22.1.4 二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象和性质 课件 2024—2025学年人教版数学九年级上册

人教版数学九年级上册 第二十二章 二次函数 22.1.3 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 1.会用配方法或公式法将一般式y＝ax2＋bx＋c化成 顶点式y=a(x-h)2+k.(难点） 2.会熟练求出二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的 顶点坐标、对称轴.（重点） 学习目标 y=a(x-h)2+k a＞0 a＜0 开口方向 顶点坐标 对称轴 增减性 最值 向上 向下 (h,k) 直线 x=h 当x＜h时，y随着x的增大而减小；当x＞h时，y随着x的增大而增大. 当x＜h时,y随着x的增大而增大；当x＞h时， y随着x的增大而减小. x=h时，y最小=k x=h时，y最大=k 抛物线y=a(x-h)2+k可以看作是由抛物线y=ax2经过平移得到的. (h,k) 直线 x=h 复习引入 二次函数 顶点坐标 对称轴 最值 y=-2x2 y=-2x2-5 y=-2(x+2)2 y=-2(x+2)2-4 y=(x-4)2+3 y=-x2+2x y=3x2+x-6 (0，0) y轴(直线x=0) 0 (0，-5) y轴(直线x=0) -5 (-2，0) 直线x=-2 0 (-2，-4) 直线x=-2 -4 (4，3) 直线x=4 3 ? ? ? ? ? ? 复习引入 （1）x2-12x+36=_____________; （2）x2-12x=___________ __ . （3） =___________ __ . (x-6)2 (x-6)2-36 新知探究 将一般式y=ax2+bx+c化成顶点式y=a(x-h)2+k 一 问题1 将下列多项式化成a(x-h)2+k的形式. 思考 我们已经知道y=a(x-h)2+k的图象和性质，能否利用这些知识来讨论 的图象和性质？ 新知探究 y=ax2+bx+c的图象与性质 二 想一想：怎样配方化成顶点式？步骤是什么？ (1)“提”：提出二次项系数； (2)“配”：括号内配成完全平方 (3)“化”：化成顶点式. 答：对称轴是直线x=6，顶点坐标是(6，3). ② 先向右平移6个单位，再向上平移3个单位得到的. 问题1 你能说出 的对称轴及顶点坐标吗？ 问题2 函数 可以看作是由 怎样平移得到的？ 答：① 先向上平移3个单位，再向右平移6个单位得到的； 新知探究 x ··· 3 4 5 6 7 8 9 ··· y ··· ··· 解：先利用图象的对称性列表 7.5 5 3.5 3 3.5 5 7.5 问题3 如何画二次函数 的图象？ 新知探究 描点画图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 x y o 当x＜6时，y随x的增大而减小； 当x＞6时，y随x的增大而增大. 问题4 结合二次函数 的图象，说出其增减性. 新知探究 探究 你能用上面的方法讨论二次函数y＝-2x2-4x+1的图象和性质吗？ 新知探究 将y＝-2x2-4x+1化成顶点式 y＝-2(x2+2x)+1 y＝-2(x2+2x+1－1)+1 y＝-2(x2+2x+1)+1+2 开口方向: 对称轴: 顶点坐标： 向下 直线x=－1 (-1,3) y＝-2(x+1)2+3 将下列二次函数的一般式用配方法化成顶点式y=a(x-h)2+k的形式，并指出其顶点坐标． （1）y=x2-2x+1； （2）y=2x2-4x+6． 解：y=(x-1)2 顶点坐标为(1，0) 解：y=2(x2-2x)+6 y=2(x2-2x+12)+6-2×12 y=2(x-1)2-4 顶点坐标为(1，4) 巩固练习 y=ax²+bx+c 如何用配方法将一般式y=ax2+bx+c(a≠0)化成顶点式y=a(x-h)2+k？ 新知探究 (1)“提”：提出二次项系数； (2)“配”：括号内配成完全平方 (3)“化”：化成顶点式. 一般地，二次函数y=ax2+bx+c可以通过配方化成y=a(x-h)2+k的形式，即 抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是： 顶点坐标是： 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 归纳总结 (1) x y O (2) x y O 当x＜ 时，y随x的增大而减小； 当x＞ 时，y随x的增大而增大. 当x＜ 时，y随x的增大而增大； 当x＞ 时，y随x的增大而减小. 归纳总结 如果a＞0 如果a＜0 已知二次函数y＝x2－6x＋5． (1)将y＝x2－6x＋5化成y＝a(x－h)2＋k的形式； (2)求该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标； (3)当x取何值时，y随x的增大而减小． (3)∵抛物线的开口向上，对称轴是x＝3 解：(1)y＝x2－6x＋5＝(x－3)2－4 (2)二次函数的图象的对称轴是x＝3，顶点坐标是(3，－4) ∴当x≤3时，y随x的增大而减小． 巩固练习 对称轴在y轴右侧，x＞0 对称轴在y轴左侧，x＜0 a ___ 0 b ___ 0 c ___ 0 (2) x y O a ___ 0 b ___ 0 c ___ 0 (1) x y O 问题 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如下图所示， ＞ ＞ ＞ ＞ ＜ ＜ 当x＝0时，y＝c 开口向上，a＞0 开口向上，a＞0 当x＝0时，y＝c 二次函数字母系数与图象的关系 三 新知探究 a ___ 0 b ___ 0 c ___ 0 x y O (3) a ___ 0 b ___ 0 c ___ 0 x y O ＜ ＜ ＞ ＜ ＞ ＜ 对称轴在y轴，x＝0 对称轴在y轴右侧，x＞0 开口向下，a＜0 当x＝0时，y＝c 开口向下，a＜0 当x＝0时，y＝c a、b值“左同右异” 新知探究 字母符号 图象的特征 a＞0 开口___________ a＜0 开口___________ b＝0 对称轴为_____轴 a、b同号 对称轴在y轴的____侧 a、b异号 对称轴在y轴的____侧 c＝0 经过原点 c＞0 与y轴交于_____半轴 c＜0 与y轴交于_____半轴 向上 向下 y 左 右 正 负 y=ax2+bx+c(a ≠0) (一般式) (顶点式) 二次函数y=ax2+bx+c的图象与a、b、c的关系 (1)“提”提出二次项系数； (2)“配”括号内配成完全平方 (3)“化”化成顶点式 对称轴： 顶点坐标： 归纳总结 1.已知二次函数y＝ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表： A.y轴 B.直线x＝ C.直线x＝2 D.直线x＝ 则该二次函数图象的对称轴为( ) x －1 0 1 2 3 y 5 1 －1 －1 1 D 当堂练习 2.已知二次函数y＝－x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值随x值的增大 而减小，则实数b的取值范围是( ) A.b≥－1 B.b≤－1 C.b≥1 D.b≤1 D 解析：∵二次项系数为－1＜0，∴抛物线开口向下，在对称轴右侧，y的值随x值的增大而减小，由题设可知，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，∴抛物线y=－x2＋2bx＋c的对称轴应在直线x=1的左侧而抛物线y=－x2＋2bx＋c的对称轴 ，即b≤1，故选择D . 当堂练习 3.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论： （1）a、b同号； （2）当x＝－1和x＝3时，函数值相等； （3）4a＋b＝0； （4）当y＝－2时，x的值只能取0； 其中正确的是 . （2） －1 －2 3 x y o 当堂练习 4.已知抛物线y＝2x2－12x＋13. （1）当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？ （2）当x为何值时，y随x的增大而减小; （3）将该抛物线向右平移2个单位，再向上平移2个单位， 请直接写出新抛物线的表达式. 解：∵y＝2x2－12x＋13＝2(x2－6x＋9)－5＝2(x－3)2－5 ∴抛物线开口向上，顶点为(3，－5)，对称轴为直线x＝3. (1)当x＝3时，y有最小值，最小值为－5； (2)当x＜3时，y随x的增大而减小； (3)新抛物线的表达式为y＝2(x－5)2－3． 当堂练习 5.已知二次函数y＝x2－4x－1． (1)将函数y＝x2－4x－1的解析式化为y＝a(x＋m)2＋k的形式，并 指出该函数图象顶点B的坐标； 解：y＝x2－4x－1＝(x－2)2－5 该函数图象顶点B的坐标为(2，－5). 当堂练习 (2)在平面直角坐标系xOy中，设抛物线y＝x2－4x－1与y轴交点为C， 抛物线的对称轴与x轴交点为A，求四边形OABC的面积． ∴A（2，0） O x y A B C 解：y＝x2－4x－1＝(x－2)2－5 当x＝0时，y＝－1 ∴C（0，－1） ∴B（2，－5） 当堂练习 $$