADCF是矩形. 理由:∵AF=CD,且AF∥CD, ∴四边形ADCF为平行四边形. 当AC=AB时,∵AD为BC边上的中线, ∴AD⊥BC,即∠ADC=90°, ∴四边形ADCF为矩形. 1.2 矩形的性质与判定 （3） 【基础达标】 1.矩形ABCD的两条对角线相交于点O,∠AOD=60°,AD=2,则AB的长是 (　　) A.2 B.4 C.2 D.4 2.下列说法正确的有　　　　.  ①对角线相等的平行四边形是矩形; ②矩形的对角线相等且互相平分; ③对角线互相平分的四边形是矩形; ④有三个角是直角的四边形是矩形. 3.如图,在矩形ABCD中,E为CD的中点,连接AE,过点B作BF⊥AE于点F.若=,BF=3,则AB的长为　　　　.  【能力巩固】 4.如图,P是矩形ABCD的边AD上的一个动点,矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4,那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是 (　　) A. B. C. D.不确定 5.如图,把矩形ABCD沿EF翻折,点B恰好落在AD边的B'处,若AE=2,DE=6,∠EFB=60°,则矩形ABCD的面积是 (　　) A.12 B.24 C.12 D.16 6.如图,在△ABC中,AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D、F,BE⊥DF交DF的延长线于点E,已知∠A=30°,BC=2,AF=BF,求四边形BCDE的面积. 【素养拓展】 7.如图,在▱ABCD中,E、F分别是AB、CD的中点,连接AF、CE. (1)求证:△BEC≌△DFA. (2)连接AC,当CA=CB时,判断四边形AECF是什么特殊四边形,并证明你的结论. 参考答案 【基础达标】 1.C　2.①②④　3. 【能力巩固】 4.A　5.D 6.解:∵DE是AC的垂直平分线,F是AB的中点, ∴DF∥BC,∴∠C=90°, ∴四边形BCDE是矩形. ∵∠A=30°,∠C=90°,BC=2,∴AB=4, ∴AC==2,∴DC=.∴四边形BCDE的面积为2×=2. 【素养拓展】 7.解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴BC=AD,∠B=∠D,AB=CD. ∵E、F分别是AB、CD的中点, ∴BE=DF=AE=CF, 在△BEC和△DFA中, BE=DF,∠B=∠D,BC=AD, ∴△BEC≌△DFA(SAS). (2)四边形AECF是矩形. 证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB∥CD. ∵AE=CF, ∴四边形AECF是平行四边形. ∵AC=BC,E是AB的中点, ∴CE⊥AB,∴∠AEC=90°, ∴平行四边形AECF是矩形. 课时作业第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$