精品解析：山东省东明县武胜桥镇初级中学2024-2025学年九年级数学上册第一次月考试卷

2024-2025学年度九年级（上）第一次月考数学试卷 一．选择题（每题3分，共27分） 1. 菱形具有而平行四边形不具有的性质是（ ） A. 内角和是 B. 对角相等 C. 对边平行且相等 D. 对角线互相垂直 2. 如图，已知菱形ABCD的对角线AC．BD的长分别为6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是（） A. B. C. D. 3. 据调查，2011年5月兰州市的房价均价为7600元/m2，2013年同期将达到8200元/m2， 假设这两年兰州市房价的平均增长率为x，根据题意，所列方程为【 】 A. B. C. D. 4. 用配方法解方程时，配方后所得的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是　　 A. B. k＜1且k≠0 C. k≥﹣1且k≠0 D. 且 6. 一个不透明的袋子里装着质地、大小都相同的3个红球和2个绿球，随机从中摸出一球，不再放回袋中，充分搅匀后再随机摸出一球．两次都摸到红球的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 已知b＜0，关于x的一元二次方程的根的情况是 A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 有两个实数根 8. 如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，则对角线BD的长是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 9. 菱形的两条对角线长分别为6和8，则它的周长和面积分别为（   ） A. 28，48 B. 20，24 C. 28，24 D. 20，48 二．填空题（每题3分，共27分） 10. 把一元二次方程化为一般形式为：_________________，二次项为： _______，一次项系数为：_____，常数项为：______． 11. 若方程的一根为，则它的另一根和的值分别是_________，_________． 12. 若将方程x2+6x=7化为(x+m)2=16，则m=______． 13. 如图，矩形的对角线、相交于点，，，若，则四边形的周长为________． 14. 若一元二次方程没有实数根，则k的取值范围是_____． 15. 在一个不透明的口袋中，有3个完全相同的小球，他们的标号分别是2，3，4，从袋中随机地摸取一个小球然后放回，再随机的摸取一个小球，则两次摸取的小球标号之和为5的概率是________． 16. 已知方程有两个相等的实数根，则______． 17. 菱形的两条对角线长分别为2和2，则该菱形的高为_____________． 18. 如图，正方形中，，E是的中点，点P是对角线上一动点，则的最小值为_____． 三．解答题（本题共6小题，满分66分） 19. 请选择你认为适当的方法解下列方程： （1） （2） （3） ； （4）； 20. 若关于x的一元二次方程；求证：该方程总有两个不相等的实数根． 证明题（8分） 21. 已知，是的角平分线，交于点E，交于点F．求证：四边形是菱形． 22. 一只箱子里共有3个球，其中2个白球，1个红球，它们除颜色外均相同． （1）从箱子中任意摸出一个球是白球的概率是多少？ （2）从箱子中任意摸出一个球，不将它放回箱子，搅匀后再摸出一个球，求两次摸出球的都是白球的概率，并画出树状图． 应用题（10分） 23. 商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元． 为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施． 经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出 2件．设每件商品降价x元． 据此规律，请回答： （1）商场日销售量增加 件，每件商品盈利 元（用含x的代数式表示）； （2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？ 拓展题（10分） 24. 如图，在中，，垂足为点D，是外角的平分线，，垂足为点E． （1）求证：四边形为矩形； （2）当满足什么条件时，四边形为正方形？给出证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度九年级（上）第一次月考数学试卷 一．选择题（每题3分，共27分） 1. 菱形具有而平行四边形不具有的性质是（ ） A. 内角和是 B. 对角相等 C. 对边平行且相等 D. 对角线互相垂直 【答案】D 【解析】 【分析】此题重点考查了平行四边形及菱形的性质，根据菱形及平行四边形的性质结合选项即可得出答案． 【详解】解：．菱形和平行四边形内角和都是，故该选项不符合题意； ．菱形和平行四边形对角都相等，故该选项不符合题意； ．菱形和平行四边形对边平行且相等，故该选项不符合题意； ．菱形的对角线互相垂直但平行四边形却无此性质，故该选项符合题意； 故选：D． 2. 如图，已知菱形ABCD的对角线AC．BD的长分别为6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据菱形的性质得出BO、CO的长，在RT△BOC中求出BC，利用菱形面积等于对角线乘积的一半，也等于BC×AE，可得出AE的长度． 【详解】∵四边形ABCD是菱形， ∴CO=AC=3，BO=BD=4，AO⊥BO， ∴． ∴． 又∵， ∴BC·AE=24， 即． 故选D． 点睛：此题考查了菱形的性质，也涉及了勾股定理，要求我们掌握菱形的面积的两种表示方法，及菱形的对角线互相垂直且平分． 3. 据调查，2011年5月兰州市的房价均价为7600元/m2，2013年同期将达到8200元/m2， 假设这两年兰州市房价的平均增长率为x，根据题意，所列方程为【 】 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】这两年兰州市房价的平均增长率为x，2011年5月兰州市的房价均价为7600元/m2，2012年5月兰州市的房价均价为7600(1＋x)，则2012年5月兰州市的房价均价为7600(1＋x) (1＋x) ＝76000(1＋x)2．据此列出方程：．故选C． 4. 用配方法解方程时，配方后所得的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先把常数项移项，然后在等式的两边同时加上一次项系数的一半的平方即可． 【详解】解：利用配方法如下： ． 故选D． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法的一般步骤是解题关键． 5. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是　　 A. B. k＜1且k≠0 C. k≥﹣1且k≠0 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到且△，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【详解】解：根据题意得且△， 解得且． 故选：D． 【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根． 6. 一个不透明的袋子里装着质地、大小都相同的3个红球和2个绿球，随机从中摸出一球，不再放回袋中，充分搅匀后再随机摸出一球．两次都摸到红球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】列表或画树状图得出所有等可能的结果，找出两次都为红球的情况数，即可求出所求的概率 【详解】列表如下： 红 红 红 绿 绿 红 ﹣﹣﹣ （红，红） （红，红） （绿，红） （绿，绿） 红 （红，红） ﹣﹣﹣ （红，红） （绿，红） （绿，红） 红 （红，红） （红，红） ﹣﹣﹣ （绿，红） （绿，红） 绿 （红，绿） （红，绿） （红，绿） ﹣﹣﹣ （绿，绿） 绿 （红，绿） （红，绿） （红，绿） （绿，绿） ﹣﹣﹣ ∵所有等可能的情况数为20种，其中两次都为红球的情况有6种， ∴， 故选：A. 7. 已知b＜0，关于x的一元二次方程的根的情况是 A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 有两个实数根 【答案】C 【解析】 【详解】∵中b＜0， ∴根据偶次幂的非负数性质，方程没有实数根． 故选C． 8. 如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，则对角线BD的长是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用菱形的性质以及等边三角形的判定方法得出△DAB是等边三角形，进而得出BD的长， 【详解】解：∵菱形ABCD的边长为2， ∴AD=AB=2， 又∵∠DAB=60°， ∴△DAB是等边三角形， ∴AD=BD=AB=2， 则对角线BD的长是2． 故选C． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及等边三角形的判定，得出△DAB是等边三角形是解题关键． 9. 菱形的两条对角线长分别为6和8，则它的周长和面积分别为（   ） A. 28，48 B. 20，24 C. 28，24 D. 20，48 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了菱形的周长和面积的计算方法， 菱形的周长边长，面积两条对角线的积的一半．由菱形的性质得出，利用勾股定理得出菱形的边长进而求出菱形的周长，根据菱形的性质再求出菱形的面积即可． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴， 又∵菱形的两条对角线长分别为6和8， ∴菱形的面积为：，菱形的边长为：， ∴菱形的周长为：， 故选：B 二．填空题（每题3分，共27分） 10. 把一元二次方程化为一般形式为：_________________，二次项为： _______，一次项系数为：_____，常数项为：______． 【答案】 ①. ②. x2 ③. -6 ④. 5 【解析】 【详解】解：把一元二次方程（x﹣3）2=4化为一般形式为：x2﹣6x+5=0，二次项为x2，一次项系数为﹣6，常数项为5．故答案为 ，x2， -6，5． 11. 若方程的一根为，则它的另一根和的值分别是_________，_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 把把代入即可求出的值，再代入的值求解即可． 【详解】解：∵的一根为， ∴把代入可得：， 解得：， ∴原方程为：， ∴因式分解后为： 解得：或， ∴另一根为； 故答案为：； 12. 若将方程x2+6x=7化为(x+m)2=16，则m=______． 【答案】3 【解析】 【详解】解：在方程x2+6x=7的两边同时加上一次项系数的一半的平方，得 x2+6x+32=7+32， ∴（x+3）2=16 ∴m=3． 故答案为：3 13. 如图，矩形的对角线、相交于点，，，若，则四边形的周长为________． 【答案】 【解析】 【分析】首先由，，可证得四边形是平行四边形，又由四边形是矩形，根据矩形的性质，可得，即可判定四边形是菱形，继而求得答案． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ，，， ， 四边形是菱形， 四边形的周长为：． 故答案为：． 【点睛】此题考查了菱形的判定与性质以及矩形的性质，证得四边形是菱形是解此题的关键． 14. 若一元二次方程没有实数根，则k的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根据判别式来判断即可，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根．根据题意可得出，解不等式即可得出k的取值范围． 【详解】解：若一元二次方程没有实数根， 则， 解得：， 故答案为∶ ． 15. 在一个不透明的口袋中，有3个完全相同的小球，他们的标号分别是2，3，4，从袋中随机地摸取一个小球然后放回，再随机的摸取一个小球，则两次摸取的小球标号之和为5的概率是________． 【答案】 【解析】 【详解】根据题意，画出树形图如下： ∵从树形图可以看出，摸出两球出现的所有等可能结果共有9种，两个球号码之和为5的结果有2种， ∴两次摸取的小球标号之和为5的概率是． 【点睛】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 16. 已知方程有两个相等的实数根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得，判别式，通过解这个式子即可得出的值． 【详解】解：方程有两个相等的实数根， ， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了根的判别式，解题的关键在于推出． 17. 菱形的两条对角线长分别为2和2，则该菱形的高为_____________． 【答案】 【解析】 【详解】分析：根据对角线的长度即可计算菱形的面积，根据菱形对角线互相垂直平分的性质，可以求得△AOB为直角三角形，根据AO，BO可以求得AB的值，根据菱形的面积和边长即可解题． 详解：如图， 由题意知AC=2，BD=2， 则菱形的面积S=×2×2=2， ∵菱形对角线互相垂直平分， ∴△AOB为直角三角形，AO=1，BO=， ∴AB= =2， ∴菱形的高h==． 故答案为． 点睛：本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，菱形面积的计算，本题中求根据AO，BO的值求AB是解题的关键． 18. 如图，正方形中，，E是的中点，点P是对角线上一动点，则的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，轴对称的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质．由于点B与点D关于对称，所以如果连接，交于点P，那的值最小．在中，由勾股定理先计算出的长度，即为的最小值． 【详解】解：连接，交于点P，连接、． ∵四边形为正方形，， ∴，， ∴点B与点D关于对称， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴的长即为的最小值， ∵E是的中点， ∴， 在中，． 故答案为：． 三．解答题（本题共6小题，满分66分） 19. 请选择你认为适当的方法解下列方程： （1） （2） （3） ； （4）； 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程． （1）把1移到方程的右边，方程左右两边同时加上，利用配方法解一元二次方程即可． （2）直接开平方法解一元二次方程即可． （3）提公因式x，利用因式分解法解一元二次方程即可． （4）方程左右两边同时加上1，利用配方法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： ∴， ∴， 【小问2详解】 解： ∴， 【小问3详解】 解： 或， ∴， 【小问4详解】 解： ∴ ∴， 20. 若关于x的一元二次方程；求证：该方程总有两个不相等的实数根． 【答案】 解：∵， ∴， ∴该方程总有两个不相等的实数根． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别，熟悉掌握根的判别式是解题的关键． 根据根的判别式列式运算证明即可． 【详解】略 证明题（8分） 21. 已知，是的角平分线，交于点E，交于点F．求证：四边形是菱形． 【答案】 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】先证明四边形是平行四边形，再根据角平分线的定义得到，根据两直线平行，内错角相等求出，等量代换可得， 根据等角对等边的性质可得，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形进行判定即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】略 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定，平行线的性质，等腰三角形的判定，掌握判定方法是解题的关键． 22. 一只箱子里共有3个球，其中2个白球，1个红球，它们除颜色外均相同． （1）从箱子中任意摸出一个球是白球的概率是多少？ （2）从箱子中任意摸出一个球，不将它放回箱子，搅匀后再摸出一个球，求两次摸出球的都是白球的概率，并画出树状图． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）从箱子中任意摸出一个球是白球的概率即是白球所占的比值； （2）此题需要两步完成，所以采用树状图法或者采用列表法都比较简单；解题时要注意是放回实验还是不放回实验，此题属于放回实验，此题要求画树状图，要按要求解答． 【详解】解：（1）从箱子中任意摸出一个球是白球的概率是 （2）记两个白球分别为白1与白2，画树状图如图所示： 从树状图可看出：事件发生的所有可能的结果总数为6， 两次摸出球的都是白球的结果总数为2，因此其概率． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法，树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 应用题（10分） 23. 商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元． 为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施． 经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出 2件．设每件商品降价x元． 据此规律，请回答： （1）商场日销售量增加 件，每件商品盈利 元（用含x的代数式表示）； （2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？ 【答案】（1） 2x，，（2）每件商品降价20元，商场日盈利可达2100元． 【解析】 【详解】（1） 2x，． (2)解：由题意，得(30＋2x)(50－x)＝2 100 解之得x1＝15，x2＝20． ∵该商场为尽快减少库存，降价越多越吸引顾客． ∴x＝20． 答：每件商品降价20元，商场日盈利可达2 100元． 拓展题（10分） 24. 如图，在中，，垂足为点D，是外角的平分线，，垂足为点E． （1）求证：四边形为矩形； （2）当满足什么条件时，四边形为正方形？给出证明． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，， ∵是外角的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形； （2） 解：当时，四边形为正方形，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴平分， ∴， ∴ ∴， ∵四边形为矩形， ∴四边形为正方形． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的意义，矩形的判定，正方形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）利用等腰三角形的性质和角平分线的意义，垂直的意义，可得，进而证明即可； （2）利用等腰三角形的性质可得，进而证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $