精品解析：四川省达州市渠县东安雄才学校2024-2025学年九年级上学期数学期中预测题（2）

北师大版九年级上册期中预测题 数学试题（2） 考试时间：120分钟 满分150分 一、单选题（本大题共10小题，总分40分） 1. 矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A. 对角相等 B. 对角线相等 C. 对边相等 D. 对角线互相平分 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形和菱形的性质判断即可. 【详解】解：矩形具有对角相等、对角线相等、对边相等与对角线互相平分的性质，而菱形具有对角相等、对边相等与对角线互相平分的性质，但不一定有对角线相等的性质； 故选：B. 【点睛】本题考查了矩形和菱形的性质，明确矩形的对角线相等是解题的关键. 2. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义：“含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程”进行判断即可求解． 【详解】解：A、含有两个未知数，未知数的最高次数是2，不是一元二次方程，故不符合题意； B、含有一个未知数，且未知数的最高次数是2，是一元二次方程，故符合题意； C、未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，故不符合题意； D、不是整式方程，故不符合题意． 故选：B． 3. 生活在数字时代我们，很多场合都要用到二维码，二维码的生成原理是用特定的几何图形按编排规律在二维方向上分布，采用黑白相间的图形来记录数据符号信息．九年级学生王东帮妈妈打印了一个收款二维码如图所示，该二维码的面积为，他在该二维码纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在白色区域的频率稳定在0.4左右，则据此估计此二维码中黑色区域的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是掌握概率公式．用总面积乘以落入黑色部分的频率稳定值即可． 【详解】解：经过大量重复试验，发现点落在白色区域的频率稳定在0.4左右 则 ∴点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右， 据此可以估计黑色部分的面积为 故选：C． 4. 三角形两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣13x+36=0的一个根，则该三角形的周长为（　　） A. 13 B. 15 C. 18 D. 13或18 【答案】A 【解析】 【详解】解：解方程x2-13x+36=0得， x=9或4， 即第三边长为9或4． ∵边长为9，3，6不能构成三角形；而4，3，6能构成三角形， ∴三角形的周长为3+4+6=13， 故选A． 5. 如图，在长方形中，是中点，在边上，若，则（ ） A. 3 B. 2 C. 1.5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的性质和判定，延长，交于点G，构造，利用三角形中线的性质得出，进而求出，再由求出答案． 【详解】解：延长，交于点G， ∵在长方形中，，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选A． 6. 若关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程，一元二次方程根的判别式．熟练掌握解一元一次方程，一元二次方程根的判别式是解题的关键． 分是一元一次方程，一元二次方程两种情况求解作答即可． 【详解】解：当时，， 解得，； 当时，关于x的方程有实数根， ∴， 解得，， ∴且； 综上所述，关于x的方程有实数根，则k的取值范围是， 故选：D． 7. 如图在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，且，为了使四边形是正方形．可以添加一个条件（ ） A. B. C. D. E为的中点 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的判定定理，正方形的判定定理解答即可． 本题考查了菱形的判定，正方形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点D，交于点E， ∴，，， ∵， ∴, ∴四边形是菱形， 故A不符合题意； 当添加时，则四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， 故B不符合题意； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴菱形是正方形， 故C符合题意； 当E为的中点时，得到 无法判定菱形是正方形， 故D不符合题意； 故选：C． 8. 如图，在长为30米，宽为18米的矩形地面上修筑等宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为480平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将图形利用平移进行转化，可得空白长方形的面积=长×宽，列方程即可． 【详解】利用图形平移可将原图转化为下图，道路的宽为x米． 根据题意可得：． 故选：B． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的实际运用，找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键． 9. 已知一元二次方程（a≠0）的两根分别为-3，1，则方程（a≠0）的两根分别为（ ） A. 1,5 B. -1,3 C. -3,1 D. -1,5 【答案】B 【解析】 【分析】利用换元法令，可得到的值，即可算出的值，即方程（a≠0）的两根. 【详解】记，则即的两根为3，1 故1，3. 故选B 【点睛】本题主要考查换元法和解一元二次方程. 10. 如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．在下列结论中：①DE＝EF；②△DAE≌△DCG；③AC⊥CG；④CE＝CF．其中正确的是（　　） A. ②③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ①③④ 【答案】B 【解析】 【分析】①过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，如图所示：根据正方形的性质得到∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，推出四边形EMCN为正方形，由矩形的性质得到EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，根据全等三角形的性质得到ED＝EF，故①正确； ②利用已知条件可以推出矩形DEFG为正方形；根据正方形的性质得到AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，推出△ADE≌△CDG（SAS），故②正确； ③根据②的结论可得∠ACG＝90°，所以AC⊥CG，故③正确； ④当DE⊥AC时，点C与点F重合，得到CE不一定等于CF，故④错误． 【详解】解：①过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，如图所示： ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°， ∴NE＝NC， ∵∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°， ∴四边形EMCN为正方形， ∵四边形DEFG是矩形， ∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°， ∴∠DEN＝∠MEF， 又∠DNE＝∠FME＝90°， 在△DEN和△FEM中， ， ∴△DEN≌△FEM（ASA）， ∴ED＝EF，故①正确； ②∵矩形DEFG为正方形； ∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∵AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°， ∴∠ADE＝∠CDG， 在△ADE和△CDG中， ， ∴△ADE≌△CDG（SAS），故②正确； ③根据②得∠DAE＝∠DCG＝45°， ∴∠ACG＝90°， ∴AC⊥CG，故③正确； ④当DE⊥AC时，点C与点F重合， ∴CE不一定等于CF，故④错误， 综上所述：①②③正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解（1）的关键． 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11. 布袋中有2个红球和1个白球，它们除颜色外其他都一样，如果从布袋中一次摸出两个球，那么一次摸出的两个球都是红球的概率为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，求出概率．画树状图，共有6个等可能的结果，摸到的两个红球的结果有2个，再由概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如图： 共有6个等可能的结果，摸到的两个红球的有2种结果， 摸到的两个红球的概率是：． 故答案为：． 12. 用求根公式解方程解得＝ _______，＝ ______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了利用求根公式解一元二次方程，熟练掌握求根公式是解题关键； 先对一元二次方程进行移项，算出判别式的值，然后再利用公式解题即可． 【详解】解：将方程  转化为标准形式，即 。 计算判别式  的值，这里 , , ， 根据公式有 ， 利用求根公式  求解方程的根，带入计算得到： ， 故答案为：， ． 13. 如图，在矩形中，点为矩形内一点，且，，则四边形的面积是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，连接，由勾股定理得，，由，可知，则，，，如图，作交于，使，作于，则，，，则，，由勾股定理得，，则，，解得，，，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，连接， 由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴，，， 如图，作交于，使，作于，则，，， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∴，解得，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，含的直角三角形，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识．解题的关键在于正确表示四边形面积． 14. 新定义：关于x的一元二次方程如果有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”，如方程是“倍根方程”；若是“倍根方程”．则代数式的值为 _______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程以及分式的求值，能够正确解出一元二次方程是解题关键． 先解出一元二次方程，然后通过“倍根方程”的定义进行分类讨论即可． 【详解】解：， 解得：， ∵方程为“倍根方程”． ∴或者， 当时，，则， 当时，，则， 故答案为： 或． 15. 如图，正方形的边长为，P为对角线上动点，过P作于E，于F，连接，则的最小值为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定及性质、正方形的性质、勾股定理． 连接，，再根据已知条件可得四边形是矩形，从而可得当点P是正方形对角线和的交点时，此时最小，进而可得的最小值．本题考查了正方形的性质、三角形三边的关系、勾股定理、矩形的判定与性质，解决本题的关键是能够明确四边形是矩形． 【详解】解：连接，， ∵正方形的边长为，，， ∴   ，，四边形是矩形， ∴ ∵， ∴当点P是正方形对角线和的交点时，此时最小，且， ∴的最小值为2， 故答案为：2． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16. 解方程 （1） （2） 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可得； （2）先利用平方差公式分解，再利用因式分解法解一元二次方程即可得． 【详解】（1）， ， 或， 或， 即； （2）， ， ，即， 或， 或， 即． 【点睛】本题考查了利用因式分解法解一元二次方程，主要解法包括：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法、换元法等，熟练掌握各解法是解题关键． 17. 如图，矩形对角线，相交于点，若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，邻补角．熟练掌握矩形的性质，等边三角形的判定与性质，邻补角是解题的关键．证明是等边三角形，则，进而可求． 【详解】解：∵矩形的对角线，相交于点， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴的度数为． 18. 如图，在正方形中，为上任意一点，于，于，试说明：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质以及矩形的判定与性质．根据条件可以得到四边形是矩形，因而，同时易证是等腰直角三角形，因而，则． 【详解】证明：四边形是正方形， ，， ，， ， ∴， 又， 四边形是矩形； ， 又， ， ． 19. 中央电视台举办的“中国诗词大会”节目受到中学生的广泛关注，某中学为了解该校初三学生对观看“中国诗词大会”节目的喜爱程度，对该校初三部分学生进行了随机抽样调查，并绘制出如图所示的两幅统计图，在条形图中，从左向右依次为：级（非常喜欢），级（较喜欢），级（一般），级（不喜欢），请结合两幅统计图，回答下列问题： （1）本次抽样调查的样本容量是______，表示“级（不喜欢）”的扇形的圆心角为______； （2）若该校初三有名学生，请你估计该年级观看“中国诗词大会”节目级（较喜欢）的学生人数； （3）若从本次调查中的级（非常喜欢）的名学生中，选出名去参加长沙中学生诗词大会比赛，已知级学生中男生有名，请用“列表”或“画树状图”的方法求出所选出的名学生中至少有名女生的概率． 【答案】（1）， （2）600人 （3） 【解析】 【分析】（1）用等级人数除以其百分比可得总人数，用等级人数占总人数的比例乘以度可得； （2）用样本中等级所占比例乘以总人数可得答案； （3）列表得出所有等可能结果，利用概率公式求解可得． 【小问1详解】 解：本次抽样调查的样本容量是； 表示“级不喜欢”的扇形的圆心角为， 故答案为：；． 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计该年级观看“中国诗词大会”节目级较喜欢的学生人数为人； 【小问3详解】 解：列表如下： 男 男 男 女 女 男 --- 男，男 男，男 女，男 女，男 男 男，男 --- 男，男 女，男 女，男 男 男，男 男，男 --- 女，男 女，男 女 男，女 男，女 男，女 --- 女，女 女 男，女 男，女 男，女 女，女 --- 所有等可能的情况有种，其中所选出的名学生中至少有名女生的有种， 所选出的名学生中至少有名女生的概率为． 【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图的知识．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 20. 如图，在中，，D是边上的一点，E是的中点，过点A作的平行线交于的延长线于点F，且，连接． （1）求证：D是的中点； （2）求证：四边形为矩形． 【答案】（1）见解析； （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质等，解题的关键是证全等； （1）证明，得出，即可得证； （2）先证明四边形是平行四边形，根据三线合一得出，根据矩形的定义即可得证． 【小问1详解】 证明：∵E是的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴，即D是中点； 【小问2详解】 证明∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴，即， ∴四边形是矩形． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是1，求k的值和方程的另一个根． 【答案】（1）见解析 （2），方程的另一个根是 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式、一元二次方程的解以及解一元二次方程。解题的关键是：（1）牢记“当时，方程两个实数根”；（2）掌握解一元二次方程的方法． （1）根据方程的系数结合根的判别式可得出，由此可证出方程总有两个不相等的实数根； （2）将代入方程，解得，将代入方程得到然后解方程即可求出另一根． 【小问1详解】 证明： ， ， ， 方程总有两个不相等实数根． 【小问2详解】 解：将代入方程，解得 将代入方程得到 解得， 所以方程的另一个根是 22. 如图，在中，点D、E分别是的中点，，延长到点F，使得，连结． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1）见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形中位线性质，得，根据，得到，结合，推出四边形是平行四边形，推出平行四边形是菱形； （2）根据菱形性质得到， ，得到是等边三角形，过点E作于点G，求出，然后根据菱形面积公式求解即可． 【小问1详解】 证明：∵D、E分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形； 【小问2详解】 解：由（1）知，四边形菱形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 过点E作于点G． ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题考查了三角形中位线性质，平行四边形判定和性质，菱形判定和性质，等边三角形判定和性质，灵活运用各知识点是解决问题的关键． 23. 已知 ，是一元二次方程的两个实数根． （1）求实数的取值范围． （2）若，满足；求实数的值． （3）实数在（2）条件下，求代数式的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键． （1）根据一元二次方程有两个实数根，得，代入数值求解即可． （2）根据一元二次方程根与系数的关系，得，，而可化为，将其代入化简即可求解． （3）当时，可得，，，，，分别代入代数式中即可化简求解． 【小问1详解】 解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴， 即， 解得：， ∴实数的取值范围． 【小问2详解】 解：由根与系数关系可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， 上式可化为， 解得，， ∵实数的取值范围， ∴． 【小问3详解】 解：当时，原一元二次方程为， ∴，，， ∴，， 故， ， ， ， ， ， ， 代入，，原式， ∴代数式的值为． 24. 下面是小军同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务. 今天在复习方程（组）的概念和解法时，我发现，各类方程的解法有一定的规律，求解一元一次方程时，把方程转化为的形式：求解二元一次方程组时，把它转化为一元一次方程求解；类似的，解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组求解；解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程求解；解分式方程，把它转化为整式方程求解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验. 各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知，把多元转化成一元，把复杂转化为简单. 运用“转化”的数学思想，我还可以解一些新的方程， 例如，一元三次方程，第一步，因式分解：，第二步，转化为两个方程：________或________，第三步，解得：，，. （1）问题：将小军求解一元三次方程过程中的第二步补充完整为________或________； （2）类比：方程的解是：，________，________； （3）拓展：解方程组； （4）应用：如图，已知矩形草坪的长，宽，点在上，小明把一根长为的绳子一端固定在点，把绳长拉直并固定在上的一点处，再拉直绳长的另一端恰好落在矩形的顶点处，求的长．    【答案】（1）， （2） （3） （4）的长为 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程，勾股定理，解方程的转化思想解复杂方程（组）的解法等知识的综合， （1）根据一元一次方程，一元二次方程的概念及形式即可求解； （2）根据材料提示，先提取公因式，运用因式分解法解一元二次方程即可求解； （3）把变形得代入，再运用材料提示的方法进行计算即可求解； （4）设，则，根据矩形的性质，勾股定理在中，求出，在中，求出，再根据，及材料提示的方法进行计算即可求解． 【小问1详解】 解：是一元一次方程，是一元二次方程， 故答案为：； 【小问2详解】 解：， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 解：， 由②得，， 把③代入①得，，整理得，， ∴， 解得，， ∴， ∴原方程组的解为； 【小问4详解】 解：设，则， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，，即，则 在中，，即，则， ∵， ∴， ， 等式两边同时平方得，，整理得，， 等式两边同时平方，整理得，， 解得，， ∴或，则对应的或， ∵， ∴， ∴的长为． 25. 如图1，四边形为正方形，E为对角线上一点，连接，． （1）求证：； （2）如图2，过点E作，交边于点F，以，为邻边作矩形，连接． ①求证：矩形是正方形； ②若正方形的边长为，，求正方形的边长． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；② 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质证明，即可解决问题； （2）①作于，于，得到，然后证，则，即可证明； ②证明，可得，，证明，连接，根据勾股定理即可解决问题． 【小问1详解】 证明：四边形为正方形， ，， 在和中， ， ， ； 【小问2详解】 解：①如图，过点E作于，于， 正方形中，， 四边形是矩形， ， 点是正方形对角线上的点， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是矩形， 矩形是正方形； ②正方形和正方形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在中，． ， ， 如图，连接， ， 是等腰直角三角形， ． 正方形的边长为． 【点睛】此题主要考查了正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，三角形的全等的性质和判定，勾股定理，角平分线的性质，解本题的关键是根据题中所给条件正确作出辅助线构造全等三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北师大版九年级上册期中预测题 数学试题（2） 考试时间：120分钟 满分150分 一、单选题（本大题共10小题，总分40分） 1. 矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A. 对角相等 B. 对角线相等 C. 对边相等 D. 对角线互相平分 2. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 生活在数字时代的我们，很多场合都要用到二维码，二维码的生成原理是用特定的几何图形按编排规律在二维方向上分布，采用黑白相间的图形来记录数据符号信息．九年级学生王东帮妈妈打印了一个收款二维码如图所示，该二维码的面积为，他在该二维码纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在白色区域的频率稳定在0.4左右，则据此估计此二维码中黑色区域的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 三角形两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣13x+36=0的一个根，则该三角形的周长为（　　） A. 13 B. 15 C. 18 D. 13或18 5. 如图，在长方形中，是中点，在边上，若，则（ ） A. 3 B. 2 C. 1.5 D. 6. 若关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 7. 如图在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，且，为了使四边形是正方形．可以添加一个条件（ ） A. B. C. D. E为的中点 8. 如图，在长为30米，宽为18米的矩形地面上修筑等宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为480平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为（ ） A. B. C D. 9. 已知一元二次方程（a≠0）的两根分别为-3，1，则方程（a≠0）的两根分别为（ ） A. 1,5 B. -1,3 C. -3,1 D. -1,5 10. 如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．在下列结论中：①DE＝EF；②△DAE≌△DCG；③AC⊥CG；④CE＝CF．其中正确的是（　　） A ②③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ①③④ 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11. 布袋中有2个红球和1个白球，它们除颜色外其他都一样，如果从布袋中一次摸出两个球，那么一次摸出的两个球都是红球的概率为_________． 12. 用求根公式解方程解得＝ _______，＝ ______． 13. 如图，在矩形中，点为矩形内一点，且，，则四边形面积是_____________． 14. 新定义：关于x的一元二次方程如果有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”，如方程是“倍根方程”；若是“倍根方程”．则代数式的值为 _______． 15. 如图，正方形的边长为，P为对角线上动点，过P作于E，于F，连接，则的最小值为_______． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16. 解方程 （1） （2） 17. 如图，矩形的对角线，相交于点，若，求的度数． 18. 如图，在正方形中，为上任意一点，于，于，试说明：． 19. 中央电视台举办“中国诗词大会”节目受到中学生的广泛关注，某中学为了解该校初三学生对观看“中国诗词大会”节目的喜爱程度，对该校初三部分学生进行了随机抽样调查，并绘制出如图所示的两幅统计图，在条形图中，从左向右依次为：级（非常喜欢），级（较喜欢），级（一般），级（不喜欢），请结合两幅统计图，回答下列问题： （1）本次抽样调查的样本容量是______，表示“级（不喜欢）”的扇形的圆心角为______； （2）若该校初三有名学生，请你估计该年级观看“中国诗词大会”节目级（较喜欢）的学生人数； （3）若从本次调查中的级（非常喜欢）的名学生中，选出名去参加长沙中学生诗词大会比赛，已知级学生中男生有名，请用“列表”或“画树状图”的方法求出所选出的名学生中至少有名女生的概率． 20. 如图，在中，，D是边上一点，E是的中点，过点A作的平行线交于的延长线于点F，且，连接． （1）求证：D是的中点； （2）求证：四边形为矩形． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是1，求k的值和方程的另一个根． 22. 如图，在中，点D、E分别是的中点，，延长到点F，使得，连结． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求菱形的面积． 23. 已知 ，是一元二次方程的两个实数根． （1）求实数的取值范围． （2）若，满足；求实数的值． （3）实数在（2）条件下，求代数式的值． 24. 下面是小军同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务. 今天在复习方程（组）的概念和解法时，我发现，各类方程的解法有一定的规律，求解一元一次方程时，把方程转化为的形式：求解二元一次方程组时，把它转化为一元一次方程求解；类似的，解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组求解；解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程求解；解分式方程，把它转化为整式方程求解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验. 各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知，把多元转化成一元，把复杂转化为简单. 运用“转化”的数学思想，我还可以解一些新的方程， 例如，一元三次方程，第一步，因式分解：，第二步，转化为两个方程：________或________，第三步，解得：，，. （1）问题：将小军求解一元三次方程过程中的第二步补充完整为________或________； （2）类比：方程的解是：，________，________； （3）拓展：解方程组； （4）应用：如图，已知矩形草坪的长，宽，点在上，小明把一根长为的绳子一端固定在点，把绳长拉直并固定在上的一点处，再拉直绳长的另一端恰好落在矩形的顶点处，求的长．    25. 如图1，四边形为正方形，E为对角线上一点，连接，． （1）求证：； （2）如图2，过点E作，交边于点F，以，为邻边作矩形，连接． ①求证：矩形是正方形； ②若正方形的边长为，，求正方形的边长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$