精品解析：湖南省衡阳市实验中学2024-2025学年九年级上学期9月月考数学试卷

衡阳市实验中学2024年上学期月考试卷 九年级数学 （命题人 杨建村 审核人 王玲燕） 考生须知： 1．本卷共三大题，26小题．满分120分，考试时间120分钟． 2．考生解题作答必须在答题卡上．答案书写在答题卡相应位置上，在试卷和草稿纸上作答无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的定义．解题的关键是掌握形如的式子叫做二次根式．根据二次根式的定义进行判断即可得． 【详解】解：A． 当时，是二次根式，故本选项不符合题意； B．为负数，则无意义，故本选项不符合题意； C．是二次根式，故本选项符合题意； D． 当时，是二次根式，故本选项不符合题意； 故选：C． 2. 下列运算错误的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的运算．根据二次根式的乘除法法则计算以及二次根式的加减法则计算即可判定． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故原运算错误，本选项符合题意； B、，正确，本选项不符合题意； C、，正确，本选项不符合题意； D、，正确，本选项不符合题意； 故选：A． 3. 在下列方程中，一元二次方程是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为一元二次方程． 【详解】解：A、是分式方程，不是整式方程，故本选项不符合题意； B、当时，原方程无二次项，不符合一元二次方程的定义，故本选项不符合题意； C、原方程，符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意； D、原方程化简后得到，二次项抵消，不符合一元二次方程的定义，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查一元二次方程的识别，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 4. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】最简二次根式的概念：被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式． 【详解】解：A. 被开方数含有开得尽的因数不是最简二次根式，不符合题意； B. 是最简二次根式，符合题意； C. 被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； D. 被开方数含有开得尽的因数不是最简二次根式，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查最简二次根式的概念，解题的关键是能够看出被开方数中的能开得尽方的因数或因式． 5. 将一元二次方程配方后，可化为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题的关键是熟记配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 先把常数项移到方程右侧，再将二次项的系数化为1，然后把方程左边写成完全平方形式，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴， 则， 故， ∴． 故选：B． 6. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（　　） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了根的判别式，根据题意可得，然后结合即可求解，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， ∵， ∴的取值范围是且， 故选：． 7. 在某足球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛10场，求参加比赛的球队数量．设有x个队参赛，根据题意可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．利用比赛的总场数参赛队伍数（参赛队伍数，即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故选：C． 8. 代数式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据形如的式子叫作二次根式，分式有意义的条件解答即可． 本题考查了二次根式有意义条件，分式有意义的条件，熟练掌握条件是解题的关键． 【详解】解：二次根式有意义， 故， 解得， 分式有意义， 故即， 故且， 故选D． 9. 已知实数在数轴上的位置如图所示，则化简：的结果为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查数轴及二次根式化简、绝对值的化简，关键是根据数轴得出与的正负情况． 根据数轴先确定、的正负，然后再去绝对值、根号，合并同类项即可解决问题． 【详解】解：根据实数在数轴上的位置得知：， 即：，， ∴ ． 故选：A． 10. 如图，在中，，，．动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P在上以的速度向B点移动，点Q在上以的速度向C点移动．当点Q移动到点C后停止，点P也随之停止移动．下列时刻中，能使的面积为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设当运动时间为秒时，的面积为，由题意得出，，则，由三角形面积公式列出一元二次方程，解方程即可得解． 【详解】解：设当运动时间为秒时，的面积为， 由题意得：，， ∴， ∴， 整理得：， 解得：或， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 计算的结果是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，根据二次根式的乘法运算计算即可．掌握二次根式的乘法法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 已知，分别是的整数部分和小数部分，则式子的值是____. 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算．根据的整数范围先确定、的值，再计算的值． 【详解】解：， ，． ． 故答案为：4． 13. 方程的一次项系数是．则常数项是________________， 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，要确定二次项系数、一次项系数和常数项，首先要把方程化成一般形式．根据任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中叫做二次项，a叫做二次项系数；叫做一次项；b叫做一次项系数，c叫做常数项，进行求解即可． 【详解】解：方程化为一般形式是的常数项是1， 故答案为；1． 14. 若关于的方程一个根是1，则另一根为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．根据根与系数的关系，即可得到答案． 【详解】解：由题意得：， 关于的方程一个根是1， ， 故答案为：． 15. 已知，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，把变形为，把，代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ 故答案为： 16. 的三边a，b，c的长度是的解，则的周长是___________  ． 【答案】3或18或13 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程和三角形的三边关系定理，能求出符合的所有情况是解此题的关键． 【详解】解：， 解得：， ①当三角形的三边为1，1，1，此时符合三角形的三边关系定理，能组成三角形，此时三角形的周长是； ②当三角形的三边为6，6，6，此时符合三角形的三边关系定理，能组成三角形，此时三角形的周长是； ③当三角形的三边为1，1，6，此时不符合三角形的三边关系定理，不能组成三角形； ④当三角形的三边为1，6，6，此时符合三角形的三边关系定理，能组成三角形，此时三角形的周长是； 所以三角形的周长是3或18或13， 故答案为3或18或13． 17. 如图，一块长方形绿地长，宽，在绿地中开辟三条道路后，绿地面积缩小到原来的，则可列方程为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，找到等量关系，列出方程是解题的关键．根据图知，绿地面积等于原来绿地面积减道路面积列出方程即可． 【详解】解：由题意，得， 故答案为： 18. 若关于x的一元二次方程的其中一根为，则关于x的方程必有一根为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，结合已知条件得到，求得x即可． 【详解】解：整理得， ∵关于x的一元二次方程的其中一根为， ∴关于x的方程中，， 解得：． 故答案为：． 三、解答题：本题共8题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 计算 （1）； （2）； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算； （1）根据二次根式的混合运算进行计算即可求解． （2）先化简二次根式，然后合并同类二次根式，即可求解． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 20. 用适当的方法解方程． （1）； （2）． 【答案】（1），． （2），． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法及因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （1）利用配方法即可求解； （2）利用因式分解法即可求解； 【小问1详解】 解： 移项，得：， 配方，得：， 开方，得：， 解得：，． 【小问2详解】 解： 移项，得：， 因式分解，得：， 即：或， 解得：，． 21. 先化简，再求值：，其中；如图是小亮和小芳的解答过程． （1） 的解法是错误的；错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： ； （2）先化简，再求值：，其中 【答案】（1）小亮； （2）；8 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的化简求值是解题的关键． （1）根据二次根式的性质判断即可； （2）根据二次根式的性质将原式化简，再将代入计算即可． 【小问1详解】 解：小亮的解法是错误的，错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：； 故答案为：小亮；． 【小问2详解】 解：原式， ， 原式． 22. 已知关于x的一元二次方程． （1）若是该方程的一个根，求m的值； （2）若一元二次方程有实数根，求m的取值范围． 【答案】（1）1 （2）且 【解析】 【分析】（1）把代入方程得到，然后解一次方程即可； （2）根据根的判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分即可． 【小问1详解】 解：把代入方程得到， 解得， 即的值为1； 【小问2详解】 根据题意得且， 解得且， 即的取值范围为且． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．也考查了一元二次方程的解． 23. 已知关于x的方程． （1）求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根恰好构成以3为直角边的直角三角形，求k值． 【答案】（1） 证明：， 无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2） 【解析】 【分析】（1）根据根的判别式的符号来证明； （2）先带字母解一元二次方程，得，，，然后根据勾股定理列出方程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 解得，，，则， 由勾股定理得，， 解得，． 【点睛】本题考查了根的判别式，解一元二次方程，勾股定理等知识，总结：一元二次方程根的情况与判别式的关系： （1）方程有两个不相等的实数根； （2）方程有两个相等的实数根； （3）方程没有实数根． 24. 认真阅读下列解答过程，并解答下列各题： 比较与的大小． 解： 因为 所以 即： （1）试比较与的大小； （2）尝试计算： 【答案】（1） （2）9 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，分母有理化，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）根据题中方法进行二次根式的化简比较即可； （2）利用题目所给的方法以及结合二次根式的变形进行求解即可． 【小问1详解】 解：， ， 因为， 所以， 即：； 【小问2详解】 解： ． 25. 温州某百货商场购进一批单价为5元的日用商品．如果以单价7元销售，每天可售出160件，根据销售经验，销售单价每提高1元，销售量每天就相应减少20件，设这种商品的销售单价为x元． （1）若该商场当天销售这种商品所获得的利润为元，求x的值． （2）当商品的销售单价定为多少元时，该商店销售这种商品获得的利润最大？此时最大利润为多少？ 【答案】（1）11或9 （2）当商品的销售单价定为元时，该商店销售这种商品获得的利润最大，最大利润为元． 【解析】 【分析】（1）根据“利润值=（销售单价购进单价）销售量”，列出一元二次方程，即可求解； （2）设销售的总利润为元，根据题意列出函数关系式，再利用配方法求得结果． 【小问1详解】 根据题意得，， 解得，； ∴x的值为11或9． 【小问2详解】 设销售的总利润为元，根据题意得， ， ∵， ∴， 当时，有最大值， 答：当商品的销售单价定为元时，该商店销售这种商品获得的利润最大，最大利润为元． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用和配方法的应用，正确理解题意、正确列出一元二次方程是解题关键． 26. 关于的一元二次方程如果有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”， （1）方程①，②中，是“倍根方程”的序号______； （2）若一元二次方程是“倍根方程”，求出的值； （3）若是“倍根方程”，求代数式的值． 【答案】（1）① （2）的值为18 （3）代数式的值为或 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，涉及新定义，解题的关键是读懂“倍根方程”的定义和分类讨论思想的应用． （1）求出的根为，，可知是“倍根方程”；求出的根为，，知不是“倍根方程”； （2）设的两个根为和，可得，即可解得的值为18； （3）求出，，可得或，即或，分别代入求值即可． 【小问1详解】 的根为，， ， 是“倍根方程”； 的根为，， ， 不是“倍根方程”； 故答案为：①； 【小问2详解】 由一元二次方程是“倍根方程”，设的两个根为和， ， 解得； 经检验，符合题意， 的值为18； 【小问3详解】 由得，， 是“倍根方程”， 或，即或， 当时，； 当时，； 代数式的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 衡阳市实验中学2024年上学期月考试卷 九年级数学 （命题人 杨建村 审核人 王玲燕） 考生须知： 1．本卷共三大题，26小题．满分120分，考试时间120分钟． 2．考生解题作答必须在答题卡上．答案书写在答题卡相应位置上，在试卷和草稿纸上作答无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算错误的是（　　） A. B. C. D. 3. 在下列方程中，一元二次方程是(　　) A. B. C. D. 4. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 5. 将一元二次方程配方后，可化为（ ） A. B. C. D. 6. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（　　） A. B. 且 C. D. 且 7. 在某足球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛10场，求参加比赛的球队数量．设有x个队参赛，根据题意可列方程为（　　） A. B. C. D. 8. 代数式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 9. 已知实数在数轴上的位置如图所示，则化简：的结果为（ ） A. 2 B. C. D. 10. 如图，在中，，，．动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P在上以的速度向B点移动，点Q在上以的速度向C点移动．当点Q移动到点C后停止，点P也随之停止移动．下列时刻中，能使的面积为的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 计算的结果是__________． 12. 已知，分别是的整数部分和小数部分，则式子的值是____. 13. 方程的一次项系数是．则常数项是________________， 14. 若关于的方程一个根是1，则另一根为_______． 15. 已知，，则________． 16. 的三边a，b，c的长度是的解，则的周长是___________  ． 17. 如图，一块长方形绿地长，宽，在绿地中开辟三条道路后，绿地面积缩小到原来的，则可列方程为_________． 18. 若关于x的一元二次方程的其中一根为，则关于x的方程必有一根为_______． 三、解答题：本题共8题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 计算 （1）； （2）； 20. 用适当的方法解方程． （1）； （2）． 21. 先化简，再求值：，其中；如图是小亮和小芳的解答过程． （1） 的解法是错误的；错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： ； （2）先化简，再求值：，其中 22. 已知关于x的一元二次方程． （1）若是该方程的一个根，求m的值； （2）若一元二次方程有实数根，求m的取值范围． 23. 已知关于x的方程． （1）求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根恰好构成以3为直角边的直角三角形，求k值． 24. 认真阅读下列解答过程，并解答下列各题： 比较与的大小． 解： 因为 所以 即： （1）试比较与的大小； （2）尝试计算： 25. 温州某百货商场购进一批单价为5元的日用商品．如果以单价7元销售，每天可售出160件，根据销售经验，销售单价每提高1元，销售量每天就相应减少20件，设这种商品的销售单价为x元． （1）若该商场当天销售这种商品所获得的利润为元，求x的值． （2）当商品的销售单价定为多少元时，该商店销售这种商品获得的利润最大？此时最大利润为多少？ 26. 关于的一元二次方程如果有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”， （1）方程①，②中，是“倍根方程”的序号______； （2）若一元二次方程是“倍根方程”，求出的值； （3）若是“倍根方程”，求代数式的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $