第二章二次函数 单元测试 2024-2025学年北师大版数学九年级下册

第二章综合素质评价 限时: 90分钟 满分: 120分 一、选择题(每题3分，共30分) 1．下列函数中是二次函数的有(　　) ①y＝3－x2；②y＝；③y＝x(3－5x)；④y＝(1＋2x)(1－2x)＋4x2. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．关于二次函数y＝－(x－2)2的图象，下列说法正确的是(　　) A．是中心对称图形 B．开口向上 C．对称轴是直线x＝－2 D．最高点是(2，0) 3．将抛物线y＝－3x2＋1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线为(　　) A．y＝－3(x＋1)2＋3 B．y＝－3(x－1)2－1 C．y＝－3(x＋1)2－1 D．y＝－3(x－1)2＋3 4．汽车刹车后行驶的距离s(单位：m)关于行驶时间t(单位：s)的函数表达式是s＝15t－6t2，汽车刹车后到停下来所用的时间t是(　　) A．2.5 s B．1.5 s C．1.25 s D．不能确定 5．如图，用总长度为12 m的不锈钢材料设计成外观为矩形的框架，所有横档和竖档分别与AD，AB平行，则矩形框架ABCD的最大面积为(　　) A．4 m2 B．6 m2 C．8 m2 D．12 m2 6．一次函数y＝x－2n＋4，二次函数y＝x2＋(n－1)x－3，反比例函数y＝在同一直角坐标系中的图象如图所示，则n的取值范围是(　　) A．n＞－1 B．n＞2 C．－1＜n＜1 D．1＜n＜2 7．定义运算：a⊗b＝(a＋2b)(a－b)，例如4⊗3＝(4＋2×3)(4－3)，则函数y＝ (x＋1)⊗2的最小值为(　　) A．－21 B．－9　 C．－7 D．－5 8．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点(1，0)，对称轴是直线x＝－1，则下列结论错误的是(　　) A．abc＞0 B．b2－4ac＞0　 C．2a－b＝0 D．3a＋2c＜0 9．在一次足球比赛中，小明将在地面上的足球对着球门踢出，足球的飞行高度y(m)与飞行时间x(s)满足二次函数关系，其函数图象如图所示．若不考虑空气阻力，当足球飞出1 s时，足球的飞行高度是2.44 m，足球从飞出到落地共用时3 s，则足球最大的飞行高度是(　　) A．1.22 m B．2.745 m C．3.66 m D．1.5 m 10．廊桥是我国古老的文化遗产．如图是某座抛物线形廊桥的示意图，已知水面AB宽48 m，拱桥最高处点C到水面AB的距离为12 m，为保护该桥的安全，现要在该抛物线上的点E，F处安装两盏警示灯(点E，F在同一水平线上)，若要保证两盏灯的水平距离EF是24 m，则警示灯E距水面AB的高度为(　　) A．12 m B．11 m　 C．10 m D．9 m 二、填空题(每题3分，共15分) 11．二次函数y＝x2－2x＋6的最小值为________． 12．已知二次函数的图象开口向下，顶点坐标是(0，3)，则这个二次函数的表达式可以是________． 13．如图，直线y＝mx＋n与抛物线y＝ax2＋bx＋c交于A(－1，p)，B(4，q)两点，则关于x的不等式mx＋n＞ax2＋bx＋c的解集是____________． 14．将抛物线y＝x2－6x＋12向下平移k个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是________． 15．如图①为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图②是棚顶的竖直高度y(单位：m)与距离停车棚支柱AO的水平距离x(单位：m)近似满足函数关系y＝－0.02x2＋0.3x＋1.6的图象，点B(6，2.68)在图象上．若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长CD＝4 m，高DE＝1.8 m的矩形，则可判定货车________完全停到车棚内(填“能”或“不能”)． 三、解答题(共75分) 16．(10分)已知二次函数y＝x2－2x＋a的图象过点(2，2)． (1)求二次函数的表达式及图象的对称轴； (2)当n≤x≤2时(n为常数)，对应的函数值y的取值范围是1≤y≤10，试求n的值． 17．(10分)已知二次函数y＝2x2－3x＋m－2. (1)若二次函数的图象与x轴有交点，求m的取值范围； (2)当二次函数的图象经过点(－1，6)时，确定m的值，并求出此二次函数图象与x轴，y轴的交点坐标． 18．(10分)已知二次函数y＝－x2＋4x. (1)在如图的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象； (2)根据图象，写出当0<x<5时，y的取值范围； (3)若将此图象向左平移3个单位长度，向下平移2个单位长度，请写出平移后图象所对应的函数表达式． 19．(14分)实行垃圾分类，关系广大人民群众生活环境，关系节约使用资源，也是社会文明水平的一个重要体现．为改善城市生态环境，某公司为配合国家垃圾分类入户的倡议，设计了一款成本为每个10元的多用途垃圾桶投放市场，经试销发现，销售量y(个)与销售单价x(元)符合一次函数关系，且当 x＝12时，y＝96，当x＝20时，y＝80. (1)若该公司获得利润为W(元)，试写出利润W(元)与销售单价x(元)之间的函数表达式； (2)若物价部门限定该产品的销售单价不得超过30元，那么销售单价定为多少元时才可获得最大利润？ 20．(14分)如图，已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A(－2，0)，C(0，－2)． (1)求二次函数的表达式； (2)若P是二次函数图象上的一点，且点P在第二象限，线段PC交x轴于点D，△PDB的面积是△CDB的面积的2倍，求点P的坐标． 21．(17分)为了美化教室，打造富有特色的班级文化墙．某美术社团小组的同学们在学习了抛物线的相关知识后，计划设计“抛物线形”花边装饰班级公告栏标题． 【建立模型，制作花边】社团小组的同学们首先在平面直角坐标系中设计了一个如图①的“抛物线形”花边，该花边的高度为12 cm. 　　 【摆放花边，制定方案】同学们剪下若干个该花边，尝试在长为60 cm，宽为12 cm的公告栏标题处摆放该花边，经过讨论交流形成了以下两个方案： 方案一：如图②，将该花边完全放入公告栏标题中，发现恰好能摆出一幅由5个连续花边组成的图案． 方案二：如图③，将花边的一部分放入公告栏标题中，摆出上下两排各含有若干个连续花边的图案，每个花边(即每条抛物线)的高度相等，相对两个花边的顶点之间的距离为h. 【实施方案，展示作品】请根据上述研究步骤与相关数据，完成下列任务： (1)求出图①的平面直角坐标系中“抛物线形”花边的函数表达式； (2)若采用研究步骤中的方案二进行设计，当h＝6 cm时，请你通过计算求出一排中最多可摆放的花边个数． 答案 一、1．B　2．D　3．C　4．C　5．A　6．C 7．B 【点拨】由题意得y＝(x＋1)⊗2＝(x＋1＋2×2)·(x＋1－2)＝(x＋5)(x－1)，即y＝x2＋4x－5＝(x＋2)2－9，∴函数y＝(x＋1)⊗2的最小值为－9. 8．D 【点拨】由二次函数图象开口向下，得a＜0， 由函数图象与y轴交于正半轴，得c＞0. ∵对称轴直线x＝－＝－1＜0，∴a，b同号，即b＜0， 故abc＞0，A正确； ∵二次函数图象与x轴有两个交点，∴b2－4ac＞0，故B正确； ∵对称轴为直线x＝－＝－1，∴b＝2a， 故2a－b＝0，C正确； ∵3a＋2c＝a＋2a＋2c＝a＋b＋c＋c， 当x＝1时，y＝a＋b＋c＝0，且c>0， ∴a＋b＋c＋c＞0. 故3a＋2c＞0，D错误．故选D. 9．B 【点拨】由题意，可设y关于x的函数表达式为y＝ax2＋bx(a≠0)， 依题可知当x＝1时，y＝2.44，当x＝3时，y＝0， ∴解得 ∴y＝－1.22x2＋3.66x(0≤x≤3)， ∴该函数图象的顶点坐标为(1.5，2.745)， ∴足球最大的飞行高度是2.745 m. 故选B. 10．D 【点拨】如图，以AB的中点为原点，AB所在直线为横轴，建立平面直角坐标系， 由题意，得A(－24，0)，B(24，0)，C(0，12)， 设抛物线的表达式为y＝ax2＋12， 把A(－24，0)的坐标代入，得576a＋12＝0， 解得a＝－， ∴y＝－x2＋12. ∵EF＝24 m，∴E点的横坐标为－12， 当x＝－12时，y＝－×122＋12＝9， 即警示灯E距水面AB的高度为9 m．故选D. 二、11．5　12．y＝－x2＋3(答案不唯一) 13．x＜－1或x＞4 14．k≥3 【点拨】将抛物线y＝x2－6x＋12向下平移k个单位长度得y＝x2－ 6x＋12－k. ∵抛物线y＝x2－6x＋12－k与x轴有公共点， ∴(－6)2－4(12－k)≥0，解得k≥3.故答案为k≥3. 15．能 三、16．【解】(1)把点(2，2)的坐标代入y＝x2－2x＋a，得4－4＋a＝2，解得 a＝2. ∴二次函数的表达式为y＝x2－2x＋2. ∵y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1， ∴图象的对称轴为直线x＝1. (2)由(1)可知y≥1.∵当n≤x≤2时，1≤y≤10， 且当x＝2时，y＝2＜10，∴只有当x＝n时，y＝10， 即n2－2n＋2＝10，解得n1＝－2，n2＝4(舍去)，∴n＝－2. 17．【解】(1)∵二次函数的图象与x轴有交点， ∴(－3)2－8(m－2)≥0，解得m≤. (2)∵二次函数的图象经过点(－1，6)， ∴2＋3＋m－2＝6，解得m＝3.∴y＝2x2－3x＋1. 当x＝0时，y＝1， ∴此二次函数图象与y轴交于点(0，1)． 当y＝0时，求得x＝1或x＝， ∴此二次函数图象与x轴交于点(1，0)和. 18．【解】(1)二次函数y＝－x2＋4x， 列表得： x … －1 0 1 2 3 4 5 … y … －5 0 3 4 3 0 －5 … 描点、连线，函数图象如图所示． (2)根据图象，可知当0<x<5时，y的取值范围为－5<y≤4. (3)将y＝－x2＋4x变形为y＝－(x－2)2＋4， 此图象向左平移3个单位长度，向下平移2个单位长度， 则平移后图象所对应的函数表达式为y＝－(x－2＋3)2＋4－2，即y＝－(x＋1)2＋2. 19．【解】(1)设销售量y(个)与销售单价x(元)之间的一次函数表达式为y＝kx＋b， ∵当x＝12时，y＝96，当x＝20时，y＝80， ∴解得∴y＝－2x＋120， ∴W＝(x－10)·(－2x＋120)＝－2x2＋140x－1 200. (2)W＝－2x2＋140x－1 200＝－2(x－35)2＋1 250. ∵x≤30，抛物线开口向下，在直线x＝35的左侧，y随x的增大而增大， ∴当x＝30时，W有最大值． 答：销售单价定为30元时才可获得最大利润． 20．【解】(1)由题意，将A(－2，0)，C(0，－2)的坐标代入y＝x2＋bx＋c，得∴ ∴二次函数的表达式为y＝x2＋x－2. (2)由题意，设P(m，n)(m＜0，n＞0)．则n＝m2＋m－2. ∵△PDB的面积是△CDB的面积的2倍， ∴＝2，即＝2.∴＝2. 又易知CO＝2，∴n＝2CO＝4. ∴m2＋m－2＝4，解得m1＝－3，m2＝2(舍去)． ∴点P的坐标为(－3，4)． 21．【解】(1)根据题意，得顶点A到x轴的距离为12 cm，OB＝60÷5＝12(cm)， ∴A(6，－12)，B(12，0)． 设“抛物线形”花边的函数表达式为y＝a(x－6)2－12(a≠0)， 将B点的坐标代入，得a(12－6)2－12＝0， 解得a＝， ∴“抛物线形”花边的函数表达式为y＝(x－6)2－12，即y＝x2－4x. (2)如图所示． 已知EF＝12 cm，GH＝h＝6 cm，EG＝FH， ∴EG＝FH＝(EF－GH)＝×(12－6)＝3(cm)． 在y＝x2－4x中，令y＝－12＋3＝－9，即x2－4x＝－9，解得x1＝3，x2＝9， ∴x2－x1＝6，∵60÷6＝10， ∴一排中最多可摆放的花边个数为10. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$