精品解析：黑龙江省哈尔滨市第三十九中学2024-2025学年七年级上学期期中考试数学试卷

哈39中学2024—2025学年度上学期七年级质量监测 数学试卷 考生须知： 1．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区域内． 3．请按照题号的顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草纸、试题纸上答题无效． 4．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 5．保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、不要弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 第I卷 选择题（共24分）（涂卡） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 若x＝y，则下列变形正确的是（ ） A. ax＝﹣ay B. ax+1＝ay﹣1 C. ax+1＝ay+1 D. 2. 已知下列方程：（1）；（2）；（3） ；（4）； （5）；（6）．其中一元一次方程的个数有（ ） A. 2 B. 5 C. 4 D. 3 3. 下列实数中无理数的个数为（ ） ，，，，，，，，． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 4. 如图，取两根木条，，将它们钉在一起，转到木条，当增大时，下列说法正确的是（ ） A. 增大 B. 减少 C. 减少 D. 减少 5. 如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个面积为18的大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6. 如图，直线a、b被直线c所截，给出下列条件：①∠3=∠6；②∠1=∠8；③∠4+∠7=180°；④∠5+∠1=180°．其中能判断a∥b的是（　　） A. ①③④ B. ①②③ C. ②④ D. ①② 7. 数学竞赛共有10道题，每答对一道题得5分，不答或答错一道题倒扣3分，要得到34分，必须答对的题数是（ ） A. 5道 B. 6道 C. 7道 D. 8道 8. 《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车：若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x人，可列方程（ ） A. B. C. D. 9. 如图，AC∥DE，AB∥DF，EF∥BC，∠B＝∠C，则图中与∠B相等的角（∠B除外）有（ ） A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 10. 下列说法错误的有（ ）个． ①两个角的和等于平角时，这两个角互为邻补角； ②过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③两条平行线被第三条直线所截，所得的一对内错角的角平分线互相平行； ④平方根是本身的数是，，． ⑤因为，所以． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（每题3分，共24分） 11. 用“”、“”或“”填空：________1． 12. 如图，直线AB⊥CD，EF经过点O，∠2＝2∠1，则∠3＝_____°． 13. 如图，有一块含有45°角的直角三角板两个顶点放在直尺对边上，如果∠1=20°，那么∠2的度数是_____． 14. 如图，AB∥DE，AB⊥BC，∠1＝20°，则∠D＝_____°． 15. 设，为任意实数，规定，若，则________． 16. 参加保险公司的医疗保险，住院治疗的病人享受分段报销．保险公司制定的报销细则如下表：某人住院治疗得到保险公司报销金额是11000元，此人的住院医疗费为元________． 住院医疗费（元） 报销率（） 不超过5000元的部分 0 5000—10000元的部分 60 超过10000元的部分 80 17. 如图，在长方形中，，，E是上的一点，且，点P从点C出发，以的速度沿匀速运动，最终到达点A．设点P运动时间为，若的面积为，则t的值为______． 18. 任何一个无限循环小数都可以写成分数的形式，应该怎样写呢？我们以无限循环小数为例进行说明：设，由，可知，，所以，解方程，得，于是，得．则写成分数的形式是________． 三、解答题（19题12分，20题8分，21题8分，22题各6分，23题各8分，24题各12分，25题各12分，共60分） 19. （1）计算： ①； ②． （2）解方程： ①3（x﹣3）＝2﹣（x﹣2）； ②． 20. 【数学中的活动设计】如图①，方格纸中每个小正方形的边长均为1．正方形的顶点都在格点上， （1）正方形的面积是________，正方形的边长是________； （2）正方形的边长是________数（填选“有理”或者“无理”）； （3）如果正方形的边长在有理数和之间，那么的平方根是________； （4）在图②中设计一个与图①面积不相等的正方形，要求边长为无理数，并直接写出你设计的正方形的边长． 21. 如图，直线AB、CD相交于点O，OE、OF为射线，且OF⊥AB，OE平分∠AOC，∠COE+∠BOD＝57°． （1）求∠DOF的度数； （2）请你直接写出图中4对相等的角（直角、平角除外）． 22. 几何说理填空：如图，是上一点，于点，是上一点，于点，，求证：． 证明：连接 ∵， ∴，（________） ∴ ∴________//________（________） ∴________（________） 又∵ ∴ 即 ∴（________） 23. 【数学中的阅读理解】对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． （1）仿照以上方法计算：________，________； （2）若，写出满足题意的的整数值________； （3）如果我们对连续求根整数，直到结果是1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1．则对有理数137连续求根整数，________之后结果是1； （4）只需进行3次连续求根整数运算后结果是1的所有正整数中，最大的是________． 24. 【问题驱动】已知：，直线分别交直线、于、，，垂足为，平分． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图1，若，则的度数为________（用含有的式子表示，不必说明理由）； 【拓广探究】 （3）将图1中的直线绕点旋转至图2的位置，其他条件不变，试探究和度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； （4）将图1中的直线绕点旋转至图3的位置，其他条件不变，若，则的度数为________（用含有的式子表示，不必说明理由）； （5）在（4）问的条件下，过点作交射线于点，过作交直线于．请在图3中画出图形；若，则．（填“>”“<”或“=”） 25. 十一前夕，某商场从厂家购进了甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多20元，购进甲种商品4件与购进乙种商品5件的进价相同． （1）求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？ （2）该商场从厂家购进了甲、乙两种商品共50件，所用资金恰好为4600元，出售时，甲种商品在进价的基础上加价40%进行标价；乙商品按标价出售，则每件可获利30元，若按标价出售甲、乙两种商品，则全部售出后共可获利多少元？ （3）在（2）的条件下，十一期间，甲商品按标价的九折出售，乙商品按标价出售一部分商品后进行促销，按标价的九折再让利4元出售，甲、乙两种商品全部售出，总获利比全部按标价售出获利少了，则乙商品按标价售出多少件？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈39中学2024—2025学年度上学期七年级质量监测 数学试卷 考生须知： 1．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区域内． 3．请按照题号的顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草纸、试题纸上答题无效． 4．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 5．保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、不要弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 第I卷 选择题（共24分）（涂卡） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 若x＝y，则下列变形正确的是（ ） A. ax＝﹣ay B. ax+1＝ay﹣1 C. ax+1＝ay+1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等式的性质，可得答案． 【详解】解：A、如果x＝y，那么ax＝ay，原变形错误，故此选项不符合题意； B、如果x＝y，那么ax+1＝ay+1，原变形错误，故此选项不符合题意； C、如果x＝y，那么ax+1＝ay+1，原变形正确，故此选项符合题意； D、如果x＝y，a＝0，那么原变形错误，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了等式的性质．解题的关键是掌握等式的性质：性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 2. 已知下列方程：（1）；（2）；（3） ；（4）； （5）；（6）．其中一元一次方程的个数有（ ） A. 2 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元一次方程的定义，“只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0”．根据一元一次方程的定义进行判断即可． 【详解】解：（1）是分式方程，故（1）不符合题意； （2），即，符合一元一次方程的定义，故（2）符合题意； （3），即，符合一元一次方程的定义，故（3）符合题意； （4）的未知数的最高次数是2，它属于一元二次方程，故（4）不符合题意； （5），即，符合一元一次方程的定义，故（5）符合题意； （6）中含有2个未知数，属于二元一次方程．