第一章直角三角形的边角关系 单元测试 2024-2025学年北师大版数学九年级下册

第一章综合素质评价 限时: 90分钟 满分: 120分 一、选择题(每题3分，共30分) 1．tan 30°等于(　　) A． B． C． D． 2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则cos B的值是(　　) A． B． C． D． 3．把Rt△ABC各边的长度都扩大为原来的3倍得到Rt△A′B′C′，对应锐角A，锐角A′的正弦值的关系为(　　) A．sin A＝3sin A′　　 B．sin A＝sin A′　　 C．3sin A＝sin A′　　 D．不能确定 4．河堤横断面迎水坡的坡度i＝1∶，若水平宽度为24 m，则铅直高度为(　　) A．8 m　 B．6 m　 C．12 m　 D．(2＋) m 5．如图，窗子高AB＝m m，窗子外面上方0.2 m的点C处安装水平遮阳板CD＝1 m，当太阳光线与水平线夹角α＝60°时，光线刚好不能直接射入室内，则m的值是(　　) A．＋0.8　 B．＋0.2　 C．－0.2　 D．－0.8 6．BD是Rt△ABC的斜边AC上的高，∠A≠45°，则下列比值中与sin A不相等的是(　　) A． B． C． D． 7．如图，在由小正方形组成的网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，O都在小正方形的顶点上，则∠AOB的正弦值是(　　) A． B． C． D． 8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，AD平分∠CAB交BC于点D，点E为边AB上一点，则线段DE长度的最小值为(　　) A．　 B．　 C．2　 D．3 9．如图是一面钟表，以指针的旋转中心O为坐标原点，以整9点时针和分针所在的直线分别为x轴和y轴建立平面直角坐标系，当时间为10点10分时，分针的外端点落在点A处．若OA＝10，则点A的坐标为(　　) A．(5，5) B．(5，5) C．(5，5) D．(5，5) 10．某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑的张角大小、顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动．如图，当张角∠AOB＝150°时，顶部边缘A处离桌面的高度AC为12 cm，此时用眼舒适度不太理想．小组成员调整张角大小继续探究，最后联系黄金比知识，发现当张角∠A′OB＝108°时(点A′是A的对应点)，用眼舒适度较为理想．此时顶部边缘A′处离桌面的高度A′D约为(结果精确到1 cm，参考数据：sin 72°≈0.95，cos 72°≈0.31，tan 72°≈ 3.08)(　　) A．23 cm　 B．46 cm　 C．18 cm　 D．24 cm 二、填空题(每题3分，共15分) 11．在△ABC中，如果＋(tan B－1)2＝0，则∠C＝________. 12．如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，∠ABC＝27°，BC＝44 cm，则衣架内高AD的值约为________．(结果精确到0.01 cm，参考数据：sin27°≈0.45，cos 27°≈0.89，tan 27°≈0.51) 13．如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠α＝45°，∠β＝30°，则竹竿AB与AD的长度之比为________． 14．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”，在△ABC中，AB＝AC，若△ABC是“好玩三角形”，则tan B的值为________． 15．北京时间2024年4月25日20时59分，长征二号F遥十八运载火箭托举着神舟十八号载人飞船，在酒泉卫星发射中心点火升空，中国载人航天工程再立新功．如图，神舟十八号载人飞船从地面O处成功发射，当飞船到达A处时，地面D处的雷达站测得AD＝4 000 m，仰角为30°，3 s后，飞船直线上升到达点B处，此时地面C处的雷达站测得B处的仰角为45°，点O，C，D在同一直线上，已知C，D两处相距460 m，则飞船从A到B处的平均速度约为________m/s.(结果精确到1 m/s，参考数据：≈1.732，≈1.414) 三、解答题(共75分) 16．(10分)计算：(1)2sin 30°＋cos 45°－tan2 60°；　 (2)(π－5)0＋－2sin 30°＋|－|. 17．(10分)如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，已知∠B＝45°，tan∠ACB＝3，AC＝，求： (1)△ABC的面积；(2)sin∠ACD的值． 18．(12分)如图为某景区五个景点A，B，C，D，E的平面示意图，B在A的正东方向，D在A的北偏东60°方向上，与A相距300 m，E在D的正东方向140 m处，C在A的北偏东45°方向上，C，E均在B的正北方向． (1)求景点B，E之间的距离； (2)求景点A，C之间的距离．(结果保留根号) 19．(14分)小明的书桌上有一个L型台灯，灯柱AB高40 cm，他发现当灯带BC与水平线BM的夹角为9°时(如图①)，灯带的直射宽度DE(BD⊥BC，CE⊥BC)为35 cm，但此时直射宽度不够，当他把灯带调整到与水平线夹角为30°时(如图②)，直射宽度刚好合适，求此时台灯最高点C到桌面的距离．(结果保留一位小数，参考数据：sin 9°≈0.16，cos 9°≈0.99，tan 9°≈0.16) 20．(14分)如图，码头A在码头B的正东方向，它们之间的距离为100 n mile.一货船由码头A出发，沿北偏东45°方向航行到达小岛C处，此时测得码头B在南偏西60°方向． (1)求码头A与小岛C的距离；(结果保留根号) (2)货船在小岛C处准备返回码头B时发生故障，在原地等待救援，一艘救援船在码头A的正东方向和小岛C的南偏东60°方向的D处，以60 n mile/h的速度沿射线DC方向前往进行救援，同时一艘补给船以45 n mile/h的速度从码头A沿射线AC方向前往小岛C，请通过计算说明救援船能否在补给船到达之前赶到小岛C.(参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45) 21．(15分)单摆是一种能够产生往复摆动的装置，某兴趣小组利用摆球和摆线进行与单摆相关的实验探究，并撰写实验报告如下． 实验主题 探究摆球运动过程中高度的变化 实验用具 摆球，摆线，支架，摄像机等 实验说明 如图①，在支架的横杆点O处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动．(摆线的长度变化忽略不计) 如图②，摆球静止时的位置为点A，拉紧摆线将摆球拉至点B处，BD⊥OA，∠BOA＝64°，BD＝20.5 cm；当摆球运动至点C时，∠COA＝37°，CE⊥OA.(点O，A，B，C，D，E在同一平面内) 实验图示 解决问题：根据以上信息，求ED的长．(结果精确到0.1 cm，参考数据： sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75，sin 64°≈0.90，cos 64°≈0.44，tan 64°≈ 2.05) 答案 一、1．A　2．A　3．B　4．A　5．C　6．D 7．B 【点拨】如图，过点B作BC⊥OA于点C. BO＝＝2，AO＝＝2， ∵S△AOB＝×2×2＝2， ∴AO·BC＝2.∴BC＝＝. ∴sin ∠AOB＝＝＝. 8．C 【点拨】∵∠C＝90°，∠B＝30°， ∴∠BAC＝60°. 在Rt△ABC中，tan B＝＝，且BC＝6， ∴AC＝2. ∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝30°. ∵tan ∠CAD＝＝，∴DC＝2. 当DE⊥AB时，线段DE的长度最小， ∵AD平分∠CAB， ∴DE＝DC＝2. 9．A 【点拨】如图，过点A作AB⊥x轴于点B. 当时间为10点10分时，分针的外端点落在点A处， 此时分针转动了×2＝60°. ∴∠AOB＝90°－60°＝30°. 在Rt△AOB中，OA＝10， ∴AB＝OA·sin 30°＝5，OB＝OA·cos 30°＝5. 又∵点A在第一象限，∴点A的坐标为(5，5)． 10．A 【点拨】∵∠AOB＝150°， ∴∠AOC＝180°－∠AOB＝30°. 在Rt△ACO中，AC＝12 cm， ∴AO＝2AC＝24 cm. 由题意得AO＝A′O＝24 cm, ∵∠A′OB＝108°， ∴∠A′OD＝180°－∠A′OB＝72°. 在Rt△A′DO中，A′D＝A′O·sin 72°≈24×0.95≈23(cm)． ∴此时顶部边缘A′处离桌面的高度A′D约为23 cm. 二、11．105°　12．11.22 cm 13． 【点拨】在Rt△ABC中， ∵sin∠ABC＝，∠α＝45°，即sin α＝＝， ∴AB＝＝＝AC. 在Rt△ADC中， ∵sin∠ADC＝，∠β＝30°，即sin β＝＝， ∴AD＝＝＝2AC. ∴＝＝. 14．2或 【点拨】①如图①，取BC的中点H，连接AH. ∵AB＝AC，BH＝CH， ∴AH⊥BC.设BC＝AH＝2a，则BH＝CH＝a， ∴tan B＝＝＝2； ②取AB的中点M，连接CM，作CN⊥AM于点N，如图②. 设CM＝AB＝AC＝4b，则BM＝AM＝2b. ∵CN⊥AM，CM＝CA， ∴AN＝NM＝b. 在Rt△CNM中，CN＝＝b， ∴tan B＝＝. 综上，tan B的值为2或. 15．335 【点拨】设飞船从A到B处的平均速度为x m/s，则AB＝3x m. ∵在Rt△ADO中，AD＝4 000 m，∠D＝30°， ∴AO＝sin 30°·AD＝2 000 m，OD＝cos 30°·AD＝2 000 m. ∴OB＝OA＋AB＝(2 000＋3x) m. ∵CD＝460 m， ∴OC＝OD－CD＝(2 000－460) m. ∵地面C处的雷达站测得B处的仰角为45°， ∴OB＝OC， 即2 000＋3x＝2 000－460， 解得x≈335. 故飞船从A到B处的平均速度约为335 m/s. 三、16．【解】(1)原式＝2×＋×－()2 ＝1＋1－3 ＝－1. (2)原式＝1＋2－2×＋ ＝3. 17．【解】 (1)如图，作AH⊥BC于点H， 在Rt△ACH中，tan ∠ACB＝3，AC＝， ∴易得CH＝1，AH＝3. 在Rt△ABH中，∠B＝45°，∴BH＝AH＝3. ∴BC＝4. ∴S△ABC＝×4×3＝6. (2)如图，作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F， ∵CD是AB边上的中线， ∴S△ACD＝×DE＝S△ABC＝3，∴DE＝. ∵AH⊥BC，DF⊥BC，CD是AB边上的中线， ∴易得DF＝AH＝. 又∵∠B＝45°，∴BF＝DF＝. ∴CF＝BC－BF＝. ∴在Rt△CDF中，CD＝＝. ∴在Rt△CDE中，sin ∠ACD＝＝. 18．【解】(1)如图，过点D作DH⊥AB，垂足为H， 由题意可知∠DAF＝60°， ∴∠DAB＝30°. ∵AD＝300 m， ∴在Rt△ADH中，DH＝AD＝150 m， AH＝AD·cos 30°＝300×＝150(m)． ∵∠DHB＝∠ABE＝∠DEB＝90°， ∴四边形BEDH是矩形， ∴BE＝DH＝150 m. 故景点B，E之间的距离为150 m. (2)由(1)可知AH＝150 m， ∴AB＝(140＋150) m. ∵∠CAB＝90°－45°＝45°，∠ABC＝90°， ∴AC＝AB÷cos 45°＝(140＋150)÷＝(140＋150)(m)， 故景点A，C之间的距离为(140＋150) m. 19．【解】设水平线BM与CE的交点为H.由题意知，BM∥AE， ∵BD⊥BC，CE⊥BC， ∴BD∥CE. ∴四边形BDEH是平行四边形． ∴BH＝DE＝35 cm. 在Rt△BHC中，BC＝BH·cos 9°≈34.65(cm)． 如图，过点C作CN⊥BM于点N， ∴CN＝BC·sin 30°≈34.65×≈17.3(cm)． ∵灯柱AB高40 cm， ∴点C到桌面的距离为AB＋CN≈40＋17.3＝57.3(cm)， 故此时台灯最高点C到桌面的距离约为57.3 cm. 20．【解】(1)由题意可得， ∠CAE＝45°，∠ECB＝60°， ∴∠ACE＝∠CAE＝45°. ∴AE＝CE. ∵tan 60°＝＝， ∴AE＝CE＝(50＋50) n mile. ∴AC＝＝＝(50＋50)(n mile)． 即码头A与小岛C的距离为(50＋50)n mile. (2)由题意可得∠ECD＝60°， ∴CD＝＝＝(100＋100)(n mile)． ∵救援船以60 n mile/h的速度沿射线DC方向前往进行救援， ∴t救＝＝＋≈4.55(h)． ∵补给船以45 n mile/h的速度从码头A沿射线AC方向前往小岛C， ∴t补＝≈4.29(h)． ∵4.29<4.55， ∴救援船不能在补给船到达之前赶到小岛C. 21．【解】∵BD⊥OA，∠BOA＝64°，BD＝20.5 cm， ∴OD＝≈＝10(cm)， OB＝≈≈22.78(cm)． ∴OC＝OB≈22.78 cm. ∵∠COA＝37°，CE⊥OA， ∴OE＝OC·cos 37°≈22.78×0.80≈18.2(cm)． ∴DE＝OE－OD≈18.2－10＝8.2(cm)． ∴ED的长约为8.2 cm. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$