2024-2025学年北师大版数学九年级下册综合复习评价 试题

北师大版数学九年级下册全册复习评价卷 限时: 90分钟 满分: 120分 一、选择题(每题3分，共30分) 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，各边都扩大到原来的5倍，则sin A的值(　　) A．不变 B．扩大到原来的5倍 C．缩小为原来的 D．不能确定 2．已知二次函数y＝－3(x－2)2－3，下列说法正确的是(　　) A．图象的对称轴为直线x＝－2 B．图象的顶点坐标为(2，3) C．函数的最大值是－3 D．函数的最小值是－3 3．如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A＝35°，则直角边BC的长是(　　) A．msin 35° B．mcos 35°　 C． D． 4．将抛物线y＝x2＋2x向下平移2个单位长度后，所得新抛物线的顶点式为(　　) A．y＝(x＋1)2－3 B．y＝(x＋1)2－2 C．y＝(x－1)2－3 D．y＝(x－1)2－2 5．半径为5 cm的定圆中，长度为6 cm的弦的中点的轨迹是(　　) A．此弦的垂直平分线 B．此弦的垂直平分线在圆内部的部分 C．以定圆的圆心为圆心，半径为4 cm的圆 D．以定圆的圆心为圆心，半径为3 cm的圆 6．已知二次函数y＝ax2＋(2a－3)x＋a－1(x是自变量)的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围为(　　) A．1≤a＜ B．0＜a＜ C．0＜a＜ D．1≤a＜ 7．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E在DC上，把△ADE沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，则cos∠CEF的值为(　　) A． B． C． D． 8．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点F在弧AE上，连接CF，DF.若∠CDF＝95°，则∠FCD的大小为(　　) A．38° B．42° C．49° D．58° 9．如图，在△ABC中，∠B＝90°，BC＝8 cm，AB＝6 cm，动点P从点A开始沿边AB向点B以1 cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2 cm/s的速度移动．若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，在运动过程中，△PBQ的最大面积是(　　) A．18 cm2　 B．12 cm2　　 C．9 cm2　 D．3 cm2 10．已知二次函数y＝ax2－2ax－3a(a≠0)，关于此函数的图象及性质，下列结论中不一定成立的是(　　) A．该图象的顶点坐标为(1，－4a) B．该图象与x轴的交点坐标为(－1，0)，(3，0) C．若该图象经过点(－2，5)，则一定经过点(4，5) D．当x＞1时，y随x的增大而增大 二、填空题(每题3分，共15分) 11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝3，则cos A＝________． 12．已知二次函数y＝－2x2－4x＋5，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是________． 13．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠A＝54°，连接BO并延长交⊙O于点D，连接CD，则∠ACD的度数为________． 14．如图，一艘轮船由西向东航行到O处时，发现A岛在北偏东64°的方向且与轮船相距52 n mile.若该轮船不改变航向继续航行，则轮船与A岛的最近距离AC是________n mile.(用含三角函数的式子表示) 15．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a＜0)的顶点为(1，2)．小烨同学得出以下结论：①abc＜0；②当x＞1时，y随x的增大而减小；③若ax2＋bx＋c＝0的一个根为3，则a＝－；④抛物线y＝ax2＋2是由抛物线y＝ax2＋bx＋c向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的．其中一定正确的是________(填序号)． 三、解答题(共75分) 16．(6分)计算：2cos 45°－tan 30°cos 30°＋sin260°. 17．(8分)如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，垂足是E，DE＝6，sin A＝，求菱形ABCD的周长． 18．(12分)在平面直角坐标系xOy中，A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线y＝x2＋bx＋c上任意两点． (1)若点A的坐标为(1，－4)，对称轴为直线x＝1，求抛物线的表达式； (2)若抛物线经过(1，m)，(3，m)两点，且A，B两点满足当点A的坐标为(0，y1)时，都有y1<y2，求点B的横坐标x2的取值范围． 19．(10分)某市A，B两镇相距42 km，分别从A，B处测得某风景区中心C处的方位角如图所示，风景区区域是以C为圆心，15 km为半径的圆，tan α＝1.673，tan β＝1.327.为了开发旅游，有关部门要设计修建连接A，B两镇的县级公路．问连接A，B两镇的县级公路是否穿过风景区？请说明理由． 20．(12分)如图，在△ABD中，AB＝BD，⊙O为△ABD的外接圆，BE为⊙O的切线，AC为⊙O的直径，连接DC并延长交BE于点E. (1)求证：DE⊥BE； (2)若AB＝5，BE＝5，求⊙O的半径． 21．(12分)已知某学校的文化宣传栏如图①，其左视图如图②，栏高EG＝2 m，FE＝1 m，顶棚圆弧跨度AB＝1.2 m，弓形高HG＝0.2 m. (1)求顶棚圆弧所在圆的半径； (2)已知文化宣传栏的长度是10 m，求顶棚铁皮面积(结果保留π)； (3)若大雨天的雨水与地面的倾斜角为60°，试判断雨水是否会淋湿宣传版面MNGF，请说明理由． (参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75，≈1.732) 22．(15分)如图，直线y＝－x＋3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点E在线段AB上，且BE＝AB.以B为顶点的抛物线记为C1：y1＝－x2＋n；以E为顶点的抛物线记为C2：y2＝ax2＋bx＋c，与y轴交于点P，OP＝. (1)求抛物线C1和C2的表达式，并判断抛物线C1是否会经过点E； (2)若抛物线C1和C2中的y都随x的增大而减小，请直接写出此时x的取值范围； (3)在(2)的x的取值范围内，设新的函数y3＝y1－y2，求出函数y3与x的函数关系式；问当x为何值时，函数y3有最大值？求出这个最大值，并直接写出y3的取值范围． 答案 一、1．A　2．C　3．A　4．A 5．C 【点拨】如图，定圆⊙O的半径为5 cm，弦AB长6 cm，C是弦AB的中点，连接OA，OC. 由垂径定理的推论知OC⊥AB， 在Rt△OAC中，AC＝AB＝3 cm，OA＝5 cm， 由勾股定理得OC＝＝4 cm， ∴C点的轨迹是以O为圆心，OC长(即4 cm)为半径的圆． 6．A 【点拨】∵二次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴a>0，a－1≥0，(2a－3)2－4a(a－1)＞0， 解得1≤a＜. ∴a的取值范围为1≤a＜. 7．A 【点拨】∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝8，DC＝AB＝6.∵把△ADE沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，∴AF＝AD＝8，EF＝DE.∴BF＝＝＝2.∴CF＝BC－BF＝8－2.在Rt△EFC中，CE＝DC－DE＝6－EF，由勾股定理得EF2＝CE2＋CF2， ∴EF2＝(6－EF)2＋(8－2)2.∴EF＝. ∴CE＝6－＝.∴cos∠CEF＝＝＝. 8．C 【点拨】如图，连接OE，OD，CE， ∵五边形ABCDE是正五边形， ∴∠CDE＝(5－2)×180°÷5＝108°. ∵∠CDF＝95°， ∴∠FDE＝∠CDE－∠CDF＝108°－95°＝13°. ∴∠FCE＝13°. ∵正五边形ABCDE内接于⊙O， ∴∠EOD＝360°÷5＝72°. ∴∠ECD＝∠EOD＝36°. ∴∠FCD＝∠FCE＋∠ECD＝13°＋36°＝49°. 9．C 【点拨】设经过t s后，△PBQ的面积为S cm2， 由题意得AP＝t cm，BQ＝2t cm，∴BP＝(6－t) cm. 则S＝×2t×(6－t)＝ －t2＋6t＝－(t－3)2＋9. ∵点P：0<t<6，点Q：0<t≤4， ∴当t＝3时，S有最大值为9，即△PBQ的最大面积为9 cm2. 10．D 【点拨】y＝ax2－2ax－3a＝a(x2－2x－3)＝a(x－3)(x＋1)． 令y＝0，则x＝3或x＝－1， ∴二次函数的图象与x轴的交点坐标为(3，0)，(－1，0)，故B成立； 易知该图象的对称轴为直线x＝1， 将x＝1代入y＝ax2－2ax－3a， 得y＝a－2a－3a＝－4a， ∴顶点坐标为(1，－4a)，故A成立； ∵点(－2，5)与(4，5)关于直线x＝1对称， ∴若该图象经过点(－2，5)，则一定经过点(4，5)，故C成立； 当x＞1，a＞0时，y随x的增大而增大，当x＞1，a＜0时，y随x的增大而减小，故D不一定成立． 二、11．　12．x＜－1 13．27°　14．52×cos 64° 15．②③ 【点拨】∵顶点为(1，2)，∴a＋b＋c＝2，－＝1.∴b＝－2a.∴c＝ 2－a－b＝2－a－(－2a)＝2＋a.∵a<0，∴b>0，c无法判断，故①错误； ∵a＜0，∴抛物线开口向下．由题易知抛物线的对称轴为直线x＝1，∵a<0，∴当x＞1时，y随x的增大而减小，故②正确；∵b＝－2a，c＝2＋a， ∴ax2＋bx＋c＝0可化为ax2－2ax＋2＋a＝0.∵ax2＋bx＋c＝0的一个根为3，即ax2－2ax＋2＋a＝0的一个根为3，∴9a－6a＋2＋a＝0，∴a＝－，故③正确；∵y＝ax2＋bx＋c＝a(x－1)2＋2，∴将抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度可得到抛物线y＝a(x－1＋1)2＋2－2＝ax2，故④ 错误． 三、16.【解】原式＝2×－××＋()2 ＝－＋ ＝. 17．【解】∵DE⊥AB， ∴△ADE是直角三角形． ∴sin A＝＝. ∵DE＝6，∴AD＝10. 又∵四边形ABCD是菱形， ∴菱形ABCD的周长＝10×4＝40. 18．【解】(1)∵抛物线y＝x2＋bx＋c上的点A的坐标为(1，－4)，对称轴为直线x＝1， ∴点A(1，－4)为抛物线的顶点． ∴抛物线的表达式为y＝(x－1)2－4，即y＝x2－2x－3. (2)∵抛物线经过(1，m)，(3，m)两点， ∴抛物线y＝x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝＝2. ∴(0，y1)关于抛物线对称轴(直线x＝2)的对称点为(4，y1)． 易知抛物线开口向上． ∴当x>2时，y随x的增大而增大，当x<2时，y随x的增大而减小，且离对称轴越远函数值越大． 如图， ∴当y1<y2时，x2>4或x2<0. 19．【解】连接A，B两镇的县级公路穿过风景区．理由如下： 如图，过点C作CD⊥AB于点D， 根据题意得∠ACD＝α，∠BCD＝β， 则在Rt△ACD中，AD＝CD·tan α， 在Rt△BCD中，BD＝CD·tan β. ∵AD＋DB＝AB， ∴CD·tan α＋CD·tan β＝AB. ∴CD＝＝＝14(km)． ∵14 km＜15 km， ∴连接A，B两镇的县级公路穿过风景区． 20．(1)【证明】连接BO并延长交AD于点H，如图． ∵AB＝BD，OA＝OD， ∴BH垂直平分AD，∴∠BHD＝90°. ∵BE为⊙O的切线，∴OB⊥BE. ∴∠OBE＝90°. ∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝90°. ∴四边形BEDH为矩形， ∴∠E＝90°.∴BE⊥DE. (2)【解】∵BH垂直平分AD， ∴AH＝DH＝AD. ∵四边形BEDH为矩形，∴DH＝BE＝5. 在Rt△BDH中，∵BD＝AB＝5，DH＝5， ∴BH＝＝5. 连接OD，如图， 设⊙O的半径为r，则OH＝5－r，OD＝r， ∴在Rt△ODH中，有(5－r)2＋52＝r2， 解得r＝3， 即⊙O的半径为3. 21．【解】(1)设顶棚圆弧所在圆的半径为R m，圆心为O，连接OA，如图，根据题意可知GE⊥AB，则AG＝0.6 m，OG＝(R－0.2) m， 在Rt△AGO中，(R－0.2)2＋0.62＝R2，解得R＝1. ∴顶棚圆弧所在圆的半径为1 m. (2)连接OB，如图，由(1)可知OG＝1－0.2＝0.8(m)． 在Rt△AGO中，tan∠AOG＝＝＝0.75， ∴∠AOG≈37°.∴易得∠AOB≈74°. ∴l＝≈＝(m)． ∴顶棚铁皮面积≈×10＝(m2)． (3)雨水不会淋湿宣传版面MNGF.理由如下：如图，由大雨天的雨水与地面的倾斜角为60°，可知∠KBG＝60°， ∴tan∠KBG＝＝＝， ∴KG＝0.6×≈1.04(m)． ∵宣传版面高GF＝2－1＝1(m)<1.04 m， ∴雨水不会淋湿宣传版面MNGF. 22．【解】(1)∵直线y＝－x＋3与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴A(3，0)，B(0，3)． ∵抛物线C1：y1＝－x2＋n以点B(0，3)为顶点， ∴n＝3. ∴抛物线C1的表达式为y1＝－x2＋3； 如图，作直线EF⊥x轴于点F，则EF∥OB.∵A(3，0)，∴OA＝3. ∵BE＝AB，∴＝＝， ∴OF＝OA＝×3＝1. ∴F(1，0)．∴E(1，2)． 抛物线C1：y1＝－x2＋3，当x＝1时，y＝2， ∴抛物线C1经过点E. ∵抛物线C2：y2＝ax2＋bx＋c以点E(1，2)为顶点， ∴抛物线C2：y2＝a(x－1)2＋2. ∵OP＝，∴P. ∵抛物线C2：y2＝a(x－1)2＋2经过点P(0，)， ∴a＋2＝，解得a＝. ∴抛物线C2的表达式为y2＝(x－1)2＋2，即y2＝x2－x＋. (2)x的取值范围是0＜x＜1. (3)由(1)得y1＝－x2＋3，y2＝x2－x＋， ∴y3＝y1－y2＝(－x2＋3)－(x2－x＋)＝－x2＋x＋. ∵y3＝－x2＋x＋＝－(x－)2＋，且－＜0，0＜＜1， ∴当x＝时，y3有最大值，最大值为. ∵0＜x＜1， ∴当0＜x＜时，y随x的增大而增大； 当＜x＜1时，y随x的增大而减小， 若x＝0，则y3＝；若x＝1，则y3＝0，且0＜， ∴当0＜x＜1时，0＜y3≤. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$