期中满分冲刺01之选择压轴题（九上北师大，考前必刷80道期中真题）-【上好课】2024-2025学年九年级数学上册同步精品课堂（北师大版）

期中满分冲刺01之选择压轴题（九上北师大，考前必刷80道期中真题） 一、单选题 1．（23-24九年级上·江西景德镇·期中）如图，在菱形中，，，为的中点，点在边上，连接，将沿翻折，使点落在处，连接，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，，由四边形是菱形，得，从而证明是等边三角形，然后根据垂线段最短可知，当共线时最小，然后根据折叠的性质和线段和差即可求解． 【详解】如图，连接，， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， 由勾股定理得：， 根据垂线段最短可知：当共线时，最小， 由折叠性质可知：， ∴最小值， 故选：． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形角性质，垂线段最短，勾股定理等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 2．（22-23九年级上·辽宁锦州·期中）如图，在菱形中，，对角线相交于点O，P是对角线上的一动点，且于点M，于点N．有以下结论：①为等边三角形；②；③； ④．其中正确的有（　　）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．利用菱形的性质和等边三角形的判定可判断①；根据含30度角的直角三角形的性质、勾股定理可判断②④；根据三角形的内角和定理可判断③，进而可得结论． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，，，， ∴为等边三角形，，则， 故①②正确； ∵，， ∴， ∴，，， ∴，， 故③④正确， 综上，正确的有4个， 故选：D． 3．（23-24九年级下·安徽合肥·期中）如图，将菱形绕点逆时针旋转得到菱形，若经过点与相交于，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查菱形的性质，旋转的性质，三角形外角定理，掌握相关定理与性质是解题的关键． 【详解】解：四边形为菱形，， ， 菱形绕点逆时针旋转得到菱形， ， ． 故选：B． 4．（2023九年级·全国·专题练习）如图，矩形中，，，且有一点P从B点沿着BD往D点移动，若过P点作的垂线交于E点，过点P作的垂线交于F点，则的长度最小为多少（    ） A． B． C．5 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、垂线段最短及面积法求直角三角形斜边上的高，需要熟练掌握并灵活运用．连接、，依据，，，可得四边形为矩形，借助矩形的对角线相等，将求的最小值转化成的最小值，再结合垂线段最短，将问题转化成求斜边上的高，利用面积法即可得解． 【详解】解：如图，连接、， ∵，， ∴． ∵四边形是矩形， ∴． ∴四边形为矩形． ∴． ∴要求的最小值就是要求的最小值． ∵点P从B点沿着往D点移动， ∴当时，取最小值． 在中， ∵，，， ∴． ∵， ∴． ∴的长度最小为：． 故选：B． 5．（22-23八年级下·山西临汾·期末）如图， 点O为矩形的对角线的交点，， 点E从点B出发（不含点B）沿向点C运动，移动到点C停止，延长交于点F，则四边形形状的变化依次为（    ） A．平行四边形菱形平行四边形矩形 B．平行四边形正方形菱形矩形 C．平行四边形菱形正方形矩形 D．平行四边形正方形平行四边形矩形 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，根据矩形的性质，全等三角形的判定和性质，可得四边形形状的变化情况． 【详解】解：连接． ∵点O为矩形的对角线的交点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 观察图形可知，四边形形状的变化依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形． 故选：C． 6．（2024·新疆伊犁·一模）如图，在矩形中，，以为圆心，适当的长为半径画弧，交于两点；再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点，则的长为（    ） A．3 B． C．5 D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的作法和性质，矩形的性质，勾股定理等知识；利用面积关系求的长是解题关键．过F作于G，由角平分线的性质求得，再由求得面积，从而得出的长，即可解答； 【详解】解：由作图步骤可得：是的角平分线， 如图，过F作于G， 由矩形性质可得：，， ∴， 由角平分线的性质可得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 故选：C． 7．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，在正方形中，与交于点O，平分，交于点E，交于点F，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形性质，勾股定理，角平分线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握相关性质定理是解题关键． 过点E作，交于点M，通过正方形性质，等腰三角形的判定先证明，再根据角平分线性质证明，设，则，利用，求出x的长，从而得出答案． 【详解】解：如图，过点E作，交于点M， 平分， ， 四边形为正方形， ，， ， ，， ， ， ， ， ，，平分， ， 设，则， ， ， 解得：， ， 故选：D． 8．（21-22九年级上·广东揭阳·期中）如图，四边形是边长为的正方形，点在边上，，过点作，分别交、于点、，、分别是、的中点，则的长是（    ） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】由正方形的性质可得，由平行线的性质可得，推出四边形为矩形，连接，，则点为的中点，，推出为等腰直角三角形，为直角三角形，由中点的概念可得 ，由正方形的性质可得，，由勾股定理求出的值，即的值，然后根据直角三角形斜边上中线的性质进行求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， 连接，，如图： ∵是的中点，四边形为矩形． ∴点为的中点，． ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形． ∵是的中点， ∴， ∴为直角三角形， ∵点为的中点， ∴ ， ∵四边形是边长为的正方形，， ∴，， 在中，由勾股定理可得 ， ∴ ， ∴ ． 故选：． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、平行线性质、矩形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的中线性质、勾股定理，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 9．（24-25九年级上·重庆九龙坡·开学考试）如图，在正方形中，点在边上，点在边上，连接、、，有，，若，求的长为（    ） A．8 B． C． D． 【答案】C 【分析】延长至点M，使，证明得，证明得，求出，设，则，然后根据求出x可知求解． 【详解】解：如图，延长至点M，使 ∵四边形是正方形 ∴， ∴ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 设，则 ∴， ∴ ∴， ∴ ∴ 故选C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，分母有理化等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键． 10．（21-22八年级下·安徽滁州·期中）若是一元二次方程的一个解，则的值为（    ） A．2023 B．2022 C．2021 D．2020 【答案】B 【分析】根据是一元二次方程的一个解得到，整体代入进行计算即可得到答案． 【详解】解： 是一元二次方程的一个解， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，求代数式的值，根据一元二次方程的解的定义得出是解此题的关键． 11．（18-19九年级上·全国·单元测试）若是关于的方程的一个根，则的值为(　　) A．-2 B．1 C．12 D．-12 【答案】D 【分析】把 代入已知方程，可得：，则，将其整体代入所求的代数式进行解答即可． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，把根代入方程得到的代数式巧妙变形来解题是一种不错的解题方法． 12．（21-22九年级上·四川乐山·期末）若方程的根也是方程的根，则的值为（    ）． A．7 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】变形方程x2-2x-1=0，把方程x3+ax2+bx+c=0转化为二次方程，根据转化后的方程和已知方程的解相同，得到这两个方程是同一个方程，从而确定出a、b、c的值，再计算3a+b+c的值． 【详解】解：∵x2-2x-1=0， ∴x2=2x+1． 把x2=2x+1代入方程x3+ax2+bx+c=0，得 x（2x+1）+ax2+bx+c=0， 整理，得（a+2）x2+（b+1）x+c=0． 由于方程x2-2x-1=0的根也是方程x3+ax2+bx+c=0的根， ∴方程x2-2x-1=0和方程（a+2）x2+（b+1）x+c=0是同一个方程． ∴a+2=1，b+1=-2，c=-1． ∴a=-1，b=-3，c=-1． ∴3a+b+c =3×（-1）-3-1 =-7． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了高次方程，根据两个方程的根相同确定a、b、c的值是解决本题的关键． 13．（2022·江苏南通·二模）若关于x的一元二次方程的一个根是，则一元二次方程必有一根为（    ）． A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【答案】A 【分析】对一元二次方程变形，设t＝x＋2得到，利用的一个根是可得t＝2022，从而求出x即可． 【详解】解：对于一元二次方程即， 设t＝x＋2，则可得， 而关于x的一元二次方程的一个根是， 所以有一个根为t＝2022， 所以x＋2＝2022， 解得x＝2020， 所以一元二次方程必有一根为x＝2020， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 14．（22-23九年级上·江苏扬州·期中）关于的方程的解是，（，，均为常数，），则方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．无法求解 【答案】A 【分析】变号后将转换成利用整体思想解题即可． 【详解】解：∵可转化为，方程的解是，， ∴或， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的运用，能够熟练运用整体思想是解题关键． 15．（2022·重庆巴南·模拟预测）欧几里得的《几何原本》记载，对于形如的方程，可用如图解法：作直角三角形，其中，，，在斜边上截取，则该方程的其中一个正根是（    ） A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长 【答案】A 【分析】根据勾股定理得出方程，整理后即可得到结果． 【详解】解：由勾股定理得： ∵，， ∴ 整理得： ∵ ∴的长是方程 的一个正根 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解与勾股定理，根据勾股定理得出方程是解题的关键． 16．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如果关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（   ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数的范围，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴且， 即且， 解得：且， 故选：． 17．（23-24八年级下·重庆沙坪坝·期末）已知实数满足，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查代数式求值，涉及一元二次方程的解、一元二次方程根与系数的关系等知识，由题意得到是一元二次方程的两个实数根，再由根与系数的关系得到，再化简代值即可得到答案． 【详解】解：实数满足，， 是一元二次方程的两个实数根， ， ， 故选：B． 18．（23-24九年级上·四川广元·期中）设，是方程的两个实数根，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系和一元二次方程的解，利用一元二次方程的解，根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】∵一元二次方程 的两个根分别为，， ∴，， ∴， ∴，则， ∴，解得， 故选：． 19．（2024·江苏宿迁·三模）关于x的一元二次方程 有以下命题： ①若， 则         ②若方程的两根为和， 则 ③若上述方程有两个相等的实数根，则 必有实数根； ④若是该方程的一个根，则一定是 的一个根． 其中真命题的个数 （    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的知识，掌握一元二次方程解的概念和计算方法，根与系数的关系是解题的关键． 根据一元二次方程的解，把代入可判定命题①②；根据根的判别式可判定命题③；根据方程的根进行验证即可判断命题④；由此即可求解． 【详解】解：命题①，当时，一元二次方程为， ∴是方程的解，即方程有实数解， ∴，原命题为真命题； 命题②，当时，一元二次方程为，当时，一元二次方程为， ∴联立方程组得， ∴解得，， ∴，原命题为真命题； 命题③，一元二次方程有两个相等的实根， ∴， ∵，则， ∴， ∴当时，方程有两个不相等的实根；当时，方程无实根， ∴原命题是假命题； 命题④，一元二次方程的一个根式， ∴， ∴，则， ∵， ∴， 若是根，则， ∴， ∴原命题为真命题； 综上所述，是真命题的有①②④，共3个， 故选：B ． 20．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）对于一元二次方程，有下列说法： ①若，则方程必有一个根为1； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若c是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则． 其中正确的是（　　） A．只有① B．只有②④ C．只有①②③ D．只有①②④ 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质，根据一元二次方程的根的含义、一元二次方程的根的判别式、等式的性质、一元二次方程的求根公式，对各选项分别讨论，即可得出答案． 【详解】解：①当时，，∴方程必有一个根为，故①错误，不符合题意； ②方程有两个不相等的实根，则，那么，故方程必有两个不相等的实根，故②正确，符合题意； ③由c是方程的一个根，得．当，则；当，则不一定等于0，故③不一定正确，不符合题意； ④若是一元二次方程的根，可得，把的值代入，可得，故④正确，符合题意． 正确的结论为②④， 故选：B． 21．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）对于一元二次方程，下列说法：①若，则；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若是一元二次方程的根，则，其中正确的（   ） A．只有①② B．只有①②④ C．①②③④ D．只有①②③ 【答案】B 【分析】本题考查根的判别式，一元二次方程的解．利用根的判别式，方程的解使方程成立，逐一进行判断即可． 【详解】解：若，则方程有一个根为，则；故①正确； 若方程有两个不相等的实根，则：， 则：的判别式为， ∴方程必有两个不相等的实根；故②正确； 若是方程的一个根，则， 当时，，故③错误； 若是一元二次方程的根，则：， ∴， ∴；故④正确； 故选B． 22．（17-18九年级·河北秦皇岛·期末）如图，在中，，，，动点P、Q分别从点A、B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动，若使的面积为，则点P运动的时间是（　  　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用—动点问题，借助三角形的面积计算公式来研究图形中的动点问题是解题关键．设点的运动时间为，则，，根据三角形面积公式，得出关于的一元二次方程，求解即可． 【详解】解：设点的运动时间为，则，， ， ， 的面积为， ， 解得：或（舍）， 即使的面积为，则点P运动的时间是， 故选：B． 23．（2024·黑龙江佳木斯·三模）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件．若日利润保持不变．商家想尽快销售完该款商品．每件售价应定为多少元（    ） A．45 B．50 C．55 D．60 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设每件售价应定为x元，依据按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件列出等式解答即可． 【详解】解：设设每件售价应定为x元，根据题意，得 解得：，， ∵商家想尽快销售完该款商品， ∴， ∴商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为50元． 故选：B． 24．（2024·四川达州·模拟预测）图1是我国古代传说中的洛书，图2是洛书的数字表示．相传，大禹时，洛阳西洛宁县洛河中浮出神龟，背驮“洛书”，献给大禹．大禹依此治水成功，遂划天下为九州．又依此定九章大法，治理社会，流传下来收入《尚书》中，名《洪范》．《易•系辞上》说：“河出图，洛出书，圣人则之”．洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入3×3的方格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．图3是一个不完整的幻方，根据幻方的规则，由已知数求出x的值应为（　　） A．或 B．1或 C．或4 D．1或4 【答案】A 【分析】本题考查幻方，解一元二次方程．根据幻方的规则得出方程是解题的关键． 根据幻方的规则，得出方程，再求解方程即可． 【详解】解∶设幻方所填数如图所示， ∴，， 由①得， 由② 由得：， 解得：，， 故选：A． 25．（22-23九年级下·河南新乡·期中）如图，下列是出土的4张文物正面图片，它们除此之外完全相同，把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张后不放回，再随机抽取一张，则这两张卡片正面图案是轴对称图形不是中心对称图形的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了树状图法或列表法求概率，解题的关键是正确列表得到所有的等可能的结果数． 根据题意，利用列表法将所有结果都列举出来，然后根据概率公式计算解决即可． 【详解】以上4张图片分别用、、、表示，列表如下： 第二次第一次 共有种等可能的结果，两张卡片正面图案恰好是轴对称图形的结果有种， 这两张卡片正面图案是轴对称图形的概率为． 故选：C 26．（23-24九年级下·海南省直辖县级单位·期中）四张外观相同的卡片分别标有，从中随机一次抽出两张，这两张卡片上标有的条件能够判断四边形是平行四边形的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】解：分别用1，2，3，4表示，，，， 画树状图如图所示， 一共有12种等可能性，其中选中的卡片能构成平行四边形的可能性有8种， 故选中的卡片能构成平行四边形的概率为：， 故选：D． 27．（21-22九年级上·陕西咸阳·期中）如图1所示，平整的地面上有一个不规则的图案（图中阴影部分），小雅想了解该图案的面积是多少，她采取了以下的办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地向长方形区域扔小球，并记录小球在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），她将若干次有效试验的结果绘制成了如图2所示的折线统计图，由此她估计此不规则图案的面积大约为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了几何概率和用频率估计概率． 根据图②可得，小球落在不规则图案内的概率约为，设不规则图案的面积为，根据几何概率可得：不规则图案的面积长方形的面积小球落在不规则图案内的概率，列出方程即可求解． 【详解】根据题意可得：小球落在不规则图案内的概率约为，长方形的面积为， 设不规则图案的面积为， 则， 解得：， 不规则图案的面积大约为． 故选：C． 28．（23-24九年级上·浙江·周测）如图，中，的平分线交于点D，与的垂线相交于点E，过点D作于点F，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，勾股定理，角平分线的性质，由勾股定理得，再由角平分线的性质得，进而由面积法求出，则，然后由勾股定理得，则，最后由平行线分线段成比例定理即可得出结论． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即． 故选：A． 【点睛】本题考查勾股定理，角平分线的性质，三角形面积，平行线的判定及平行线分线段成比例定理等知识，熟练掌握勾股定理、角平分线的性质及平行线分线段成比例定理是解题的关键． 29．（23-24九年级上·河南郑州·期中）已知线段，求作线段，使，则下列作图中作法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线分线段成比例，由平行线分线段成比例，数形结合即可得到答案，熟记平行线分线段成比例是解决问题的关键． 【详解】解：A、由，在图中，即，不满足题意； B、由，在图中，即，满足题意； C、由，在图中，即，不满足题意； D、由，在图中，即，不满足题意； 故选：B． 30．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图是一张矩形纸片，点为中点，点在上，把该纸片沿折叠，点的对应点分别为，与相交于点，的延长线过点．若，则的值为（　　） A． B．2.5 C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查了翻折变换、矩形的性质、平行线分线段成比例定理，连接，过点作于点，设，，设，，则，由折叠的性质可得：，，，由 ，，共线，，得出，推出，得到，解得：或（舍去），推出，再利用勾股定理求出，可得结论，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接，过点作于点，设，， ， 设，， 点为中点， ， 由折叠的性质可得：，，， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ，，共线，， ， ， ， 解得：或（舍去）， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 故选：A． 31．（23-24九年级上·山西运城·期中）如图，正五边形的几条对角线的交点分别为，它们分别是所在对角线的黄金分割点．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正多边形的相关性质，平行四边形的性质及判定，首先根据正五边形的相关性质判定四边形为平行四边形，进而求出的长度，再根据黄金分割点进行计算即可得到的长黄金分割点等相关内容，熟练掌握黄金分割点的计算方法是解决本题的关键 【详解】解：∵五边形为正五边形 ∴，, ∴ 同理可得 ∴ ∵ ∴ 同理可证明 ∴四边形为平行四边形 ∴,， 同理：， ∵、为的黄金分割点 ∴ ， ∴ ， ∴， 故选：A． 32．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器板面上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，则C，D之间的距离为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查线段成比例．黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比．其比值是一个无理数，用分数表示为，由此即可求解． 【详解】解：弦，点是靠近点的黄金分割点，设，则， ∴，解方程得，， 点是靠近点的黄金分割点，设，则， ∴，解方程得，， ∴之间的距离为， 故选：B． 33．（22-23九年级上·辽宁丹东·期末）如图，点是线段的黄金分割点，且，下列选项错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据黄金分割的定义得，即可解决问题． 【详解】解：点是线段的黄金分割点，且， ， ，， A、C、D选项不符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查了黄金分割，解题的关键是掌握黄金分割的定义：把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，这个比值为，近似值为，即为黄金分割． 34．（22-23九年级上·山西运城·期中）宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，我们可以用这样的方法画出黄金矩形；作正方形，的中点E，F，连接，以为半径画弧，交的延长线于点G，交的延长线于点H．则图中共有几个黄金矩形（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】本题主要考查了黄金分割，设正方形的边长为，把、分别用含a的代数式表示出来，再根据黄金分割的意义可得答案．解决问题的关键是掌握黄金矩形的概念．解题时注意，宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形． 【解答】解：设正方形的边长为，则， ∴， ∴ ， 矩形中，， 矩形中，， ∴黄金矩形是矩形和矩形． 故选：B． 35．（22-23九年级上·山西运城·期中）如图所示，长为，宽为的矩形中．截去一个矩形（图中阴影部分），那么截去矩形的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似形的对应边比相等，分清矩形的对应边是解题的关键，根据题意，剩下矩形与原矩形相似，利用相似形的对应边的比相等可得． 【详解】解：如图，在矩形中截取矩形， 则矩形矩形， 则， 设，得到： ， 解得：， 则剩下的矩形面积是：． 故选：B． 36．（23-24九年级上·四川内江·期中）如图，在矩形中，，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形 矩形；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形 矩形，…，按照此规律作下去，则边的长为（）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似多边形的性质“相似多边形对应边的比叫做相似比”，解此题的关键是能根据求出的结果得出规律． 根据已知和矩形的性质可分别求得，利用相似多边形的性质可发现规律，根据规律即可解决问题． 【详解】∵四边形是矩形， ∵按逆时针方向作矩形的相似矩形， ∴矩形的边长和矩形的相似比为， ∴矩形的对角线和矩形的对角线的比， ∵矩形的对角线为， ∴矩形的对角线， 依此类推，矩形的对角线和矩形 的对角线的比为， ∴矩形的对角线， ∴矩形的对角线， 按此规律第个矩形的对角线 故选：A． 37．（23-24九年级上·上海青浦·期中）如图，在正方形中，为中点，，连接，那么下列结论中： 与相似； 与相似； 与相似： 与相似； ；其中错误的有（        ）个． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定，根据正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定逐一判断即可，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：设正方形的边长为，则， ∵为中点，， ∴，，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，，， ∵， ∴为直角三角形，，故正确； ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故正确； ∵， ∴，故正确； ∵， ∴和不相似，故错误； ④正确； ∴正确的有：①②④⑤，错误的有1个， 故选：B． 38．（23-24九年级上·山西晋中·期中）如图，一副三角板（，，），，顶点A重合，将绕其顶点A旋转，在旋转过程中（不添加辅助线），以下4种位置不存在相似三角形的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，利用相似三角形的判定方法依次判断是解决问题的关键． 【详解】解：选项A，∵，，    ∴，故选项A不符合题意． 选项B，如图，设与交于点，      ∵，， ∴，故选项B不合题意； 选项C，∵，， ∴，故选项C不合题意； 选项D中没有相似三角形，符合题意． 故选：D． 39．（23-24九年级上·陕西榆林·期中）如图，在三角形纸片中，，，，则下列选项阴影部分的三角形与△ABC相似的是（　　）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案． 【详解】解：三角形纸片中，，，， A、，，对应边，则阴影部分的三角形与不相似，故此选项错误； B、，，对应边，则阴影部分的三角形与不相似，故此选项错误； C、，，对应边，则阴影部分的三角形与不相似，故此选项错误； 、，，对应边，则阴影部分的三角形与相似，故此选项正确； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定，正确利用相似三角形两边比值相等且夹角相等的两三角形相似是解题关键． 40．（23-24九年级上·内蒙古包头·期中）如图，在纸片中，，分别在上，连结，将沿翻折，使点的对应点落在的延长线上，若平分，则(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据勾股定理求出，再根据折叠性质得出，，然后根据角平分线的定义证得，进而证得，证明，可求得的长，根据，即可求解． 【详解】解： ， ， 由折叠性质得：，，则， 平分， ， ， ，即， ， 即， 解得： ， 故选：C． 【点睛】本题考查折叠性质、角平分线的定义、勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，熟练掌握折叠性质和相似三角形的判定与性质是解答的关键． 41．（23-24九年级上·山西运城·期中）如图，平行四边形中，为上一点，交于点．已知则下列判断错误的是（    ）    A．与的周长比为 B．与四边形的面积比为 C．若连接，则与相似，且相似比为 D．若题中条件“”改为“点为边的黄金分割点，”，则 【答案】C 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法及性质解题的关键． 根据平行四边形的性质可证，由此可判断选项；如图所示，过点作于点，过点作交于点，根据相似三角形的判定和性质可判定的面积关系，设，由此即可判断选项；根据相似三角形判定条件可判断选项；根据黄金分割点可得，再根据相似三角形的判定和性质即可判断选项． 【详解】解：选项、∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，且， ∴， ∴与的周长比为，故选项正确； 选项、如图所示，过点作于点，过点作交于点，    由上述证明可得，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故选项正确； 选项、如图所示，连接，    ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴与不一定相似，故选项错误； 选项、点为边的黄金分割点，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴，故选项正确； 故选：． 42．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，点P是边长为5的正方形内一点，且，，垂足为点B，请在射线上找一点M，使得以B、M、C为顶点的三角形与相似，则等于（    ）    A．2或 B．2 C． D．2或 【答案】A 【分析】根据正方形的性质和垂线的定义，得出，再分两种情况讨论：①当时；②当时，利用对应边成比例分别求出的长即可． 【详解】解：四边形是边长为5的正方形， ，， ， ， ，， ， ①当时，此时， ， ， ②当时，此时， ， ， 综上可知，当或时，以B、M、C为顶点的三角形与相似， 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，利用分类讨论的思想，熟练掌握相似三角形对应边成比例是解题关键． 43．（24-25九年级上·四川眉山·期中）如图，在菱形中，，点是边上任意两点（不与端点重合），为上一点（不与端点重合），连接线段，，下列结论： ； 若，则； 若菱形边长为4，是的中点，连接，则线段； 当为中点时，； 其中正确的结论是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两角对应相等两三角形相似判断①；利用相似三角形的性质求出可判定②；构造直角三角形，利用含30度角的直角三角形的性质及勾股定理可判断③；作交的延长线于，根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求解可判断③；根据相似三角形的性质和中点定义得到，可利用相似三角形的判定判断④，进而可求解． 【详解】解：四边形是菱形， ， 又， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ，故①正确， ∴， ， ， ，故②错误， 作，交的延长线于． 在中， ，，， ∴， ，，则， ，故③正确； ∵为中点时， ∴， ∵， ∴， ∴，又， ∴，故④正确， 故正确的结论是， 故选：C． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、菱形的性质、勾股定理、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答的关键． 44．（23-24九年级下·辽宁营口·期中）如图，在矩形中，，，点是边的中点．