13.3 抽样的方法（九大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020必修第三册）

13.3 抽样的方法 题型1：简单随机抽样 1．简单随机抽样 （1）定义：在抽样的过程中通过逐个抽取的方法抽取样本，且总体的每一个个体都有同样的 被选入样本，这种抽样方法叫做 ． （2）简单随机抽样的常用方法有 和 ． 2．下面的抽样方法中是简单随机抽样的有 ． ①从无数个个体中抽取50个个体作为样本； ②仓库中有1万支奥运火炬，从中一次性抽取100支火炬进行质量检查； ③某连队从200名士兵中，挑选出50名党员士兵赶赴灾区开展救灾工作； ④一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签盒子中逐个无放回地抽出6个号签． 3．下列抽样方法中，属于简单随机抽样的是（    ） A．某社团为调查本校学生的环保知识水平，向在图书馆某楼层自习的所有学生发放问卷，隔5分钟后回收； B．某次科普讲座之前，主持人抽取座位尾号为1的听众进行提问； C．一车间主任从堆放的100件产品中抽取了摆放在最上面的10件产品进行检查； D．销售部经理将一个放有部门所有员工工号牌的箱子均匀摇晃后，从中抽取5个工号牌． 4．下列4个抽样中，简单随机抽样的个数是（　　） ①从无数个个体中抽取50个个体作为样本； ②仓库中有1万支奥运火炬，从中一次性抽取100支火炬进行质量检查； ③某连队从200名党员官兵中，挑选出50名最优秀的党员官兵赶赴某市参加抗震救灾工作； ④一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽出6个号签. A．0 B．1 C．2 D．3 题型2：抽签法 5．抽签法的步骤： ①假设一个总体有N个个体，将它们 ； ②制作N个号签（号签可以用小球、纸片等制作），将编号写在号签上； ③将号签放在一个容器中，并 ； ④从容器中任意抽取n个号签，记录其编号，就得到一个容量为n的样本． 6．下列抽样试验中，适合用抽签法的是（    ） A．从某厂生产的3000件产品中抽取600件进行质量检验 B．从某厂生产的两箱（每箱15件）产品中抽取6件进行质量检验 C．从甲、乙两厂生产的两箱（每箱15件）产品中抽取6件进行质量检验 D．从某厂生产的3000件产品中抽取10件进行质量检验 7．某单位拟从40名员工中选5人赠送电影票，可采用下面两种选法： 选法一：将这40名员工按1至40进行编号，并相应地制作号码为1至40的40个号签，把这40个号签放在一个暗箱中搅匀，最后随机地从中抽取5个号签，与这个号签编号一致的员工是幸运人选； 选法二：将35个白球与5个红球（除颜色外，其他完全相同）混合放在一个暗箱中搅匀，让40名员工逐一从中不放回地摸取1个球，则摸到红球的员工是幸运人选，试问： (1)这两种选法是否都是抽签法，为什么？ (2)这两种选法中每名员工被选中的可能是否相等？ 题型3：随机数表法 8．省农科站要检测某品牌种子的发芽率，计划采用随机数表法从该品牌800粒种子中抽取60粒进行检测，现将这800粒种子编号如下001，002，…，800，若从随机数表第8行第7列的数7开始向右读，则所抽取的第4粒种子的编号是 .（如下是随机数表第8行至第9行） 63  01  63  78  59  16  95  55  67  19  98  10  50  71  75  12  86  73  58  07  44  39  52  38  79  33  21  12  34  29  78  64  56  07  82  52  42  07  44  38  15  51  0  13  42  99  66  02  79  54 9．某工厂利用随机数表对生产的50个零件进行抽样测试，先将50个零件进行编号，编号分别为01，02，…，50，从中抽取5个样本，下面提供随机数表的第1行到第2行： 66  67  40  37  14  64  05  71  11  05  65  09  95  86  68  76  83  20  37  90 57  16  03  11  63  14  90  84  45  21  75  73  88  05  90  52  23  59  43  10 若从表中第1行第7列开始向右依次读取数据，则得到的第5个样本编号是 ． 10．总体由编号为00、01，02、…、48、49的50个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始，从左到右依次选取两个数字，则选出的第3个个体的编号为 ． 附：第6行至第9行的随机数表 2635 7900 3370 9160 1620 3882 7757 4950 3211 4919 7306 4916 7677 8733 9974 6732 2748 6198 7164 4148 7086 2888 8519 1620 7477 0111 1630 2404 2979 7991 9683 5125 11．