第三章圆 单元测试 2024-2025学年北师大版数学九年级下册

第三章综合素质评价 限时: 90分钟 满分: 120分 一、选择题(每题3分，共30分) 1．在平面内与点P的距离为1 cm的点有(　　) A．无数个 B．3个　 C．2个 D．1个 2．如图，E，F，G为圆上的三点，∠FEG＝50°，P点是圆心的为(　　) 3．如图，已知⊙O的半径为3，PC切⊙O于点C，PO交⊙O于点A，PA＝2，那么PC的长等于(　　) A．4 B．16　 C．2 D． 4．如图，在已知线段AB上按下列步骤作图：(1)分别以点A，B为圆心，以大于AB长为半径作弧交于C，D两点，直线CD与AB交于点E，连接AC，BC，(2)以点E为圆心，以AE长为半径作弧交AC于点F，连接EF和FB.若∠ACB＝80°，则∠CBF＝(　　) A．5° B．10°　 C．12° D．15° 5．如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，AB＝14，BC＝13，CA＝9，则AD的长是(　　) A．3.5 B．4　 C．4.5 D．5 6．如图，AD，AE和BC分别切⊙O于点D，E，F，如果AD＝18，则△ABC的周长为(　　) A．18 B．27　 C．36 D．54 7．如图，∠ABC＝70°，O为射线BC上一点，以点O为圆心，OB长为半径作⊙O，要使射线BA与⊙O相切，应将射线绕点B按顺时针方向旋转(　　) A．35°或70° B．40°或100° C．40°或90° D．50°或110° 8．如图，点O为△ABC的内心，∠B＝60°，BC≠AB，点M，N分别为AB，BC上的点，且OM＝ON.甲、乙、丙三人有如下判断：甲：∠MON＝120°；乙：四边形OMBN的面积为定值；丙：当MN⊥BC时，△MON的周长有最小值．则下列说法正确的是(　　) A．只有甲正确 B．只有乙错误 C．乙、丙都正确 D．只有丙错误 9．如图所示的是可调节弧形衣架，它可以近似地看成一段劣弧，其中螺母B的位置是该劣弧的中点，连接AB，过点B作BM⊥AC，垂足为M，其中AC＝29.4 cm，BM＝10.3 cm，则∠BAM的度数约为(参考数据：sin 44°≈0.694 7，cos 46°≈0.694 7，tan 35°≈0.700 2，tan 19°≈0.344 3)(　　) A．19° B．35° C．46° D．44° 10．如图，把圆分成六等份，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的图形是这个圆的外切正六边形，⊙O的半径是，它的外切正六边形的边长为(　　) A．2 B．1　 C．2 D． 二、填空题(每题3分，共15分) 11．如图，△ABC内接于⊙O，连接OB，OC，若∠A＝45°，OC＝2，则BC的长为________． 12．如图，直线AB，AD与⊙O分别相切于点B，D，C为⊙O上一点，且∠BCD＝140°，则∠A的度数是________． 13．为了促进城乡协调发展，实现共同富裕，某乡镇计划修建公路．如图，与是公路弯道的外、内侧边线，它们有共同的圆心O，所对的圆心角都是72°，点A，C，O在同一条直线上，公路弯道外侧边线比内侧边线多36 m，则公路宽AC的长约是________m．(π取3.14，计算结果精确到0.1) 14．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝105°，半径OA＝8，将扇形AOB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在上的点D处，折痕交OA于点C，则图中阴影部分的面积是________．(结果保留π) 15．如图，正六边形ABCDEF与正方形AGDH都内接于⊙O，连接BG，则弦BG所对圆周角的度数为________． 三、解答题(共75分) 16．(10分)如图，直线AB与⊙O相切于点C，AO交⊙O于点D，连接CD，OC.若∠AOC＝50°，求∠ACD的度数． 17．(12分)如图是一块破碎车轮的一部分． (1)请你找到该车轮的圆心O(保留作图痕迹)； (2)过圆心O作AB的垂线，交AB于点P，若这个圆的半径为10 cm，OP＝5 cm，求AB的长． 18．(12分)堆雪人是下雪天才能享受的一项有趣的活动，既可以放松心情，又可以锻炼身体．某同学在课余时间堆的雪人的头部可抽象成如图所示的图形，点A表示鼻子，帽子与雪人头部的交点分别为点B，D，连接OD，BD，AB，且AB过圆心O，CD与⊙O相切，BC⊥BD. (1)求证：∠BCD＝∠ABD； (2)若⊙O的半径为3，∠AOD＝60°，求BC的长度． 19．(12分)如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接AC，点D是的中点，过点D作⊙O的切线，与AB，AC的延长线分别交于点E，F，连接AD，OD. (1)求证：AF∥OD； (2)填空：①已知AB＝4，当BE＝________时，AC＝CF； ②连接BD，CD，OC.当∠E的度数为________时，四边形OBDC是菱形． 20．(14分)如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O与边BC，AC分别交于D，E两点，D恰好是BC的中点，过点D作DF⊥AC于点F. (1)求证：DF是⊙O的切线； (2)若∠BAC＝60°，OA＝4，求阴影部分的面积． 21．(15分)如图①，已知AB是半圆O的直径，AB＝4，点D是线段AB延长线上的一个动点，直线DF垂直射线AB于点D，在直线DF上选取一点C(点C在点D的上方)，使CD＝OA，将射线DC绕点D逆时针方向旋转，旋转角为α(0°＜α≤90°)． (1)当射线DC与半圆O相切于点C时，求劣弧BC的长度； (2)如图②，当射线DC与半圆O相交于点C，另一交点为E时，连接AE，OC，若AE∥OC. ①猜想AE与OD的数量关系，并说明理由； ②求此时旋转角α的度数． 答案 一、1．A　2．C　3．A 4．B 【点拨】由题可知，作法(1)是作线段AB的垂直平分线，故AE＝BE，结合作法(2)可知，AE＝BE＝EF，故点F在以AB为直径的圆上， ∴∠AFB＝90°， ∴∠ACB＋∠CBF＝90°. 又∵∠ACB＝80°，∴∠CBF＝10°.故选B. 5．D 【点拨】设AD＝x，由题意知AD＝AF，BE＝BD，CE＝CF，∴AF＝x，BD＝BE＝14－x，∴CF＝CE＝9－x.又∵CE＋BE＝BC，∴9－x＋14－x＝13，解得x＝5.故选D. 6．C 【点拨】根据切线长定理有AD＝AE，BE＝BF，CD＝CF，则△ABC的周长＝AB＋BC＋AC＝AB＋BF＋CF＋AC＝AB＋BE＋AC＋CD＝2AD＝36.故选C. 7．B 【点拨】如图，设旋转后与⊙O相切于点D，连接OD， ∵OD＝OB，∴∠OBD＝30°. 分两种情况讨论：①当点D在射线BC的上方时，∠ABD＝∠ABC－∠OBD＝70°－30°＝40°； ②当点D在射线BC的下方时，∠ABD＝∠ABC＋∠OBD＝70°＋30°＝100°. 综上，应将射线绕点B按顺时针方向旋转40°或100°. 8．D 【点拨】如图①，过点O作OD⊥BC于点D，OE⊥AB于点E，连接OB， ∴∠ODN＝∠OEM＝90°. ∵点O为△ABC的内心， ∴BO是∠ABC的平分线． ∴OD＝OE. 在Rt△DON和Rt△EOM中， ∴Rt△DON≌Rt△EOM(HL)． ∴∠DON＝∠EOM. ∵∠ABC＝60°，∴∠DOE＝120°. ∴∠MON＝∠EOM＋∠EON＝∠DON＋∠EON＝∠DOE＝120°. 故甲的判断正确； ∵Rt△DON≌Rt△EOM， ∴四边形OMBN的面积＝2S△BOD. ∵点D的位置固定， ∴四边形OMBN的面积是定值． 故乙的判断正确； 如图②，过点O作OF⊥MN于点F， ∵ON＝OM，∠MON＝120°， ∴∠ONM＝30°. ∴MN＝2NF＝2ON·cos∠ONM＝2ON·cos30°＝ON. ∴△MON的周长＝MN＋2ON＝ON＋2ON＝(＋2)ON. ∴当ON最小，即ON⊥BC时，△MON的周长取最小值． 故丙的判断错误． 综上所述，判断正确的是甲、乙，判断错误的是丙．故选D. 9．B 【点拨】连接BC，如图， 由题意得B为的中点， ∴AB＝BC. 又∵BM⊥AC， ∴∠AMB＝90°，AM＝AC＝14.7 cm. ∴tan∠BAM＝≈0.700 7. ∴∠BAM≈35°.故选B. 10．A 【点拨】如图，⊙O与边AB相切于点C，连接OA，OB，OC， 则∠AOB＝＝60°，OC⊥AB，OA＝OB，OC＝， ∴△AOB为等边三角形． ∴∠OAB＝60°，OA＝OB＝AB. ∴OA＝OC÷sin60°＝×＝2. ∴AB＝2.故选A. 二、11．2 12．100° 【点拨】如图，过点B作直径BE，连接OD，DE. ∵B，C，D，E四点共圆，∠BCD＝140°， ∴∠E＝180°－140°＝40°.∴∠BOD＝80°. ∵AB，AD与⊙O分别相切于点B，D， ∴∠OBA＝∠ODA＝90°. ∴∠A＝360°－90°－90°－80°＝100°. 13．28.7 【点拨】根据题意，得l＝，l＝. ∵公路弯道外侧边线比内侧边线多36 m， ∴－＝36 m， ∴＝36 m，即＝36 m， 解得AC＝≈≈28.7(m)． 14．－16－16 【点拨】连接OD，如图． ∵△CBD由△CBO翻折而成， ∴CD＝CO，BD＝BO. ∴∠COD＝∠CDO. ∵OD＝OB， ∴△OBD是等边三角形． ∴∠BOD＝60°. ∵∠AOB＝105°， ∴∠COD＝∠CDO＝45°， ∴∠OCD＝90°. ∴△OCD是等腰直角三角形． ∵OA＝OD＝OB＝8， ∴OC＝DC＝4， ∴S阴影＝S扇形AOB－S△OCD－S△OBD＝－×4×4－×8××8＝ －16－16. 15．15°或165° 【点拨】如图，连接BO，AO，GO， ∵四边形AGDH是正方形， ∴∠AOG＝360°÷4＝90°. ∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴∠AOB＝360°÷6＝60°. ∴∠BOG＝∠AOG－∠AOB＝90°－60°＝30°. ∴弦BG所对圆周角的度数为＝15°或＝165°. 三、16．【解】∵直线AB与⊙O相切于点C，∴OC⊥AB.∴∠OCA＝90°. ∵OC＝OD，∠AOC＝50°， ∴∠OCD＝∠ODC＝×(180°－50°)＝65°. ∴∠ACD＝∠OCA－∠OCD＝90°－65°＝25°. 17．【解】(1)如图，圆心O即为所求． (2)如图，连接OA，∵OP⊥AB，∴AP＝BP. ∵这个圆的半径为10 cm，∴OA＝10 cm. 在Rt△AOP中，由勾股定理得AP＝＝＝5(cm)． ∴AB＝2AP＝10 cm. 18．(1)【证明】∵CD与⊙O相切， ∴∠ODC＝90°＝∠ODB＋∠CDB. ∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB， ∴∠CDB＋∠OBD＝90°. ∵CB⊥BD，∴∠C＋∠CDB＝90°. ∴∠BCD＝∠ABD. (2)【解】如图，连接AD， ∵∠AOD＝60°，OA＝OD＝OB＝3， ∴AB＝6，△AOD为等边三角形． ∴∠A＝60°，AD＝OA＝3. ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°. ∴BD＝＝3，∠ABD＝90°－60°＝30°. ∴结合(1)可得∠C＝∠ABD＝30°. ∴BC＝＝9. 19．(1)【证明】∵点D是的中点， ∴＝.∴∠CAD＝∠DAB. ∵OD＝OA，∴∠DAB＝∠ADO. ∴∠CAD＝∠ADO.∴AF∥OD. (2)①4　②30° 【点拨】①连接OC，过点O作OG⊥AC于点G，如图． 若AC＝CF，则AC＝AF. ∵OG⊥AC，OA＝OC，∴AG＝AC. ∴AG＝AF.∴GF＝AF. ∵EF是⊙O的切线，∴OD⊥EF， 由(1)得OD∥AF，∴AF⊥EF. 又∵OG⊥AF，∴四边形OGFD为矩形． ∴GF＝OD＝OB＝AB＝2.∴AF＝2，∴AF＝. 由OD∥AF，易知△EOD∽△EAF. ∴＝. ∴＝，即＝， 解得BE＝4. ②∵EF是⊙O的切线， ∴OD⊥DE. ∴∠ODE＝90°. 若四边形OBDC是菱形， 则OB＝BD. ∵OB＝OD，∴OB＝OD＝BD. ∴△OBD为等边三角形． ∴∠DOB＝60°. ∴∠E＝180°－∠ODE－∠DOB＝180°－90°－60°＝30°. 20．(1)【证明】如图，连接OD， ∵D恰好是BC的中点， ∴BD＝CD. ∵OA＝OB， ∴OD是△ABC的中位线． ∴OD∥AC.∴∠ODF＝∠DFC. ∵DF⊥AC于点F，∴∠ODF＝∠DFC＝90°. ∴DF⊥OD. 又∵DF经过⊙O的半径OD的端点D， ∴DF是⊙O的切线． (2)【解】如图，连接OE，则OE＝OA＝4， ∵∠BAC＝60°， ∴△AOE是等边三角形．∴∠AOE＝60°. ∴S阴影＝－×42＝π－4. 21．【解】(1)如图①，连接OC，∵CD是半圆O的切线，∴∠OCD＝90°. ∵OC＝OA，CD＝OA，∴OC＝CD. ∴∠ODC＝∠COD＝×(180°－90°)＝45°. ∵AB＝4，∴OA＝OB＝2. ∴劣弧BC的长度为＝. (2)如图②，连接OE. ∵CD＝OA，OA＝OC＝OE， ∴CD＝OC＝OE，∠3＝∠4. ∴∠1＝∠2. ∵AE∥OC，∴∠2＝∠3. ∴∠1＝∠4. 设∠1＝x，则∠2＝∠3＝∠4＝x， ∴∠AOE＝∠OCD＝180°－2x. ①AE＝OD.理由： 在△AOE与△OCD中， ∴△AOE≌△OCD(SAS)．∴AE＝OD. ②∵∠6＝∠1＋∠2＝2x，OE＝OC， ∴∠5＝∠6＝2x. ∵AE∥OC，∴∠4＋∠5＋∠6＝180°， 即x＋2x＋2x＝180°，∴x＝36°. ∴∠1＝36°. ∵DF⊥AB，∴∠FDA＝90°. ∴旋转角α＝90°－36°＝54°. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$