精品解析：2023-2024学年江苏省无锡市宜兴市 中考数学模拟考试卷二

2023-2024学年九年级数学中考模拟考试卷（二） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 10的相反数是（ ） A. －10 B. 10 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据相反数的定义直接求解． 【详解】解：10的相反数是－10． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解答本题的关键． 2. 下列问题适合全面调查的是（　　） A. 调查市场上某品牌灯泡的使用寿命 B. 了解全市人民对湖南省第二届旅发大会的关注情况 C. 了解郴江河的水质情况 D. 神舟十六号飞船发射前对飞船仪器设备的检查 【答案】D 【解析】 【分析】根据全面调查的定义与适用范围对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，A、B、C项数量较大，也不需要非常精确的数据，适于抽查，故不符合要求； D项关乎生命安全且需要的数据比较精确，适于全面调查，故符合要求； 故选：D． 【点睛】本题考查了全面调查．解题的关键在于熟练掌握全面调查的适用条件． 3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．掌握中心对称图形与轴对称图形的判断是解题的关键． 【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； B、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意； C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意． 故选：A． 4. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据幂的乘方法、同底数幂的除法法则、同底数幂的乘法以及合并同类项逐项判断即可． 【详解】解：A．，故A选项计算正确，符合题意； B．，故B选项计算错误，不合题意； C．，故C选项计算错误，不合题意； D．与不是同类项，所以不能合并，故D选项计算错误，不合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查同底数幂的乘除运算、幂的乘方运算以及整式的加减运算等知识点，同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减；幂的乘方，底数不变，指数相乘． 5. 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若∠A＝50°，则∠BCD的度数为（ ） A. 50° B. 80° C. 100° D. 130° 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据圆内接四边形的性质即可得出结论． 【详解】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠A+∠C=180°． ∵∠A=50°， ∴∠C=180°-50°=130°． 故选：D． 【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键． 6. 如图，在中，直径与弦相交于点P，连接，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据圆周角定理得出，再由三角形外角和定理可知，再根据直径所对的圆周角是直角，即，然后利用进而可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵为直径，即， ∴， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了圆周角定理，三角形外角和定理等知识，解题关键是熟知圆周角定理的相关知识． 7. 如图，在点处，看建筑物顶端的仰角为，向前走了6米到达点即米，在点处看点的仰角为，则的长用三角函数表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据题目条件，利用外角的性质，得出是等腰三角形，在中，利用的正弦即可表示出的长度． 【详解】解：，， ， ， 由题可知，为直角三角形， 在中，， 即：， ， 故选：D． 【点睛】本题考查三角形的外角，等腰三角形的性质，解直角三角形的运算，解题关键是利用三角形的外角得出是等腰三角形． 8. “莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”．若等边的边长为3，则该“莱洛三角形”的周长等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质及弧长公式求解即可． 【详解】解：∵等边三角形的边长为3，， ∴， ∴该“莱洛三角形”的周长， 故选：B． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，弧长公式，熟练掌握等边三角形的性质和弧长公式是解题的关键． 9. 如图，矩形中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线，过点C作的垂线分别交于点M，N，则的长为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由作图可知平分，设与交于点O，与交于点R，作于点Q，根据角平分线的性质可知，进而证明，推出，设，则，解求出．利用三角形面积法求出，再证，根据相似三角形对应边成比例即可求出． 【详解】解：如图，设与交于点O，与交于点R，作于点Q， 矩形中，， ， ． 由作图过程可知，平分， 四边形是矩形， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， ． ． ， ． ，， ， ，即， 解得． 故选A． 【点睛】本题考查角平分线的作图方法，矩形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等，涉及知识点较多，有一定难度，解题的关键是根据作图过程判断出平分，通过勾股定理解直角三角形求出． 10. 如图，是半圆的直径，点在半圆上，，连接，过点作，交的延长线于点．设的面积为的面积为，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图，过作于，证明，由，即，可得，证明，可得，设，则，可得，，再利用正切的定义可得答案． 【详解】解：如图，过作于， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选A 【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键． 二、填空题（本大题共有8小题，每空3分，共24分） 11. 分解因式：_________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 12. 深中通道是世界级“桥、岛、隧、水下互通”跨海集群工程，总计用了320000万吨钢材，320000这个数用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法求解即可．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值． 【详解】解：320000这个数用科学记数法表示为． 故答案为：． 13. 已知圆锥的底面圆半径为3cm，母线长为5cm，则这个圆锥的侧面积是________ 【答案】##平方厘米 【解析】 【分析】本题考查求圆锥的侧面积，根据圆锥的侧面积公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：这个圆锥的侧面积是； 故答案为：． 14. 关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与判别式的关系可得，，求解即可． 【详解】解：关于x的方程有两个相等的实数根， 则，解得， 故答案为： 【点睛】此题考查了一元二次方程根与判别式的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与判别式的关系． 15. 如图，为斜边上的中线，为的中点．若，，则___________． 【答案】3 【解析】 【分析】首先根据直角三角形斜边中线的性质得出，然后利用勾股定理即可得出，最后利用三角形中位线定理即可求解． 【详解】解：∵在中，为斜边上的中线，， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴ 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，三角形中位线定理，掌握直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 16. 《九章算术》中记载：今有户不知高、广，竿不知长、短，横之不出四尺，纵之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？这段话翻译后是：今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长、短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽、对角线长分别是多少？若设门对角线长为x尺，则可列方程为_____． 【答案】x2＝（x﹣4）2+（x﹣2）2 【解析】 【分析】根据题中所给的条件可知，竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，运用勾股定理可求出门高、宽、对角线长． 【详解】解：根据题意可列方程为x2＝（x﹣4）2+（x﹣2）2， 故答案为x2＝（x﹣4）2+（x﹣2）2． 【点睛】本题考查勾股定理的运用，正确运用勾股定理，将数学思想运用到实际问题中是解答本题的关键，难度一般． 17. 如图，反比例函数的图象与过点的直线相交于A、B两点．已知点A的坐标为，点C为x轴上任意一点．如果，那么点C的坐标为_________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例数交点问题，待定系数法求解析式，求得点的坐标是解题的关键． 反比例函数的图象过点，可得，进而求得直线的解析式为，得出点的坐标，设，根据，解方程即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴； 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或， ∴， 设， ∵， 解得：或， ∴的坐标为或， 故答案为：或． 18. 如图，在中，，点在边上．将沿折叠，使点落在点处，连接，则的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】由折叠性质可知，然后根据三角不等关系可进行求解． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠的性质可知， ∵， ∴当、、B三点在同一条直线时，取最小值，最小值即为； 故答案为． 【点睛】本题主要考查勾股定理、折叠的性质及三角不等关系，熟练掌握勾股定理、折叠的性质及三角不等关系是解题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，共计96分 ） 19. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）4；（2） 【解析】 【分析】此题考查了完全平方公式和单项式乘以多项式，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，零指数幂，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算负整数指数幂，特殊角的三角函数值，零指数幂和化简绝对值，然后计算加减； （2）首先计算完全平方公式和单项式乘以多项式，然后计算加减． 【详解】解：（1） ； （2） ． 20. （1）解方程组； （2）解不等式组：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）方程组利用代入消元法求解即可； （2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】解：（1） 将①代入②得， 解得 将代入①得，， ∴方程组的解为：； （2） 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为：． 