连接交于点的平分线交边于点，点关于过点的某条直线的对称点恰好在上，且点不与点重合，连接，则的长为（    ） A．3 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】根据矩形的性质可证，可求出，再证，可求出的值，根据对称的性质可得，在中根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，，，点是的中点， ∴，，，，， ∵，， ∴，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴，则， 如图所示，连接， ∵点关于过点的某条直线的对称点恰好在上， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 在中，， ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的判定和性质，轴对称图形的性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 45．（2023·浙江温州·三模）如图，以的三边为边分别向外作正方形、连结交于点，作交于点，连结交于点．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长，与的延长线交于点，利用正方形的性质得到，设，则，则利用勾股定理求得，利用相似三角形的判定与性质求得线段，利用相似三角形的判定与性质得到，再利用比例的性质解答即可得出结论． 【详解】解：延长，与的延长线交于点，如图， 若，四边形与四边形为正方形， ， 设，则， ． 四边形为正方形， ． ， ， ， ． ， ， ， ， ，． ， ，， ，， ， ， ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质勾股定理，平行线的性质，通过构造恰当的辅助线得到型图，从而利用相似三角形的判定与性质解答是解题的关键． 46．（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点、，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点A的对应点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查的是位似变换，根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或计算． 【详解】解：∵原点O为位似中心，相似比为，把缩小， ∴点A的对应点的坐标为或，即或， 故选：D． 47．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，A，B，C是直角坐标系中的三个点，点A的坐标为，，，轴，现以坐标原点O为位似中心，作的位似图形，点A与点对应，点C的对应点纵坐标为，则下列点的坐标正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了位似的性质，熟练掌握位似变化的性质是解题的关键．根据位似变换的性质，求得位似比为，再结合位似图形即可求解． 【详解】解：∵作的位似图形，点的对应点纵坐标为， ∴位似比为， 由题意得点的坐标为， ∵点A的坐标为， ∴点A的对应点的坐标为，即， 点的对应点的坐标为，即， 观察四个选项，选项D符合题意， 故选：D． 48．（2023·河北张家口·一模）如图，正方形中，对角线交于点O，分别延长，到点E，F，连接．若，且与的相似比为，则在图中，以点D为位似中心．和它位似的三角形的位似比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，利用正方形的性质和相似三角形的性质可得到，由题意，以点D为位似中心，与位似，进而可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵与的相似比为， ∴ 设，则， ， ， ∵， ∴以点D为位似中心，与位似， ． 故选：D． 【点睛】本题考查正方形的性质、相似三角形的性质、位似三角形的判定与性质，理解位似图形的定义，得到与位似是解答的关键． 49．（23-24九年级上·湖南株洲·期中）如图：点P、Q是反比例函数图象上的两点，轴于点A，轴于点N，作轴于点M，轴于点B，连接、，的面积记为，的面积记为，则与的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于，这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解的几何意义． 设，，根据三角形的面积公式和的几何意义，即可求出结果． 【详解】解：设，， 则， ， 点，在反比例函数的图象上， ， ． 故选：B． 50．（23-24九年级上·广东佛山·期中）如图，矩形的顶点A，B分别为反比例函数与的图象上，点C，D在x轴上，，分别交y轴于点E，F，则阴影部分的面积为（    ）    A． B． C．6 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数的图象上点的坐标特征，矩形的性质，设点的坐标为，，根据题意，利用函数关系式表示出线段，，，的长，再根据平行线分线段成比例的性质得，的长，利用梯形的面积公式，即可得答案． 【详解】设点的坐标为，， 则，， 点的纵坐标为， 点的横坐标为， ， ∵， ， ，， 阴影部分的面积为． 故选：A． 51．（22-23九年级上·河南新乡·期中）如图，点在反比例函数上，点在反比例上，其中点为中点，则的面积是多少（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】作轴于点，轴于点，由点在反比例函数上，点在反比例上，得，，再证明，则，所以． 【详解】解：如图，作轴于点，轴于点， ， 点在反比例函数上，点在反比例上， ，， 点为中点， ， ， (AAS)， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义，全等三角形的判定与证明，证明是关键． 52．（23-24九年级上·河北保定·期中）在平面直角坐标系中，分别过点，作轴的垂线和，探究直线，直线与双曲线的关系． 甲：两直线中总有一条与双曲线相交． 乙：当时，两直线与双曲线的交点在轴两侧． 丙：当两直线与双曲线都有交点时，这两交点的距离一定大于3． 则正确的是（    ） A．甲、乙的说法正确 B．甲、丙的说法正确 C．乙、丙的说法正确 D．三人的说法都正确 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用特定值，分情况进行讨论是解本题的关键． 由与不同时为0，即可判断甲的说法；当时，，两直线与双曲线的交点在轴右侧，即可判断乙的说法；由与之间一一对应结合两交点横坐标之差为3即可判断丙的说法，从而得到答案． 【详解】解：与不同时为0， 两直线中总有一条与双曲线相交，故甲说法正确； 当时，，两直线与双曲线的交点在轴右侧，故乙说法错误； ，且与之间一一对应， 当两直线与双曲线都有交点时，这两交点的距离一定大于3，故丙说法正确； 综上所述，甲、丙的说法正确， 故选：B． 53．（2023·江苏·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于两点，且与反比例函数在第一象限内的图象交于点．若点坐标为，则的值是（    ）．    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作轴于点，则，可得，进而根据已知条件的，求得直线的解析式，将代入，得出点的坐标，代入反比例函数解析式，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点，则    ∴ ∴ ∵, ∴ ∴ 解得： ∵点在上， ∴ 解得： ∴直线的解析式为 当时， 即 又反比例函数在第一象限内的图象交于点 ∴, 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的性质与判定，求得点的坐标是解题的关键． 54．（21-22九年级上·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与双曲线相交于，B两点，C是第一象限内双曲线上一点，连接并延长交y轴于点P，连接，．若的面积是24，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设交轴于，利用求出正、反比例函数关系式，联立求出B点坐标，设点坐标为，利用待定系数法求出直线和直线的解析式，从而得到D点和P点坐标，进而得到，利用列方程，求出a值，即可求出点P的坐标． 【详解】解：设交轴于，如图， 设正比例函数的解析式为， 将代入，得， 解得， 将代入，得， 解得， 正比例函数的解析式为，反比例函数的解析式为． 解方程组，得或， B点坐标为， 设点坐标为，直线的解析式为， 将、代入，得， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 点坐标为． 设直线的解析式为， 把、代入，得， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 点坐标为， ． ， ， 解得， P点的纵坐标为， P点坐标为． 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，涉及待定系数法求反比例函数、一次函数解析式，求一次函数图象与坐标轴的交点，坐标系内求三角形面积等知识点，用代数式表示出的长度是解题的关键． 55．（23-24九年级下·吉林长春·期中）小丽要把一篇文章录入电脑，如图是录入时间（分钟）与录字速度（字/分钟）成反比例函数的图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法不正确的是（    ） A．这篇文章一共1500字． B．当小丽的录字速度为75字/分钟时，录入时间为20分钟． C．小丽在19:20开始录入，要求完成录入时不超过19:35，则小丽每分钟至少应录入90字． D．小丽原计划每分钟录入125字，实际录入速度比原计划提高了，则小丽会比原计划提前2分钟完成任务． 【答案】C 【分析】本题考查了求反比例函数解析式，反比例函数的应用，有理数混合运算的应用，掌握反比例函数的性质是解题关键．先利用待定系数法求出反比例解析式，根据反比例函数的定义，即可判断A 选项；求出时的函数值，即可判断B选项；求出时的值，再结合反比例函数的增减性，即可判断C选项；分别求出和时的函数值，作差即可判断D选项． 【详解】解：设反比例函数解析式为，将点代入得：， 解得：， 即反比例函数解析式为， A、录入时间（分钟）与录字速度（字/分钟）的乘积恒为，即这篇文章一共1500字，说法正确，不符合题意； B、当录字速度为时，录入时间，说法正确，不符合题意； C、当录入时间时，， ，在第一象限内，随的增大而减小， 即录入时间不超过分钟时，每分钟至少应录入100字，说法错误，符合题意； D、当时，， 当时，， （分钟）， 即比原计划提前2分钟完成任务，说法正确，不符合题意； 故选：C 56．（22-23八年级下·江苏镇江·期末）如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系，当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（    ）      A．水温从加热到，需要 B．水温下降过程中，y与x的函数关系式满足 C．在一个加热周期内水温不低于的时间为 D．上午10点接通电源，可以保证当天能喝到不低于的水 【答案】C 【分析】因为开机加热时，饮水机每分钟上升，所以开机加热到，所用时间为，故A不合题意；利用点，可以求出反比例函数解析式，故B不符合题意；先求出加热时间段时，水温达到所用的时间，再由反比例函数，可以得到冷却时间时，水温为时所对应的时间，两个时间相减，即为水温不低于时的时间，故C符合题意；令，则，求出每20分钟，饮水机重新加热，则时间为时，可以得到饮水机是第二次加热，把，代入到反比例函数中，求出y，即可得到此时水温，故D不符合题意． 【详解】解：∵开机加热时每分钟上升， ∴水温从加热到，所需时间为：，故A选项说法正确，不合题意； 由题可得，在反比例函数图象上， 设反比例函数解析式为， 代入点可得，， ∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是，故B选项说法正确，不合题意； 当水温升至时，用时， 当水温降至时，，解得：， ∴在一个加热周期内水温不低于的时间为，故C选项说法错误，符合题意； 在中，令，则， 即：每20分钟，饮水机重新加热， ∴上午10点接通电源，当天时饮水机是第二次加热， 把代入，得：， 即：10:30时的水温为，不低于，故D选项说法正确，不合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法确定函数解析式、灵活运用所学知识解决问题是解题的关键． 57．（2024·河南郑州·三模）光敏电阻的阻值随着光照的强弱而改变，如图（1）所示的电路中，电源电压，且光敏电阻R的阻值与光照强度（光照强度的单位为，光越强，光照强度越大）之间的关系如图（2）所示．下列说法错误的是（　　） 信息框 1．欧姆定律：导体中的电流，跟导体两端的电压成正比，跟导体的电阻成反比． 2．串联电路中，电路的总电阻等于各电阻的阻值之和． A．光照强度越大，光敏电阻的阻值越小 B．光敏电阻的阻值与光照强度成反比例函数关系 C．光照强度越大，电路中的电流越大 D．当电流为时，光照强度为 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，根据图象和已知条件确定光敏电阻R的阻值与光照强度成反比例关系，进而利用反比例函数的关系解答即可． 【详解】解：A．光敏电阻R的阻值与光照强度成反比例关系，光照强度越大，光敏电阻的阻值越小，故选项A中的说法正确，不符合题意； B．由题图可知：光敏电阻R的阻值与光照强度成反比例关系，故选项B中的说法正确，不符合题意； C、光照强度越大，光敏电阻的阻值越小，电路中的总电阻越小，则电路中的电流越大，故选项C中的说法正确，不符合题意； D、当电流为时，电路中的总电阻为，对应图象可知此时光照强度为，故选项D中的说法错误，符合题意． 故选：D． 58．（23-24九年级上·吉林长春·期中）如图，已知，．以线段为边，在第一象限内作正方形，点C落在函数的图象上，将正方形沿x轴负方向平移a个单位长度，使点D恰好落在函数的图象上的点处，则a的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据三角形全等得出C点坐标，进而求出反比例函数的解析式，进而确定D点的坐标和点的坐标，即可确定出a的值． 【详解】解：如图，过点C作轴，交x轴于点E，过A作轴，过点D作于点F， ，， ，， 四边形为正方形， ，， ，， ， 在与中， ， ， ，， ， ， 把C坐标代入反比例函数解析式得：， 反比例函数解析式为， 同理可证 ， ， 把代入反比例函数解析式，解得：，即， 则将正方形沿x轴负方向平移2个单位长度，使点D恰好落在函数的图象上的点处， ， 故选：C． 【点睛】此题属于反比例综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质，正方形的性质，待定系数法确定反比例函数解析式，以及平移性质，熟练掌握各个性质是解本题的关键． 59．（23-24九年级上·山西运城·期中）如图1，点、在反比例函数的图象上，过点、作轴的垂线，垂足分别为，，延长线段交轴于点，当时，阴影部分的面积；如图2，点、在反比例函数的图象上，过点、作轴的垂线，垂足分别为，，连接，交于于点，当时，阴影部分的面积，则的值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数与三角形的面积，掌握反比例函数图像的性质是解题的关键．由题意得∽，再根据面积比等于相似比的平方求出，由得，结合求出；设，，则，，，， 根据求出，即可得出结论． 【详解】解：① ， ∽， ， ， 而， ， ， ， ， ， ， ， ， ②设，， 由图可知：，，，， ， ， ， 即，解得， ． 故选：C． 60．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）如图，直线分别交x轴、y轴于点C，D，点P为反比例函数在第一象限内图像上的一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线交直线于点A，B，且，则下列结论错误的是（　　）    A．与相似 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的性质，三角形相似的判定，平行坐标轴上的两点间的距离，如图，过B作轴于点F，过A作轴于点E，利用等腰直角三角形的性质，反比例函数性质等计算即可，熟练掌握性质和判定是解题的关键 【详解】如图，过B作轴于点F，过A作轴于点E. 在一次函数中，令， 则； 令，则， ， ， ，和都是等腰直角三角形， . ， . 又， ，同理可得， ， 故选项A正确；    和都是等腰直角三角形， ， ，， 故选项B正确； ， ，即， 故选项C正确； 设，则，， ，即， 故选项D错误. 故选D. ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中满分冲刺01之选择压轴题（九上北师大，考前必刷80道期中真题） 一、单选题 1．（23-24九年级上·江西景德镇·期中）如图，在菱形中，，，为的中点，点在边上，连接，将沿翻折，使点落在处，连接，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·辽宁锦州·期中）如图，在菱形中，，对角线相交于点O，P是对角线上的一动点，且于点M，于点N．有以下结论：①为等边三角形；②；③； ④．其中正确的有（　　）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（23-24九年级下·安徽合肥·期中）如图，将菱形绕点逆时针旋转得到菱形，若经过点与相交于，，则（    ）    A． B． C． D． 4．（2023九年级·全国·专题练习）如图，矩形中，，，且有一点P从B点沿着BD往D点移动，若过P点作的垂线交于E点，过点P作的垂线交于F点，则的长度最小为多少（    ） A． B． C．5 D．7 5．（22-23八年级下·山西临汾·期末）如图， 点O为矩形的对角线的交点，， 点E从点B出发（不含点B）沿向点C运动，移动到点C停止，延长交于点F，则四边形形状的变化依次为（    ） A．平行四边形菱形平行四边形矩形 B．平行四边形正方形菱形矩形 C．平行四边形菱形正方形矩形 D．平行四边形正方形平行四边形矩形 6．（2024·新疆伊犁·一模）如图，在矩形中，，以为圆心，适当的长为半径画弧，交于两点；再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点，则的长为（    ） A．3 B． C．5 D． 7．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，在正方形中，与交于点O，平分，交于点E，交于点F，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．（21-22九年级上·广东揭阳·期中）如图，四边形是边长为的正方形，点在边上，，过点作，分别交、于点、，、分别是、的中点，则的长是（    ） A． B． C． D．5 9．（24-25九年级上·重庆九龙坡·开学考试）如图，在正方形中，点在边上，点在边上，连接、、，有，，若，求的长为（    ） A．8 B． C． D． 10．（21-22八年级下·安徽滁州·期中）若是一元二次方程的一个解，则的值为（    ） A．2023 B．2022 C．2021 D．2020 11．（18-19九年级上·全国·单元测试）若是关于的方程的一个根，则的值为(　　) A．-2 B．1 C．12 D．-12 12．（21-22九年级上·四川乐山·期末）若方程的根也是方程的根，则的值为（    ）． A．7 B． C．5 D． 13．（2022·江苏南通·二模）若关于x的一元二次方程的一个根是，则一元二次方程必有一根为（    ）． A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 14．（22-23九年级上·江苏扬州·期中）关于的方程的解是，（，，均为常数，），则方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．无法求解 15．（2022·重庆巴南·模拟预测）欧几里得的《几何原本》记载，对于形如的方程，可用如图解法：作直角三角形，其中，，，在斜边上截取，则该方程的其中一个正根是（    ） A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长 16．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如果关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（   ） A． B．且 C．且 D．且 17．（23-24八年级下·重庆沙坪坝·期末）已知实数满足，，则的值为（　　） A． B． C． D． 18．（23-24九年级上·四川广元·期中）设，是方程的两个实数根，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 19．（2024·江苏宿迁·三模）关于x的一元二次方程 有以下命题： ①若， 则         ②若方程的两根为和， 则 ③若上述方程有两个相等的实数根，则 必有实数根； ④若是该方程的一个根，则一定是 的一个根． 其中真命题的个数 （    ） A．4 B．3 C．2 D．1 20．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）对于一元二次方程，有下列说法： ①若，则方程必有一个根为1； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若c是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则． 其中正确的是（　　） A．只有① B．只有②④ C．只有①②③ D．只有①②④ 21．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）对于一元二次方程，下列说法：①若，则；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若是一元二次方程的根，则，其中正确的（   ） A．只有①② B．只有①②④ C．①②③④ D．只有①②③ 22．（17-18九年级·河北秦皇岛·期末）如图，在中，，，，动点P、Q分别从点A、B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动，若使的面积为，则点P运动的时间是（　  　） A． B． C． D． 23．（2024·黑龙江佳木斯·三模）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件．若日利润保持不变．商家想尽快销售完该款商品．每件售价应定为多少元（    ） A．45 B．50 C．55 D．60 24．（2024·四川达州·模拟预测）图1是我国古代传说中的洛书，图2是洛书的数字表示．相传，大禹时，洛阳西洛宁县洛河中浮出神龟，背驮“洛书”，献给大禹．大禹依此治水成功，遂划天下为九州．又依此定九章大法，治理社会，流传下来收入《尚书》中，名《洪范》．《易•系辞上》说：“河出图，洛出书，圣人则之”．洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入3×3的方格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．图3是一个不完整的幻方，根据幻方的规则，由已知数求出x的值应为（　　） A．或 B．1或 C．或4 D．1或4 25．（22-23九年级下·河南新乡·期中）如图，下列是出土的4张文物正面图片，它们除此之外完全相同，把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张后不放回，再随机抽取一张，则这两张卡片正面图案是轴对称图形不是中心对称图形的概率是（    ） A． B． C． D． 26．（23-24九年级下·海南省直辖县级单位·期中）四张外观相同的卡片分别标有，从中随机一次抽出两张，这两张卡片上标有的条件能够判断四边形是平行四边形的概率是（    ） A． B． C． D． 27．（21-22九年级上·陕西咸阳·期中）如图1所示，平整的地面上有一个不规则的图案（图中阴影部分），小雅想了解该图案的面积是多少，她采取了以下的办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地向长方形区域扔小球，并记录小球在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），她将若干次有效试验的结果绘制成了如图2所示的折线统计图，由此她估计此不规则图案的面积大约为（    ） A． B． C． D． 28．（23-24九年级上·浙江·周测）如图，中，的平分线交于点D，与的垂线相交于点E，过点D作于点F，则为（    ） A． B． C． D． 29．（23-24九年级上·河南郑州·期中）已知线段，求作线段，使，则下列作图中作法正确的是（    ） A． B． C． D． 30．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图是一张矩形纸片，点为中点，点在上，把该纸片沿折叠，点的对应点分别为，与相交于点，的延长线过点．若，则的值为（　　） A． B．2.5 C． D．3 31．（23-24九年级上·山西运城·期中）如图，正五边形的几条对角线的交点分别为，它们分别是所在对角线的黄金分割点．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 32．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器板面上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，则C，D之间的距离为（　　）    A． B． C． D． 33．（22-23九年级上·辽宁丹东·期末）如图，点是线段的黄金分割点，且，下列选项错误的是（    ） A． B． C． D． 34．（22-23九年级上·山西运城·期中）宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，我们可以用这样的方法画出黄金矩形；作正方形，的中点E，F，连接，以为半径画弧，交的延长线于点G，交的延长线于点H．则图中共有几个黄金矩形（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 35．（22-23九年级上·山西运城·期中）如图所示，长为，宽为的矩形中．截去一个矩形（图中阴影部分），那么截去矩形的面积是（　　） A． B． C． D． 36．（23-24九年级上·四川内江·期中）如图，在矩形中，，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形，…，按照此规律作下去，则边的长为（）    A． B． C． D． 37．（23-24九年级上·上海青浦·期中）如图，在正方形中，为中点，，连接，那么下列结论中：与相似；与相似；与相似：与相似；；其中错误的有（        ）个． A．个 B．个 C．个 D．个 38．（23-24九年级上·山西晋中·期中）如图，一副三角板（，，），，顶点A重合，将绕其顶点A旋转，在旋转过程中（不添加辅助线），以下4种位置不存在相似三角形的是（    ） A．   B．   C．   D．   39．（23-24九年级上·陕西榆林·期中）如图，在三角形纸片中，，，，则下列选项阴影部分的三角形与△ABC相似的是（　　）    A．   B．   C．   D．   40．（23-24九年级上·内蒙古包头·期中）如图，在纸片中，，分别在上，连结，将沿翻折，使点的对应点落在的延长线上，若平分，则(    ) A． B． C． D． 41．（23-24九年级上·山西运城·期中）如图，平行四边形中，为上一点，交于点．已知则下列判断错误的是（    ）    A．与的周长比为 B．与四边形的面积比为 C．若连接，则与相似，且相似比为 D．若题中条件“”改为“点为边的黄金分割点，”，则 42．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，点P是边长为5的正方形内一点，且，，垂足为点B，请在射线上找一点M，使得以B、M、C为顶点的三角形与相似，则等于（    ）    A．2或 B．2 C． D．2或 43．（24-25九年级上·四川眉山·期中）如图，在菱形中，，点是边上任意两点（不与端点重合），为上一点（不与端点重合），连接线段，，下列结论： ； 若，则； 若菱形边长为4，是的中点，连接，则线段； 当为中点时，； 其中正确的结论是（ ） A． B． C． D． 44．（23-24九年级下·辽宁营口·期中）如图，在矩形中，，，点是边的中点．连接交于点的平分线交边于点，点关于过点的某条直线的对称点恰好在上，且点不与点重合，连接，则的长为（    ） A．3 B．6 C． D． 45．（2023·浙江温州·三模）如图，以的三边为边分别向外作正方形、连结交于点，作交于点，连结交于点．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 46．（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点、，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点A的对应点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 47．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，A，B，C是直角坐标系中的三个点，点A的坐标为，，，轴，现以坐标原点O为位似中心，作的位似图形，点A与点对应，点C的对应点纵坐标为，则下列点的坐标正确的是（    ） A． B． C． D． 48．（2023·河北张家口·一模）如图，正方形中，对角线交于点O，分别延长，到点E，F，连接．若，且与的相似比为，则在图中，以点D为位似中心．和它位似的三角形的位似比为（   ） A． B． C． D． 49．（23-24九年级上·湖南株洲·期中）如图：点P、Q是反比例函数图象上的两点，轴于点A，轴于点N，作轴于点M，轴于点B，连接、，的面积记为，的面积记为，则与的大小关系是（     ） A． B． C． D． 50．（23-24九年级上·广东佛山·期中）如图，矩形的顶点A，B分别为反比例函数与的图象上，点C，D在x轴上，，分别交y轴于点E，F，则阴影部分的面积为（    ）    A． B． C．6 D．4 51．（22-23九年级上·河南新乡·期中）如图，点在反比例函数上，点在反比例上，其中点为中点，则的面积是多少（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 52．（23-24九年级上·河北保定·期中）在平面直角坐标系中，分别过点，作轴的垂线和，探究直线，直线与双曲线的关系． 甲：两直线中总有一条与双曲线相交． 乙：当时，两直线与双曲线的交点在轴两侧． 丙：当两直线与双曲线都有交点时，这两交点的距离一定大于3． 则正确的是（    ） A．甲、乙的说法正确 B．甲、丙的说法正确 C．乙、丙的说法正确 D．三人的说法都正确 53．（2023·江苏·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于两点，且与反比例函数在第一象限内的图象交于点．若点坐标为，则的值是（    ）．    A． B． C． D． 54．（21-22九年级上·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与双曲线相交于，B两点，C是第一象限内双曲线上一点，连接并延长交y轴于点P，连接，．若的面积是24，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 55．（23-24九年级下·吉林长春·期中）小丽要把一篇文章录入电脑，如图是录入时间（分钟）与录字速度（字/分钟）成反比例函数的图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法不正确的是（    ） A．这篇文章一共1500字． B．当小丽的录字速度为75字/分钟时，录入时间为20分钟． C．小丽在19:20开始录入，要求完成录入时不超过19:35，则小丽每分钟至少应录入90字． D．小丽原计划每分钟录入125字，实际录入速度比原计划提高了，则小丽会比原计划提前2分钟完成任务． 56．（22-23八年级下·江苏镇江·期末）如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系，当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（    ）      A．水温从加热到，需要 B．水温下降过程中，y与x的函数关系式满足 C．在一个加热周期内水温不低于的时间为 D．上午10点接通电源，可以保证当天能喝到不低于的水 57．（2024·河南郑州·三模）光敏电阻的阻值随着光照的强弱而改变，如图（1）所示的电路中，电源电压，且光敏电阻R的阻值与光照强度（光照强度的单位为，光越强，光照强度越大）之间的关系如图（2）所示．下列说法错误的是（　　） 信息框 1．欧姆定律：导体中的电流，跟导体两端的电压成正比，跟导体的电阻成反比． 2．串联电路中，电路的总电阻等于各电阻的阻值之和． A．光照强度越大，光敏电阻的阻值越小 B．光敏电阻的阻值与光照强度成反比例函数关系 C．光照强度越大，电路中的电流越大 D．当电流为时，光照强度为 58．（23-24九年级上·吉林长春·期中）如图，已知，．以线段为边，在第一象限内作正方形，点C落在函数的图象上，将正方形沿x轴负方向平移a个单位长度，使点D恰好落在函数的图象上的点处，则a的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 59．（23-24九年级上·山西运城·期中）如图1，点、在反比例函数的图象上，过点、作轴的垂线，垂足分别为，，延长线段交轴于点，当时，阴影部分的面积；如图2，点、在反比例函数的图象上，过点、作轴的垂线，垂足分别为，，连接，交于于点，当时，阴影部分的面积，则的值为（   ）    A． B． C． D． 60．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）如图，直线分别交x轴、y轴于点C，D，点P为反比例函数在第一象限内图像上的一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线交直线于点A，B，且，则下列结论错误的是（　　）    A．与相似 B． C． D． ( 16 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$