故（6）不符合题意． 综上所述，一元一次方程的个数是3个． 故选：D． 3. 下列实数中无理数的个数为（ ） ，，，，，，，，． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了无理数的定义，求一个数的算术平方根．根据无理数就是无限不循环小数即可判定． 【详解】解：，由无理数的定义可知无理数有：，，，共3个． 故选：B． 4. 如图，取两根木条，，将它们钉在一起，转到木条，当增大时，下列说法正确的是（ ） A. 增大 B. 减少 C. 减少 D. 减少 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查对顶角、邻补角，根据对顶角的性质，邻补角的定义可得答案． 【详解】解：与是对顶角， ， 当增大时，增大； 与是邻补角，与是邻补角， ，， 当增大时，减小，减小． 当增大时，正确的是减小． 故选：C． 5. 如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个面积为18的大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算、实数的大小比较法则，先利用正方形的面积公式求出大正方形的边长，再利用无理数的估算、实数的大小比较法则即可得，熟练掌握实数的大小比较法则是解题的关键． 【详解】解：用边长为3的两个小正方形拼成一个面积为18的大正方形，则大正方形的边长为： ， ∵， ∴， ∴大正方形的边长最接近的整数是4， 故选：A． 6. 如图，直线a、b被直线c所截，给出下列条件：①∠3=∠6；②∠1=∠8；③∠4+∠7=180°；④∠5+∠1=180°．其中能判断a∥b的是（　　） A. ①③④ B. ①②③ C. ②④ D. ①② 【答案】B 【解析】 【分析】利用同位角相等两直线平行；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行即可得到正确的选项． 【详解】解：①∵∠3=∠6， ∴a∥b，本选项符合题意； ②∵∠1=∠7，∠1=∠8， ∴∠7=∠8， ∴a∥b，本选项符合题意； ③∵∠4+∠7=180°，∠4=∠6， ∴∠6+∠7=180°， ∴a∥b，本选项正符合题意； ④∵∠5+∠1=180°， 不能判定a∥b，本选项不符合题意， 则其中能判断a∥b的是①②③． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键． 7. 数学竞赛共有10道题，每答对一道题得5分，不答或答错一道题倒扣3分，要得到34分，必须答对的题数是（ ） A. 5道 B. 6道 C. 7道 D. 8道 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设出答对的题数，利用答对的题数得分不答或答错题的得分分，列出方程进行求解． 【详解】解；设答对的题数为x道 故： 解得：． 故选：D． 8. 《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车：若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x人，可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设有x人，根据车的辆数不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：设有x人，根据车的辆数不变列出等量关系， 每3人共乘一车，最终剩余2辆车，则车辆数为：， 每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，则车辆数为：， ∴列出方程为：． 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 9. 如图，AC∥DE，AB∥DF，EF∥BC，∠B＝∠C，则图中与∠B相等的角（∠B除外）有（ ） A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 【答案】C 【解析】 【分析】依据平行线的性质，即可得到图中与∠B相等的角的个数． 【详解】解：∵AC∥DE，AB∥DF， ∴∠C＝∠BDE，∠B＝∠CDF， 又∵∠B＝∠C， ∴∠C＝∠BDE＝∠B＝∠CDF， ∵EF∥BC， ∴∠DEF＝∠BDE，∠DFE＝∠CDF，∠AEF＝∠B，∠AFE＝∠C， ∴与∠B相等的角为：∠BDE，∠CDF，∠C，∠DEF，∠DFE，∠AEF，∠AFE， ∴图中与∠B相等的角（∠B除外）有7个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是运用：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等． 10. 下列说法错误的有（ ）个． ①两个角的和等于平角时，这两个角互为邻补角； ②过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③两条平行线被第三条直线所截，所得的一对内错角的角平分线互相平行； ④平方根是本身的数是，，． ⑤因为，所以． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了邻补角、平行线的判定、平方根的定义；根据邻补角、平行线的判定、平方根的定义解答即可． 【详解】解：①两个角的和等于平角时，这两个角不一定互为邻补角，说法错误； ②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，说法错误； ③两条平行线被第三条直线所截，所得的一对内错角的角平分线互相平行，说法正确； ④平方根是本身的数是，，说法错误； ⑤因为，所以或，说法错误． 错误的有个 故选：C． 二、填空题（每题3分，共24分） 11. 用“”、“”或“”填空：________1． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查实数大小的比较，先将1变形为，再根据即可得出答案． 【详解】解：∵， ， 即， 故答案为：． 12. 如图，直线AB⊥CD，EF经过点O，∠2＝2∠1，则∠3＝_____°． 【答案】30 【解析】 【分析】根据AB⊥CD，可得∠1与∠2互余，再根据∠2＝2∠1，可求出∠1，最后根据对顶角相等得出答案． 【详解】解：∵AB⊥CD， ∴∠1+∠2＝90°， 又∵∠2＝2∠1， ∴3∠1＝90°， ∴∠1＝30°， ∴∠3＝∠1＝30°， 故答案为：30． 【点睛】本题考查垂线的意义，掌握垂直的意义和对顶角相等的性质是解决问题的前提． 13. 如图，有一块含有45°角的直角三角板两个顶点放在直尺对边上，如果∠1=20°，那么∠2的度数是_____． 【答案】25° 【解析】 【分析】先标注图形，再根据平行线的性质求出∠3，即可求出答案． 【详解】解：如图： ∵，∠1=20°， ∴∠1=∠3=20°， ∴∠2=45°－20°=25°． 故答案为：25°． 【点睛】本题考查平行线的性质的应用，根据平行线的性质求出∠3的度数是解题的关键． 14. 如图，AB∥DE，AB⊥BC，∠1＝20°，则∠D＝_____°． 【答案】110 【解析】 【分析】根据平行线的性质得到∠ABD+∠D＝180°，根据垂线的定义得到∠ABC＝90°，由∠1＝20°求出∠ABD，最后求出∠D的度数． 【详解】解：∵AB∥DE， ∴∠ABD+∠D＝180°， ∵AB⊥BC， ∴∠ABC＝90°， ∵∠1＝20°， ∴∠ABD＝∠ABC﹣∠1＝90°﹣20°＝70°． ∴∠D＝180°﹣∠ABD＝180°﹣70°＝110°． 故答案为：110． 【点睛】本题考查了平行线的性质，垂线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 15. 设，为任意实数，规定，若，则________． 【答案】4 【解析】 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，利用题中的新定义得到一元一次方程，然后解一元一次方程即可求出的值． 【详解】解：根据题意得：， 即， 解得：， 故答案为：4． 16. 参加保险公司的医疗保险，住院治疗的病人享受分段报销．保险公司制定的报销细则如下表：某人住院治疗得到保险公司报销金额是11000元，此人的住院医疗费为元________． 住院医疗费（元） 报销率（） 不超过5000元的部分 0 5000—10000元的部分 60 超过10000元的部分 80 【答案】20000 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，第二档最多报元，确定这人住院医疗费在第三档，其中5000元不报销，5000元报销率是60%，其余的报销率是80%，据此求解即可． 【详解】设住院医疗费为x元． ∵此人得到的报销金额为11000元， ∴在第三档， 可得 解得， 所以此人住院的医疗费为20000元． 故答案为：20000． 17. 如图，在长方形中，，，E是上的一点，且，点P从点C出发，以的速度沿匀速运动，最终到达点A．设点P运动时间为，若的面积为，则t的值为______． 【答案】或5 【解析】 【分析】分两种情况：当点P在上，即时和当点P在上，即时．分别进行求解即可． 【详解】解：如图1，当点P在上，即时． ∵四边形是长方形， ∴，， ∴， ∴． 如图2，当点P在上，即时． ∵， ∴． ∵，， ∴， 解得． 综上所述，当或5时，的面积为． 故答案为：或5． 【点睛】此题考查了动点问题，一元一次方程的应用，分类讨论是解题的关键． 18. 任何一个无限循环小数都可以写成分数的形式，应该怎样写呢？我们以无限循环小数为例进行说明：设，由，可知，，所以，解方程，得，于是，得．则写成分数的形式是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程在将循环小数化为分数中的应用，仿照题中解法，设，则，解方程即可求得答案． 【详解】解：设， ， ． 故答案为：． 三、解答题（19题12分，20题8分，21题8分，22题各6分，23题各8分，24题各12分，25题各12分，共60分） 19. （1）计算： ①； ②． （2）解方程： ①3（x﹣3）＝2﹣（x﹣2）； ②． 【答案】（1）①﹣2.4，②；（2）①x＝，②x＝1 【解析】 【分析】（1）①直接利用二次根式的性质以及立方根的性质分别化简得出答案； ②直接利用二次根式的性质分别化简得出答案； （2）①解一元一次方程，先去括号，然后移项，合并同类项，最后系数化1求解； ②解一元一次方程，先去分母，然后去括号，移项，合并同类项，最后系数化1求解 【详解】解：（1）① ＝ ＝﹣2.4； ② ＝ ＝． （2）①3（x﹣3）＝2﹣（x﹣2） 去括号得：3x﹣9＝2﹣x+2 移项得：3x+x＝2+2+9 合并得：4x＝13 解得：x＝ ② 去分母得： 去括号得： 移项得： 合并得： 解得：． 【点睛】本题考查实数的混合运算，二次根式的混合运算及解一元一次方程，掌握运算顺序和计算法则正确计算是解题关键． 20. 【数学中的活动设计】如图①，方格纸中每个小正方形的边长均为1．正方形的顶点都在格点上， （1）正方形的面积是________，正方形的边长是________； （2）正方形的边长是________数（填选“有理”或者“无理”）； （3）如果正方形的边长在有理数和之间，那么的平方根是________； （4）在图②中设计一个与图①面积不相等的正方形，要求边长为无理数，并直接写出你设计的正方形的边长． 【答案】（1）， （2）无理 （3） （4） 如图所示正方形即为所求， （答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查无理数的定义、无理数的估算及算术平方根，熟练掌握定义是解题关键． （1）用大正方形面积减去四个三角形面积可得正方形的面积，根据正方形面积公式，结合算术平方根的定义可得正方形的边长； （2）根据无理数的定义，结合（1）中结论可得边长为无理数， （3）利用“夹逼法”估算的取值范围，进而得出，再求的平方根即可求解； （4）利用网格画出正方形，同（1）的方法求出边长即可． 【小问1详解】 解：如图，设大正方形为， ∴． ∵， ∴正方形的面积是17，边长是． 故答案为：， ． 【小问2详解】 ∵是无理数， ∴正方形的边长是无理数， 故答案为：无理． 【小问3详解】 ∵， ∴，则 ∴，的平方根是 的平方根是 故答案为：． 【小问4详解】 ∵小正方形的面积=， ∴小正方形的边长为． 21. 如图，直线AB、CD相交于点O，OE、OF为射线，且OF⊥AB，OE平分∠AOC，∠COE+∠BOD＝57°． （1）求∠DOF的度数； （2）请你直接写出图中4对相等的角（直角、平角除外）． 【答案】（1）128°；（2）∠AOE＝∠COE，∠AOC＝∠BOD，∠AOD＝∠BOC，∠BOE＝∠DOE 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的定义，垂直的意义以及∠COE+∠BOD＝57°．可求出答案； （2）根据图形直观、对顶角相等得出答案． 【详解】解：（1）∵OF⊥AB， ∴∠BOF＝∠AOF＝90° ∵OE平分∠AOC， ∴∠AOE＝∠COE＝∠AOC， 又∵∠AOC＝∠BOD，∠COE+∠BOD＝57°． ∴∠AOE＝∠COE＝×57°＝19°， ∴∠AOC＝∠BOD＝38°， ∴∠DOF＝∠BOD+∠BOF＝38°+90°＝128°， （2）由对顶角相等可得∠AOC＝∠BOD，∠AOD＝∠BOC， 由角平分线的定义可得∠AOE＝∠COE， ∵∠BOE+∠AOE＝180°＝∠DOE+∠COE， 而∠AOE＝∠COE， ∴∠BOE＝∠DOE， 故图中相等的角有∠AOE＝∠COE，∠AOC＝∠BOD，∠AOD＝∠BOC，∠BOE＝∠DOE． 【点睛】本题考查垂直、角平分线、对顶角、邻补角的意义，根据图形直观，得出各个角之间的关系是正确解答的关键． 22. 几何说理填空：如图，是上一点，于点，是上一点，于点，，求证：． 证明：连接 ∵， ∴，（________） ∴ ∴________//________（________） ∴________（________） 又∵ ∴ 即 ∴（________） 【答案】垂线定义；；同位角相等，两直线平行；4；两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行 【解析】 【分析】本题考查利用平行线的判定与性质证明．掌握相关定理内容是解题关键．根据垂线的定义，平行线的判定与性质即可求证． 【详解】证明：连接 ∵， ∴，（垂线定义） ∴ ∴（同位角相等，两直线平行） ∴（两直线平行，内错角相等） 又∵ ∴ 即 ∴（内错角相等，两直线平行） 故答案为：垂线定义；；同位角相等，两直线平行；4；两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行． 23. 【数学中的阅读理解】对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． （1）仿照以上方法计算：________，________； （2）若，写出满足题意的的整数值________； （3）如果我们对连续求根整数，直到结果是1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1．则对有理数137连续求根整数，________之后结果是1； （4）只需进行3次连续求根整数运算后结果是1的所有正整数中，最大的是________． 【答案】（1）4，6 （2）1或2或3 （3）3次 （4）255 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，解题的关键是理解题意，掌握无理数的估算． （1）根据题意得，，，则，即可得出答案； （2）根据，，即可得； （3）根据题意得，第一次：；第二次：；第三次：，即可得； （4）由（2）得，进行1次求根整数运算后结果为1的正整数最大为3，进行1次求根整数运算后结果为3的正整数最大为15，则进行1次求根整数运算后结果为15的正整数最大为255，即可得． 【小问1详解】 解：∵，，， ， ，， 故答案为：4，6； 【小问2详解】 解：，，， ∴， 或或， 故答案为：1或2或3； 【小问3详解】 解：第一次：， 第二次：， 第三次：， 第3次之后结果为1， 故答案为：3次； 【小问4详解】 解： 由（2）得，进行1次求根整数运算后结果为1的正整数最大为3， ，， 进行2次求根整数运算后结果为3的正整数最大为15， ，， 进行3次求根整数运算后结果为15的正整数最大为255， 只对一个正整数进行3次连续求根整数运算后结果为1，则这个正整数最大值是255， 故答案为：255． 24. 【问题驱动】已知：，直线分别交直线、于、，，垂足为，平分． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图1，若，则的度数为________（用含有的式子表示，不必说明理由）； 【拓广探究】 （3）将图1中的直线绕点旋转至图2的位置，其他条件不变，试探究和度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； （4）将图1中的直线绕点旋转至图3的位置，其他条件不变，若，则的度数为________（用含有的式子表示，不必说明理由）； （5）在（4）问的条件下，过点作交射线于点，过作交直线于．请在图3中画出图形；若，则．（填“>”“<”或“=”） 【答案】（1）；（2）； （3），理由如下， ∵， ∴ ∵， ∴，           ∵平分 ∴， 又∵，即， ∴， ∴； （4）； （5） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质、垂直的定义，灵活运用有关性质以及角的和差关系求角成为解题的关键． （1）由已知可求出，再由、平分，求出的度数即可； （2）由（1）得，从而用含a的代数式表示出的度数即可； （3）由可得，再根据角平分线的定义以及角的和差关系解答即可； （4）根据角的和差关系以及角平分线的定义解答即可． （5）根据平行线的性质以及（4）的结论得出，即可求解． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴ 又∵，即， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 又∵，即， ∴； （3）略． （4）∵， ∴ ∵平分 ∴， 又∵，即， ∴； （5）如图所示， ∵ ∴ ∵， ∴ 又∵，即， ∴， ∵， ， ∴， ∴ 由（4）可得， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 25. 十一前夕，某商场从厂家购进了甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多20元，购进甲种商品4件与购进乙种商品5件的进价相同． （1）求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？ （2）该商场从厂家购进了甲、乙两种商品共50件，所用资金恰好为4600元，出售时，甲种商品在进价的基础上加价40%进行标价；乙商品按标价出售，则每件可获利30元，若按标价出售甲、乙两种商品，则全部售出后共可获利多少元？ （3）在（2）的条件下，十一期间，甲商品按标价的九折出售，乙商品按标价出售一部分商品后进行促销，按标价的九折再让利4元出售，甲、乙两种商品全部售出，总获利比全部按标价售出获利少了，则乙商品按标价售出多少件？ 【答案】（1）甲种商品每件的进价是100元，乙种商品每件的进价是80元；（2）全部售出后共可获利1800元；（3）乙商品按标价售出8件 【解析】 【分析】（1）可设乙种商品每件的进价是x元，则甲种商品每件的进价是（x+20）元，根据购进甲种商品4件与购进乙种商品5件的进价相同的等量关系列出方程即可求解； （2）可设该商场从厂家购进了甲种商品y件，则乙种商品（50-y）件，根据所用资金恰好为4600元的等量关系列出方程可求该商场从厂家购进了甲种商品的件数，乙种商品的件数，进一步可求按标价出售甲、乙两种商品，全部售出后一共的获利； （3）可设乙商品按标价售出z件，则乙商品按促销价售出（20-z）件，根据总获利比全部按标价售出获利少了的等量关系列出方程即可求解． 【详解】解：（1）设乙种商品每件的进价是x元，则甲种商品每件的进价是（x+20）元，依题意有 4（x+20）=5x， 解得x=80， 则x+20=80+20=100． 故甲种商品每件的进价是100元，乙种商品每件的进价是80元； （2）设该商场从厂家购进了甲种商品y件，则乙种商品（50-y）件，依题意有 100y+80（50-y）=4600， 解得y=30， 则50-y=50-30=20， 则100×40%×30+30×20=1800（元）． 故全部售出后共可获利1800元； （3）设乙商品按标价售出z件，则乙商品按促销价售出（20-z）件，依题意有 （100+100×40%）×0.9×30+（80+30）z+[（80+30）×0.9-4]（20-z）=4600+1800× 解得z=8． 故乙商品按标价售出8件． 【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，正确得出等量关系是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $