精品解析：河北省邢台市信都区邢台市第一中学2024-2025学年高一上学期第二次月考数学试题

邢台一中2024-2025学年第一学期第二次月考 高一年级数学试题 考试范围：必修一第一章、第二章、第三章 命题人：杨丽 一审：胡晔琦 二审：吕军朝 说明：1．本试卷共4页，满分150分． 2．请将所有答案填写在答题卡上，答在试卷上无效． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“”的否定是 A. B. C. D. 2. 已知集合，，则满足条件集合C的个数为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 3. 对于实数x，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 5. 若“，使得不等式成立”是假命题，则实数的取值范围为（ ） A B. C. D. 6. 若函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若对均有成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 记表示中最大的数．已知均为正实数，则的最小值为（　　） A. B. 1 C. 2 D. 4 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 函数在上是单调减函数 B. 函数与函数同一函数 C. 已知函数，则 D. 函数的单调增区间为 10. 二次函数是常数，且的自变量与函数值的部分对应值如下表： … 0 1 2 … … 2 2 … 且当时，对应的函数值．下列说法正确的有（ ） A. B. C. 函数的对称轴为直线 D. 关于的方程一定有一正、一负两个实数根，且负实数根在和0之间 11. 若函数对定义域中的每一个都存在唯一的，使成立，则称为“影子函数”，以下说法正确的有（ ） A. “影子函数”可以是奇函数 B. “影子函数”的值域可以是 C. 函数是“影子函数” D. 若，都“影子函数”，且定义域相同，则是“影子函数” 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 当时，的最大值为______． 13. 已知幂函数图象经过点，若，则实数的取值范围是______；若，则______ 14. 已知是定义域为的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设集合 （1）是否存在实数，使是的充分不必要条件，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由； （2）若，求实数取值范围． 16. 已知函数，对于任意，有． （1）求的解析式； （2）若函数在区间上的最小值为，求的值； （3）若成立，求的取值范围． 17. 丽水市某革命老区因地制宜发展生态农业，打造“生态特色水果示范区”.该地区某水果树的单株年产量（单位：千克）与单株施肥量x（单位：千克）之间的关系为，且单株投入的年平均成本为元.若这种水果的市场售价为10元/千克，且水果销路畅通.记该水果树的单株年利润为（单位：元）. （1）求函数的解析式； （2）求单株施肥量为多少千克时，该水果树的单株年利润最大？最大利润是多少？ 18. 已知函数． （1）用单调性的定义证明函数在上为增函数； （2）是否存在实数，使得当的定义域为（，）时，函数的值域为．若存在．求出的取值范围；若不存在说明理由． 19. 定义：对于定义域为的函数，若，有，则称为的不动点．已知函数． （1）当时，求函数的不动点； （2）若函数有两个不相等的不动点，求的取值范围； （3）设，若有两个不动点为，且，求实数的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 邢台一中2024-2025学年第一学期第二次月考 高一年级数学试题 考试范围：必修一第一章、第二章、第三章 命题人：杨丽 一审：胡晔琦 二审：吕军朝 说明：1．本试卷共4页，满分150分． 2．请将所有答案填写在答题卡上，答在试卷上无效． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“”的否定是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据特称命题的否定是全称命题的知识，选出正确选项. 【详解】特称命题的否定是全称命题，注意到要否定结论，故A选项正确. 故选A. 【点睛】本小题主要考查全称命题与特称命题的否定，属于基础题. 2. 已知集合，，则满足条件的集合C的个数为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】先化简集合A，B，再根据求解. 【详解】因为集合，，且， 所以. 故选：B. 3. 对于实数x，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据两个不等式解集的包含关系，判定结论. 【详解】不等式的解集，不等式的解集， 因为是的真子集，所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 4. 已知函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知的定义域，再根据函数成立的条件建立不等式进行求解即可． 【详解】因为的定义域是， 所以要使得有意义， 需满足，解得． 则函数的定义域为是 故选：B 5. 若“，使得不等式成立”是假命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由“，使得不等式成立”是假命题，则其否命题为真命题，再根据不等式恒成立进行求解即可. 【详解】由“，使得不等式成立”是假命题， 则其否命题为真命题，即“，使得不等式成立”是真命题， 即，使得不等式恒成立， 当时，恒成立， 当时，要使，不等式恒成立， 则，解得， 综上知， 故选：A 6. 若函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数图象求得函数定义域，利用函数值可得出其解析式，代入计算即求得函数值. 【详解】根据函数图象可知和不在函数的定义域内， 因此和是方程的两根，因此可得， 又易知，所以可得； 即，所以. 故选：D 7. 已知函数，若对均有成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析可知，，可得出对恒成立，令，由题意可得出，即可求得实数的取值范围. 【详解】因为函数，则函数在上为增函数， 因为对均有成立， 则，即对恒成立， 令，则，解得， 因此，实数的取值范围是. 故选：B. 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 8. 记表示中最大的数．已知均为正实数，则的最小值为（　　） A. B. 1 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】设，可得，利用基本不等式运算求解，注意等号成立的条件. 【详解】由题意可知：均为正实数， 设，则，， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 又因为， 当且仅当，即时，等号成立， 可得，即，所以的最小值为2. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据定义得出，，再结合基本不等式求得. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 函数在上是单调减函数 B. 函数与函数是同一函数 C. 已知函数，则 D. 函数的单调增区间为 【答案】BC 【解析】 【分析】由函数的单调性可判断A，根据同一函数的判定可判断，根据换元法求函数解析式，再带入求值可判断，根据二次函数单调性可判断，注意函数的定义域. 【详解】对于，函数在，上是单调减函数，在上不单调，故错误； 对于，由于，故正确； 对于，由，令，则， 易知有解，所以，故正确； 对于，函数的定义域为，其增区间为，故错误. 故选： 10. 二次函数是常数，且的自变量与函数值的部分对应值如下表： … 0 1 2 … … 2 2 … 且当时，对应的函数值．下列说法正确的有（ ） A. B. C. 函数的对称轴为直线 D. 关于的方程一定有一正、一负两个实数根，且负实数根在和0之间 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据函数过点得，再利用当时，对应的函数值确定即可判定A、C；根据相应函数值确定的关系可判定B；利用二次函数根的分布可判定D. 详解】将代入得， 解得，所以二次函数， 当时，对应的函数值，所以， 解得，所以， 所以，所以，故A错误； 当时，， 当时，，所以， 因为，所以，故B正确； 因为二次函数过，所以其对称轴为， 又当时，对应的函数值，根据二次函数的对称性知， 当时，对应的函数值， 而当时，，所以二次函数与轴负半轴的交点横坐标在利0之间， 所以关于的方程一定有一正、一负两个实数根， 且负实数根在和0之间，故CD正确. 故选：BCD 11. 若函数对定义域中的每一个都存在唯一的，使成立，则称为“影子函数”，以下说法正确的有（ ） A. “影子函数”可以是奇函数 B. “影子函数”的值域可以是 C. 函数是“影子函数” D. 若，都是“影子函数”，且定义域相同，则是“影子函数” 【答案】AC 【解析】 【分析】根据新定义举例判断． 【详解】，在其定义域内，对任意的，存在，使得成立，是“影子函数”，它也是奇函数；A正确； 若“影子函数”值域是R，则当满足时，不存在，使得，B错误； ，对任意的，，是唯一的，C正确； 若，，，不“影子函数”，如，，或时，都有，不唯一，D错误． 故选：AC． 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 当时，的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用添加项的方法结合基本不等式求解即可，注意需进行变形即可. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当时，. 故答案为：. 13. 已知幂函数图象经过点，若，则实数的取值范围是______；若，则______ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由条件先求，根据函数单调性及定义域解不等式求，根据基本不等式判断与的大小. 【详解】因为函数图象经过点， 所以， 所以，故， 函数的定义域为，且函数在单调递增， 所以可化为， 所以，即的取值范围是； 因为，， 所以 所以， 所以， 即. 故答案为：，. 14. 已知是定义域为的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据函数的奇偶性求得的解析式，构造函数，根据的单调性以及对进行分类讨论来求得的取值范围. 【详解】由题意可得， 因为是奇函数，是偶函数， 所以，联立， 解得，又因为对于任意的，都有成立， 所以，即成立， 构造， 所以由上述过程可得在单调递增， 若，则对称轴，解得； 若，则在单调递增，满足题意； 若，则对称轴恒成立；综上，． 故答案为： 【点睛】易错点睛： 奇偶性判断的细节：在利用奇偶性构造函数时，容易在符号处理上出现错误，尤其是对于奇函数和偶函数的性质.确保每一步推导中符号的准确是非常重要的. 分类讨论的完整性：在进行参数的分类讨论时，必须确保每种情况都被考虑到，包括.如果遗漏某一情况，可能会导致结论不完整. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设集合 （1）是否存在实数，使是的充分不必要条件，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由； （2）若，求实数取值范围． 【答案】（1）存在， （2） 【解析】 【分析】（1）根据充分不必要条件列不等式，由此求得的取值范围. （2）根据集合是否为空集进行分类讨论，由此列不等式来求得的取值范围. 【小问1详解】 ，解得，所以， 假定存在实数，使足的充分不必要条件，则，， 则或， 解得或，因此，所以存在实数， 使是的充分不必要条件，． 【小问2详解】 当时，， ，则，由，得， 当，即时，，满足，符合题意，则； 当，由，得，解得，因此， 所以实数的取值范围是． 16. 已知函数，对于任意，有． （1）求的解析式； （2）若函数在区间上的最小值为，求的值； （3）若成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）由已知可得的图象关于直线对称，，列方程求可得函数解析式； （2）讨论，求函数在上的最小值表达式，列方程求的值； （3）已知条件可转化为，使成立，再通过换元，并结合基本不等式求的最大值，由此可得结论. 【小问1详解】 因为， 所以的图象关于直线对称， 即， 又，所以， 所以， 所以； 【小问2详解】 当，即时，， 所以，解得或（舍去）； 当，即时．，不符合题意； 当时，，解得（舍去）或， 综上，或． 【小问3详解】 由可得， 因， 依题意，，使成立． 而， 不妨设，因，则， 设， 因，则，当且仅当时等号成立， 即当时，， 故当时，取最大值，最大值为， 所以，， 即的取值范围为． 17. 丽水市某革命老区因地制宜发展生态农业，打造“生态特色水果示范区”.该地区某水果树的单株年产量（单位：千克）与单株施肥量x（单位：千克）之间的关系为，且单株投入的年平均成本为元.若这种水果的市场售价为10元/千克，且水果销路畅通.记该水果树的单株年利润为（单位：元）. （1）求函数的解析式； （2）求单株施肥量为多少千克时，该水果树的单株年利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）施肥量为时，单株年利润最大为元 【解析】 【分析】（1）利用利润=单株产量售价成本，结合分段函数即可得解； （2）结合二次函数和基本不等式性质分别求出和时对应的，从而得解. 【小问1详解】 当时，， 当时，， 故； 【小问2详解】 当时，开口向上，其对称轴为， 所以其最大值为， 当时，， 当且仅当，即时，等号成立， 综上，施肥量为时，单株年利润最大为元. 18. 已知函数． （1）用单调性的定义证明函数在上为增函数； （2）是否存在实数，使得当的定义域为（，）时，函数的值域为．若存在．求出的取值范围；若不存在说明理由． 【答案】（1）证明见详解； （2）存在，. 【解析】 【分析】（1）设，且，然后作差、通分、因式分解即可判断，得证； （2）根据单调性列不等式组，将问题转化为存在两个不相等的正根，利用判别式和韦达定理列不等式组求解可得. 【小问1详解】 ， 设，且， 则， 因为，所以， 所以，即， 所以函数在上为增函数. 【小问2详解】 由（1）可知，在上单调递增， 若存在使得的值域为， 则，即， 因为，，所以存在两个不相等的正根， 所以，解得， 所以存在使得的定义域为时，值域为. 19. 定义：对于定义域为的函数，若，有，则称为的不动点．已知函数． （1）当时，求函数的不动点； （2）若函数有两个不相等的不动点，求的取值范围； （3）设，若有两个不动点为，且，求实数的最小值． 【答案】（1）或4 （2） （3）12 【解析】 【分析】（1）根据题意，由不动点的定义代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，将问题转化为一元二次方程根的问题，结合韦达定理代入计算，再由二次函数的值域，即可求解； （3）根据题意，由韦达定理代入计算，再由基本不等式即可得到结果. 【小问1详解】 当时，，令，即， 解得或，所以的不动点为或4． 【小问2详解】 依题意，有两个不相等实数根， 即方程有两个不相等的实数根， 所以，解得，或， 且，所以， 因为函数对称轴为， 当时，随的增大而减小，若，则； 当时，随的增大而增大，若，则； 故，所以的取值范围为． 【小问3详解】 令，即，则， 当时，由韦达定理得， 由题意得，故， 于是得，则，令，则， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以实数的最小值为12． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$