第十四章整式的乘法与因式分解：乘法公式及因式分解提升训练 2024—2025学年人教版数学八年级上册

第十四章整式的乘法与因式分解：乘法公式及因式分解提升训练 人教版2024—2025学年八年级上册 【考点·方法·破译】 1..乘法公式 平方差公式： 完全平方公式： 2.因式分解 （1）提公因式法 找出最大公因式 （2）公式法 有公因式则先提公因式，无则直接用公式法 （3）十字相乘法 【典型例题解析】 例1计算102×98的结果是（ ） A．9995 B．9896 C．9996 D．9997 【变式练习】 1.计算：20242﹣2022×2026 2.化简求值： 3.求值：（2+1）×（22+1）×（24+1）×（28+1）×...×（264+1） 4.阅读下列材料：某同学在计算3(4＋1)(42＋1)时，把3写成4－1后，发现可以连续运用平方差公式计算：3(4＋1)(42＋1)＝(4－1)(4＋1)(42＋1)＝(42－1)(42＋1)＝162－1.请借鉴该同学的经验，计算下面式子的值： ①② 例2小明同学用四张长为x，宽为y的长方形卡片，拼出如图所示的包含两个正方形的图形（任意两张相邻的卡片之间没有重叠，没有空隙）． (1) 通过计算小正方形面积，可推出 ，，三者的等量关系式为： (2)利用（1）中的结论，试求：当，时， (3)利用（1）中的结论，试求：当时，求的值． 【变式练习】 5.现有若干个正方形纸片，从中任取两个大小不等的正方形如图摆放，A、D、E三点在一条直线上， （1）如图①，AE＝m，CG＝n，这两个正方形的面积之和是 　 　．（用m、n的代数式表示） （2）如图②，如果大正方形ABCD和小正方形DEFG的面积之和是5，图中阴影部分的面积为2，求（mn）2是多少？ （3）如图③，大正方形ABCD和小正方形DEFG的面积之和是25，AE的长度等于7，图中阴影部分的面积是 　 　． （4）如图④，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a、b（a＞b），如果a+b＝8，ab＝6，求图中阴影部分面积之和是多少？ 6.数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片长为a、宽为b的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形． （1）请用两种不同的方法求图2中大正方形的面积． 方法1：　 　；方法2：　 　； （2）观察图②，请你写出下列三个式子：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系：　 　； （3）根据（2）中的等量关系，解决下列问题； ①已知a+b＝5，a2+b2＝11，求ab的值； ②已知（x﹣2022）2+（x﹣2024）2＝34，求（x﹣2023）2的值． 7.我们在学习《从面积到乘法公式》时，曾用两种不同的方法计算同一个图形的面积，探索了完全平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2（如图1）． 把几个图形拼成一个新的图形，通过图形面积的计算，常常可以得到一些等式，这是研究数学问题的一种常用方法． （1）观察图2请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是 　 　； （2）根据（1）中的结论，若x+y＝4，，且x＞y，则x﹣y＝ 　 　； （3）由完全平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2，可得a2+b2＝ 　 　﹣2ab 拓展应用：若（2025﹣m）2+（m﹣2024）2＝7，求（2025﹣m）（m﹣2024）的值． （4）拓展：如图3，在△BCE中，∠BCE＝90°，CE＝8，点Q是边CE上的点，在边BC上取一点，M，使BM＝EQ，设BM＝x（x＞0），分别以BC，CQ为边在△BCE外部作正方形ABCD和正方形COPQ，连接BQ，若CM＝3，△BCQ的面积等于，直接写出正方形ABCD和正方形COPQ的面积和． 8.数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助图形的直观性，可以帮助解数学问题． （1）请写出图1，图2，图3阴影部分的面积分别能解释的数学公式． 图1：　 　；图2：　 　；图3：　 　． 其中，完全平方公式可以从“形”的角度进行探究，通过图形的转化可以解决很多数学问题．在图4中，已知a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值． 解：∵a+b＝3，∴S大正方形＝9， 又∵ab＝l，∴S2＝S3＝ab＝1， ∴S1+S4＝S大正方形﹣S2﹣S3＝9﹣1﹣1＝7．即a2+b2＝7． 类比迁移： （2）若（7﹣x）（x﹣1）＝4，则（7﹣x）2+（x﹣1）2＝　 　； （3）如图5，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝10，两正方形的面积和S1+S2＝52，阴影部分面积为 　 　． 9.阅读：已知a＋b＝－4，ab＝3，求a2＋b2的值． 解：∵a＋b＝－4，ab＝3， ∴a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(－4)2－2×3＝10. 请你根据上述解题思路解答下面问题： ① 已知，求的值； ② 已知，求(a－b)2＋c2的值． 思路点拨：, 例3分解因式：；； ； ；；; 【变式练习】 10.因式分解：； 例4如果，则 【变式练习】 11.（1）已知求的值. （2）已知，求代数式的值 例5若与互为相反数，求的值． 【变式练习】 12.（1）已知，，求的值． （2）已知2，则的值. 13.已知：a﹣b＝3，ab＝1，试求： （1）a2+3ab+b2的值； （2）（a+b）2的值． 14.我们学过很多数学公式不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美．根据你所学的知识解决下列问题： ①若a＝2023，b＝2024，c＝2025，求出a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值； ②若a2+b2+c2＝89，a+b+c＝9，求出ab+bc+ac的值． 15．已知a+b＝2，b+c＝17，求2a2+3b2+3c2+2ab+4bc﹣2ac＝ 　 　． 16．a＝2014x+2010，b＝2014x+2012，c＝2014x+2014，则a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝ 　 　． 17.已知a2﹣4a﹣1＝0． （1）求的值； （2）求的值． 例6阅读材料：若，求的值． 解：∵，∴ ∴，∴∴． 根据你的观察，探究下面的问题： (1) 已知，求的值； (2)已知△ABC的三边长都是正整数，且满足，求△ABC的最大边的值． 【变式练习】 18.已知为△ABC的三条边的长，当时， ①)试判断△ABC属于哪一类三角形； ②若，求△ABC的周长． 19.已知为△ABC的三条边，若，则该△ABC是什么三角形？ 20.已知x2﹣4y+y2+8x+20＝0，求xy的值． 例7 如果一个数能表示成的形式，我们称为“好数”，则在1,2,3，...，20中全部的“好数”为. 【变式练习】 21.把一个自然数所有数位上的数字先平方再求和得到一个新数，叫做第一次运算，再把所得新数所有数位上的数字先平方再求和又将得到一个新数，叫做第二次运算，…如此重复下去，若最终结果为1，我们把具有这种特征的自然数称为“快乐数”．例如： 32→32+22=13→12+32=10→12+02=1， 70→72+02=49→42+92=97→92+72=130→12+32+02=10→12+02=1 所以32和70都是“快乐数”． (1)最小的两位“快乐数”是________； (2)证明19是“快乐数”； (3)若一个三位“快乐数”经过两次运算后结果为1，把这个三位“快乐数”与它的各位上的数字相加所得的和被8除余数是2，求出这个“快乐数”． 课后练习 1.知识生成：我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题： 直接应用：（1）若xy＝7，x+y＝5，直接写出x2+y2的值 　 　； 类比应用：（2）填空：①若x（3﹣x）＝4，则x2+（x﹣3）2＝　 　； ②若（x﹣2019）（x﹣2023）＝2，则（x﹣2019）2+（x﹣2023）2＝　 　； 知识迁移：（3）两块完全相同的特制直角三角板（∠AOB＝∠COD＝90°）如图2所示放置，其中A，O，D在一直线上，连接AC，BD，若AD＝16，S△AOC+S△BOD＝60，求一块三角板的面积． 2.数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形卡片如图1依次记A、B、C三类，拼成了一个如图2所示的正方形． （1）请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和． 方法1：　 　； 方法2：　 　． （2）请直接写出三个代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的一个等量关系 　 　． （3）若要拼出一个面积为（a+2b）（a+b）的矩形，则需要A类卡片 　 　张，B类卡片 　 　张，C类卡片 　 　张． （4）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知m+n＝5，m2+n2＝20，求mn和（m﹣n）2的值． ②已知（x﹣2021）2+（x﹣2023）2＝34，求（x﹣2022）2． 3．若x满足（7﹣x）（x﹣2）＝6，求（7﹣x）2+（x﹣2）2的值． 解：设7﹣x＝a，x﹣2＝b，则（7﹣x）（x﹣2）＝ab＝6，a+b＝（7﹣x）+（x﹣2）＝5， ∴（7﹣x）2+（x﹣2）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×6＝13． 请仿照上面的方法解答下列各题． （1）已知（x﹣5）（x﹣8）＝10，求（x﹣5）2+（x﹣8）2的值； （2）若y满足（y﹣2024）2+（y﹣2025）2＝99，求（y﹣2024）（y﹣2025）的值； （3）如图所示，正方形ABCD的边长为m，E，F分别是AD，DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形DEMF的面积是24，分别以MF，DF为边长作正方形MFRN和正方形GFDH，求阴影部分的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$