21. 如图，和均为等腰三角形，，，，点D在线段上且与A、B不重合，连接． （1）证明． （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴． （2）7 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法和全等三角形的对应边相等，是解题的关键． （1）根据推出，即可根据证明； （2）根据得出，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知， ∴． ∴． 22. 近年，“青少年视力健康”受到社会的广泛关注．某校综合实践小组为了解该校学生的视力健康状况，从全校学生中随机抽取部分学生进行视力调查．根据调查结果和视力有关标准，绘制了两幅不完整的统计图．请根据图中信息解答下列问题： （1）所抽取的学生人数为__________； （2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中“轻度近视”对应的扇形的圆心角的度数； （3）该校共有学生人，请估计该校学生中近视程度为“轻度近视”的人数． 【答案】（1）人 （2） 补全统计图如下： （3）人 【解析】 【分析】（1）用“视力正常”的人数除以其人数占比即可求出抽取的学生人数； （2）先求出“中度近视”的人数，进而求出“轻度近视”的人数，由此补全统计图即可；再用乘以“轻度近视”的人数占比即可求出对应的圆心角度数； （3）用乘以样本中“轻度近视”的人数占比即可得到答案． 【小问1详解】 解：人， ∴所抽取的学生人数为人， 故答案为：； 【小问2详解】 解：中度近视的人数为人，“轻度近视”对应的扇形的圆心角的度数为 ∴高度近视的人数为人； 【小问3详解】 解：人， ∴估计该校学生中近视程度为“轻度近视”的人数为人． 【点睛】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，用样本估计总体，正确读懂统计图是解题的关键． 23. 一只不透明的袋子中装有4个小球，分别标有编号，这些小球除编号外都相同． （1）搅匀后从中任意摸出1个球，这个球的编号是2的概率为________________． （2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录球的编号后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球．求第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1的概率是多少？（用画树状图或列表的方法说明） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用概率公式求解即可求得答案； （2）画树状图表示所有等可能出现的情况，从中找出符合条件的结果数，进而求出概率． 【小问1详解】 解：搅匀后从中任意摸出1个球，这个球的编号是2的概率为； 【小问2详解】 如图，画树状图如下： 所有可能的结果数为16个，第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1的结果数为3个， ∴第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1的概率为：． 【点睛】本题考查简单随机事件的概率计算，利用列表法或树状图法求等可能事件发生的概率，使用此方法一定注意每一种结果出现的可能性是均等的，即为等可能事件． 24. 已知△ABC，∠B=60°，． （1）如图1，若，求AC的长； （2）试确定四边形ABCD，满足∠ADC+∠B=180°，且AD=2DC．（尺规作图，不需写作法，但要保留作图痕迹．） 【答案】（1）AC的长为； （2） 如图，四边形ABCD即为所求作． 【解析】 【分析】（1）先求得AB=3，在Rt△BCG中，求得BG=，CG3，再在Rt△ACG中，利用勾股定理即可求解； （2）分别作线段AB、BC的垂直平分线，两直线相交于点O，以O为圆心，OA为半径作⊙O，再以A为圆心，BC长为半径作弧，交弧AC于点D，则四边形ABCD即为所求作． 【小问1详解】 解：过点C作CG⊥AB于点G， 　 ∵，， ∴AB=3， 在Rt△BCG中，∠B=60°， ∴∠BCG=30°， ∴BG=BC=，CG=3，AG=AB-BG=， 在Rt△ACG中， AC=； 【小问2详解】 解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠ADC+∠B=180°， 由作图知BC=AD，则=，CD∥AB， 分别过C、D作AB的垂线，垂足分别为E、F，如图： ∴CE=DF，四边形DCEF为矩形， ∴△ADF≌△BCE(HL)，CD=EF， ∴AF=BE， ∵∠B=60°， ∴∠DAF=60°， ∴BE=BC，AF=AD=BC=BE， ∵ ∴AF=BE=EF=CD=BC， ∴AD=2CD， ∴四边形ABCD符合题意． 【点睛】本题考查了尺规作图－作三角形的外接圆，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，圆内接四边形的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 25. 如图，是的直径，是一条弦，D是的中点，于点E，交于点F，交于点H，交于点G． （1）求证：． （2）若，求的半径． 【答案】（1） 证明：∵D是的中点， ∴， ∵，是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）5 【解析】 【分析】（1）根据D是的中点，于点E，得到,得到即可得证． （2）根据，设，运用勾股定理，得到，结合，得到，运用勾股定理，得到，从而得到，在中，利用勾股定理计算x即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，是的直径， ∴， ∵， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴的半径为5． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，正弦函数，熟练掌握垂径定理，勾股定理，圆周角定理，正弦函数是解题的关键． 26. 某学校在开展“学习雷锋精神，争做时代标杆”的征文活动中，计划对获得一、二等奖的学生分别奖励一支钢笔，一本笔记本．已知购买3支钢笔和2本笔记本共52元，购买5支钢笔和4本笔记本共92元． （1）钢笔和笔记本的单价分别为多少元? （2）经与文具店协商，购买钢笔超过30支时，每增加1支，单价降低0.1元；超过50支，均按购买50支的单价出售，笔记本一律按原价销售．学校计划奖励一、二等奖学生共计100人，其中一等奖的人数不少于30人，且不超过60人，这次奖励一等奖学生多少人时，购买奖品总金额最少，最少为多少元? 【答案】（1）钢笔每支12元，笔记本每本8元；（2）奖励一等奖50人时，购买奖品总金额最少为900元 【解析】 【分析】（1）根据购买3支钢笔和2本笔记本共52元，购买5支钢笔和4本笔记本共92元，可以列出相应的二元一次方程组，解之即可； （2）根据题意和题目中的数据，可以得到费用与一等奖学生的函数关系，然后根据二次函数的性质和一次函数的性质，即可解答本题． 【详解】解：（1）设钢笔每支元，笔记本每本元． 根据题意得：解得 答：钢笔每支12元，笔记本每本8元． （2）设这次奖励一等奖学生有a人，购买奖品的总金额为w元， 当30≤a≤50时，w=[12-（a-30）×0.1]a+8（100-a）=-0.1a2+7a+800=-0.1（a-35）2+922.5， ∴当a=50时，w取得最小值，此时w=900； 当50≤a≤60时，此时钢笔单价为：12-（50-30）×0.1=10（元）， w=10a+8（100-a）=2a+800， ∴当a=50时，w取得最小值，此时w=900； 由上可得，这次奖励一等奖学生50人时，购买奖品总金额最少，最少为900元．元， 【点睛】本题考查二次函数的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确解二元一次方程的方法，利用二次函数的性质解答． 27. 在平面直角坐标系中，O为原点，菱形的顶点，矩形的顶点． （1）填空：如图①，点C的坐标为________，点G的坐标为________； （2）将矩形沿水平方向向右平移，得到矩形，点E，F，G，H的对应点分别为，，，．设，矩形与菱形重叠部分的面积为S． ①如图②，当边与相交于点M、边与相交于点N，且矩形与菱形重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围： ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】（1），． （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据矩形及菱形的性质可进行求解； （2）①由题意易得，然后可得，则有，进而根据割补法可进行求解面积S；②由①及题意可知当时，矩形和菱形重叠部分的面积是增大的，当时，矩形和菱形重叠部分的面积是减小的，然后根据题意画出图形计算面积的最大值和最小值即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形，且， ∴， ∴； 连接，交于一点H，如图所示： ∵四边形是菱形，且， ∴，， ∴， ∴， 故答案为，； 【小问2详解】 解：①∵点，点，点， ∴矩形中，轴，轴，． ∴矩形中，轴，轴，． 由点，点，得． 在中，，得． 在中，由，得． ∴．同理，得． ∵，得． 又， ∴， 当时，则矩形和菱形重叠部分为， ∴的取值范围是． ②由①及题意可知当时，矩形和菱形重叠部分的面积是增大的，当时，矩形和菱形重叠部分的面积是减小的， ∴当时，矩形和菱形重叠部分如图所示： 此时面积S最大，最大值为； 当时，矩形和菱形重叠部分如图所示： 由（1）可知B、D之间的水平距离为，则有点D到的距离为， 由①可知：， ∴矩形和菱形重叠部分为等边三角形， ∴该等边三角形的边长为， ∴此时面积S最小，最小值为； 综上所述：当时，则． 【点睛】本题主要考查矩形、菱形的性质及三角函数、图形与坐标，熟练掌握矩形、菱形的性质及三角函数、图形与坐标是解题的关键． 28. 已知抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点是抛物线的对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求的值； （3）如图2，取线段的中点，在抛物线上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）或或或 【解析】 【分析】（1）待定系数法求函数解析式即可； （2）根据的周长等于，以及为定长，得到当的值最小时，的周长最小，根据抛物线的对称性，得到关于对称轴对称，则：，得到当三点共线时，，进而求出点坐标，即可得解； （3）求出点坐标为，进而得到，得到，分点在点上方和下方，两种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴相交于点，， ∴，解得：， ∴； 【小问2详解】 ∵，当时，， ∴，抛物线的对称轴为直线 ∵的周长等于，为定长， ∴当的值最小时，的周长最小， ∵关于对称轴对称， ∴，当三点共线时，的值最小，为的长，此时点为直线与对称轴的交点， 设直线的解析式为：， 则：，解得：， ∴， 当时，， ∴， ∵， ∴，， ∴； 【小问3详解】 解：存在， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ①当点在点上方时： 过点作，交抛物线与点，则：，此时点纵坐标为2， 设点横坐标为， 则：， 解得：， ∴或； ②当点在点下方时：设与轴交于点， 则：， 设， 则：，， ∴，解得：， ∴， 设的解析式为：， 则：，解得：， ∴， 联立，解得：或， ∴或； 综上：或或或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合，分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．本题的综合性强，难度较大，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年九年级数学中考模拟考试卷（二） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 10的相反数是（ ） A. －10 B. 10 C. D. 2. 下列问题适合全面调查的是（　　） A. 调查市场上某品牌灯泡的使用寿命 B. 了解全市人民对湖南省第二届旅发大会的关注情况 C. 了解郴江河的水质情况 D. 神舟十六号飞船发射前对飞船仪器设备的检查 3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若∠A＝50°，则∠BCD的度数为（ ） A. 50° B. 80° C. 100° D. 130° 6. 如图，在中，直径与弦相交于点P，连接，若，，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在点处，看建筑物顶端的仰角为，向前走了6米到达点即米，在点处看点的仰角为，则的长用三角函数表示为（ ） A. B. C. D. 8. “莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”．若等边的边长为3，则该“莱洛三角形”的周长等于（ ） A. B. C. D. 9. 如图，矩形中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线，过点C作的垂线分别交于点M，N，则的长为（ ） A. B. C. D. 4 10. 如图，是半圆的直径，点在半圆上，，连接，过点作，交的延长线于点．设的面积为的面积为，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共有8小题，每空3分，共24分） 11. 分解因式：_________． 12. 深中通道是世界级“桥、岛、隧、水下互通”跨海集群工程，总计用了320000万吨钢材，320000这个数用科学记数法表示为________． 13. 已知圆锥的底面圆半径为3cm，母线长为5cm，则这个圆锥的侧面积是________ 14. 关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值是______． 15. 如图，为斜边上的中线，为的中点．若，，则___________． 16. 《九章算术》中记载：今有户不知高、广，竿不知长、短，横之不出四尺，纵之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？这段话翻译后是：今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长、短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽、对角线长分别是多少？若设门对角线长为x尺，则可列方程为_____． 17. 如图，反比例函数的图象与过点的直线相交于A、B两点．已知点A的坐标为，点C为x轴上任意一点．如果，那么点C的坐标为_________． 18. 如图，在中，，点在边上．将沿折叠，使点落在点处，连接，则的最小值为_______． 三、解答题（本大题共10小题，共计96分 ） 19. （1）计算：； （2）化简：． 20. （1）解方程组； （2）解不等式组：． 21. 如图，和均为等腰三角形，，，，点D在线段上且与A、B不重合，连接． （1）证明． （2）若，，求的长． 22. 近年，“青少年视力健康”受到社会的广泛关注．某校综合实践小组为了解该校学生的视力健康状况，从全校学生中随机抽取部分学生进行视力调查．根据调查结果和视力有关标准，绘制了两幅不完整的统计图．请根据图中信息解答下列问题： （1）所抽取的学生人数为__________； （2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中“轻度近视”对应的扇形的圆心角的度数； （3）该校共有学生人，请估计该校学生中近视程度为“轻度近视”的人数． 23. 一只不透明的袋子中装有4个小球，分别标有编号，这些小球除编号外都相同． （1）搅匀后从中任意摸出1个球，这个球的编号是2的概率为________________． （2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录球的编号后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球．求第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1的概率是多少？（用画树状图或列表的方法说明） 24. 已知△ABC，∠B=60°，． （1）如图1，若，求AC的长； （2）试确定四边形ABCD，满足∠ADC+∠B=180°，且AD=2DC．（尺规作图，不需写作法，但要保留作图痕迹．） 25. 如图，是的直径，是一条弦，D是的中点，于点E，交于点F，交于点H，交于点G． （1）求证：． （2）若，求的半径． 26. 某学校在开展“学习雷锋精神，争做时代标杆”的征文活动中，计划对获得一、二等奖的学生分别奖励一支钢笔，一本笔记本．已知购买3支钢笔和2本笔记本共52元，购买5支钢笔和4本笔记本共92元． （1）钢笔和笔记本的单价分别为多少元? （2）经与文具店协商，购买钢笔超过30支时，每增加1支，单价降低0.1元；超过50支，均按购买50支的单价出售，笔记本一律按原价销售．学校计划奖励一、二等奖学生共计100人，其中一等奖的人数不少于30人，且不超过60人，这次奖励一等奖学生多少人时，购买奖品总金额最少，最少为多少元? 27. 在平面直角坐标系中，O为原点，菱形的顶点，矩形的顶点． （1）填空：如图①，点C的坐标为________，点G的坐标为________； （2）将矩形沿水平方向向右平移，得到矩形，点E，F，G，H的对应点分别为，，，．设，矩形与菱形重叠部分的面积为S． ①如图②，当边与相交于点M、边与相交于点N，且矩形与菱形重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围： ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 28. 已知抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点是抛物线的对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求的值； （3）如图2，取线段的中点，在抛物线上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $