精品解析：上海市位育中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

2024学年第一学期位育中学期中考试试卷 高一年级数学学科 考试时问：100分钟 总分：100分 一、填空题（本大题共有12题，满分42分，第1-6题每题3分，第7-12题每题4分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果 1. 已知集合A={1，2}，B={2，3，4}，则AB=_____________. 2. 若，则______． 3. 已知集合，，且，则实数的值为______. 4. 已知集合，则集合可以用列举法表示为______. 5. 设：，：，是的充分条件，则实数m的取值范围是______. 6. 若恒成立，则的值______． 7. 已知实数a，b满足，则的最大值为______. 8. 若关于x的不等式的解集为，则实数a的值为______. 9. 已知全集，若，，，则集合______. 10. 设，则方程的解集为______. 11. 设关于x的不等式的解集为A，若，则实数m的取值范围是______. 12. 若对于任意的实数，关于x的不等式在区间上总有解，则实数m的取值范围是______. 二、选择题（本大题共有4题，满分16分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的柏应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分 13. 设，下列计算中正确的是（ ） A. B. C. D. 14. 已知，且，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 15. 设，则“”是“且”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 16. 设，关于的方程组.对于命题：①存在a，使得该方程组有无数组解；②对任意a，该方程组均有一组解，下列判断正确的是（　　） A. ①和②均为真命题 B. ①和②均为假命题 C. ①为真命题，②为假命题 D. ①为假命题，②为真命题 三、解答题（本大题共有5题，满分42分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17. 已知集合，集合，设全集为实数集R，若，求实数m的取值范围. 18. （1）已知且，且，证明：当时，； （2）设，，用a，b表示. 19. 去年某商户销售某品牌服装9000套，每套服装利润为50元.为提高销售利润，今年计划投入适当的广告费进行产品促销，据测算若投放广告费用x万元，则该品牌服装的年销售量将增长. （1）若要使得今年净利润比去年净利润至少增长，求投放广告费用的范围； （2）当投放广告费用为多少万元时，该品牌服装的净利润最大？ 20. 已知关于x和y的方程组. （1）当时，求方程组的解集； （2）设和是方程组的两组不同的解，若，求实数m的取值范围. 21. 设为实数集，若非空集合满足条件：（1）；（2）对任意，都有且，则称集合为封闭集. （1）判断集合，是否为封闭集，并说明理由； （2）设全集为，已知集合是封闭集，求证：不是封闭集. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第一学期位育中学期中考试试卷 高一年级数学学科 考试时问：100分钟 总分：100分 一、填空题（本大题共有12题，满分42分，第1-6题每题3分，第7-12题每题4分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果 1. 已知集合A={1，2}，B={2，3，4}，则AB=_____________. 【答案】{1，2，3，4}； 【解析】 【分析】根据并集的概念，即可得到答案. 【详解】因为A={1，2}，B={2，3，4}，所以AB={1，2，3，4}. 故答案为：{1，2，3，4}. 2. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用对数运算法则直接计算即可. 【详解】，则，故. 故答案为：. 3. 已知集合，，且，则实数的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据元素的互异性，确定的范围，根据集合相等列方程求即可. 【详解】因为，， 所以，且， 所以，且，， 因为， 所以或， 由，可得（舍去）， 由，可得（舍去）或， 所以. 故答案为：. 4. 已知集合，则集合可以用列举法表示为______. 【答案】 【解析】 【分析】由条件可得为的正约数，且，由此确定结论. 【详解】因为， 所以为的正约数，且， 所以或或或， 所以或或或， 所以. 故答案为：. 5. 设：，：，是的充分条件，则实数m的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】把充分关系转化为子集关系，即可求解. 【详解】由是的充分条件，且：，：， 可得：是的子集， 所以：. 故答案为：. 6. 若恒成立，则的值______． 【答案】5 【解析】 【分析】 根据等式恒成立，对应项的系数相等可求得结果. 【详解】因为，即恒成立， 所以，所以. 故答案为：5 【点睛】关键点点睛：根据等式恒成立，对应项的系数相等求解是解题关键. 7. 已知实数a，b满足，则的最大值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据基本不等式可求的最大值. 【详解】因为，故， 当且仅当时等号成立，故的最大值为， 故答案为：. 8. 若关于x的不等式的解集为，则实数a的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】由给定的解集确定关于的方程的根及一次项的系数正负，再代入解方程即得. 【详解】由关于x的不等式的解集为， 得1是关于的方程的根，且， 因此，即，而，解得， 所以实数a的值为. 故答案为： 9. 已知全集，若，，，则集合______. 【答案】 【解析】 【分析】先求出，再求出，从而可求. 【详解】因为，故， 而且两两相交为空集， 故，故， 故答案为： 10. 设，则方程的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据绝对值方程的特点，分别求出绝对值内部一次函数的零点，将分成，，和四个部分，分别去掉绝对值，求解方程即得. 【详解】当时，方程可化为：，解得，故解集为； 当时，方程可化为：，解得，舍去； 当时，方程可化为：，解得，故解集为； 当时，方程可化为：，解得，故解集为. 综上，方程的解集为. 故答案为：. 11. 设关于x的不等式的解集为A，若，则实数m的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】首先假设，即时，不等式成立，得到：，然后解不等式得到的取值范围，最后对的取值范围取补集即为最终结果. 【详解】假设，即当时不等式成立， 代入可得：，解得：或. 由于已知，故的取值范围为. 故答案为： 12. 若对于任意的实数，关于x的不等式在区间上总有解，则实数m的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】将不等式在区间上有解问题转化为函数最值问题，将任意的实数a不等式总有解问题转化为恒成立问题求解可得. 【详解】设，. 则关于x的不等式在区间上有解. 由函数图象可知， ，即. 设， 由题意，对于任意的实数a，关于x的不等式在区间上总有解， 则恒成立，故. 作出函数的图象，则，所以. 故实数m的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：借助函数图象确定函数在上的最大值时解题的关键. 二、选择题（本大题共有4题，满分16分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的柏应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分 13. 设，下列计算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数幂的运算法则，对各个选项逐一计算判断即可得解. 【详解】对于选项A，，故选项A错误， 对于选项B，，故选项B正确， 对于选项C，，故选项C错误， 对于选项D，，故选项D错误， 故选：B. 14. 已知，且，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取，，，利用排除法即可得正确选项. 【详解】令，，，则，，， 故排除A、B、D、 故选：C. 15. 设，则“”是“且”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义可得. 【详解】当时，取，，得不到 “且” 故“”不是“且”的充分条件， 当且时，取，，得不到， 故“”不是“且”的必要条件， 故“”是“且” 既不充分也不必要条件， 故选：D 16. 设，关于的方程组.对于命题：①存在a，使得该方程组有无数组解；②对任意a，该方程组均有一组解，下列判断正确的是（　　） A. ①和②均为真命题 B. ①和②均为假命题 C. ①为真命题，②为假命题 D. ①为假命题，②为真命题 【答案】D 【解析】 【分析】通过解方程组的知识求得正确答案. 【详解】由得，则，，所以， 则，解得， 所以关于的方程组有唯一解. 所以①为假命题，②为真命题. 故选：D 三、解答题（本大题共有5题，满分42分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17. 已知集合，集合，设全集为实数集R，若，求实数m的取值范围. 【答案】或. 【解析】 【分析】解不等式化简集合，并求出，再利用集合的包含关系求出的范围. 【详解】解不等式，得，则， 由，得或， 由，得或，解得或， 所以实数m的取值范围是或. 18. （1）已知且，且，证明：当时，； （2）设，，用a，b表示. 【答案】（1）证明：根据题意，设，则， 两边同时取以a为底对数，得， 由对数运算性质，得， 因为，所以，所以，于是； （2） 【解析】 【分析】（1）设且，化为指数式，两边取对数可得，化简代入即可得出结果； （2）先利用换底公式求出，再求的值. 【详解】（1）略 （2）根据换底公式，，所以， 则. 19. 去年某商户销售某品牌服装9000套，每套服装利润为50元.为提高销售利润，今年计划投入适当的广告费进行产品促销，据测算若投放广告费用x万元，则该品牌服装的年销售量将增长. （1）若要使得今年净利润比去年净利润至少增长，求投放广告费用的范围； （2）当投放广告费用为多少万元时，该品牌服装的净利润最大？ 【答案】（1） （2）8 【解析】 【分析】（1）由题意列出不等式，转换为一元二次不等式即可得解. （2）由题意得表达式，结合基本不等式及其取等条件即可求解. 【小问1详解】 由题意得，即， 化简并整理得，解得， 所以预算广告费用的范围为. 【小问2详解】 由题意得，净利润 ，（单位：万元）， 所以由基本不等式可得， 当且仅当即时等号成立， 所以当投入广告费用为8万元时，品牌服装的净利润最大. 20. 已知关于x和y的方程组. （1）当时，求方程组的解集； （2）设和是方程组的两组不同的解，若，求实数m的取值范围. 【答案】（1）或； （2） 【解析】 【分析】（1）直接解方程组即可； （2）利用韦达定理及判别式计算即可. 【小问1详解】 当时，方程组为，消元得， 解方程组得或； 【小问2详解】 由方程组消元得， 则，可得， 显然， 所以. 实数m的取值范围为. 21. 设为实数集，若非空集合满足条件：（1）；（2）对任意，都有且，则称集合为封闭集. （1）判断集合，是否为封闭集，并说明理由； （2）设全集为，已知集合是封闭集，求证：不是封闭集. 【答案】（1）为封闭集，不是封闭集，理由：对于集合，，，故为封闭集， 对于集合，，，故不是封闭集. （2）证明：非空集合是封闭集， 易得，假设是封闭集， 设，在中任取一个元素，则， 否则，此时，与矛盾， 因此，，而，与矛盾， 则当时，则不是封闭集， 同理当时，不是封闭集， 所以不是封闭集. 【解析】 【分析】（1）根据封闭集的定义判断即可. （2）结合反证法推理即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $