精品解析：河北省邯郸市临漳县2024-—2025学年上学期10月月考九年级数学试题

2024-2025学年度第一学期期中教学质量检测 九年级数学试卷 一、选择题（每题3分，共48分） 1. 根据表格，判断关于的方程的一个解的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，由表格可发现当取与之间的某个数时，，再看对应的的值即可得． 【详解】解：由表可以看出，当取与之间的某个数时，，即这个数是的一个根． 所以的一个解的取值范围为． 故选：C． 2. 利用公式法解一元二次方程可得两根为、，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，利用公式法求出一元二次方程的解，再根据即可求解，熟练掌握公式法解一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：依题意，，， ∴， ∴ 故选：D． 3. 若关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+3）2＝2c，则c的值为（　　） A. ﹣3 B. 0 C. 3 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】先移项把方程化为再配方可得结合已知条件构建关于c的一元一次方程，从而可得答案． 【详解】解：， 移项得： 配方得： 而c， 解得： 故选：C. 【点睛】本题考查的是配方法，掌握“配方法解一元二次方程的步骤”是解本题的关键． 4. 若实数k、b是一元二次方程的两个根，且，则一次函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，一次函数的性质；根据一元二次方程的解法求出k、b的值，由一次函数的图象即可求得． 【详解】解：∵实数k、b是一元二次方程的两个根，且， ∴， ∴一次函数表达式为， ∴一次函数图象不经过第二象限 故选：B． 5. 已知a，b，c为常数，点在第四象限，则关于x的一元二次方程 的根的情况为（    ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判定 【答案】B 【解析】 【分析】根据点在第四象限得，可得，则方程的判别式，即可得． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴， ∴， ∴方程的判别式， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 【点睛】本题考查了点坐标的特征，根的判别式，解题的关键是掌握这些知识点． 6. 如图，是正方形对角线上一点，连接，，并延长交于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质以及三角形外角的性质，利用正方形的性质，由可证，依据全等三角形的对应角相等，可得，由三角形的外角性质可得到的度数． 【详解】解：四边形是正方形， ，，, 在和中， ， ； ， 又， ， ， ， ， ， 故选：A． 7. 如图，剪两张等宽且对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形，其中一张纸条在转动过程中，下列结论一定成立的是（ ） A. 四边形周长不变 B. C. 四边形面积不变 D. 【答案】B 【解析】 【分析】设两张等宽的纸条的宽为，根据题意可得，从而得到四边形是平行四边形，再由，可得，进而得到四边形是菱形，再进行判断即可． 【详解】解：∵两张等宽且对边平行的纸条， ∴设两张等宽的纸条的宽为，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∵转动过程中，在不断变化， ∴四边形周长，面积在不断改变，和不一定相等， 故选B． 【点睛】本题考查菱形的判定和性质．解题的关键是证明四边形是菱形． 8. 某儿童乐园摩天轮的正面示意图如图所示，若每个舱看作一个点，任意选择四个点，则以这四个点为顶点的四边形是矩形的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定，根据矩形的对角线相等，且互相平分，即可求解． 【详解】解：依题意，矩形有三个， 故选：C． 9. 如图，在中，，点是斜边的中点，以为边作正方形，若，则（ ） A. B. 18 C. D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，根据正方形的面积可求得的长，利用直角三角形斜边的中线求得斜边的长，利用勾股定理求得的长，根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵中，点M是斜边的中点， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 10. 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFC=120°，若将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，则为（　　） A. 70° B. 65° C. 30° D. 60° 【答案】D 【解析】 【分析】依据正方形的性质以及折叠的性质，即可得到=60°． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴ABCD，∠A=90°， ∴∠BEF+∠EFC=180°， ∵∠EFC=120°， ∴∠BEF=180°-∠EFC=60°， ∵将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上， ∴∠BEF==60°， ∴=180°-∠BEF-=60°， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质等知识点，能综合性运用性质进行推理是解此题的关键． 11. 如图，在的边上分别截取、，使；分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；连接、、、．若，四边形的面积为，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了基本作图、菱形的判定与性质．利用基本作图得到，则可判断四边形为菱形，根据菱形的面积公式得到，从而可求出的长． 【详解】解：根据作图，， ， ， 四边形是菱形， ，四边形的面积为， ， 解得． 故选：C． 12. 如图，三个边长为的正方形按如图所示的方式重叠在一起，点O是其中一个正方形的中心，则重叠部分（阴影）的面积为（ ）     A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，连接，，由正方形的性质可得，证明可得，进而可求解． 【详解】解：连接，， 由题意知：四边形，四边形都是正方形， ，，，， ， 在和中， ， ， ， ， ． 故选：B． 13. 如图，四边形是边长为的菱形，对角线，的长度分别是一元二次方程的两个实数根，是边上的高，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的面积和一元二次方程根与系数的关系的应用，根据对角线的长度分别是一二次方程的两实数根，得到，根据菱形的面积公式得到，再根据得到． 【详解】解：∵对角线的长度分别是一二次方程的两实数根， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 14. 如图，在菱形中，交于O点，，点P为线段上的一个动点．过点P分别作于点M，作于点N，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用菱形的对角线互相垂直平分求出菱形边长，再利用等面积法求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴与互相垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质和勾股定理，解题关键是掌握菱形的性质． 15. “立身以立学为先，立学以读书为本”为了鼓励全民阅读，某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆200人次，前三个月累计进馆728人次，若进馆人次的月增长率相同，求进馆人次的月增长率．设进馆人次的月增长率为，依题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是先分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次，再根据第一个月的进馆人次加第二和第三个月的进馆人次等于，列方程即可． 【详解】解：设进馆人次的月增长率为，依题意可列方程为， 故选D． 16. 定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如 和有且仅有一个相同的实数根．所以这两个方程为“同伴方程”，若关于的方程 的参数同时满足 和．且该方程与 互为“同伴方程”， 则的值为（ ） A. 1或 B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由和可得关于x的方程两个实数根为，由，可得的根为或，根据与互为“同伴方程”，即得或．掌握“同伴方程”的定义是解题的关键． 【详解】解：∵同时满足和， 关于的方程两个 实数根为 ， 或， 的根为或 ， 与互为“同伴方程”， 或． 故答案为： 1或． 二、填空题（每题3分，共9分） 17. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，动点E以每秒1个单位长度的速度从点A出发沿AC方向运动，点F同时以每秒1个单位长度的速度从点C出发沿CA方向运动，若AC＝12，BD＝8，则经过________秒后，四边形BEDF是矩形． 【答案】2或10##10或2 【解析】 【分析】设经过t秒后，四边形BPDE是矩形；由平行四边形的性质得出OA=OC=AC=6，OB=OD=BD=4，得出OE=OF，证出四边形BFDE是平行四边形，当EF=BD，即OE=OD时，四边形BFDE是矩形，得出6-t=4，或t-6=4，解方程即可． 【详解】解：设经过t秒后，四边形BPDQ是矩形； 则AE=CF=t， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC=AC=6，OB=OD=BD=4， ∴OE=OF， ∴四边形BFDE是平行四边形， 当EF=BD，即OE=OD时，四边形BFDE是矩形， 此时6-t=4，或t-6=4， 解得：t=2，或t=10， 即经过2秒或8秒后，四边形BPDE是矩形． 故答案为∶ 2或10． 【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质与判定；熟练掌握平行四边形的性质与判定，由对角线相等得出方程是解决问题的关键． 18. 20世纪70年代，数学家罗杰·彭罗斯使用两种不同的菱形，完成了非周期性密铺，如下图，使用了，两种菱形进行了密铺，则菱形的锐角的度数为______ °． 【答案】36 【解析】 【分析】如图，设菱形B的锐角为x，菱形A的锐角和钝角分别为y、z，根据密铺的图案中一个顶点处的周角为列出方程组，解答即可． 【详解】解：如图，设菱形B的锐角为x，菱形A的锐角和钝角分别为y、z，根据题意，得 ，解得， 故答案为：36． 【点睛】本题常考了密铺问题，涉及了菱形的性质、多边形的内角和、三元一次方程组等知识，正确理解题意、得出方程组是解题的关键． 19. 《代数学》中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图①，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．”小聪按此方法解关于x的方程，构造图②，已知阴影部分的面积为72，则该方程的正数解为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用图形求一元二次方程的解，先把方程化为指定的形式，根据题意，得，确定，继而得到大正方形的面积为，从而得到方程的正数解为计算即可． 【详解】由得， ∵阴影部分的面积为， ∴， 根据题意，得， ∴， ∴大正方形的面积为， ∴方程的正数解为， 故答案为：． 三、解答题（共63分） 20. 如图，正方形中，E是上的一点，连接，过B点作，垂足为点G，延长交于点F，连接． （1）求证：． （2）若正方形边长是5，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据证明，可得结论； （2）根据（1）得：，则，最后利用勾股定理可得的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵正方形边长是5， ∴， ∵， ∴由（1）得， ∴， 在中，由勾股定理得：． 【点睛】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，本题证明是解本题的关键． 21. 如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． （1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？ （2）羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈； （2） 解：不能，理由如下： 由题意，得． 化简，得． ∵， ∴一元二次方程没有实数根． ∴羊圈的面积不能达到． 【解析】 【分析】（1）设矩形的边，则边，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解； （2）同（1）的方法建立方程，根据方程无实根即可求解． 【小问1详解】 解：设矩形的边，则边． 根据题意，得． 化简，得． 解得，． 当时，； 当时，． 答：当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程是解题的关键． 22. 阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于-1，记为①，这个数i叫做虚数单位，那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，复数一般表示为（，为实数），叫做这个复数的实部，叫做这个复数的虚部，它与整式的加法，减法，乘法运算类似．例如：解方程，解得：，．同样我们也可以化简．读完这段文字，请你解答以下问题： （1）填空：______，______，______． （2）已知，写出一个以，的值为解的一元二次方程． （3）在复数范围内解方程：． 【答案】（1）-i，1，0；（2）；（3），． 【解析】 【分析】(1)根据题意，则，，然后计算即可； (2)利用，得到，，，即可求解 (3)利用配方法求解即可． 【详解】(1)， ， ∵， ∴， 同理：， 每四个为一组，和为0， 共有组， ∴， (2)∵， ∴，， ∴，，， ∴以，的值为解的一元二次方程可以为：． (3)， ， ， ， ∴，． 【点睛】本题考查了实数的运算，解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 23. 【操作感知】如图1，在矩形纸片的边上取一点P，沿折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接，则的大小为______度． 【迁移探究】如图2，将矩形纸片换成正方形纸片，将正方形纸片按照【操作感知】进行折叠，并延长交于点Q，连接． （1）判断与的关系并证明； （2）若正方形的边长为4，点P为中点，则的长为______． 【答案】【操作感知】：30； （1）判断：， 证明：∵正方形纸片按照【操作感知】进行折叠， ∴ 在和中， ， ∴， 即； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质，长方形的性质，全等三角形的判定等知识， 操作感知：根据折叠求出，即可得出结论； 迁移探究：（1）根据证即可； （2）设的长为x，则，,利用勾股定理求出x的值即可． 【详解】解：【操作感知】：由折叠知，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：30； 【迁移探究】（1）略 （2）设的长为x， ∵正方形的边长为4，点P为中点， ∴，，， 在中，， 即， 解得 故答案为：． 24. 如图，在矩形中，，，点从点开始以的速度沿边向点移动，点从点开始以的速度沿向点移动．如果，分别从，同时出发，设移动的时间为．求： （1）当为多少时，的面积等于？ （2）当为多少时，是以为斜边的直角三角形？ 【答案】（1）为秒或秒 （2）为秒或秒 【解析】 【分析】本题利用了三角形的面积公式，勾股定理，以及解一元二次方程； （1）若移动时间为，那么可以用含的代数式表示中，，那么利用面积公式就可以得到关于的一元二次方程，解即可，并要根据实际意义确定的值； （2）用含t的代数式分别表示图中各线段，在中，利用勾股定理可求出，同理，在中利用勾股定理也可以求出，联合起来，得到关于的一元二次方程，解即可，然后根据实际意义确定的值． 【小问1详解】 解： ，，， 的面积等于 则 整理得，解得， 即当为秒或秒时，的面积等于； 【小问2详解】 解：依题意，，，， 是以为斜边的直角三角形 ，即， 整理得，解之得， 即当为秒或秒时，是以为斜边的直角三角形． 25. 某公司设计了一款工艺品，每件的成本是40元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是50元时，每天的销售量是100件，而销售单价每提高1元，每天就减少售出2件，但要求销售单价不得超过65元． （1）若销售单价为每件60元，求每天的销售利润； （2）要使每天销售这种工艺品盈利1350元，每件工艺品售价应为多少元？ （3）公司每天销售这种工艺品获利能否达到2000元？请说明理由． 【答案】（1）1600元 （2）55元 （3） 不能，理由如下： 设每件工艺品售价为元，则每天的销售量是件， 由题意得，， 整理得，， ， 方程无解， 答：利润不能达到2000元． 【解析】 【分析】（1）利用总利润等于每件的销售利润×每天的销售量，即可求出结论； （2）设每件工艺品售价为元，则每天的销售量是件，根据利用总利润=每件的销售利润×每天的销售量列方程求解即可； （3）设每件工艺品售价为元，则每天的销售量是件，利用总利润=每件的销售利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，根据一元二次方程无解判断即可． 【小问1详解】 解：由题意得，（元）． 答：每天的销售利润为1600元； 【小问2详解】 解：设每件工艺品售价为元，则每天的销售量是件， 由题意得，， 整理得， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：每件工艺品售价应为55元； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期期中教学质量检测 九年级数学试卷 一、选择题（每题3分，共48分） 1. 根据表格，判断关于的方程的一个解的范围是（ ） A. B. C. D. 2. 利用公式法解一元二次方程可得两根为、，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 若关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+3）2＝2c，则c的值为（　　） A. ﹣3 B. 0 C. 3 D. 9 4. 若实数k、b是一元二次方程的两个根，且，则一次函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 已知a，b，c为常数，点在第四象限，则关于x的一元二次方程 的根的情况为（    ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判定 6. 如图，是正方形对角线上一点，连接，，并延长交于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，剪两张等宽且对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形，其中一张纸条在转动过程中，下列结论一定成立的是（ ） A. 四边形周长不变 B. C. 四边形面积不变 D. 8. 某儿童乐园摩天轮的正面示意图如图所示，若每个舱看作一个点，任意选择四个点，则以这四个点为顶点的四边形是矩形的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 如图，在中，，点是斜边的中点，以为边作正方形，若，则（ ） A. B. 18 C. D. 12 10. 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFC=120°，若将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，则为（　　） A. 70° B. 65° C. 30° D. 60° 11. 如图，在的边上分别截取、，使；分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；连接、、、．若，四边形的面积为，则的长为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，三个边长为的正方形按如图所示的方式重叠在一起，点O是其中一个正方形的中心，则重叠部分（阴影）的面积为（ ）     A. B. C. D. 13. 如图，四边形是边长为的菱形，对角线，的长度分别是一元二次方程的两个实数根，是边上的高，则的长为（ ） A. B. C. D. 14. 如图，在菱形中，交于O点，，点P为线段上的一个动点．过点P分别作于点M，作于点N，则的值为（　　） A. B. C. D. 15. “立身以立学为先，立学以读书为本”为了鼓励全民阅读，某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆200人次，前三个月累计进馆728人次，若进馆人次的月增长率相同，求进馆人次的月增长率．设进馆人次的月增长率为，依题意可列方程（ ） A. B. C. D. 16. 定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如 和有且仅有一个相同的实数根．所以这两个方程为“同伴方程”，若关于的方程 的参数同时满足 和．且该方程与 互为“同伴方程”， 则的值为（ ） A. 1或 B. C. 1 D. 2 二、填空题（每题3分，共9分） 17. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，动点E以每秒1个单位长度的速度从点A出发沿AC方向运动，点F同时以每秒1个单位长度的速度从点C出发沿CA方向运动，若AC＝12，BD＝8，则经过________秒后，四边形BEDF是矩形． 18. 20世纪70年代，数学家罗杰·彭罗斯使用两种不同的菱形，完成了非周期性密铺，如下图，使用了，两种菱形进行了密铺，则菱形的锐角的度数为______ °． 19. 《代数学》中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图①，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．”小聪按此方法解关于x的方程，构造图②，已知阴影部分的面积为72，则该方程的正数解为________． 三、解答题（共63分） 20. 如图，正方形中，E是上的一点，连接，过B点作，垂足为点G，延长交于点F，连接． （1）求证：． （2）若正方形边长是5，，求的长． 21. 如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． （1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？ （2）羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 22. 阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于-1，记为①，这个数i叫做虚数单位，那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，复数一般表示为（，为实数），叫做这个复数的实部，叫做这个复数的虚部，它与整式的加法，减法，乘法运算类似．例如：解方程，解得：，．同样我们也可以化简．读完这段文字，请你解答以下问题： （1）填空：______，______，______． （2）已知，写出一个以，的值为解的一元二次方程． （3）在复数范围内解方程：． 23. 【操作感知】如图1，在矩形纸片的边上取一点P，沿折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接，则的大小为______度． 【迁移探究】如图2，将矩形纸片换成正方形纸片，将正方形纸片按照【操作感知】进行折叠，并延长交于点Q，连接． （1）判断与的关系并证明； （2）若正方形的边长为4，点P为中点，则的长为______． 24. 如图，在矩形中，，，点从点开始以的速度沿边向点移动，点从点开始以的速度沿向点移动．如果，分别从，同时出发，设移动的时间为．求： （1）当为多少时，的面积等于？ （2）当为多少时，是以为斜边的直角三角形？ 25. 某公司设计了一款工艺品，每件的成本是40元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是50元时，每天的销售量是100件，而销售单价每提高1元，每天就减少售出2件，但要求销售单价不得超过65元． （1）若销售单价为每件60元，求每天的销售利润； （2）要使每天销售这种工艺品盈利1350元，每件工艺品售价应为多少元？ （3）公司每天销售这种工艺品获利能否达到2000元？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $