精品解析：云南省昆明市昆十中教育集团 2024—2025学年八年级上学期期中质量检测数学试卷

昆十中教育集团初2026届2024-2025学年 八年级上学期期中质量检测数学试卷 （考试时间：120分钟满分：100分） 一．选择题（共15小题，每题2分，共30分） 1. 世界上最小的无脊椎动物是单细胞生物草履虫，它身长仅0.00028米，用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 2. 若分式的值为0，则x的值为（　　） A. -2 B. 0 C. 2 D. ±2 3. 下列是分式方程的是（　　） A. B. C. D. 4. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列各式从左到右的变形，一定正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 分式与的最简公分母是（ ） A. B. C. D. 8. 在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（如图甲），把余下的部分拼成一个长方形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（ ） A. B. C. D. 9. 若的结果中不含项，则a的值为（ ） A. 0 B. 2 C. D. 10. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 11. 已知：，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 12. 一辆列车在最近的铁路大提速后，时速提高了20千米/时，则该列车行驶400千米所用的时间比原来少用了30分钟，若该列车提速前的速度是千米/时，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 13. 若为一个完全平方式，则的值为（ ） A. 16 B. C. 8 D. 14. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 15. 南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下．后人也将右表称为“杨辉三角”则展开式中所有项的系数和是（ ） A. 128 B. 256 C. 512 D. 1024 二、填空题（共4小题，每题2分，共8分） 16. 若分式有意义，则的取值范围是________． 17. ______． 18. 若，则分式的值为________． 19. 已知关于的分式方程无解，则的值为________． 三、解答题（共12小题，共62分） 20. 分解因式： （1） （2） 21. 计算： （1） （2） 22. 解分式方程： 23. 先化简，再求值： （1），其中． （2），然后从，，中选择一个合适的数代入求值． 24. 为改善居民出行环境，相关部门决定对某路段进行施工改造．施工全长600米，为了早日方便市民，实际施工时，每天的工效是原计划的倍，结果提前2天完成这一任务，求原计划每天施工多少米？ 25. 观察下列等式：，将以上三个等式两边相加得： ． （1）猜想并写出：________； （2）请你证明（1）中的猜想； （3）计算下列式子：； 26. 数学课上，老师用图1中的一张正方形纸片、一张正方形纸片、两张长方形纸片，拼成如图2所示的大正方形．观察图形并解答下列问题： （1）写出由图2可以得到的等式______________；（用含、的等式表示） （2）小明想用这三种纸片拼成一个面积为的大长方形，则需要三种纸片各多少张？ （3）如图3，分别表示边长为、的正方形面积，且、、三点在一条直线上，若， ，求图中阴影部分的面积． 27. 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”，下面是某同学对多项式进行因式分解的过程解：设 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） （1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的________． A．提取公因式 B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式 （2）该同学在第四步将用所设中的的代数式代换，这个结果是否分解到最后？________．（填“是”或“否”）如果否，直接写出最后的结果________． （3）请你用换元法对多项式进行因式分解的过程． （4）换元法在因式分解、解方程、计算中都有广泛应用，请你模仿以上方法尝试解方程：； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昆十中教育集团初2026届2024-2025学年 八年级上学期期中质量检测数学试卷 （考试时间：120分钟满分：100分） 一．选择题（共15小题，每题2分，共30分） 1. 世界上最小的无脊椎动物是单细胞生物草履虫，它身长仅0.00028米，用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：； 故选：A． 2. 若分式的值为0，则x的值为（　　） A. -2 B. 0 C. 2 D. ±2 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可知：， 解得：x=2， 故选C． 3. 下列是分式方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的定义，根据分式方程的定义对各选项进行逐一分析即可，正确理解分式方程的定义是解题的关键． 【详解】解：、不是方程，不符合题意； 、，不含有分式，不是分式方程，不符合题意； 、，不含有分式，不是分式方程，不符合题意； 、，含有分式，是分式方程，符合题意； 故选：． 4. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，就是因式分解，通过分析各项中，哪项等式右边为乘积的形式，即可解答题目． 【详解】解：A、是整式乘法，不是因式分解，不符合题意； B、，等式右边不是乘积的形式，不是因式分解，不符合题意； C、是因式分解，符合题意； D、，不是因式分解，不符合题意； 故选C． 【点睛】此题考查因式分解的定义，解题关键在于需要掌握因式分解的定义． 5. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．即（，m，n是正整数，）．也考查了同底数幂的乘法．根据同底数幂的乘法对A进行判断；根据合并同类项对B进行判断；根据积的乘方对C进行判断；根据同底数幂的除法对D进行判断． 【详解】A．，所以A选项的计算错误； B．，所以B选项的计算错误； C．，所以C选项的计算错误； D．，所以D选项的计算正确． 故选：D． 6. 下列各式从左到右的变形，一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查分式的基本性质．熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．直接利用分式的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：A． ，故此选项不符合题意； B．，故此选项符合题意； C．不存在分子、分母同减去一个数分式的值不变，故此选项不符合题意； D．，故此选项不符合题意． 故选：B． 7. 分式与的最简公分母是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查最简公分母的概念（取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母）．解题的关键是根据因式分解、最简公分母的概念解答即可． 【详解】解：， ∴与的最简公分母是． 故选：C． 8. 在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（如图甲），把余下的部分拼成一个长方形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了平方差公式与几何图形，根据两个正方形及长方形面积的计算公式即可得到答案． 【详解】解：解：根据图甲可得阴影面积为， 根据图乙可得阴影面积为， ∴可以验证等式， 故选：C． 9. 若的结果中不含项，则a的值为（ ） A. 0 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把式子展开合并，找到项的系数，令其系数为0，可求出a的值，从而可得答案， 本题主要考查了多项式乘多项式的运算，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为0． 【详解】解： ∵结果中不含项， ∴， ∴， 故选：B． 10. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的乘方及分式的乘法，先算乘方，再算乘法即可． 【详解】解：． 故选C． 11. 已知：，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查有理数的乘方，负整数指数幂和零指数幂．掌握各运算法则是解题关键．计算负整数指数幂，有理数的乘方，零指数幂，求出、、的值，再比较即可． 【详解】解：，，， ． 故选：B． 12. 一辆列车在最近的铁路大提速后，时速提高了20千米/时，则该列车行驶400千米所用的时间比原来少用了30分钟，若该列车提速前的速度是千米/时，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得出提速后的速度是千米/时，进而由该列车行驶400千米所用的时间比原来少用了30分钟，即可列出关于x的分式方程． 【详解】∵该列车提速前的速度是千米/时， ∴提速后的速度是千米/时． ∵该列车行驶400千米所用的时间比原来少用了30分钟， ∴可列方程为． 故选B． 【点睛】本题考查分式方程的实际应用．读懂题意，找出等量关系，列出等式是解题关键． 13. 若为一个完全平方式，则的值为（ ） A. 16 B. C. 8 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由于x2+kx+64是一个完全平方式，则x2+kx+64=(x±8)2，根据完全平方公式即可得到k的值． 【详解】解：∵x2+kx+64是一个完全平方式， ∴x2+kx+64=(x±8)2， ∴k=±16． 故选：B． 【点睛】本题考查了完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2，熟练掌握运用完全平方公式是解题关键． 14. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式“”是解题关键． 【详解】解： 故选∶ B． 15. 南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下．后人也将右表称为“杨辉三角”则展开式中所有项的系数和是（ ） A. 128 B. 256 C. 512 D. 1024 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了“杨辉三角”展开式中所有项的系数和的求法，通过观察展开式中所有项的系数和，得到规律是解题的关键．根据“杨辉三角”展开式中所有项的系数和规律确定出（n为非负整数）展开式的项系数和为，求出系数之和即可． 【详解】解：当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为 ， 由此可知展开式的各项系数之和为， 则展开式中所有项的系数和是， 故选：C． 二、填空题（共4小题，每题2分，共8分） 16. 若分式有意义，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，当分母不等于零时，分式有意义；当分母等于零时，分式无意义．根据分母不等于零列式求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴． 故答案为：． 17. ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用平方差公式进行简便运算，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 把原式化为，再计算即可． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 18. 若，则分式的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的求值，设，代入约分化简即可． 【详解】解：∵， ∴设， ∴． 故答案为：． 19. 已知关于的分式方程无解，则的值为________． 【答案】或2 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的问题，掌握解分式方程的方法是解题的关键．分式方程去分母转化为整式方程，整理后根据一元一次方程无解条件求出m的值，由分式方程无解求出x的值，代入整式方程求出m的值即可． 【详解】解： 去分母得： ①由分式方程无解，得到 即， 当时，，解得 当，去分母后的整式方程无解，解得， 故m的值为或2． 故答案为：或2． 三、解答题（共12小题，共62分） 20. 分解因式： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． （1）先提取公因式a，再利用平方差公式分解因式即可； （2）直接利用完全平方公式分解因式即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 21. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂、零指数幂的意义，以及单项式与单项式的乘法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先根据乘方、负整数指数幂、零指数幂的意义化简，再算加减； （2）先根据积的乘方法则化简，再计算单项式与单项式的乘法，然后根据=负整数指数幂的意义化简． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 22. 解分式方程： 【答案】 【解析】 【分析】先去分母，化为整式方程，然后解方程，再进行检验，即可求出方程的解 【详解】解： 方程两边同乘以，得 解得， 检验：时， 故原分式方程的根为：． 【点睛】本题考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的步骤进行解题． 23. 先化简，再求值： （1），其中． （2），然后从，，中选择一个合适的数代入求值． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了整式和分式的化简求值，能正确根据整式和分式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序． （1）先根据完全平方公式，平方差公式和单项式乘多项式进行计算，再合并同类项，算除法，最后代入数值求出答案即可； （2）先根据分式的加减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，根据分式有意义的条件求出m不能为和2，取，最后代入求出答案即可． 【小问1详解】 解： ； 当时， 原式． 【小问2详解】 解： ； 由分式有意义可得：，， ∴， ∴原式． 24. 为改善居民出行环境，相关部门决定对某路段进行施工改造．施工全长600米，为了早日方便市民，实际施工时，每天的工效是原计划的倍，结果提前2天完成这一任务，求原计划每天施工多少米？ 【答案】原计划每天施工50米． 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，设原计划每天施工米，根据实际施工时，每天的工效是原计划的倍，结果提前2天完成这一任务，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设原计划每天施工米，由题意，得： ， 解得：，经检验是原方程的解； 答：原计划每天施工50米． 25. 观察下列等式：，将以上三个等式两边相加得： ． （1）猜想并写出：________； （2）请你证明（1）中的猜想； （3）计算下列式子：； 【答案】（1） （2） 解：； （3） 【解析】 【分析】本题考查有理数的混合运算、数字的变化类、分式的基本运算，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化规律，求出相应式子的结果． （1）根据题目中的式子可以写出猜想； （2）把通分即可证明； （3）原式利用拆项法变形后，计算即可得到结果． 【小问1详解】 解：由题意可得，猜想是：． 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ． 26. 数学课上，老师用图1中的一张正方形纸片、一张正方形纸片、两张长方形纸片，拼成如图2所示的大正方形．观察图形并解答下列问题： （1）写出由图2可以得到的等式______________；（用含、的等式表示） （2）小明想用这三种纸片拼成一个面积为的大长方形，则需要三种纸片各多少张？ （3）如图3，分别表示边长为、的正方形面积，且、、三点在一条直线上，若， ，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） （2）需要三种纸片各6张、2张、7张 （3） 【解析】 【分析】此题考查了完全平方公式数形结合问题的解决能力，关键是能准确理解并运用以上知识和方法进行求解． （1）通过运用整体求解和部分求和的方法表示图2的面积进行求解； （2）通过计算的结果为可求解此题； （3）根据，，运用完全平方公式可求得，即可求得此题结果． 【小问1详解】 ∵图2的面积为， 或， ∴由图2可以得到等式； 故答案为： 【小问2详解】 ∵， ∴需要三种纸片各6张、2张、7张； 【小问3详解】 又 ∴， 即， 解得， ∴图中阴影部分的面积为：． 27. 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”，下面是某同学对多项式进行因式分解的过程解：设 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） （1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的________． A．提取公因式 B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式 （2）该同学在第四步将用所设中的的代数式代换，这个结果是否分解到最后？________．（填“是”或“否”）如果否，直接写出最后的结果________． （3）请你用换元法对多项式进行因式分解的过程． （4）换元法在因式分解、解方程、计算中都有广泛应用，请你模仿以上方法尝试解方程：； 【答案】（1）C （2）否， （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了利用乘法公式分解因式、利用换元法解方程，一元二次方程的解法，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． （1）分析第二步到第三步，可以得出直接应用两数和的完全平方公式； （2）明确最后的结果括号中的式子仍然可用完全平方公式因式分解，即可判断是否分解彻底，得到答案； （3）设，则原式，再将换回上述所得式子中，最后再利用平方差公式分解即可； （4）设，则原式化为，求出或，当时，，求出的值，当时，，此方程无解，由此即可得到答案． 【小问1详解】 解：该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式， 故选：C； 【小问2详解】 解：否，最终结果为：， 故答案为：否，； 【小问3详解】 解：， 设， 原式 ； 【小问4详解】 解：， 设，则原方程化为， ， 或， 解得：或， 当时，，此时方程无解， 当时，， 解得：， 经检验：是原方程的根， 原方程的根为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $