期中满分冲刺02之填空压轴题（九上北师大，考前必刷60道期中真题）-【上好课】2024-2025学年九年级数学上册同步精品课堂（北师大版）

期中满分冲刺02之填空压轴题（九上北师大，考前必刷60道期中真题） 一、填空题 1．（23-24九年级上·河北保定·期中）如图所示的玩具，其主要部分是由六个全等的菱形组成，菱形边长为，现将玩具尾部点固定，当这组菱形形状发生变化时，玩具的头部沿射线移动，整个过程中六个菱形始终全等． （1）当的长为时，两点间的距离为 ； （2）当由变为时，点移动了 ． 2．（22-23八年级下·福建泉州·期末）如图，在菱形中，，点P为线段上不与端点重合的一个动点．过点P作直线、直线的垂线，垂足分别为点E、点F．连结，在点P的运动过程中，的最小值等于 ．    3．（23-24九年级上·山东日照·期中）如图，菱形的四个顶点均在坐标轴上，已知点，，，点P是菱形边上的一个动点，连接，把绕着点E顺时针旋转得到，连接．若点P从点A出发，以每秒5个单位长度沿方向运动，则第秒时，点F的坐标为 ． 4．（20-21八年级下·浙江绍兴·期末）如图，矩形的对角线交于点O，，过点O作，交于点E，过点E作，垂足为F，则的值为 ．    5．（2024·河南南阳·一模）如图，矩形中，，点为边上一个动点，将沿折叠得到，点的对应点为，当射线恰好经过的中点时，的长为 ．    6．（22-23九年级上·安徽芜湖·期中）如图，在矩形中，，，为中点，是线段上一点，设（），连接并将它绕点顺时针旋转得到线段，连接、，则在点从点向点的运动过程中，则：①当时， ；②的最小值为 ． 7．（23-24九年级上·宁夏银川·期中）如图，在正方形中，将沿对折至，延长交边于点G，连接．若，则正方形的边长是 ． 8．（23-24九年级上·江西景德镇·期中）如图，在矩形中，，点P从点A向点D以的速度运动，点Q以的速度从点C出发，在B，C两点之间做往返运动，两点同时出发，点P到达点D时，两点同时停止运动，这段时间内，若以P，Q，C，D四点为顶点的四边形是矩形，那么运动时间为 ． 9．（24-25九年级上·河南信阳·期中）如图所示，P是正方形内一点，且，，，以B为旋转中心，将按顺时针方向旋转至，边与边重合，则正方形的面积为 ． 10．（22-23九年级上·江苏镇江·阶段练习）若是关于的方程的一个解，则的最大值为 ． 11．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）关于x的方程的解是，（a、b、m为常数，），则方程的解是 ． 12．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如果，是关于x的一元二次方程的两个根，那么关于x的一元二次方程的解为 ． 13．（22-23九年级上·山东滨州·期末）已知为方程的根，那么的值为 ． 14．（22-23九年级上·内蒙古兴安盟·期中）已知是方程一个实数根，则代数式的值是 ． 15．（23-24九年级上·福建厦门·期末）已知是方程的一个根，则 . 16．（19-20九年级上·湖北孝感·阶段练习）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是 ． 17．（22-23九年级上·四川凉山·期中）若a，b是两个不相等的实数，且满足，，则代数式的值为 ． 18．（23-24九年级上·四川广元·期中）已知关于的一元二次方程的两实数根为．设，则的最小值为 ． 19．（2024·浙江杭州·二模）关于一元二次方程，有以下命题： ①若，则； ②若该方程的两根为和1，则； ③若上述方程有两个相等的实数根，则必有实数根； ④若r是该方程的一个根，则一定是方程的一个根． 其中真命题是 ．（只需填写序号） 20．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）对于一元二次方程有下列说法： ①若，则方程必有一个根为； ②若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则； 其中正确的是 ．（填序号） 21．（23-24九年级上·江苏镇江·阶段练习）对于一元二次方程，下列说法： 若方程有一根，则；若，则；若方程的两个根是，，那么方程的两个根为，；若是方程的一个根，则一定有成立．其中正确的有 个．（填个数） 22．（23-24九年级上·重庆南岸·期中）对任意一个三位数k，如果满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字等于百位上的数字与个位上的数字的平均数，那么称这个数为快乐数”、例如，，因为，所以是“快乐数”．则最大的“快乐数”是 ：若一个“快乐数”（、b、，a、b、c为自然数），且使关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，且，则k的值为 ． 23．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）规定：对于任意实数、、，有，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为 ． 24．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是 ． 25．（20-21九年级上·全国·单元测试）如图，在边长为正方形中，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿和边向D点以的速度移动，如果点P、Q分别从A、B同时出发，其中一点到终点，另一点也随之停止．过了 秒钟后，的面积等于． 26．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售，销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利1250元，则第二周每个旅游纪念品的销售价格为 元． 27．（23-24九年级下·江西宜春·阶段练习）如图所示，中，，，，点P从A点开始沿向B点以的速度移动，点Q从B点开始沿边向C点以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么 秒后，线段将分成面积的两部分． 28．（2024·贵州贵阳·一模）某数学兴趣小组编制了一道游戏试题：将“知必言，言必尽”6个字写在六张完全相同的卡片上，卡片的背面完全相同，将卡片洗匀后，背面朝上，甲随机抽出一张（不放回），乙再随机抽出一张，若甲、乙两人抽出的字相同，便称为“好朋友”．则一次试验中，甲、乙被称为“好朋友”的概率是 ． 29．（2024·浙江杭州·一模）小滨和小江分别从甲、乙两个式样、大小都相同的不透明袋子中随机抽出一张卡片，其中，甲、乙两个袋子中均装有一张写着正数的卡片和一张写着负数的卡片．把各自抽出的卡片上的数字相乘，若乘积为正数则小滨获胜，乘积为负数则小江获胜，则该场游戏小江获胜的概率是 ．若在乙袋中增加一张写着负数的卡片，甲袋中的卡片数不变，两人按照上述规则再次游戏，则小江获胜的概率和第一场游戏中小江获胜的概率相比将 ．（填“增加”“减小”或“不变”） 30．（23-24九年级上·广东梅州·期中）如图，电路图上有1个电源，4个开关和1个完好的小灯泡，随机闭合2个开关，则小灯泡发光的概率为 ．    31．（23-24九年级上·山西太原·期中）如图，在矩形中，E，F分别为边的中点，分别与交于点P，Q．若，，则的长为 ．    32．（23-24九年级上·山西运城·期中）如图，将菱形纸片折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为，若菱形的边长为，，则 cm．    33．（23-24九年级上·陕西榆林·期中）如图，在边长为4的正方形中，是的中点，连接，若是上一点，且到的距离为3，则的长为 ． 34．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图，矩形中，，．将矩形分成矩形和矩形．    （1）若矩形与矩形相似，则的长是 ； （2）若矩形与矩形相似（两矩形全等的情况除外），则的长是 ． 35．（22-23九年级上·浙江宁波·期中）如图，把一个长方形划分成三个全等的小长方形，若要使每一个小长方形与原长方形相似，则原长方形应满足 ． 36．（22-23九年级上·上海奉贤·期中）如图，在菱形中，，点E、F是对角线上的点（点E、F不与B、D重合），分别连接若四边形是菱形，且与菱形是相似菱形，那么菱形的边长是 ．（用a的代数式表示）． 37．（22-23九年级下·河北衡水·期中）如图，在矩形中，点E在上，，与相交于点O，与相交于点F．    （1）若平分，则与是否垂直？ （填“是”或“否”）； （2）图中与相似的三角形有 （写出两个即可） 38．（2023·黑龙江大庆·中考真题）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片如图所示，点在边上，现将矩形折叠，折痕为，点对应的点记为点，若点恰好落在边上，则图中与一定相似的三角形是 ．    39．（22-23九年级上·江苏无锡·期中）P是边上的任一点（P不与A、B、C重合），过点P的一条直线截，如果截得的三角形与相似，我们称这条直线为过点P的△ABC的“相似线”．中，，，当点P是边上一个三等分点时（），过点P的的“相似线”最多有 条． 40．（24-25九年级上·山东菏泽·期中）如图，点是内一点，过点分别作直线平行于的各边，所形成的三个小三角形（图中阴影部分）的面积分别是，和，则的面积是 ． 41．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图是一边长为6的菱形纸片，将纸片沿折叠，使点落在边上，点A，的对应点分别为点，，交于点．若，，则与相等的角是 （写出一个即可），的长为 ． 42．（22-23九年级上·四川内江·期中）如图，矩形是由三个全等矩形拼成的，与、分别交于点．设，，的面积依次为．若，则的值为 ． 43．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）早在西汉时期，我国天文学家就提出了一种测量日高的公式——“重差术”．如图，用长度为的杆子（“表”）在间距为的两个地点测日影，测得影长分别为、，用这种方式计算出的日高公式 ．（用、、、的代数式表示） 44．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图是一个常见铁夹的剖面图，表示铁夹的两个面，C是轴，，垂足为D，，，，且铁夹的剖面图是轴对称图形，则A，B两点间的距离为 ． 45．（23-24九年级下·福建泉州·期中）魏晋南北朝时期，中国数学在测量学取得了长足进展．刘徽提出重差术，应用中国传统的出入相补原理，通过多次观测，测量山高水深等数值，进而使中国的测量学达到登峰造极的地步，其著作《海岛算经》，就是测量海岛的高度和距离．受此题启发，小明同学依照此法测量学校后山的高度和距离，录得以下是数据（单位：米）：表目距，，表目高，表距．则山高 米． 46．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，，是上一点，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向终点运动，设运动时间为秒，当直线截存在与相似的三角形时， ．    47．（23-24九年级上·四川达州·期中）已知中，，，将折叠，使点落在边上的点处，折痕为（点．分别在边、上）．当以．．为顶点的三角形与相似时，的长为 ． 48．（22-23八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，已知矩形，长，宽，P、Q分别是、上运动的两点．若P自点A出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，Q自点B出发以2cm/s的速度沿方向运动，则经过 秒，以P、B、Q为顶点的三角形与相似．    49．（23-24九年级下·四川眉山·期中）如图，是边长为1的等边三角形，取的中点，作，，得到四边形，它的面积记为，取的中点，作，，得到四边形，它的面积记作，照此规律，则 ． 50．（2020九年级·湖北随州·学业考试）如图，在矩形纸片中，，对折矩形纸片，使与重合，折痕为，展平后再过点折叠，使点落在上的点，折痕为．再次展平，连接，，有下列结论：①；②与相似；③的长为：④若分别为线段上的动点（不包含端点），则的最小值是．其中正确结论的序号是 ． 51．（17-18九年级下·全国·单元测试）如图，CB=CA，∠ACB=90°，点D在边BC上(与点B，C不重合)，四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：①AC=FG；②S△FAB∶S四边形CBFG=1∶2；③∠ABC=∠ABF；④AD2=FQ·AC．其中所有正确结论的序号是 ．    52．（2020·四川眉山·二模）如图，是函数上两点，为一动点，作轴，轴，下列说法：①；②；③若，则平分；④若，则，正确的有 （填序号） 53．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线的中点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连接、，若平分，反比例函数的图象经过上的点A、F，且，的面积为18，则k的值为 ．    54．（23-24九年级上·广东佛山·期中）如图，双曲线与在第一象限内的图象依次是和，设点在图象上，垂直轴于点，交图象于点，垂直轴于点，交图象于点，连接、、、、，下列结论：①四边形的面积为4；②的面积为3；③；④．其中一定正确的有 个． 55．（22-23九年级下·江苏无锡·期中）如图，的直角顶点C的坐标为，顶点A，B在直线上，且轴，双曲线（k为常数，）位于第一象限． （1）当G经过点B时，点A （填“在”或“不在”）G上； （2）若点是线段AB上横坐标为整数的点（不与点A，B重合），双曲线G使这六个点分布在它的两侧，且两侧的点的个数比为，则k的取值范围为 ． 56．（23-24九年级上·安徽宿州·期中）如图，点A在直线上，轴于点B，点C在线段上，以为边作正方形，点D恰好在反比例函数（k为常数，）第一象限的图象上，连接． （1）若，，则 ； （2）若，则 ． 57．（2023·河北石家庄·二模）已知A，B，C三点的坐标如图所示． （1）若反比例函数的图象过点A，B，C中的两点，则不在反比例函数图象上的是点 ； （2）当反比例函数的图象与线段AC（含端点）有且只有一个公共点时，k的取值范围是 ．    58．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）如图是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作（为的整数）．函数的图象为曲线． （1）的坐标为 ； （2）若过点，则它必定还过另一点，则 ； （3）若曲线使得这些点分布在它的两侧，其中一侧有2个点，则的整数值有 个． 59．（20-21九年级上·云南昆明·期中）某药品研究所开发一种抗新冠肺炎的新药，经大量动物实验，首次用于临床人体实验，测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x小时之间的函数关系如图所示，即，若血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间不低于7小时，则称药物治疗有效．请根据图中信息计算并判断：血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为 个小时，这种抗菌新药 （“可以”或“不可以”）作为有效药物投入生产． 60．（18-19九年级上·山东济南·期中）某品牌的饮水机接通电源后就进入自动程序：开机加热到水温 100℃， 停止加热，水温开始下降，此时水温 y（℃）与开机后用时 x（min）成反比 例关系，直至水温降至 30℃，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重 复上述自动程序．若在水温为 30℃时，接通电源后，水温 y（℃）和时间 x（min）的关系如图所示，水温从 100℃降到 35℃所用的时间是 min．    ( 14 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中满分冲刺02之填空压轴题（九上北师大，考前必刷60道期中真题） 一、填空题 1．（23-24九年级上·河北保定·期中）如图所示的玩具，其主要部分是由六个全等的菱形组成，菱形边长为，现将玩具尾部点固定，当这组菱形形状发生变化时，玩具的头部沿射线移动，整个过程中六个菱形始终全等． （1）当的长为时，两点间的距离为 ； （2）当由变为时，点移动了 ． 【答案】 / 【分析】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质等知识点，灵活运用菱形的性质成为解题的关键． （1）如图：连接相交于O，由菱形的性质可得，运用勾股定理可得，即，最后结合图形即可解答； （2）如图：连接，由菱形的性质和已知条件可得是等边三角形，即， ，最后结合图形即可解答． 【详解】解：（1）如图：连接相交于O， ∵菱形，， ∴， ∴，即， ∴两点间的距离为； 故答案为：； （2）如图：连接相交于O， 当时， ∵菱形，， ∴， ∴是等边三角形，即， ∴两点间的距离为； 当时， ∵菱形，， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形，即， ∴两点间的距离为； ∴点移动了． 故答案为：． 2．（22-23八年级下·福建泉州·期末）如图，在菱形中，，点P为线段上不与端点重合的一个动点．过点P作直线、直线的垂线，垂足分别为点E、点F．连结，在点P的运动过程中，的最小值等于 ．    【答案】7.8 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理和线段最值问题，点到直线的所有线段中，垂线段最短，连接交于点O，连接，先通过菱形的性质和勾股定理，计算出的长度，再根据建立等式推算出的值为定值，最后利用垂线段最短即可得到答案． 【详解】解：如图，连接交于点O，连接，    ∵四边形是菱形， ∴，，， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， 即的值为定值， 当最小时，有最小值， ∵当时，的最小值， ∴的最小值， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·山东日照·期中）如图，菱形的四个顶点均在坐标轴上，已知点，，，点P是菱形边上的一个动点，连接，把绕着点E顺时针旋转得到，连接．若点P从点A出发，以每秒5个单位长度沿方向运动，则第秒时，点F的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，旋转的性质，全等三角形判定与性质等知识点，发现运动规律，找到第秒是点的位置，然后作辅助线构造全等三角形是解本题的关键,首先根据四边形是菱形和的坐标，求出再根据题中运动方式可知点的运动轨迹每4秒一个循环，得到第秒时点的坐标与第3秒时点的坐标相同,画出第3秒时的位置，过点作轴于点，可证再根据全等三角形对应边相等，可得点的坐标． 【详解】解：∵四边形是菱形, ∵点从点出发，以每秒5个单位长度沿方向运动， ∴点的运动轨迹每4秒一个循环， ∴第秒时，点的坐标与第3秒时点的坐标相同，第3秒时点在点， 如图， 过点作 轴于点， 又且 ∴. 故答案为：． 4．（20-21八年级下·浙江绍兴·期末）如图，矩形的对角线交于点O，，过点O作，交于点E，过点E作，垂足为F，则的值为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理等知识，依据矩形的性质即可得到的面积为12，再根据，即可得到的值． 【详解】解：∵， ∴矩形的面积为48，， ∴， ∵对角线交于点， ∴的面积为12， ∵ ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（2024·河南南阳·一模）如图，矩形中，，点为边上一个动点，将沿折叠得到，点的对应点为，当射线恰好经过的中点时，的长为 ．    【答案】或/8或2 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，分点在线段中点的左边和右边两种情况，画出图形解答即可求解，运用分类讨论思想解答并正确画出图形是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于，    ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形为矩形，， ∴，， 由折叠可得，，，， ∴，， ∵点为的中点， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴； 如图，过点作与，则四边形是矩形，，    ∴，， 由折叠可得，，， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴； 综上，的长为或， 故答案为：或． 6．（22-23九年级上·安徽芜湖·期中）如图，在矩形中，，，为中点，是线段上一点，设（），连接并将它绕点顺时针旋转得到线段，连接、，则在点从点向点的运动过程中，则：①当时， ；②的最小值为 ． 【答案】 或 【分析】分和两种情况，过点作于点，证明，得到；连接，得到或；当时，有最小值，求解即可． 【详解】解：如图，当，点在线段上时，过点作于点． ∴ ∵四边形是矩形， ∴， 为中点， ． 将绕顺时针旋转得到线段， ，， ，， ． 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ∴ 如图，当，点在线段上时，过点作于点． 同理可得， ， ， ， ， ， ∴ ∵， ∴点在与直线成夹角的直线上运动， 当时，有最小值，如图 ∵ ∴， 在中， ∴， 的最小值为， 故答案为：或，． 【点睛】此题考查了矩形的性质、旋转的性质、全等三角形的证明、求线段最值，解题的关键是添加辅助线证明三角形全等． 7．（23-24九年级上·宁夏银川·期中）如图，在正方形中，将沿对折至，延长交边于点G，连接．若，则正方形的边长是 ． 【答案】12 【分析】根据折叠及正方形的性质证明，设正方形的边长为，则在中由勾股定理建立方程，再求解即可． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 由折叠的性质可知，，， ， . 又， . ∴， 设正方形的边长为，则， 在中，， ， 解得或（舍）， ∴正方形的边长为12， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，折叠的性质，证明出时解题的关键． 8．（23-24九年级上·江西景德镇·期中）如图，在矩形中，，点P从点A向点D以的速度运动，点Q以的速度从点C出发，在B，C两点之间做往返运动，两点同时出发，点P到达点D时，两点同时停止运动，这段时间内，若以P，Q，C，D四点为顶点的四边形是矩形，那么运动时间为 ． 【答案】或； 【分析】本题考查了矩形的判定，根据四边形是矩形得到，，根据运动表示出、，结合矩形的判定得到当时以P，Q，C，D四点为顶点的四边形是矩形列式求解即可得到答案； 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵，点P从点A向点D以的速度运动，点Q以的速度从点C出发，在B，C两点之间做往返运动， ∴，或， ∵以P，Q，C，D四点为顶点的四边形是矩形， ∴， ∴或， 解得：或， 故答案为：或． 9．（24-25九年级上·河南信阳·期中）如图所示，P是正方形内一点，且，，，以B为旋转中心，将按顺时针方向旋转至，边与边重合，则正方形的面积为 ． 【答案】5 【分析】根据旋转的性质得到，，然后根据勾股定理的逆定理可求，根据等腰直角三角形的性质可求，从而求出，再求得点共线，作于点，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵将按顺时针方向绕旋转得到，， ∴，， ∴； ∵将按顺时针方向绕旋转得到，， ∴，， 又，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点共线， 作于点， ∵，，， ∴，， ∴， ∴正方形的面积为， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理与勾股定理的逆定理等知识，掌握旋转的性质是解题的关键． 10．（22-23九年级上·江苏镇江·阶段练习）若是关于的方程的一个解，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握配方法求最大值是解题的关键；将代入，再求，利用配方法求最大值即可求解； 【详解】解：将代入， 可得： 则 当时取得最大值， 故答案为： 11．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）关于x的方程的解是，（a、b、m为常数，），则方程的解是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程的解，把方程看作关于的一元二次方程，根据题意得出，，计算即可得解． 【详解】解：把方程看作关于的一元二次方程， ∵关于x的方程的解是，， ∴，， 解得：，， 故答案为：，． 12．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如果，是关于x的一元二次方程的两个根，那么关于x的一元二次方程的解为 ． 【答案】或 【分析】此题考查了一元二次方程的解，因式分解法解一元二次方程．当时，将5代入得到，然后结合得到或，然后求解即可；当时，同理求解即可． 【详解】解：当时，将5是关于x的方程的根， ∴，得， ∵， ∴或或或， 解得或． 当时，将是关于x的方程的根， ∴，得， ∵， ∴或或或， 解得或． 故答案为：或． 13．（22-23九年级上·山东滨州·期末）已知为方程的根，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，也考查了代数式的变形，利用整体代入法的思想是解答本题的关键．根据一元二次方程的解的定义得到，然后对原式进行化简，再将整体代入即可． 【详解】解：∵a为方程的根， ∴， ∵ ， 将代入，则 原式 ， 故答案为：． 14．（22-23九年级上·内蒙古兴安盟·期中）已知是方程一个实数根，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了方程的解的概念、代数式的变形、整体代入的数学思想方法等知识点，掌握整体代入思想是解题的关键. 由m是方程的一个实数根可得与的值，然后整体代入所求式子计算即可. 【详解】解：∵m是方程的一个实数根， ∴，显然，两边同时除以m得：， ∴，， ∴. 故答案为：. 15．（23-24九年级上·福建厦门·期末）已知是方程的一个根，则 . 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，得出，代入代数式，即可求解． 【详解】解：依题意， ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 16．（19-20九年级上·湖北孝感·阶段练习）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的根的判别式．熟练掌握一元二次方程的定义，有实数根，则是解题的关键． 根据，，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，，， 解得，，， ∴k的取值范围是且， 故答案为：且． 17．（22-23九年级上·四川凉山·期中）若a，b是两个不相等的实数，且满足，，则代数式的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，，． 先根据一元二次方程的解得的定义得到a，b是方程的两个根，，将代数式化为，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵a，b是两个不相等的实数，且满足，， ∴a，b是方程的两个根， ∴， ∵， ∴， ∴， ， 故答案为：4． 18．（23-24九年级上·四川广元·期中）已知关于的一元二次方程的两实数根为．设，则的最小值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，一次函数的性质，利用根的判别式和根与系数的关系找出m的取值范围和y关于m的函数关系式，再根据一次函数的性质即可得答案． 【详解】解：已知关于的一元二次方程的两实数根为， 即的两实数根为， ，， ， ， y随m的增大而减小， 当时，y最小，的最小值为， 故答案为：1． 19．（2024·浙江杭州·二模）关于一元二次方程，有以下命题： ①若，则； ②若该方程的两根为和1，则； ③若上述方程有两个相等的实数根，则必有实数根； ④若r是该方程的一个根，则一定是方程的一个根． 其中真命题是 ．（只需填写序号） 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查一元二次方程的根，根据题意得，则，故①是真命题；根据题意得，则②是真命题；由题意得，则方程的判别式：，由于a的符号不确定，故③是假命题；由题意得，且，则，有，可得是的一个根，故④是真命题． 【详解】解：若，则， ∴，故①是真命题； 若该方程的两根为和1，则， ∴， ∴，故②是真命题； 若有两个相等的实数根，则， ∴的判别式：， ∵a的符号不确定， ∴方程根的情况不确定，故③是假命题； 若r是该方程的一个根，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的一个根，故④是真命题； 故答案为：①②④． 20．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）对于一元二次方程有下列说法： ①若，则方程必有一个根为； ②若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则； 其中正确的是 ．（填序号） 【答案】②④/④② 【分析】本题考查一元二次方程的根的定义和根的判别式，在中，令，可判断①；若方程有两个不相等的实根，可得，可判断②；若是方程的一个根，得，如果，那么，可判断③；若是一元二次方程的根，可得，可判断④．解题关键掌握：①出现方程的根时，直接代入方程即可；①已知关于的一元二次方程，如果方程有两个不相等的实数根，则；如果方程有两个相等的实数根，则；如果方程没有实数根，则，反之也成立． 【详解】解：若， 当时，得：， ∴方程必有一个根为，故说法①错误； 若方程有两个不相等的实根，则，即， ∴， ∴方程必有两个不相等的实根，故说法②正确； 若是方程的一个根，则， 如果，那么，故说法③错误； 若是一元二次方程的根，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故说法④正确； ∴正确的有②④． 故答案为：②④． 21．（23-24九年级上·江苏镇江·阶段练习）对于一元二次方程，下列说法： 若方程有一根，则；若，则；若方程的两个根是，，那么方程的两个根为，；若是方程的一个根，则一定有成立．其中正确的有 个．（填个数） 【答案】3 【分析】本题考查一元二次方程的解，根的判别式，分别根据一元二次方程的解，根的判别式判断即可． 【详解】解：①若方程有一根，则，即，故①正确； ②若，则可知方程有一个根为， 则，故②正确； ③若方程的两个根是， 所以方程的两个根为，，故③正确； ④若c是方程的一个根， 则， 当时，则一定有成立，故④错误． 综上分析可知：其中正确的是①②③，共3个． 故答案为：3． 22．（23-24九年级上·重庆南岸·期中）对任意一个三位数k，如果满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字等于百位上的数字与个位上的数字的平均数，那么称这个数为快乐数”、例如，，因为，所以是“快乐数”．则最大的“快乐数”是 ：若一个“快乐数”（、b、，a、b、c为自然数），且使关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，且，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，一元二次方程根的判别式．理解题意，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 根据“快乐数”的定义，可求最大的“快乐数”， 由，可得，由关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，可得，即，进而可求，由，、b、，a、b、c为自然数，可求，然后作答即可． 【详解】解：由题意知，， ∴是最大的“快乐数”， ∵， ∴， ∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，即， ∵，， ∴， 解得，， ∴， ∵， ∴， ∵、b、，a、b、c为自然数， ∴， ∴k的值为， 故答案为：；． 23．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）规定：对于任意实数、、，有，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】根据题意得到，再由有两个不相等的实数根得到，且，即可得到答案． 本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，解题的关键是：根据题意正确列式． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 解得：且， 故答案为：且． 24．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于与的方程组，求出方程组的解得到与的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最大值即可． 【详解】解：， 与是“同族二次方程”， ∴，， ∴， 由①得，， 代入②得， 解得：， ∴， ， 则代数式的最小值是． 故答案为：． 25．（20-21九年级上·全国·单元测试）如图，在边长为正方形中，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿和边向D点以的速度移动，如果点P、Q分别从A、B同时出发，其中一点到终点，另一点也随之停止．过了 秒钟后，的面积等于． 【答案】2或 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用的知识点，解答本题的关键是Q点的运动位置，此题很容易漏掉一种情况，此题难度一般．设经过x秒，的面积等于，分类讨论当秒时，Q点在上运动，P在上运动，求出面积的表达式，求出一个值，当秒时，Q点在上运动，P在上运动，根据条件列出一个一元一次方程，求出一个值． 【详解】解：设经过x秒，的面积等于， 当秒时，Q点在上运动，P在上运动， ，， ∴， 解得或4， 又知， 故符合题意， 当秒时，Q点在上运动，P在上运动， ， 解得． 故答案为：2或． 26．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售，销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利1250元，则第二周每个旅游纪念品的销售价格为 元． 【答案】9 【分析】本题考查一元二次方程的应用，由纪念品的进价和售价以及销量分别表示出两周的总利润，根据“这批旅游纪念品共获利1250元”等式求出即可．理解题意，正确列出方程是解答的关键． 【详解】解：设降低x元，由题意得出: ， 整理得：， 解得：． ∴． 即：第二周的销售价格为9元． 故答案为：9． 27．（23-24九年级下·江西宜春·阶段练习）如图所示，中，，，，点P从A点开始沿向B点以的速度移动，点Q从B点开始沿边向C点以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么 秒后，线段将分成面积的两部分． 【答案】2或4 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找出等量关系正确列方程是解题关键．设运动时间为，根据题意可得，，再根据三角形面积公式分两种情况求解即可． 【详解】解：设运动时间为，则，， ∵，， ∴cm， ∵线段将分成面积的两部分， ∴或， ∴，或， 整理得：或（无实数解），     解得，， 即线段将分成面积的两部分，运动时间为2或4秒． 故答案为：2或4． 28．（2024·贵州贵阳·一模）某数学兴趣小组编制了一道游戏试题：将“知必言，言必尽”6个字写在六张完全相同的卡片上，卡片的背面完全相同，将卡片洗匀后，背面朝上，甲随机抽出一张（不放回），乙再随机抽出一张，若甲、乙两人抽出的字相同，便称为“好朋友”．则一次试验中，甲、乙被称为“好朋友”的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查列表法与树状图求概率，熟练掌握列表法与树状图是解题的关键．根据题意列表求出所有等可能的结果即可得到答案． 【详解】解：列表如下： 知 必 言 言 必 尽 知 （必，知） （言，知） （言，知） （必，知） （尽，知） 必 （知，必） （言，必） （言，必） （必，必） （尽，必） 言 （知，言） （必，言） （言，言） （必，言） （尽，言） 言 （知，言） （必，言） （言，言） （必，言） （尽，言） 必 （知，必） （必，必） （言，必） （言，必） （尽，必） 尽 （知，尽） （必，尽） （言，尽） （言，尽） （必，尽） 共有种等可能的情况，其中甲、乙两人抽出的字相同有种， 故甲、乙被称为“好朋友”的概率是． 故答案为：． 29．（2024·浙江杭州·一模）小滨和小江分别从甲、乙两个式样、大小都相同的不透明袋子中随机抽出一张卡片，其中，甲、乙两个袋子中均装有一张写着正数的卡片和一张写着负数的卡片．把各自抽出的卡片上的数字相乘，若乘积为正数则小滨获胜，乘积为负数则小江获胜，则该场游戏小江获胜的概率是 ．若在乙袋中增加一张写着负数的卡片，甲袋中的卡片数不变，两人按照上述规则再次游戏，则小江获胜的概率和第一场游戏中小江获胜的概率相比将 ．（填“增加”“减小”或“不变”） 【答案】 /0.5 不变 【分析】本题考查的是统计与概率，正确找出可能出现的结果数是解题的关键． 甲、乙两个袋子中均装有一张写着正数的卡片和一张写着负数的卡片时，找出所有等可能的结果数以及成绩为负数的结果数，再利用概率公式可得该场游戏小江获胜的概率；在乙袋中增加一张写着负数的卡片，甲袋中的卡片数不变时，找出等可能得结果数以及乘积为负数结果数，再利用概率公式可得此时小江获胜的概率，再作比较即可． 【详解】共有4种等可能得结果，分别为：（正数，负数）、（负数，正数）、（正数，正数）、（负数，负数），其中乘积为负数的结果有：（正数，负数），（负数，正数）共2种，所以该场游戏小江获胜的概率是； 乙袋中增加一张写着负数的卡片，甲袋中的卡片数不变，两人按照上述规则再次游戏，共有6种等可能的结果，分别为：（正数，正数）、（正数，负数）、（正数，负数）、（负数，正数）（负数，负数）、（负数，负数），其中乘积为负数的结果有：（正数，负数），（正数，负数），（负数，正数），共三种，所以该场小江获胜的概率是，所以小江获胜的概率和第一场游戏中小江获胜的概率相比将不变． 故答案为：；不变 30．（23-24九年级上·广东梅州·期中）如图，电路图上有1个电源，4个开关和1个完好的小灯泡，随机闭合2个开关，则小灯泡发光的概率为 ．    【答案】 【分析】本题考查了列表法或树状图法，首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小灯泡发光的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：将左边两个开关记作A、B，右边两个开关记作C、D， 画树状图得：    ∵共有12种等可能的结果，现任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的有8种情况， ∴小灯泡发光的概率为， 故答案为：． 31．（23-24九年级上·山西太原·期中）如图，在矩形中，E，F分别为边的中点，分别与交于点P，Q．若，，则的长为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了平行线平行线分线段成比例定理，同时也利用了矩形的性质和全等三角形的判定和性质，如图，延长交于G，首先利用已知条件证明，然后利用勾股定理求出，也就求出，最后利用平行线的性质得到比例线段即可求出． 【详解】解：如图，延长交于G ，   ∵E为的中点， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， 而， ∴， ∴， ∵E，F分别为边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 32．（23-24九年级上·山西运城·期中）如图，将菱形纸片折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为，若菱形的边长为，，则 cm．    【答案】3 【分析】连接，，交于点M，利用轴对称图形和菱形对角线互相垂直平分的性质可知，再由平行线分线段成比例可得F是中点，E是中点，于是是的中位线，因此，在中利用勾股定理求得即可； 【详解】解：如下图，连接，，交于点M，    ∵折叠， ∴垂直平分， ∵菱形的对角线互相垂直平分，对角相等， ∴，， ∴， ∵M是中点，， ∴， ∴F是中点，E是中点， ∴是的中位线， ∴， ∵菱形的每一条对角线平分一组对角，， ∴， 中，，， ∴，， ∴， 故答案为：； 【点睛】本题考查了轴对称图形的性质，菱形的性质，平行线分线段成比例，三角形的中位线和勾股定理等知识；综合性较强，利用菱形对角线的性质作辅助线是解题关键． 33．（23-24九年级上·陕西榆林·期中）如图，在边长为4的正方形中，是的中点，连接，若是上一点，且到的距离为3，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】根据勾股定理求出，再由平行线分线段成比例即可求解． 【详解】过点P作， ∵在正方形中，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴，， ∵ ∴，即， ∴，即． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例，正方形性质、勾股定理等，解题关键是理解到的距离是垂线段的长． 34．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图，矩形中，，．将矩形分成矩形和矩形．    （1）若矩形与矩形相似，则的长是 ； （2）若矩形与矩形相似（两矩形全等的情况除外），则的长是 ． 【答案】 2或8 【分析】本题考查了矩形的性质，相似多边形的性质．根据相似写出比例关系是解题的关键． （1）由矩形的性质可知，，设，则，由矩形与矩形相似，分当时，当时，两种情况求出满足要求的解即可； （2）由矩形与矩形相似，可知，即，计算求出满足的解即可． 【详解】（1）解：∵矩形， ∴，， 设，则， ∵矩形与矩形相似， ∴当时，即，解得（舍去）； 当时，即，解得； 综上，， 故答案为：； （2）解：∵矩形与矩形相似， ∴，即，整理得，，解得或， ∴的值为2或8； 故答案为：2或8． 35．（22-23九年级上·浙江宁波·期中）如图，把一个长方形划分成三个全等的小长方形，若要使每一个小长方形与原长方形相似，则原长方形应满足 ． 【答案】 【分析】根据题意可得，矩形矩形，然后利用相似多边形的性质可得，从而可得，进行计算即可解答． 【详解】解：如图： 由题意得： ，矩形矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似多边形的性质，矩形的性质，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键． 36．（22-23九年级上·上海奉贤·期中）如图，在菱形中，，点E、F是对角线上的点（点E、F不与B、D重合），分别连接若四边形是菱形，且与菱形是相似菱形，那么菱形的边长是 ．（用a的代数式表示）． 【答案】/ 【分析】连接，根据菱形对角线互相垂直，构建直角三角形，再根据相似，得出，再根据直角三角形30°角所对的边是斜边的一半得出，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：连接， ∵四边形为菱形，， ∴，， ∴， ∵菱形与菱形相似， ∴， ∴， ∴， 根据勾股定理可得：， 即，解得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，相似的性质，解题的关键是熟练掌握菱形对角线互相垂直，相似多边形对应角相等． 37．（22-23九年级下·河北衡水·期中）如图，在矩形中，点E在上，，与相交于点O，与相交于点F．    （1）若平分，则与是否垂直？ （填“是”或“否”）； （2）图中与相似的三角形有 （写出两个即可） 【答案】 是 ， 【分析】（1）根据矩形的性质和角平分线的定义即可得出结论； （2）根据判定两个三角形相似的判定定理，找到相应的角度相等即可得出． 【详解】（1）如图，    ∵矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：是； （2）∵， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， 又， ∴； 故答案为：，． 【点睛】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定，等边对等角．熟练掌握矩形的性质，是解题的关键． 38．（2023·黑龙江大庆·中考真题）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片如图所示，点在边上，现将矩形折叠，折痕为，点对应的点记为点，若点恰好落在边上，则图中与一定相似的三角形是 ．    【答案】 【分析】由矩形的性质得，从而得到，由折叠的性质可得：，从而得到，由此推断出． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， 由折叠的性质可得：， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定，是解题的关键． 39．（22-23九年级上·江苏无锡·期中）P是边上的任一点（P不与A、B、C重合），过点P的一条直线截，如果截得的三角形与相似，我们称这条直线为过点P的△ABC的“相似线”．中，，，当点P是边上一个三等分点时（），过点P的的“相似线”最多有 条． 【答案】4 【分析】根据相似线的定义，可知截得的三角形与有一个公共角，分①公共角为时；②公共角为时；③公共角为时；三种情况进行讨论，即可得出答案． 【详解】解：①当公共角为时，不存在； ②公共角为时，过点作，交于点D，如图所示： ∵，， ∴； 过点P作于点D，如图所示： ∵，， ∴； ③公共角为时， 连接，如图所示： ∵， ∴， 设，则， ， ∵点P是边上一个三等分点，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴； 过点P作，交于点D，如图所示： ∵， ∴，， ∴； 综上分析可知，过点P的的“相似线”最多有4条． 故答案为：4. 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，平行线的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法． 40．（24-25九年级上·山东菏泽·期中）如图，点是内一点，过点分别作直线平行于的各边，所形成的三个小三角形（图中阴影部分）的面积分别是，和，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，根据题意可得，可得，可得对应边的比为，设，则，由此可得，则，根据面积比等于对应边比的平方即可求解． 【详解】解：如图所示，由题意可得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的面积分别为， ∴对应边的比为， ∵四边形，四边形是平行四边形， ∴， 设，则，， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 故答案为： ． 41．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图是一边长为6的菱形纸片，将纸片沿折叠，使点落在边上，点A，的对应点分别为点，，交于点．若，，则与相等的角是 （写出一个即可），的长为 ． 【答案】 2.8 【分析】此题重点考查菱形的性质、轴对称的性质、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线并且证明是解题的关键． 延长、交于点，由菱形的性质得，，，则，，由折叠得，，，所以，由，得，所以，即可证明，根据相似三角形的性质得到，对应边成比例求得． 【详解】解：延长、交于点， ∵四边形是菱形， ∴， ． ∴． ∵， ∴． ∴． 由折叠知， ， ∴． ∴，． ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴． 故答案为：；2.8 42．（22-23九年级上·四川内江·期中）如图，矩形是由三个全等矩形拼成的，与、分别交于点．设，，的面积依次为．若，则的值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的面积公式，得出，是解题关键． 由条件可以得出，可以求出与的相似比为，与相似比为，由相似三角形的性质，就可以求出，从而可以求出． 【详解】解：矩形是由三个全等矩形拼成的， ，， 四边形，四边形是平行四边形，， ， ，， ，， ， ，， ， ， ， ． 故答案为：8． 43．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）早在西汉时期，我国天文学家就提出了一种测量日高的公式——“重差术”．如图，用长度为的杆子（“表”）在间距为的两个地点测日影，测得影长分别为、，用这种方式计算出的日高公式 ．（用、、、的代数式表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据，，即：，可得，同理，可得，即：，则有，问题随之得解． 【详解】如图， 根据题意有：，，，，，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴，即：， ∴， 同理， ∴，即：， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 44．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图是一个常见铁夹的剖面图，表示铁夹的两个面，C是轴，，垂足为D，，，，且铁夹的剖面图是轴对称图形，则A，B两点间的距离为 ． 【答案】30 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，轴对称图形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等，连结，延长交于H，先证，再根据相似三角形对应边成比例进行求解． 【详解】解：连结，延长交于H，如图， 在中，， 铁夹的剖面图是轴对称图形， ，， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：30． 45．（23-24九年级下·福建泉州·期中）魏晋南北朝时期，中国数学在测量学取得了长足进展．刘徽提出重差术，应用中国传统的出入相补原理，通过多次观测，测量山高水深等数值，进而使中国的测量学达到登峰造极的地步，其著作《海岛算经》，就是测量海岛的高度和距离．受此题启发，小明同学依照此法测量学校后山的高度和距离，录得以下是数据（单位：米）：表目距，，表目高，表距．则山高 米． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的实际应用，根据已知条件可得，，代入求值即可． 【详解】∵、、为高， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， 解得， ∴ ∴． 故答案为：． 46．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，，是上一点，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向终点运动，设运动时间为秒，当直线截存在与相似的三角形时， ．    【答案】或/4.8或7.5 【分析】本题考查相似三角形中的动点问题．分和两种情况进行讨论求解即可．掌握相似三角形的性质，是解题的关键． 【详解】解：由题意，得：，， 当直线截存在与相似的三角形时，分两种情况讨论： ①当时，则：， 即：，解得：； ②当时，则：， 即：，解得：； 综上：或； 故答案为：或． 47．（23-24九年级上·四川达州·期中）已知中，，，将折叠，使点落在边上的点处，折痕为（点．分别在边、上）．当以．．为顶点的三角形与相似时，的长为 ． 【答案】3或 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质：有两个角对应相等的两个三角形相似；相似三角形的对应边的比相等．也考查了折叠的性质以及等腰三角形的性质，学会分类讨论的思想，不能漏解，属于中考常考题型． 分两种情形如图中，当 时，当时，分别求解即可． 【详解】解：如图， 当时， ∵， ∴， ∴，设交于点， 当时， 则 ，此时， 设，作于， 则， 或 故答案为：3或． 48．（22-23八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，已知矩形，长，宽，P、Q分别是、上运动的两点．若P自点A出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，Q自点B出发以2cm/s的速度沿方向运动，则经过 秒，以P、B、Q为顶点的三角形与相似．    【答案】或 【分析】要使以P、B、Q为顶点的三角形与相似，则要分两种情况进行分析．分别是或，利用相似的性质得出比例线段并建立方程即可． 【详解】解：设经x秒后，以P、B、Q为顶点的三角形与相似， 则，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，，    ①当时，有， ∴，即， 解得； ②当时，有， ∴，即， 解得， ∴经过2秒或秒时,以P、B、Q为顶点的三角形与相似． 故答案为：2或． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，正确分类是解题的关键． 49．（23-24九年级下·四川眉山·期中）如图，是边长为1的等边三角形，取的中点，作，，得到四边形，它的面积记为，取的中点，作，，得到四边形，它的面积记作，照此规律，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，三角形中位线定理，等边三角形的性质和应用，找出规律，是解题的关键． 首先求出是三角形的中位线，得出，根据相似三角形的性质得出，根据的面积求出，，求出，同理 ， 根据规律可写出，再n将取2023，计算即可得答案． 【详解】解∶的中点，， 为中点， ， ， ， ， 的面积是 ， 推理， ， 同理 ， 故答案为∶ 50．（2020九年级·湖北随州·学业考试）如图，在矩形纸片中，，对折矩形纸片，使与重合，折痕为，展平后再过点折叠，使点落在上的点，折痕为．再次展平，连接，，有下列结论：①；②与相似；③的长为：④若分别为线段上的动点（不包含端点），则的最小值是．其中正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】①如图，连接AN，根据线段垂直平分线的性质得到AN=BN，根据折叠的性质得到AB=BN，推理出△ABN为等边三角形，得到∠ABN=60°，于是得到∠ABM=∠MBN=∠CBN=30°，即结论①正确； ②根据折叠的性质，可得∠BNM=∠BAD=90°，∠BEN=∠AEN=90°，根据相似三角形的判定定理得到△BEN与△BMN相似，即结论②正确； ③解直角三角形得到MN=BN=，即结论③错误； ④过A作AQ⊥BN于Q交BM于P，则此时PN+PQ的值最小，且PN+PQ=AQ，解直角三角形得到PN+PQ的最小值是 .即结论④正确． 【详解】解:①如图，连接AN， ∵EF垂直平分AB，∴AN=BN， 根据折叠的性质，可得AB=BN， ∴AN=AB=BN=2． ∴△ABN为等边三角形， ∴∠ABN=60°， ∴∠ ABM=∠MBN=∠CBN=30°， 即结论①正确； ②根据折叠的性质，可得∠BNM=∠BAD=90°，∠BEN=∠AEN=90 °， ∴∠BEN=∠BNM， ∵∠MBN=30°，∠EBN=60°，∴∠BMN=60°， ∴∠EBN= ∠BMN， ∴△BEN与△BMN相似， 即结论②正确； ③∵∠ABM=∠MBN=30°， BN=AB=2，∠BNM=∠BAM=90°， ∴MN=BN=，即结论③错误； ④∵A点和N点关于BM对称， ∴过A点作于Q交BM于P， 此时PN+PQ的值最小，且PN+PQ=AQ， ∵∠ABQ=60°，AB=2， ∴AQ=AB=， ∴PN+PQ的最小值是 . 即结论④正确． 故答案为①②④． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质的应用以及矩形的性质和应用，还考查了折叠的性质和应用． 51．（17-18九年级下·全国·单元测试）如图，CB=CA，∠ACB=90°，点D在边BC上(与点B，C不重合)，四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：①AC=FG；②S△FAB∶S四边形CBFG=1∶2；③∠ABC=∠ABF；④AD2=FQ·AC．其中所有正确结论的序号是 ．    【答案】①②③④ 【分析】根据∠G=∠C=∠FAD=90°，可知K型全等，证得△ACD≌△FGA ，所以AC=FG；FG =BC，FG∥BC，可得四边形BFGC是平行四边形，再加∠C=90°，可得四边形BFGC是矩形；根据△ABC是等腰直角三角形，可得∠ABC=∠ABF；由AD2=FQ·AC，可知是证△ACD∽△FEQ，再根据四边形ADEF是正方形就可证得． 【详解】解：∵∠G=∠C=∠FAD=90°， ∴∠CAD=∠AFG． ∵AD=FA， ∴△ACD≌△FGA， ∴AC=FG，故①正确； ∵FG=AC=BC，FG∥BC，∠C=90°， ∴四边形CBFG为矩形， ∴S△FAB=FB·FG=S四边形CBFG， 故②正确； ∵CA=CB，∠C=∠CBF=90°， ∴∠ABC=∠ABF=45°， 故③正确； ∵∠FQE=∠DQB=∠ADC，∠E=∠C=90°， ∴△ACD∽△FEQ， ∴AC∶FE=AD∶FQ， ∴AD·FE=AD2=FQ·AC， 故④正确． 故答案为：①②③④． 【点睛】本题属于几何综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，矩形的判定，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握好各类性质和判定是解决本题的关键． 52．（2020·四川眉山·二模）如图，是函数上两点，为一动点，作轴，轴，下列说法：①；②；③若，则平分；④若，则，正确的有 （填序号） 【答案】②③④ 【分析】本题考查的是反比例函数的性质、三角形面积公式、角平分线的判定、矩形的判定与性质，掌握反比例函数图象上点的坐标特征、正确作出辅助线是解此题的关键． 由为一动点得出与不一定相等，判断出①错误；设出点的坐标，得出、，利用三角形面积公式计算即可判断②；利用角平分线的判定定理即可判断③；求出矩形的面积等于，进而得出，根据三角形的面积公式计算即可判断④． 【详解】解： 为一动点， 与不一定相等， 与不一定全等，故①错误，不符合题意； 设， 轴， ， ， ， 轴， ， ， ， ，故②正确，符合题意； 如图，作于，于， ， ， ，， 平分，故③正确，符合题意； 如图，延长交轴于，延长交轴于，则轴，轴， ， 四边形是矩形， 是函数上两点， ， ， ， ， ， ，， ，故④正确，符合题意； 综上所述，正确的有②③④， 故答案为：②③④． 53．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线的中点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连接、，若平分，反比例函数的图象经过上的点A、F，且，的面积为18，则k的值为 ．    【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质、平行线的性质和判定、反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是通过平行线的判定和性质得到和的面积相等． 连接，先由平分得，由矩形的性质得到，从而得到，故而，再由平行线的性质得到和的面积相等，然后设点的坐标，结合得到点和点的坐标，最后结合的面积求出的取值． 【详解】解：连接，则，   ， 平分， ， ， ， ， 设， ， ，， ， ， 故答案为：． 54．（23-24九年级上·广东佛山·期中）如图，双曲线与在第一象限内的图象依次是和，设点在图象上，垂直轴于点，交图象于点，垂直轴于点，交图象于点，连接、、、、，下列结论：①四边形的面积为4；②的面积为3；③；④．其中一定正确的有 个． 【答案】2 【分析】本题是反比例函数的综合题，查了比例系数的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于．根据反比例函数系数的几何意义以及相似三角形的判定方法逐一判断即可． 【详解】解：根据题意，， ， 四边形的面积，故①正确； 的面积，故②错误； ，， ， ，故③错误； ，， ， ，， ， ． 又， ，故④正确． 一定正确的有2个． 故答案为：2． 55．（22-23九年级下·江苏无锡·期中）如图，的直角顶点C的坐标为，顶点A，B在直线上，且轴，双曲线（k为常数，）位于第一象限． （1）当G经过点B时，点A （填“在”或“不在”）G上； （2）若点是线段AB上横坐标为整数的点（不与点A，B重合），双曲线G使这六个点分布在它的两侧，且两侧的点的个数比为，则k的取值范围为 ． 【答案】 不在 且 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的图像综合问题： （1）先求出点A、B坐标，可得双曲线解析式，再代入点A的横坐标坐标计算即可得到答案； （2）先求出各点的坐标，双曲线两边分别有2个点和4个点，根据k值越大，双曲线开口越大，找到当双曲线经过点之间时，取得最小值，当双曲线经过点之间时，取得最大值，并排除双曲线过时的情形，然后联立求出k的取值范围． 【详解】解：（1）的直角顶点C的坐标为，轴， 则轴， ∴设点， ∵顶点A，B在直线上， 将代入得， 点A的坐标为， 令，解得， 点B的坐标为，代入，得， 双曲线G的解析式为， 当时，， 点A不在双曲线G上， 故答案为：不在； （2）点是线段上横坐标为整数的点（不与点A，B重合）， 分别为、、、、、， 由图可知，在第一象限，k值越大，双曲线图像越远离x轴而越接近y轴，即开口越大， 当双曲线经过点之间时，双曲线的一侧有、2个点，另一侧有4个点，此时k取得最小值； 当时，有，即； 当双曲线经过点之间时，双曲线的一侧有、2个点，另一侧有 4个点，此时，此时k取得最大值； 当时，有，即； 但双曲线不能过，此时有一个点在双曲线上不满足两侧的点的个数比为的条件，即，； 综上，k的取值范围为且， 故答案为：且． 56．（23-24九年级上·安徽宿州·期中）如图，点A在直线上，轴于点B，点C在线段上，以为边作正方形，点D恰好在反比例函数（k为常数，）第一象限的图象上，连接． （1）若，，则 ； （2）若，则 ． 【答案】 16 14 【分析】（1）根据，可以计算出点的坐标为，进而计算出的值； （2）设正方形的边长为，，则，，利用等腰直角三角形的性质得，，点在反比例函数的图象上，，可得，再代入计算． 【详解】解：（1）∵点A在直线上，， ∴，即， ，， ，点的横坐标为：， 点的坐标为：， ． 故答案为：16； （2）设正方形的边长为，， 则，， ，， 点在反比例函数的图象上，， ，即， ， 故答案为：14． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，正方形的性质，勾股定理，平方差公式，等腰直角三角形的判定和性质． 57．（2023·河北石家庄·二模）已知A，B，C三点的坐标如图所示． （1）若反比例函数的图象过点A，B，C中的两点，则不在反比例函数图象上的是点 ； （2）当反比例函数的图象与线段AC（含端点）有且只有一个公共点时，k的取值范围是 ．    【答案】 C 或 【分析】（1）写出三个点的坐标，比较三个点的横纵坐标的积的情况，即可得解； （2）求出直线的解析式，联立两个解析式，转化为一元二次方程，利用两个函数只有一个交点时，，求出一个值，再求出反比例函数过线段的两个端点时的值，进行判断即可． 【详解】解：（1）由坐标系可知，， ∵， ∴反比例函数的图象过点A、B，点C不在反比例函数图象上， 故答案为：C； （2）设直线为， 代入A、C的坐标得， 解得， ∴直线为， 令， 整理得， 当反比例函数的图象与直线有且只有一个公共点时，， ∴， 解得， 由（1）可知时，反比例函数图象过两点，时，反比例函数图象过C点， ∴时，反比例函数的图象与线段（含端点）有且只有一个公共点， 综上，当反比例函数的图象与线段AC（含端点）有且只有一个公共点时，k的取值范围是或． 故答案为：或．      【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质．熟练掌握反比例函数的图象和性质，是解题的关键． 58．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）如图是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作（为的整数）．函数的图象为曲线． （1）的坐标为 ； （2）若过点，则它必定还过另一点，则 ； （3）若曲线使得这些点分布在它的两侧，其中一侧有2个点，则的整数值有 个． 【答案】 6 7 【分析】本题考查了反比例函数的应用，求出各点的坐标是本题的关键． （1）由题意可求这些点的坐标，将点的坐标代入解析式可求解； （2）将点的坐标代入解析式可求的值，将点代入，可求解； （3）和，和，和，和，分别在同一条反比例函数图象上，只能是和在同一侧据此可解． 【详解】解：（1）∵每个台阶的高和宽分别是1和2， ∴，，，，，，，， 故答案为：； （2）过点， ， ∴反比例函数解析式为：， 当时，， 在反比例函数图象上， ， 故答案为：6； （3）由题意得：要使两点在图象一侧，只能是和在同一侧或和在同一侧， 当和在同一侧时，，取整数为， 当和在同一侧时，，取整数解同上； 综上分析满足条件的值共有7个， 故答案为：7． 59．（20-21九年级上·云南昆明·期中）某药品研究所开发一种抗新冠肺炎的新药，经大量动物实验，首次用于临床人体实验，测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x小时之间的函数关系如图所示，即，若血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间不低于7小时，则称药物治疗有效．请根据图中信息计算并判断：血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为 个小时，这种抗菌新药 （“可以”或“不可以”）作为有效药物投入生产． 【答案】 6， 不可以 【分析】分别求出y＝4时的两个函数值，再求时间差即可解决问题． 【详解】解：当y＝4，则4＝2x，解得：x＝2， 当y＝4，则4＝，解得：x＝8， ∵8﹣2＝6＜7， ∴血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为6小时，这种抗菌新药不可以作为有效药物投入生产． 故答案为：6，不可以． 【点睛】本题考查一次函数的应用、反比例函数的应用等知识，解题的关键是灵活应用待定系数法解决问题，学会利用函数图象解决实际问题，属于中考常考题型． 60．（18-19九年级上·山东济南·期中）某品牌的饮水机接通电源后就进入自动程序：开机加热到水温 100℃， 停止加热，水温开始下降，此时水温 y（℃）与开机后用时 x（min）成反比 例关系，直至水温降至 30℃，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重 复上述自动程序．若在水温为 30℃时，接通电源后，水温 y（℃）和时间 x（min）的关系如图所示，水温从 100℃降到 35℃所用的时间是 min．    【答案】13 【分析】由图可求解出反比例函数解析式，代入y=35求解x，再减去7即可. 【详解】解：设反比例函数解析式为y=，由图可知其过点（7,100），代入可求解k=700，则反比例函数解析式为y=；当y=35时，解得x=20min，则水温从 100℃降到 35℃所用的时间是20-7=13min， 故答案为13. 【点睛】本题考查了反比例函数的应用. 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