精品解析：第1-3章阶段测试卷-2024-2025学年北师大版数学九年级上册

第1-3章阶段测试卷-2024-2025学年数学九年级上册北师大版 一、单选题 1. 一个不透明的袋子中装有8个白球和若干个黑球，它们除颜色外完全相同，从袋子中随机摸出一球，记下颜色并放回，重复该实验多次，发现摸到黑球的频率稳定在左右，则可判断袋子中黑球的个数为（ ） A. 12个 B. 13个 C. 14个 D. 15个 2. 现有三张分别标有数字，0，2卡片，它们除数字外完全相同．把卡片背面朝上洗匀，然后从中随机抽取两张，则这两张卡片上所标的影字都是非负数的概率为（ ） A. B. C. D. 3. 设，是一元二次方程的两根，则（　　） A B. C. D. 4. 已知实数m，n是关于x的一元二次方程的两个根，则代数式的值是（ ） A. B. 7 C. D. 11 5. 一元二次方程的求根公式是（ ） A B. C. D. 6. 如图，在矩形纸片中，，，点E是AB上一点，点F是上一点，点是上一点，将矩形沿折叠，使点的对应点正好落在的中点处，则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 3 7. 某网络学习平台2021年的新注册用户数为36万，2023年的新注册用户数为81万．设新注册用户数的年平均增长率为，则有（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正方形的对角线相交于点，正方形与正方形的边长相等，且正方形绕点旋转，已知，则旋转过程中两个正方形重叠部分的面积为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 无法确定 二、填空题 9. 已知关于x的一元二次方程的一个根是1，则a的值为______． 10. 为了加强学生国防教育，某校举办了主题为“爱我中华，强我国防”的演讲比赛，甲、乙、丙、丁四名学生分在同一个小组，赛前需要以抽签的方式确定出场顺序，主持人将表示出场顺序的卡片(除正面分别写有1，2，3，4外，其余完全相同)背面朝上放在桌面上，洗匀后先由甲随机抽取一张，然后由乙随机抽取一张，甲、乙抽到的出场顺序相邻的概率为___________． 11. 如图，在一块长，宽为的矩形地面内（两条道路分别与矩形的一条边平行），余下的铺上草坪，要使草坪的面积达到，设道路的宽为，根据题意列方程_______． 12. 一个三角形两边长分别为3和8，第三边的长是一元二次方程的一个根，则这个三角形的周长是_____． 13. 鸟尊是山西博物院的镇馆之宝，以鸟尊为素材的文创书签热卖，某商店七月份销售鸟尊书签600枚，九月份销售鸟尊书签864枚．该商店七月至九月鸟尊书签销售量平均每月的增长率为______． 14. 如图，在矩形中，，，平分交于点，点为的中点，则线段的长为_________________． 15. 如图，正方形的边长为4，是边上的一点，且，是对角线上的一动点，连接，，当点在上运动时，周长的最小值是______. 16. 如图，在菱形中，已知，点E为的中点，点F为射线上的一动点，以为边向上作等边，若为直角三角形时，的长为____________________________． 17. 如图，在正方形中，点E，F分别是延长线上点，与交于点M，与交于点N，与交于点O．已知，正方形的边长为6，若，则四边形的面积_______． 三、解答题 18. 用适当的方法解下列方程： （1） （2） （3）． 19. 小明参加某个智力竞答节目，答对两道单选题就顺利通关．第一道单选题有3个选项，第二道单选题有4个选项，这两道题小明都不会，不过小明还有一个“求助”没有用（使用“求助”可以让主持人去掉一个错误选项）． （1）如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是 ． （2）如果小明将“求助”在第一题使用，请用画树状图或列表的方法，求小明顺利通关的概率． 20. 阅读材料：如果一元二次方程的两根分别是，，那么，．借助该材料完成下列各题： （1）若，是方程的两个实数根，则 ， ． （2）若，是方程的两个实数根，且，求m的值． 21. 2023年10月4日，杭州第19届亚运会龙舟项目在温州龙舟运动中心开赛．某商店为满足龙舟爱好者的需求，特推出了龙舟模型．已知该模型每件成本40元，当模型售价为70元时，10月售出256件，11月、12月销量持续走高，并且11月、12月销售量的增长率相同，假如12月售出400件． （1）求11月、12月这两个月销量的月平均增长率． （2）为了让利于爱好者，商店决定在每月售出400件的基础上降价销售．若模型单价每降低1元，可多售出5件．若要使该商店仍能获利9000元，则每件模型应降价多少元？ 22. 如图，在中，是上一点，，平分交于点，平分交于点，，求证：四边形是矩形． 23. 如图，在四边形中，是边上一点，点是边的中点，且平分． （1）如图①，若四边形是矩形，求证：； （2）如图②，若四边形是边长为6的正方形，求的长． 24. 如图，在菱形中，，对角线、相交于点．在线段上任取一点（端点除外），连接、． （1）求证：； （2）将线段绕点逆时针旋转，使点落在的延长线上的点处．当点在线段上的位置发生变化时，的大小是否发生变化？请说明理由： （3）在（2）的条件下探讨与的数量关系，并说明理由． 