精品解析：江苏省无锡市宜兴市2024-2025学年九年级上学期数学期中考试模拟卷二

2024秋学期期中模拟试卷二九年级数学 完成时间：120分钟 试卷总分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，有两个相等实数根的是（ ） A. B. C. D. 2. 若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 3. 下列线段中，能成比例的是（ ） A. 3cm、6cm、8cm、9cm B. 3cm、5cm、6cm、9cm C. 3cm、6cm、7cm、9cm D. 3cm、6cm、9cm、18cm 4. 如图，在中，对角线，相交于点O，点E为的中点，交于点F．若，则的长为（ ） A B. 1 C. D. 2 5. 如图，中，弦的长为，点在上，，．所在的平面内有一点，若，则点与的位置关系是（ ） A. 点在上 B. 点在内 C. 点在外 D. 无法确定 6. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点为的对角线上一点，，，连接并延长至点，使得，连接，则为（ ） A. B. 3 C. D. 4 9. 如图，在中，，，，是边上的高．点E，F分别在边，上（不与端点重合），且．设，四边形的面积为y，则y关于x的函数图象为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，四边形内接于，，，，则的半径是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每题3分，共24分） 11. 已知方程的一个根为，则方程的另一个根为______． 12. 如图，在中，点D，E分别在边上．添加一个条件使，则这个条件可以是________．（写出一种情况即可） 13. 如图，一块面积为三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是，若，则的面积是_____． 14. 如图，是的内接三角形，若，，则________． 15. 已知，则的值为______． 16. 如图，正五边形的边长为4，则这个正五边形的对角线的长是___________． 17. 如图，是的直径，，点C在线段上运动，过点C的弦，将沿翻折交直线于点F，当的长为正整数时，线段的长为______． 18. 如图，已知两条平行线、，点是上的定点，于点，点、分别是、上的动点，且满足，连接交线段于点，于点，则当最大时，的值为____． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．） 19. 解下列方程： （1）； （2）． 20. 关于的方程有两个不等的实数根． （1）求的取值范围； （2）化简：． 21. 已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）． （1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是_______； （2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是_______； （3）△A2B2C2的面积是_______平方单位． 22. 阅读下面材料，并解决相关问题． 如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第行有个点……容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10． （1）探索：三角点阵中前8行的点数之和为 ，那么，前行的点数之和为 ． （2）体验：三角点阵中前行的点数之和 （填“能”或“不能”）为500． （3）运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆……第排盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？ 23. 每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元． （1）求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ （2）全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？ 24. 如图，是直径，点在上，点在的延长线上，，平分交于点，连结． （1）求证：是切线； （2）当时，求的长． 25. 如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点，将正比例函数图象向下平移个单位后，与反比例函数图象在第一、三象限交于点B，C，与x轴，y轴交于点D，E，且满足．过点B作轴，垂足为点F，G为x轴上一点，直线与关于直线成轴对称，连接． （1）求反比例函数的表达式； （2）求n的值及的面积． 26. 如图，是的直径，点，在上，平分. （1）求证：； （2）延长交于点，连接交于点，过点作的切线交的延长线于点.若，，求半径的长. 27. 某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究． （一）拓展探究 如图1，在中，，垂足． （1）兴趣小组的同学得出．理由如下： ①______ ②______ 请完成填空：①______；②______； （2）如图2，为线段上一点，连接并延长至点，连接，当时，请判断的形状，并说明理由． （二）学以致用 （3）如图3，是直角三角形，，平面内一点，满足，连接并延长至点，且，当线段的长度取得最小值时，求线段的长． 28. 问题背景：如图（1），在矩形中，点，分别是，的中点，连接，，求证：． 问题探究：如图（2），在四边形中，，，点是的中点，点在边上，，与交于点，求证：． 问题拓展：如图（3），在“问题探究”的条件下，连接，，，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024秋学期期中模拟试卷二九年级数学 完成时间：120分钟 试卷总分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，有两个相等实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，解一元二次方程，熟练掌握开平方法解方程是解题的关键． 分别对每一个选项运用直接开平方法进行解方程即可判断． 【详解】解：A、，故该方程无实数解，故本选项不符合题意； B、，解得：，故本选项符合题意； C、，，解得，故本选项不符合题意； D、，，解得，故本选项不符合题意． 故选：B． 2. 若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解，二次项系数不为．由一元二次方程的定义，可知；一根是，代入可得，即可求答案． 【详解】解：是关于的一元二次方程， ，即 由一个根，代入， 可得，解之得； 由得； 故选A 3. 下列线段中，能成比例的是（ ） A. 3cm、6cm、8cm、9cm B. 3cm、5cm、6cm、9cm C. 3cm、6cm、7cm、9cm D. 3cm、6cm、9cm、18cm 【答案】D 【解析】 【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案． 【详解】A.，故此选项不符合题意； B.，故此选项不符合题意； C.，故此选项不符合题意； D.，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了比例线段，根据成比例线段概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．同时注意单位要统一． 4. 如图，在中，对角线，相交于点O，点E为的中点，交于点F．若，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识，利用平行四边形的性质、线段中点定义可得出，证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解∶∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 故选：B． 5. 如图，中，弦的长为，点在上，，．所在的平面内有一点，若，则点与的位置关系是（ ） A. 点在上 B. 点在内 C. 点在外 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，点与圆的位置关系，锐角三角函数，掌握圆的相关性质是解题关键．由垂径定理可得，由圆周角定理可得，再结合特殊角的正弦值，求出的半径，即可得到答案． 【详解】解：如图，令与的交点为， 为半径，为弦，且， ， ， 在中，，，， ， ，即的半径为4， ， 点在外， 故选：C． 6. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，连接，由是的直径得到，根据圆周角定理得到，得到，再由圆内接四边形对角互补得到答案. 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴ ∴ ∵四边形是的内接四边形， ∴， 故选：B 7. 一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设每次降价的百分率为，根据原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设每次降价的百分率为，由题意，得： ， 解得：（舍去）； 故选C． 8. 如图，点为的对角线上一点，，，连接并延长至点，使得，连接，则为（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，平行证明相似等知识点，正确作辅助线是解题关键． 解法一：延长和，交于点，先证，得到，再证，得到，即可求得结果； 解法二：作交于点H，证明出，得到，，然后证明出四边形是平行四边形，得到． 【详解】解：解法一：延长和，交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴ ∵， ∴． 解法二：作交于点H ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴． 故选：B． 9. 如图，在中，，，，是边上的高．点E，F分别在边，上（不与端点重合），且．设，四边形的面积为y，则y关于x的函数图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了函数图象的识别，相似三角形的判定以及性质，勾股定理的应用，过点E作于点H，由勾股定理求出，根据等面积法求出，先证明，由相似三角形的性质可得出，即可求出，再证明，由相似三角形的性质可得出，即可得出，根据，代入可得出一次函数的解析式，最后根据自变量的大小求出对应的函数值． 【详解】解：过点E作于点H，如下图： ∵，，， ∴， ∵是边上的高． ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴当时， ， 当时，． 故选：A． 10. 如图，四边形内接于，，，，则的半径是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】延长至点E，使，连接，连接并延长交于点F，连接，即可证得，进而可求得，再利用圆周角定理得到，结合三角函数即可求解． 【详解】解：延长至点E，使，连接，连接并延长交于点F，连接， ∵四边形内接于， ∴ ∴ ∵ ∴， ∴是的直径， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵ ∴ ∴，, ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，圆周角定理，锐角三角函数、等腰三角形的性质与判定等知识点，熟练掌握圆周角定理以及全等三角形的性质与判定是解题的关键． 二、填空题（本大题共8小题，每题3分，共24分） 11. 已知方程的一个根为，则方程的另一个根为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．设方程的另一个根为m，根据两根之和等于，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设方程的另一个根为m， ∵方程有一个根为， ∴， 解得：． 故答案为：4． 12. 如图，在中，点D，E分别在边上．添加一个条件使，则这个条件可以是________．（写出一种情况即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法（三组对应边的比相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似）成为解题的关键． 根据相似三角形的判定方法解答即可． 【详解】解：∵， ∴添加条件：可判定． 故答案为：（答案不唯一）． 13. 如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是，若，则的面积是_____． 【答案】375 【解析】 【分析】本题考查平行投影，与是位似图形，求出位似比，再根据面积比等于位似比的平方即可求解． 【详解】解：由平行投影可知与是位似图形， ， ， 与的位似比为， ， ， 故答案为：375． 14. 如图，是的内接三角形，若，，则________． 【答案】##40度 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，利用圆周角定理求出的度数，利用等边对等角、三角形内角和定理求出的度数，利用平行线的性质求出的度数，即可求解． 【详解】解∶连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 已知，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 将代入，转化为解一元二次方程，，要进行舍解． 【详解】解：∵， ∴， 将代入 得，， 即：， ， ∴或， ∵， ∴舍， ∴， 故答案为：3． 16. 如图，正五边形的边长为4，则这个正五边形的对角线的长是___________． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了正五边形以及等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质．根据正五边形以及等腰三角形的性质得出，再证明，根据相似三角形的性质求出，最后由线段和差即可求出的长． 【详解】解：如图，连接交于点， ∵五边形是正五边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得或（舍去）， ∴， 故答案：． 17. 如图，是的直径，，点C在线段上运动，过点C的弦，将沿翻折交直线于点F，当的长为正整数时，线段的长为______． 【答案】或或2 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，折叠的性质，根据，可得或2，利用勾股定理进行解答即可，进行分类讨论是解题的关键． 【详解】解：为直径，为弦， ， 当的长为正整数时，或2， 当时，即为直径， 将沿翻折交直线于点F，此时与点重合， 故； 当时，且在点在线段之间， 如图，连接， 此时， ， ， ， ， ； 当时，且点在线段之间，连接， 同理可得， ， 综上，可得线段的长为或或2， 故答案为：或或2． 18. 如图，已知两条平行线、，点是上的定点，于点，点、分别是、上的动点，且满足，连接交线段于点，于点，则当最大时，的值为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了本题主要考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，切线的性质．首先根据平行线的性质和，可证，，根据可证，，从而可证，根据可知点在以中点为圆心以为直径的圆上，且当与相切时最大，根据勾股定理求出的长度，从而得到此时的值． 【详解】解：，， ， 在和中， ， ， 于点， ， 点在以中点为圆心以为直径的圆上， 如下图所示， 以点的中点为圆心，线段为半径作， 当与相切时最大， 设的半径为， 则有，， ，， 在中，， ． 故答案为： ． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．） 19. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程． （1）将方程的常数项移到等号的右边，方程两边同时加上一次项系数的一半的平方，配方法后，再开平方求解即可； （2）方程移项后再利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 ， ， ， ， ， ， ∴，； 【小问2详解】 ， ， 或， ∴，． 20. 关于的方程有两个不等的实数根． （1）求的取值范围； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，分式的混合运算，掌握相应的基础知识是解本题的关键； （1）根据一元二次方程根的判别式建立不等式解题即可； （2）根据（1）的结论化简绝对值，再计算分式的乘除混合运算即可． 【小问1详解】 解：∵关于的方程有两个不等的实数根． ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：∵， ∴ ； 21. 已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）． （1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是_______； （2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是_______； （3）△A2B2C2的面积是_______平方单位． 【答案】（1）（2，﹣2）； （2）（1，0）； （3）10． 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质得出平移后的图从而得到点的坐标； （2）根据位似图形的性质得出对应点位置，从而得到点的坐标； （3）利用等腰直角三角形的性质得出△A2B2C2的面积． 【详解】（1）如图所示：C1（2，﹣2）； 故答案为（2，﹣2）； （2）如图所示：C2（1，0）； 故答案为（1，0）； （3）∵，，， ∴△A2B2C2是等腰直角三角形， ∴△A2B2C2的面积是：（平方单位）． 故答案为10． 【点睛】本题主要考查作图一平移变换和位似变换，解题的关键是掌握平移变换和位似变换的定义和性质． 22. 阅读下面材料，并解决相关问题． 如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第行有个点……容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10． （1）探索：三角点阵中前8行的点数之和为 ，那么，前行的点数之和为 ． （2）体验：三角点阵中前行的点数之和 （填“能”或“不能”）为500． （3）运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆……第排盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？ 【答案】（1）36， （2）不能 （3）一共能摆放20排 【解析】 【分析】本题考查图形变化的规律及列代数式，能根据所给点阵发现前n行点数之和的变化规律是解题的关键． （1）依次求出前n（n为正整数）行点数之和，发现规律即可解决问题． （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题． （3）根据（1）中发现的规律即可解决问题． 【小问1详解】 解：三角点阵中前8行的点数之和为， 那么，前行的点数之和为； 【小问2详解】 解：不能，理由如下： 由题意得， 得， ， ∴此方程无正整数解， 所以三角点阵中前n行的点数和不能是500； 【小问3详解】 解：同理，前行的点数之和为， 由题意得， 得，即， 解得或（舍去）， ∴一共能摆放20排． 23. 每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元． （1）求y与x函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ （2）全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？ 【答案】（1），每辆轮椅降价20元时，每天的利润最大，为元 （2）这天售出了64辆轮椅 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质求最值即可； （2）令，得到关于的一元二次方程，进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，得：； ∵每辆轮椅的利润不低于180元， ∴， ∴， ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，每天的利润最大，为元； 答：每辆轮椅降价20元时，每天的利润最大，为元； 【小问2详解】 当时，， 解得：（不合题意，舍去）； ∴（辆）； 答：这天售出了64辆轮椅． 24. 如图，是的直径，点在上，点在的延长线上，，平分交于点，连结． （1）求证：是的切线； （2）当时，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握切线的判定是解题的关键． （1）连接，根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据切线的判定定理得到结论； （2）根据相似三角形的判定和性质定理得到，求得，连接，根据角平分线的定义得到，求得，得到，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 证明：连接， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； 【小问2详解】 解：，， ， ， ， ， ， 连接， 平分， ， ， ， 是的直径， ， ． 25. 如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点，将正比例函数图象向下平移个单位后，与反比例函数图象在第一、三象限交于点B，C，与x轴，y轴交于点D，E，且满足．过点B作轴，垂足为点F，G为x轴上一点，直线与关于直线成轴对称，连接． （1）求反比例函数的表达式； （2）求n的值及的面积． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用： （1）先求出的值，进而求出反比例函数的解析式即可； （2）根据平移规则，得到平移后的解析式，联立两个解析式，表示出的坐标，过点，作轴的平行线交轴于点,根据，进而求出的值，进而根据对称性得出，勾股定理求得，进而求得的长，即可求解． 【小问1详解】 解：∵正比例函数与反比例函数的图象交于点， ∴， ∴， ∴； ∴； 【小问2详解】 ∵ ∴ ∴ ∴ ∵将正比例函数图象向下平移个单位， ∴平移后的解析式为：， 如图所示，过点，作轴的平行线交轴于点，则，是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∴ 设，则 ∴， ∴， ∵，，在上 ∴ 解得：（负值舍去） ∴， ∴的解析式为， 当时，，则， ∴，，则 ∵直线与关于直线成轴对称，轴， ∴，和是等腰直角三角形， ∴ ∴， ∵和是等腰直角三角形， ∴ ∴ 26. 如图，是的直径，点，在上，平分. （1）求证：； （2）延长交于点，连接交于点，过点作的切线交的延长线于点.若，，求半径的长. 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得，结合，得到，继而得到，根据平分，得到，继而得到，可证； （2）不妨设，则，求得，证明，，求得，取的中点M，连接，则，求得，，结合切线性质，得到，解答即可. 【小问1详解】 根据题意，得， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵，， 不妨设，则， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 解得， 取的中点M，连接， 则 ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， 解得， 故半径的长为. 【点睛】本题考查了圆的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，三角形相似的判定和性质，切线的性质，解直角三角形的相关计算，等量代换思想，熟练掌握三角形相似的判定和性质，切线的性质，解直角三角形的相关计算是解题的关键. 27. 某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究． （一）拓展探究 如图1，在中，，垂足为． （1）兴趣小组的同学得出．理由如下： ①______ ②______ 请完成填空：①______；②______； （2）如图2，为线段上一点，连接并延长至点，连接，当时，请判断的形状，并说明理由． （二）学以致用 （3）如图3，是直角三角形，，平面内一点，满足，连接并延长至点，且，当线段的长度取得最小值时，求线段的长． 【答案】（1）①；②；（2）是直角三角形，证明见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）根据余角的性质和三角形相似的性质进行解答即可； （2）证明，得出，证明，得出，即可得出答案； （3）证明，得出，求出，以点为圆心，2为半径作，则都在上，延长到，使，交于，连接，证明，得出，说明点在过点且与垂直的直线上运动，过点作，垂足为，连接，根据垂线段最短，得出当点E在点处时，最小，根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：（1）， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）直角三角形；理由如下： ， ， ， 由（1）得， ， ， ， ， ， 是直角三角形． （3）， ， ， ， 如图，以点为圆心，2为半径作，则都在上，延长到，使，交于，连接， 则， ∵为的直径， ∴， ， ∴， ， ， ， 点在过点且与垂直的直线上运动， 过点作，垂足为，连接， ∵垂线段最短， ∴当点E在点处时，最小， 即的最小值为的长， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中根据勾股定理得：， 即当线段的长度取得最小值时，线段的长为． 【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，圆周角定理，矩形的判定和性质，勾股定理，垂线段最短，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法． 28. 问题背景：如图（1），在矩形中，点，分别是，的中点，连接，，求证：． 问题探究：如图（2），在四边形中，，，点是的中点，点在边上，，与交于点，求证：． 问题拓展：如图（3），在“问题探究”的条件下，连接，，，直接写出的值． 【答案】问题背景：见解析；问题探究：见解析；问题拓展： 【解析】 【分析】问题背景：根据矩形的性质可得，根据点，分别是，的中点，可得，即可得证； 问题探究：取的中点，连接，得是的中位线，根据已知条件可得平行且等于，进而可得是平行四边形，得，则，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得出，进而可得，等量代换可得，等角对等边，即可得证； 问题拓展：过点作，则四边形是矩形，连接，根据已知以及勾股定理得出；根据（2）的结论结合已知可得，证明垂直平分，进而得出，证明，进而证明， 进而根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】问题背景：∵四边形是矩形， ∴， ∵，分别是，的中点 ∴， 即， ∴； 问题探究：如图所示，取的中点，连接， ∵是的中点，是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴ ∴四边形是平行四边形， ∴ ∴ 又∵，是的中点， ∴ ∴ ∴， ∴； 问题拓展：如图所示，过点作，则四边形是矩形，连接， ∵， ∴， 设，则， 在中，， ∵，由（2） ∴， 又∵是的中点， ∴垂直平分 ∴，， 在中， ∴ 设，则 ∴， 又∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，全等三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$