25. 在如图所示的平面直角坐标系中，正方形边长为2，点C的坐标为． （1）如图1，动点D在边上，将沿直线折叠，点B落在点处，连接并延长，交于点E． ①当时，点D的坐标是_______． ②若点E是线段的中点，求此时点D与点的坐标； （2）如图2，动点D，G分别在边上，将四边形沿直线折叠，使点B的对应点始终落在边上（点不与点O，A重合），点C落在点处，交于点E．设，四边形的面积为S，求S与的关系式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1-3章阶段测试卷-2024-2025学年数学九年级上册北师大版 一、单选题 1. 一个不透明的袋子中装有8个白球和若干个黑球，它们除颜色外完全相同，从袋子中随机摸出一球，记下颜色并放回，重复该实验多次，发现摸到黑球的频率稳定在左右，则可判断袋子中黑球的个数为（ ） A. 12个 B. 13个 C. 14个 D. 15个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，概率公式，解分式方程，设袋子中黑球的个数为，依题意得，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：设袋子中黑球个数为，依题意，任意摸出个，摸到黑球的概率为： ， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴袋子中黑球的个数为个， 故选：A． 2. 现有三张分别标有数字，0，2的卡片，它们除数字外完全相同．把卡片背面朝上洗匀，然后从中随机抽取两张，则这两张卡片上所标的影字都是非负数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求概率，熟练掌握画树状图法或列表法求概率是解题的关键． 首先根据题意列出表格，然后求得所有等可能的结果与这两张卡片上的数字都为非负数的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】列表如下： -3 0 2 -3 (0,-3) (2,-3) 0 (-3,0) (2,0) 2 (-3,2) (0,2) 所有等可能的情况有6种，其中两张卡片的数字都是非负数的情况有、共2种， 则两个都是非负数的概率为， 故选：B． 3. 设，是一元二次方程的两根，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，牢记一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系，即可直接得出答案． 【详解】解：根据一元二次方程根与系数的关系，可得： ， 故选：． 4. 已知实数m，n是关于x的一元二次方程的两个根，则代数式的值是（ ） A. B. 7 C. D. 11 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．由m，n是关于的一元二次方程的两个实数根，可得，，再整体代入求解代数式的值即可． 【详解】解：，即， ∵m，n是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴ ； 故选：A． 5. 一元二次方程的求根公式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了运用公式法解一元二次方程，掌握求根公式成为解题的关键． 根据题意直接运用求根公式即可解答． 【详解】解：∵一元二次方程， ∴该方程有两个实数根， ∴． 故选C． 6. 如图，在矩形纸片中，，，点E是AB上一点，点F是上一点，点是上一点，将矩形沿折叠，使点的对应点正好落在的中点处，则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定，先由矩形的性质得到，，再由折叠的性质得到，，设，则，再根据勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：∵四边形为矩形，， ∴，， ∵矩形沿折叠，点的对应点正好落在的中点处， ∴，， 设， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， ∴， 故选：B． 7. 某网络学习平台2021年的新注册用户数为36万，2023年的新注册用户数为81万．设新注册用户数的年平均增长率为，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．利用该网络学习平台2023年的新注册用户数该网络学习平台2021年的新注册用户数新注册用户数的年平均增长率），即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故选：D． 8. 如图，正方形的对角线相交于点，正方形与正方形的边长相等，且正方形绕点旋转，已知，则旋转过程中两个正方形重叠部分的面积为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质，设与交于点，与交于点，证明，则面积面积，由此可得四边形面积面积，据此解答即可． 【详解】解：设与交于点，与交于点， 四边形，是正方形， ，．，， ，， ． ． ， ． ， 正方形的面积为， ，即两个正方形重叠部分的面积是 故选：C． 二、填空题 9. 已知关于x的一元二次方程的一个根是1，则a的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，方程的解是是方程成立的未知数的值，将代入方程，即可求解a的值． 【详解】解：把代入，得 ， 解得， 故答案为：2． 10. 为了加强学生国防教育，某校举办了主题为“爱我中华，强我国防”的演讲比赛，甲、乙、丙、丁四名学生分在同一个小组，赛前需要以抽签的方式确定出场顺序，主持人将表示出场顺序的卡片(除正面分别写有1，2，3，4外，其余完全相同)背面朝上放在桌面上，洗匀后先由甲随机抽取一张，然后由乙随机抽取一张，甲、乙抽到的出场顺序相邻的概率为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查画树状图或列表法求概率，掌握画树状图或列表法求概率方法解题关键． 列表表示出所有等可能情况和甲、乙抽到的出场顺序相邻的情况，然后根据概率公式求解即可． 【详解】列表如下： 1 2 3 4 1 2 3 4 ∴共有12种等可能的情况，其中甲、乙抽到的出场顺序相邻的情况有6种， ∴甲、乙抽到的出场顺序相邻的概率为． 故答案为：． 11. 如图，在一块长，宽为的矩形地面内（两条道路分别与矩形的一条边平行），余下的铺上草坪，要使草坪的面积达到，设道路的宽为，根据题意列方程_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，把四块草坪拼到一起正好构成一个矩形，矩形的长和宽分别是米和米，根据矩形的面积公式，列出关于道路宽的方程求解． 【详解】解：设小路宽为米，则把四块草坪拼到一起正好构成一个矩形，矩形的长和宽分别是米和米， 根据题意得：． 故答案为：． 12. 一个三角形的两边长分别为3和8，第三边的长是一元二次方程的一个根，则这个三角形的周长是_____． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法和三角形三边关系，求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否成三角形的好习惯． 因式分解法解方程求出的值，再根据三角形三边之间的关系求出符合条件的的值，最后求出周长即可． 【详解】解：∵，即， 或， 解得：或， 当时，三角形的三边，构不成三角形，舍去； 当时，这个三角形的周长为， 故答案为：18． 13. 鸟尊是山西博物院的镇馆之宝，以鸟尊为素材的文创书签热卖，某商店七月份销售鸟尊书签600枚，九月份销售鸟尊书签864枚．该商店七月至九月鸟尊书签销售量平均每月的增长率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程运用，根据题意，设该商店七月至九月鸟尊书签销售量平均每月的增长率为，根据数量关系列式求解即可． 【详解】解：设该商店七月至九月鸟尊书签销售量平均每月的增长率为， ∴， 整理得，， 解得，，（不符合题意，舍去）， ∴设该商店七月至九月鸟尊书签销售量平均每月的增长率为或， 故答案为： ． 14. 如图，在矩形中，，，平分交于点，点为的中点，则线段的长为_________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，角平分线的性质，勾股定理，直角三角形中线的有关计算，掌握矩形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线等于斜边的一半是解题的关键．根据矩形和角平分线的性质可得，，由此可得，运用勾股定理可得的值，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， 平分， ， ， ， ， 在中，， 点为的中点， ， 故答案为：． 15. 如图，正方形的边长为4，是边上的一点，且，是对角线上的一动点，连接，，当点在上运动时，周长的最小值是______. 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查轴对称 最短路线问题、正方形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 根据两点之间线段最短和点和点关于对称，即可求得周长的最小值，本题得以解决． 【详解】解：∵四边形是正方形，为对角线， ∴，，，两点关于对称， ∴连接于交于点，连接， 在和中，， ∴， ∴， ∴此时的周长就是周长的最小值， ∵，， ∴， 在中，由勾股定理得： ∴， ∴周长的最小值是， 故答案为：6． 16. 如图，在菱形中，已知，点E为的中点，点F为射线上的一动点，以为边向上作等边，若为直角三角形时，的长为____________________________． 【答案】或4或 【解析】 【分析】分两种情况：①，此时点F在中点或与点B重合；②当时，又分点M与点B重合，点M在延长线上两种情况． 【详解】解： ①当点F在中点或与点B重合时，； 如图1，当点F在中点，点M与点D重合时， ∵四边形是菱形，， ∴，； ∵E、F分别是的中点， ∴， ∴； ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图2，当点F与点B重合时，， ∴， ∴， 由勾股定理得：； ②当时， 当点M与点B重合，且时，如图3； ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得：； 如图4，当是等边三角形时，则， ∵， ∴， ∵，， 由勾股定理得：， ∴； 综上，的长为或4或． 故答案为：或4或． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，含30度角直角三角形性质，勾股定理，分类讨论思想．关键是分类讨论思想的运用． 17. 如图，在正方形中，点E，F分别是延长线上的点，与交于点M，与交于点N，与交于点O．已知，正方形的边长为6，若，则四边形的面积_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理等知识点，根据题意证，可推出；再证可得，即可推出，据此即可求解； 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴ 故答案为： 三、解答题 18. 用适当的方法解下列方程： （1） （2） （3）． 【答案】（1）， （2）， （3）， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，选择合适的方法解一元二次方程是解题的关键． （1）直接利用开平方法解方程即可． （2）利用配方法解方程即可．方程常数项移到右边，两边加上4，利用平方根的定义解方程即可． （3）先把方程变形为，再把公因式提出来，利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解： 或， ∴， 【小问2详解】 解： 或 ∴， 【小问3详解】 解： ∴， 19. 小明参加某个智力竞答节目，答对两道单选题就顺利通关．第一道单选题有3个选项，第二道单选题有4个选项，这两道题小明都不会，不过小明还有一个“求助”没有用（使用“求助”可以让主持人去掉一个错误选项）． （1）如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是 ． （2）如果小明将“求助”在第一题使用，请用画树状图或列表的方法，求小明顺利通关的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查概率的求法与运用； （1）由第一道单选题有3个选项，直接利用概率公式求解即可求得答案； （2）首先分别用，，表示第一道单选题的个选项，，，表示剩下的第二道单选题的3个选项，然后根据题意画出树状图，再由树状图求得所有等可能的结果与小明顺利通关的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【小问1详解】 解：∵第一道单选题有3个选项， ∴小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是： ； 故答案为：； 【小问2详解】 分别用，，表示第一道单选题的个选项，，，，表示剩下的第二道单选题的4个选项， 画树状图得： ∵共有8种等可能的结果，小明顺利通关的只有1种情况， ∴小明顺利通关的概率为：． 20. 阅读材料：如果一元二次方程的两根分别是，，那么，．借助该材料完成下列各题： （1）若，是方程的两个实数根，则 ， ． （2）若，是方程的两个实数根，且，求m的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． （1）根据根与系数的关系：，来解题； （2）首先根据根的判别式求得的取值范围，然后由根与系数的关系来求的值． 【小问1详解】 解：、是方程的两个实数根， ∴，， ∴ 故答案为：，； 小问2详解】 解：关于的方程有两个实数根， ， 解得：， 、是关于的方程的两个实数根， ，， 又∵， ，即， 解得，或， 又∵， ∴的值是． 21. 2023年10月4日，杭州第19届亚运会龙舟项目在温州龙舟运动中心开赛．某商店为满足龙舟爱好者的需求，特推出了龙舟模型．已知该模型每件成本40元，当模型售价为70元时，10月售出256件，11月、12月销量持续走高，并且11月、12月销售量的增长率相同，假如12月售出400件． （1）求11月、12月这两个月销量的月平均增长率． （2）为了让利于爱好者，商店决定在每月售出400件的基础上降价销售．若模型单价每降低1元，可多售出5件．若要使该商店仍能获利9000元，则每件模型应降价多少元？ 【答案】（1）11月、12月这两个月的月平均增长率为 （2）每件模型应降价10元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用——增长率问题，营销问题．熟练掌握终止件数与起始件数和增长率的关系，总利润与每件利润和件数的关系，是解决问题的关键． （1）设11月、12月这两个月的月平均增长率为x，则11月售出件，12月售出件，再根据十二月售出400件列出方程求解即可； （2）设每件模型应降价m元，则每件模型的利润为元，销售量为件，再根据获利9000元列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：设11月、12月这两个月的月销量平均增长率为． 根据题意得： ． 解得：，（不合题意，舍去）． 答：11月、12月这两个月的月平均增长率为． 【小问2详解】 设当模型降价元时，该商店获利9000元． 根据题意得： ． 整理得：． 解得：（不合题意，舍去）． 答：每件模型应降价10元． 22. 如图，在中，是上一点，，平分交于点，平分交于点，，求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键． 先根据角平分线的定义得到然后再根据，得到结论即可． 【详解】证明： ∵平分，平分. ∴. ∴， 即． ∵，平分， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形． 23. 如图，在四边形中，是边上一点，点是边的中点，且平分． （1）如图①，若四边形是矩形，求证：； （2）如图②，若四边形是边长为6的正方形，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）过点作于点．连接，证明；．则，即可得到； （2）过点作于点，连接，同（1）理，，，进一步得到．设，则，．在中利用勾股定理求出，即可求出的长． 【小问1详解】 证明：如图，过点作于点．连接， 四边形是矩形， ， ， 平分， ， 点是边的中点， ， ， ， ；． ， ； 【小问2详解】 如图，过点作于点，连接， 四边形是正方形． ． 同（1）理，，， ， ． 设，则，． 在中，， ， 解得， ． 【点睛】此题考查了矩形的的性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理、勾股定理等知识，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 24. 如图，在菱形中，，对角线、相交于点．在线段上任取一点（端点除外），连接、． （1）求证：； （2）将线段绕点逆时针旋转，使点落在的延长线上的点处．当点在线段上的位置发生变化时，的大小是否发生变化？请说明理由： （3）在（2）的条件下探讨与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）的大小不发生变化，，理由见解析 （3），理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质证明，即可得到结论； （2）作，，垂足分别为点、，如图，可得，根据菱形的性质和，推出，证明，得出，进而可得结论； （3）先证明是等边三角形，得到，再证明；过P作交AB于点E，交BC于点G，如图， 则四边形PEGC是平行四边形，则可证明，，都是等边三角形，进而得到，过P作于点M，则，，则，即． 【小问1详解】 证明：四边形是菱形， ，． 又， ∴， ； 【小问2详解】 解：的大小不发生变化，； 理由：作，，垂足分别为点、，如图， 四边形是菱形，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴ ∴ 由旋转可得， ∴ ∴ ∴，即． 【小问3详解】 解：； 理由：∵四边形ABCD是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴ ∵由（1）可知，旋转得， ∴， 过P作交AB于点E，交BC于点G，如图， ∴四边形PEGC是平行四边形， ，， ∴，，都是等边三角形， ∴， 过P作于点M，则，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，旋转的性质，角平分线的性质等等，正确作出辅助线是解题的关键． 25. 在如图所示的平面直角坐标系中，正方形边长为2，点C的坐标为． （1）如图1，动点D在边上，将沿直线折叠，点B落在点处，连接并延长，交于点E． ①当时，点D的坐标是_______． ②若点E是线段的中点，求此时点D与点的坐标； （2）如图2，动点D，G分别在边上，将四边形沿直线折叠，使点B的对应点始终落在边上（点不与点O，A重合），点C落在点处，交于点E．设，四边形的面积为S，求S与的关系式． 【答案】（1）①；②点D的坐标为，点的坐标为 （2） 【解析】 【分析】（1）①由折叠的性质得出，则可得出答案； ②连接．证明，得出，设，则，，，由勾股定理可求出D点坐标，证出，由可得出答案； （2）连接，，，设，则，设，则，解得．由梯形的面积公式可得出答案． 【小问1详解】 解：①∵正方形边长为2，点C的坐标为， ∴， ∵将沿直线折叠， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点D的坐标是， 故答案为：； ②如图，连接， ∵点E是线段的中点， ∴， 由折叠的性质可得，， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 设点D的坐标为，则， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴点D的坐标为， ∵ ∴， 又， ∴，， ∴，， ∴，， ∴点的坐标为． 【小问2详解】 解：如图，连接，， 设，则． 设，则， 在中，， ∴ 解得， ∴； 设，则， 在中，． 在中，， 由折叠可知垂直平分， ∴， ∴，即， 解得， ∴； ∴， 即． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$