总体由编号为01， 02，，19，20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取8个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字（即65）开始由左到右依次选取两个数字（作为个体的编号）：如果选取的两个数字不在总体内，则将它去掉，继续向右选取两个数字，那么选出来的第6个个体的编号为 7816     6527     0802    6314     0704     4369    9728     1198 3204     9234     4935    8200     3623     4869    6938     7481 题型4：简单随机抽样的概率 12．在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性（    ） A．与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性大一些 B．与第几次抽样无关，每次抽到的可能性都相等 C．与第几次抽样有关，最后一次抽到的可能性要大些 D．与第几次抽样无关，每次都是等可能抽取，但各次抽取的可能性不一定 13．从2011名学生中选取40名同学组成参观团，若采用下面的方法选取：先简单随机抽样从2011人中剔除11人，再将剩下的2000人按系统抽样的方法进行选取，则每个人入选的概率为 ． 14．用简单随机抽样的方法从含有6个个体的总体中，抽取一个样本量为2的样本，某一个个体a“第一次被抽到的概率”、“第二次被抽到的概率”、“在整个抽样过程中被抽到的概率”分别是 、 、 . 15．利用简单随机抽样的方法，从个个体中抽取14个个体，若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的可能性为 ． 16．利用简单随机抽样的方法，从样本的个数据中抽取13个，依次抽取，若第二次抽取后，余下的每个数据被抽取的概率为，则在整个抽取过程中，每个数据被抽取的概率为 ． 17．一个总体中共有10个个体，用简单随机抽样的方法从中抽取一个样本容量为3的样本，则某一个特定个体被抽到的概率为（    ） A． B． C． D． 题型5：简单随机抽样估计总体 18．从一批产品中用简单随机抽样的方法抽取了一部分作为样品，检测产品的合格率，其中甲检验员从中抽取了50件产品，其合格率为，乙检验员从中抽取了100件产品，其合格率为，则估计该产品合格率更接近于 检验员检测的结果． 19．为估计某森林内松鼠的数量，使用以下方法：先随机从森林中捕捉松鼠100只，在每只松鼠的尾巴上作上记号后放回森林.再随机从森林中捕捉50只，若尾巴上有记号的松鼠共有5只，估计此森林内约有松鼠 只. 20．我国古代数学名著《数书九章》是南宋数学家秦九韶所著数学著作，书中共列算题81问，分为9类，全书采用问题集的形式，并不按数学方法来分类．题文也不只谈数学，还涉及自然现象和社会生活，成为了解当时社会政治和经济生活的重要参考文献．《数书九章》中有“米谷粒分”一题，现有类似的题：粮仓开仓收粮，粮农送来米1500石，验得米夹谷，抽样取米一把，数得304粒夹谷30粒，则这批米内夹谷约为（    ） A．148石 B．149石 C．150石 D．151石 题型6：分层随机抽样 21．分层随机抽样 （1）定义：一般地，当总体由 的几个部分组成时，先把总体分成若干个部分，然后从不同的部分中独立、随机地抽取样本，这种抽样的方法称为 ． （2）常用的分层抽样的方法如下：先将容量为N的总体按照要求分成k层，每层的个体数分别记为、，…，，在每层中分别随机抽取、、…、个个体组成容量为n的样本，使得 ． 22．某集团有老年职工270人，中年职工540人，青年职工810人．为了更好地调查他们的健康情况，需从所有职工中抽取一个容量为36的样本，应采用的抽样方法是 ．（用“简单随机抽样”或“分层抽样”填空） 23．现有以下两项调查：①从40台刚出厂的大型挖掘机中抽取4台进行质量检测；②在某校800名学生中，型､型､B型和型血的学生依次有人.为了研究血型与色弱的关系，需从中抽取一个容量为40的样本.完成这两项调查最适宜采用的抽样方法分别是（    ） A．①②都采用简单随机抽样 B．①②都采用分层随机抽样 C．①采用简单随机抽样，②采用分层随机抽样 D．①采用分层随机抽样，②采用简单随机抽样 24．①植物根据植株的高度及分枝部位等可以分为乔木、灌木和草木三大类，某植物园需要对其园中的不同植物的干重（烘干后测定的质量）进行测量；②检测员拟对一批新生产的1000箱牛奶抽取10箱进行质量检测；上述两项调查应采用的抽样方法是（    ） A．①用简单随机抽样，②用分层随机抽样 B．①用简单随机抽样，②用简单随机抽样 C．①用分层随机抽样，②用简单随机抽样 D．①用分层随机抽样，②用分层随机抽样 题型7：抽样比、样本容量、各层总数等的计算 25．一个单位共有职工600人，其中不超过45岁的有360人，超过45岁的有240人．为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为75的样本，应抽取超过45岁的职工 人． 26．某校老年、中年和青年教师的人数如表所示，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有32人，则该样本的老年教师人数为 ． 类别 老年教师 中年教师 青年教师 合计 人数 36 72 64 172 27．某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为3：4：7，现在用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，样本中的A型号产品有15件，那么样本容量n为 ． 28．管理人员为了了解某水库里大概有多少条鱼，拖网打捞出1000条鱼，在鱼身处打上一个不会掉落的印记，再放回水库，一个月后再次捕捞1000条鱼，发现其中有20条有印记的鱼，问：这个水库里大概有 条鱼． 29．某校按分层随机抽样的方法从高中三个年级抽取部分学生进行调查，从三个年级中抽取的人数比为如图所示的扇形面积比，已知高二年级共有学生1200人，并从中抽取了40人，则从高一年级中抽取 人．    题型8：分层抽样的概率 30．已知某校高一（1）班有男生28人，女生21人，用分层抽样的方法从该班级中抽取若干人．已知某男生被抽中的概率为，则抽取的女生人数为 ． 31．一个总体分为两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为的样本．已知层中每个个体被抽到的概率都是 ，则总体中的个体数为 ． 32．从一个容量为100的总体中抽取容量为10的样本，选取简单随机抽样和分层随机抽样两种不同方法抽取样本.在简单随机抽样中，总体中每个个体被抽中的概率为，某个体被抽中的概率为；在分层随机抽样中，总体中每个个体被抽中的概率为，则（    ） A． B． C． D．之间没有关系 题型9：解答题 33．某汽车销售商销售某品牌的A、B、C三类轿车，每类轿车均有舒适型和经济型两种型号，其某月的销量（单位：辆）如下表所示． A B C 舒适型/辆 35 28 15 经济型/辆 50 72 40 试设计一个抽样方案，从该月购买轿车的客户中抽取20位，调查他们的满意度. 34．某高中高一、高二、高三年级共有学生800名，各年级男、女生人数如下表： 高一 高二 高三 男生（人数） 149 女生（人数） 143 130 已知在三个年级的学生中随机抽取1名，抽到高二年级男生的概率是0.16 (1)求的值； (2)现用分层抽样的方法在三个年级中共抽取32名学生，应从高三年级抽取多少名? 35．有以下两个案例： 案例一：从同一批次同类型号的10袋牛奶中抽取3袋分别检测三聚氰胺的含量； 案例二：某公司有员工800人，其中具有高级职称的有160人，具有中级职称的有320人，具有初级职称的有200人，其他人员120人，从中抽取容量为40的样本，了解他们的收入情况． (1)你认为这两个案例分别应采用怎样的抽样方式较为合适？ (2)在你使用的分层抽样案例中写出抽样过程． 36．将某中职学校高二年级某班学生的数学测试成绩（满分100分）按照，进行分组，得到如图所示的频率分布直方图，已知图中.    (1)求a，b的值; (2)按照人数比例用分层抽样的方法，从成绩在内的学生中抽取4人，再从这4人中任选2人，求这2人成绩都在内的概率. 一、填空题 1．为了防止职业病，某企业采用系统抽样方法，从该企业全体名员工中抽名员工做体检，现从名员工从到进行编号，在中随机抽取一个数，如果抽到的是，则从这个数中应抽取的数是 ． 2．以“塑造软件新生态，赋能发展新变革”为主题的第二十五届中国国际软件博览会于2023年8月31日在天津开幕.本次参会人员分不同区域落座，其中某个区域的男性参会人员有25人，女性参会人员有15人，现按性别比例进行分层抽样，若从该区域随机抽取16位参会人员，则女性参会人员应抽取的人数为 . 二、单选题 3．某学校老师中，型血有36人、型血有24人、型血有12人，现需要从这些老师中抽取一个容量为的样本.如果采用系统抽样和分层抽样方法抽取，都不用剔除个体；如果样本容量减少一个，则在采用系统抽样时，需要在总体中剔除2个个体，则样本容量可能为（  ） A． B． C． D． 4．国内某优秀新能源电池制造企业在锂电池单位能量密度技术上取得了重大突破，该制造企业内的某车间有两条生产线，分别生产高能量密度锂电池和低能量密度锂电池，总产量为400个锂电池．质检人员采用分层随机抽样的方法随机抽取了一个容量为80的样本进行质量检测，已知样本中高能量密度锂电池有35个，则估计低能量密度锂电池的总产量为（    ）． A．325个 B．300个 C．225个 D．175个 三、解答题 5．疫苗是全球最终战胜新冠肺炎疫情的关键，某生物技术公司研制一种新冠疫苗，为测试该疫苗的有效性，公司选定2000个样本分成三组，测试结果如下表： A组 B组 C组 疫苗有效 673 660 疫苗无效 77 已知在全体样本中随机抽取1个，抽到组疫苗无效的概率是0.045. (1)求的值； (2)现用分层抽样的方法在全部测试结果中抽取360个样本，求在组抽取的个数； (3)在选定的2000个样本，若疫苗有效的概率低于，则认为测试没有通过.已知，求该疫苗能通过测试的概率. 6．某地区课改时实行高考新方案试点，规定：语文、数学和英语是必考科目，考生还要从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目.为了解某校学生选科情况，现从高一、高二、高三学生中各随机选取了100名学生作为样本进行调查，调查数据如下表，用频率估计概率. 选考情况 第1门 第2门 第3门 第4门 第5门 第6门 物理 化学 生物 历史 地理 政治 高一选科人数 80 70 35 20 35 60 高二选科人数 60 45 55 40 40 60 高三选科人数 50 40 60 40 40 70 (1)已知该校高一年级有400人，估计该学校高一年级学生中选考历史的人数； (2)现采用分层抽样的方式从样本中随机抽取三个年级中选择历史学科的5名学生组成兴趣小组，再从这人中随机抽取2名同学参加知识问答比赛，求这2名参赛同学来自不同年级的概率； (3)假设三个年级选择选考科目是相互独立的.为了解不同年级学生对各科目的选择倾向，现从高一、高二、高三样本中各随机选取1名学生进行调查，求这3名学生均选择了第1门科目的概率. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 13.3 抽样的方法 题型1：简单随机抽样 1．简单随机抽样 （1）定义：在抽样的过程中通过逐个抽取的方法抽取样本，且总体的每一个个体都有同样的 被选入样本，这种抽样方法叫做 ． （2）简单随机抽样的常用方法有 和 ． 【答案】 可能性 简单随机抽样 抽签法 随机数法 【分析】略 【解析】略 2．下面的抽样方法中是简单随机抽样的有 ． ①从无数个个体中抽取50个个体作为样本； ②仓库中有1万支奥运火炬，从中一次性抽取100支火炬进行质量检查； ③某连队从200名士兵中，挑选出50名党员士兵赶赴灾区开展救灾工作； ④一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签盒子中逐个无放回地抽出6个号签． 【答案】④ 【分析】一般地，设一个总体含有个个体，如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取各个个体被抽到的概率相同，则这样的抽样叫简单随机抽样，根据此定义逐个分析判断. 【解析】对于①，因为总体个数是无限的，所以不是简单随机抽样， 对于②，因为不是逐个抽取，所以不是简单随机抽样， 对于③，因为50名党员士兵是挑选的，不是逐个抽取，所以不是简单随机抽样， 对于④，符合简单随机抽样的定义，所以是简单随机抽样. 故答案为：④ 3．下列抽样方法中，属于简单随机抽样的是（    ） A．某社团为调查本校学生的环保知识水平，向在图书馆某楼层自习的所有学生发放问卷，隔5分钟后回收； B．某次科普讲座之前，主持人抽取座位尾号为1的听众进行提问； C．一车间主任从堆放的100件产品中抽取了摆放在最上面的10件产品进行检查； D．销售部经理将一个放有部门所有员工工号牌的箱子均匀摇晃后，从中抽取5个工号牌． 【答案】D 【分析】根据简单随机抽样的特点逐项判断即可． 【解析】对于A项，人数较多，且图书馆的学生不能代表本校全体学生，故A项错误； 对于B项，按照相同间隔抽取的方法，是系统抽样，不是简单抽样，故B项错误； 对于C项，抽取的产品不具有代表性，故C项错误； 对于D项，符合简单随机抽样的定义，故D项正确． 4．下列4个抽样中，简单随机抽样的个数是（　　） ①从无数个个体中抽取50个个体作为样本； ②仓库中有1万支奥运火炬，从中一次性抽取100支火炬进行质量检查； ③某连队从200名党员官兵中，挑选出50名最优秀的党员官兵赶赴某市参加抗震救灾工作； ④一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽出6个号签. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据简单随机抽样的特点逐个判断. 【解析】①不是简单随机抽样.因为简单随机抽样要求被抽取的样本总体的个数是有限的. ②不是简单随机抽样.虽然“一次性抽取”和“逐个抽取”不影响个体被抽到的可能性，但简单随机抽样要求的是“逐个抽取”. ③不是简单随机抽样.因为50名党员官兵是从中挑出来的，是最优秀的，每个个体被抽到的可能性不同，不符合简单随机抽样中“等可能抽样”的要求. ④是简单随机抽样.因为总体中的个体数是有限的，并且是从总体中逐个进行抽取的，等可能的抽样. 故选：B 题型2：抽签法 5．抽签法的步骤： ①假设一个总体有N个个体，将它们 ； ②制作N个号签（号签可以用小球、纸片等制作），将编号写在号签上； ③将号签放在一个容器中，并 ； ④从容器中任意抽取n个号签，记录其编号，就得到一个容量为n的样本． 【答案】 逐一编号 充分搅拌均匀 【分析】略 【解析】略 6．下列抽样试验中，适合用抽签法的是（    ） A．从某厂生产的3000件产品中抽取600件进行质量检验 B．从某厂生产的两箱（每箱15件）产品中抽取6件进行质量检验 C．从甲、乙两厂生产的两箱（每箱15件）产品中抽取6件进行质量检验 D．从某厂生产的3000件产品中抽取10件进行质量检验 【答案】B 【分析】根据抽签法的适用条件，结合选项依次判断即可. 【解析】选项A，总体中的个体数较大，样本容量也较大，不适合用抽签法，故A不符合题意； 选项B，总体中的个体数较小，样本容量也较小， 且同厂生产的两箱产品可视为搅拌均匀了，可用抽签法，故B符合题意； 选项C，甲、乙两厂生产的两箱产品质量可能差别较大， 不能满足搅拌均匀的条件，不能用抽签法，故C不符合题意； 选项D，总体中的个体数较大，不适合用抽签法，故D不符合题意. 故选：B 7．某单位拟从40名员工中选5人赠送电影票，可采用下面两种选法： 选法一：将这40名员工按1至40进行编号，并相应地制作号码为1至40的40个号签，把这40个号签放在一个暗箱中搅匀，最后随机地从中抽取5个号签，与这个号签编号一致的员工是幸运人选； 选法二：将35个白球与5个红球（除颜色外，其他完全相同）混合放在一个暗箱中搅匀，让40名员工逐一从中不放回地摸取1个球，则摸到红球的员工是幸运人选，试问： (1)这两种选法是否都是抽签法，为什么？ (2)这两种选法中每名员工被选中的可能是否相等？ 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【解析】（1）选法一满足抽签法的特征，是抽签法，选法二不是抽签法，因为抽签法要求所有的号签编号互不相同，而选法二中的35个白球，5个红球均无法相互区分． （2）由于选法一中抽取每个号签和选法二中摸到每个球都是等可能的，因此这两种选法中每名员工被选中的可能性相等． 题型3：随机数表法 8．省农科站要检测某品牌种子的发芽率，计划采用随机数表法从该品牌800粒种子中抽取60粒进行检测，现将这800粒种子编号如下001，002，…，800，若从随机数表第8行第7列的数7开始向右读，则所抽取的第4粒种子的编号是 .（如下是随机数表第8行至第9行） 63  01  63  78  59  16  95  55  67  19  98  10  50  71  75  12  86  73  58  07  44  39  52  38  79  33  21  12  34  29  78  64  56  07  82  52  42  07  44  38  15  51  0  13  42  99  66  02  79  54 【答案】507 【分析】根据随机数表法读取数据即可. 【解析】由题意，依次读取的种子的编号为： 785，916（舍去），955（舍去），567，199，810（舍去），507. 故所抽取的第4粒种子的编号为507. 故答案为：507 9．某工厂利用随机数表对生产的50个零件进行抽样测试，先将50个零件进行编号，编号分别为01，02，…，50，从中抽取5个样本，下面提供随机数表的第1行到第2行： 66  67  40  37  14  64  05  71  11  05  65  09  95  86  68  76  83  20  37  90 57  16  03  11  63  14  90  84  45  21  75  73  88  05  90  52  23  59  43  10 若从表中第1行第7列开始向右依次读取数据，则得到的第5个样本编号是 ． 【答案】09 【分析】结合随机数表法定义，按照题意依次读出前个数即可. 【解析】从随机数表第1行的第7列数字开始由左向右每次连续读取2个数字， 删除超出范围及重复的编号，符合条件的编号有37，14，05，11，09， 所以选出来的第5个个体的编号为09. 故答案为：09. 10．总体由编号为00、01，02、…、48、49的50个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始，从左到右依次选取两个数字，则选出的第3个个体的编号为 ． 附：第6行至第9行的随机数表 2635 7900 3370 9160 1620 3882 7757 4950 3211 4919 7306 4916 7677 8733 9974 6732 2748 6198 7164 4148 7086 2888 8519 1620 7477 0111 1630 2404 2979 7991 9683 5125 【答案】20 【分析】根据给定数表，依次读取得第3个编号. 【解析】依题意，前3个编号依次为：33，16，20， 所以选出的第3个个体的编号为20. 故答案为：20 11．总体由编号为01， 02，，19，20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取8个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字（即65）开始由左到右依次选取两个数字（作为个体的编号）：如果选取的两个数字不在总体内，则将它去掉，继续向右选取两个数字，那么选出来的第6个个体的编号为 7816     6527     0802    6314     0704     4369    9728     1198 3204     9234     4935    8200     3623     4869    6938     7481 【答案】11 【分析】按照随机数表根据规则要求依次选取即可求解. 【解析】按照规则要求，所选编号依次为：08，02，14，07，04，11， 所以第6个个体编号为：11. 故答案为：11. 题型4：简单随机抽样的概率 12．在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性（    ） A．与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性大一些 B．与第几次抽样无关，每次抽到的可能性都相等 C．与第几次抽样有关，最后一次抽到的可能性要大些 D．与第几次抽样无关，每次都是等可能抽取，但各次抽取的可能性不一定 【答案】B 【分析】根据简单随机抽样的性质即可求解. 【解析】在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性与第几次抽样无关，每次抽到的可能性都相等, 故选：B 13．从2011名学生中选取40名同学组成参观团，若采用下面的方法选取：先简单随机抽样从2011人中剔除11人，再将剩下的2000人按系统抽样的方法进行选取，则每个人入选的概率为 ． 【答案】 【分析】根据随机抽样可知：每个个体入选的概率均等，与抽样方法和过程无关，即可得结果. 【解析】根据随机抽样可知：每个个体入选的概率均等，与抽样方法和过程无关， 所以每个人入选的概率为. 故答案为：. 14．用简单随机抽样的方法从含有6个个体的总体中，抽取一个样本量为2的样本，某一个个体a“第一次被抽到的概率”、“第二次被抽到的概率”、“在整个抽样过程中被抽到的概率”分别是 、 、 . 【答案】 【分析】根据简单随机抽样等可能抽取的特点计算即可. 【解析】从6个个体中抽1个个体，每个个体被抽到的概率均为，与抽取的次数无关，第二次被抽到的概率仍为.但由于在整个抽样过程中是从6个个体中抽2个样本，故个体a被抽到的概率为. 故答案为：；；. 15．利用简单随机抽样的方法，从个个体中抽取14个个体，若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的可能性为 ． 【答案】 【分析】根据第二次抽取时余下的每个个体被抽取到的概率为求得，可得答案. 【解析】第二次抽取时，余下的每个个体被抽取到的概率为，则， 即，则在整个抽样过程中， 每个个体被抽取到的概率为. 故答案为：. 16．利用简单随机抽样的方法，从样本的个数据中抽取13个，依次抽取，若第二次抽取后，余下的每个数据被抽取的概率为，则在整个抽取过程中，每个数据被抽取的概率为 ． 【答案】 【分析】根据抽样的等可能性即可求解. 【解析】由题意知，解得，所以在整个抽取过程中，每个数据被抽取的概率为. 故答案为： 17．一个总体中共有10个个体，用简单随机抽样的方法从中抽取一个样本容量为3的样本，则某一个特定个体被抽到的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据古典概型的概率公式计算可得. 【解析】依题意每个个体被抽到的概率均为， 则某一个特定个体被抽到的概率为. 故选：A 题型5：简单随机抽样估计总体 18．从一批产品中用简单随机抽样的方法抽取了一部分作为样品，检测产品的合格率，其中甲检验员从中抽取了50件产品，其合格率为，乙检验员从中抽取了100件产品，其合格率为，则估计该产品合格率更接近于 检验员检测的结果． 【答案】乙 【分析】抽取的样本量越大，样本越具代表性，据此可以得出答案． 【解析】因为乙检验员抽取的样本量更大，所以检测结果更准确. 故答案为：乙. 19．为估计某森林内松鼠的数量，使用以下方法：先随机从森林中捕捉松鼠100只，在每只松鼠的尾巴上作上记号后放回森林.再随机从森林中捕捉50只，若尾巴上有记号的松鼠共有5只，估计此森林内约有松鼠 只. 【答案】 【分析】直接根据比例求解. 【解析】估计此森林内约有松鼠只. 故答案为： 20．我国古代数学名著《数书九章》是南宋数学家秦九韶所著数学著作，书中共列算题81问，分为9类，全书采用问题集的形式，并不按数学方法来分类．题文也不只谈数学，还涉及自然现象和社会生活，成为了解当时社会政治和经济生活的重要参考文献．《数书九章》中有“米谷粒分”一题，现有类似的题：粮仓开仓收粮，粮农送来米1500石，验得米夹谷，抽样取米一把，数得304粒夹谷30粒，则这批米内夹谷约为（    ） A．148石 B．149石 C．150石 D．151石 【答案】A 【分析】抽样调查中简单随机抽样，对象被抽到的概率是相同的， 304粒夹谷30粒，1500石米夹谷的比例是相同的，计算即可. 【解析】由题意可知这批米内夹谷约为（石）． 故选：A. 题型6：分层随机抽样 21．分层随机抽样 （1）定义：一般地，当总体由 的几个部分组成时，先把总体分成若干个部分，然后从不同的部分中独立、随机地抽取样本，这种抽样的方法称为 ． （2）常用的分层抽样的方法如下：先将容量为N的总体按照要求分成k层，每层的个体数分别记为、，…，，在每层中分别随机抽取、、…、个个体组成容量为n的样本，使得 ． 【答案】 差异明显 分层随机抽样 ，， 【分析】略 【解析】略 22．某集团有老年职工270人，中年职工540人，青年职工810人．为了更好地调查他们的健康情况，需从所有职工中抽取一个容量为36的样本，应采用的抽样方法是 ．（用“简单随机抽样”或“分层抽样”填空） 【答案】分层抽样 【分析】根据简单随机抽样和分层抽样的使用条件和特征即可作出判断. 【解析】由于所有职工由三类不同年龄段的人群构成，所以存在着较为明显的差异，故选择分层抽样. 故答案为：分层抽样 23．现有以下两项调查：①从40台刚出厂的大型挖掘机中抽取4台进行质量检测；②在某校800名学生中，型､型､B型和型血的学生依次有人.为了研究血型与色弱的关系，需从中抽取一个容量为40的样本.完成这两项调查最适宜采用的抽样方法分别是（    ） A．①②都采用简单随机抽样 B．①②都采用分层随机抽样 C．①采用简单随机抽样，②采用分层随机抽样 D．①采用分层随机抽样，②采用简单随机抽样 【答案】C 【分析】由简单随机抽样、分层随机抽样的概念即可判断. 【解析】由题意对于①，40台刚出厂的大型挖掘机被抽取的可能性一样，故为简单随机抽样， 对于②，为了研究血型与色弱的关系，说明某校800名学生被抽取的可能性要按照血型比例分层抽取，故为分层随机抽样. 故选：C. 24．①植物根据植株的高度及分枝部位等可以分为乔木、灌木和草木三大类，某植物园需要对其园中的不同植物的干重（烘干后测定的质量）进行测量；②检测员拟对一批新生产的1000箱牛奶抽取10箱进行质量检测；上述两项调查应采用的抽样方法是（    ） A．①用简单随机抽样，②用分层随机抽样 B．①用简单随机抽样，②用简单随机抽样 C．①用分层随机抽样，②用简单随机抽样 D．①用分层随机抽样，②用分层随机抽样 【答案】C 【分析】根据简单随机抽样和分层随机抽样的特点进行判断即可. 【解析】①乔木、灌木、草木，分类明显，可以采用分层随机抽样； ②并未有明显分层特点，且样本容量较小，可以采用简单随机抽样； 故选：C. 题型7：抽样比、样本容量、各层总数等的计算 25．一个单位共有职工600人，其中不超过45岁的有360人，超过45岁的有240人．为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为75的样本，应抽取超过45岁的职工 人． 【答案】30 【分析】根据分层抽样的方法即可求解. 【解析】因为超过45岁的职工为240人，占比例为，所以抽取的75人中超过45岁的职工为人， 故答案为：30. 26．某校老年、中年和青年教师的人数如表所示，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有32人，则该样本的老年教师人数为 ． 类别 老年教师 中年教师 青年教师 合计 人数 36 72 64 172 【答案】 【分析】由题意分层抽样的定义和方法，求出则该样本的老年教师人数． 【解析】解：在抽取的样本中，青年教师有32人，而抽样的比例为， 该样本的老年教师人数为，则有，， 故答案为：． 27．某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为3：4：7，现在用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，样本中的A型号产品有15件，那么样本容量n为 ． 【答案】70 【分析】利用分层抽样的定义得到方程，求出. 【解析】由题意得，解得. 故答案为：70 28．管理人员为了了解某水库里大概有多少条鱼，拖网打捞出1000条鱼，在鱼身处打上一个不会掉落的印记，再放回水库，一个月后再次捕捞1000条鱼，发现其中有20条有印记的鱼，问：这个水库里大概有 条鱼． 【答案】 【分析】设这个水库里大概有条鱼，利用等比例性质求即可. 【解析】令这个水库里大概有条鱼，由题意有，可得条. 故答案为： 29．某校按分层随机抽样的方法从高中三个年级抽取部分学生进行调查，从三个年级中抽取的人数比为如图所示的扇形面积比，已知高二年级共有学生1200人，并从中抽取了40人，则从高一年级中抽取 人．    【答案】 【分析】设总人数为，得到，求得，再结合分层抽样的计算方法，即可求解. 【解析】由题图中数据可知高二年级所占的角度为，设总人数为， 则，可知，故该校的总人数为， 由高一、高二、高三年级人数的比为， 可知高一年级人数为， 则抽样时应从高一年级抽(人). 故答案为：. 题型8：分层抽样的概率 30．已知某校高一（1）班有男生28人，女生21人，用分层抽样的方法从该班级中抽取若干人．已知某男生被抽中的概率为，则抽取的女生人数为 ． 【答案】3 【分析】由某男生被抽中的概率可得女生被抽中的概率，根据分层抽样的定义可求抽取的女生人数. 【解析】因为某男生被抽中的概率为，所以女生被抽中的概率为， 所以抽取的女生人数为. 故答案为:3. 31．一个总体分为两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为的样本．已知层中每个个体被抽到的概率都是 ，则总体中的个体数为 ． 【答案】 【分析】根据分层抽样每个个体抽到的概率相等，即可求出结论 【解析】因为用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为的样本． 由层中每个个体被抽到的概率都为 ，知道在抽样过程中每个个体被抽到的概率是， 所以总体中的个体数为． 故答案为：. 32．从一个容量为100的总体中抽取容量为10的样本，选取简单随机抽样和分层随机抽样两种不同方法抽取样本.在简单随机抽样中，总体中每个个体被抽中的概率为，某个体被抽中的概率为；在分层随机抽样中，总体中每个个体被抽中的概率为，则（    ） A． B． C． D．之间没有关系 【答案】B 【分析】根据简单随机抽样、分层抽样的定义即可得到结论． 【解析】根据抽样调查的原理可得简单随机抽样，分层抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等,即. 故选：B 【点睛】本题考查简单随机抽样、分层抽样的原理的理解，两种抽样都是等可能抽取，是一道容易题. 题型9：解答题 33．某汽车销售商销售某品牌的A、B、C三类轿车，每类轿车均有舒适型和经济型两种型号，其某月的销量（单位：辆）如下表所示． A B C 舒适型/辆 35 28 15 经济型/辆 50 72 40 试设计一个抽样方案，从该月购买轿车的客户中抽取20位，调查他们的满意度. 【答案】答案见解析 【分析】利用分层抽样的方法抽样即可. 【解析】采用分层抽样调查方法，调查他们的满意度. 某月三种品牌汽车的销量总量为：， A品牌轿车销售总数，占当月销售总量的， 其中舒适型占A品牌总量的，经济型A占品牌总量的； B品牌轿车销售总数，占当月销售总量的， 其中舒适型占B品牌总量的，经济型B占品牌总量的； C品牌轿车销售总数，占当月销售总量的， 其中舒适型占C品牌总量的，经济型C占品牌总量的； 从该月购买轿车的客户中抽取20位，那么应抽取A品牌轿车（辆）， 其中舒适型应抽取（辆），经济型应抽取4（辆）； 应抽取B品牌轿车（辆），其中舒适型应抽取（辆）， 经济型应抽取6（辆）； 应抽取C品牌轿车（辆），其中舒适型应抽取（辆）， 经济型应抽取4（辆）. 综上，应抽取A品牌轿车7（辆），其中舒适型应抽取3（辆），经济型应抽取4（辆）； 应抽取B品牌轿车8（辆），其中舒适型应抽取2（辆），经济型应抽取6（辆）； 应抽取C品牌轿车5（辆），其中舒适型应抽取1（辆），经济型应抽取4（辆）. 34．某高中高一、高二、高三年级共有学生800名，各年级男、女生人数如下表： 高一 高二 高三 男生（人数） 149 女生（人数） 143 130 已知在三个年级的学生中随机抽取1名，抽到高二年级男生的概率是0.16 (1)求的值； (2)现用分层抽样的方法在三个年级中共抽取32名学生，应从高三年级抽取多少名? 【答案】(1)128. (2)10名. 【分析】（1）根据抽到高二年级男生的概率是0.16，列式计算，可得答案. （2）求出高三年级的总人数，根据分层抽样的比例，列式计算，求得答案. 【解析】（1）由题意可知. （2）高三年级人数为， 故用分层抽样的方法在三个年级中共抽取32名学生， 应从高三年级抽取人数为（名）. 35．有以下两个案例： 案例一：从同一批次同类型号的10袋牛奶中抽取3袋分别检测三聚氰胺的含量； 案例二：某公司有员工800人，其中具有高级职称的有160人，具有中级职称的有320人，具有初级职称的有200人，其他人员120人，从中抽取容量为40的样本，了解他们的收入情况． (1)你认为这两个案例分别应采用怎样的抽样方式较为合适？ (2)在你使用的分层抽样案例中写出抽样过程． 【答案】(1)案例一用简单随机抽样，案例二用分层抽样 (2)答案见解析 【分析】（1）由分层抽样和简单随机抽样的定义即可得出答案； （2）按照分层、确定抽样比、确定各层样本数、按简单随机抽样方式在各层确定相应的样本、汇总构成一个容量为40的样本的过程求解即可. 【解析】（1）案例一用简单随机抽样，案例二用分层抽样． （2）①分层，将总体分为具有高级职称、中级职称、初级职称及其他人员四层； ②确定抽样比； ③按抽样比确定各层应分别抽取的人数为8，16，10，6； ④按简单随机抽样的方法在各层确定相应的样本； ⑤汇总构成一个容量为40的样本． 36．将某中职学校高二年级某班学生的数学测试成绩（满分100分）按照，进行分组，得到如图所示的频率分布直方图，已知图中.    (1)求a，b的值; (2)按照人数比例用分层抽样的方法，从成绩在内的学生中抽取4人，再从这4人中任选2人，求这2人成绩都在内的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由所有长方形的面积和为1列方程，结合可求出a，b的值； （2）根据频率分布直方图可得抽取的4人中成绩在内的有3人，成绩在内的有1人，然后利用列举法可求得结果. 【解析】（1）由频率分布直方图可知 解得 （2）由（1）可知成绩在和内的人数之比为3：1，按分层抽样， 抽取的4人中成绩在内的有3人，记为，成绩在内的有1人，记为. 则4人中任选2人，样本空间包含的样本点有， 则样本点总数 其中两人成绩都在内有，样本点数， 故从4人中任选2人成绩都在内的概率. 一、填空题 1．为了防止职业病，某企业采用系统抽样方法，从该企业全体名员工中抽名员工做体检，现从名员工从到进行编号，在中随机抽取一个数，如果抽到的是，则从这个数中应抽取的数是 ． 【答案】52 【解析】由题意可知，抽取的人数编号组成一个首项为7，公差为15的等差数列， 则从这个数中应抽取的数是：. 故答案为 52． 2．以“塑造软件新生态，赋能发展新变革”为主题的第二十五届中国国际软件博览会于2023年8月31日在天津开幕.本次参会人员分不同区域落座，其中某个区域的男性参会人员有25人，女性参会人员有15人，现按性别比例进行分层抽样，若从该区域随机抽取16位参会人员，则女性参会人员应抽取的人数为 . 【答案】6 【分析】利用分层抽样的分层比直接计算即可. 【解析】由题意得分层比为，则女性参会人员应抽取的人数为. 故答案为：6 二、单选题 3．某学校老师中，型血有36人、型血有24人、型血有12人，现需要从这些老师中抽取一个容量为的样本.如果采用系统抽样和分层抽样方法抽取，都不用剔除个体；如果样本容量减少一个，则在采用系统抽样时，需要在总体中剔除2个个体，则样本容量可能为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据系统抽样和分层抽样方法特点确定样本容量需满足条件，再比较选项确定结果. 【解析】因为采用系统抽样和分层抽样方法抽取，都不用剔除个体， 所以样本容量为的约数， 因为， 所以样本容量为的倍数，因此舍去B、D， 因为如果样本容量减少一个，则在采用系统抽样时，需要在总体中剔除2个个体， 所以样本容量为的约数加1， 综上，满足要求只有C. 故选：C 4．国内某优秀新能源电池制造企业在锂电池单位能量密度技术上取得了重大突破，该制造企业内的某车间有两条生产线，分别生产高能量密度锂电池和低能量密度锂电池，总产量为400个锂电池．质检人员采用分层随机抽样的方法随机抽取了一个容量为80的样本进行质量检测，已知样本中高能量密度锂电池有35个，则估计低能量密度锂电池的总产量为（    ）． A．325个 B．300个 C．225个 D．175个 【答案】C 【分析】根据分层抽样计算规则计算可得. 【解析】根据分层随机抽样可知低能量密度锂电池的产量为（个）． 故选：C 三、解答题 5．疫苗是全球最终战胜新冠肺炎疫情的关键，某生物技术公司研制一种新冠疫苗，为测试该疫苗的有效性，公司选定2000个样本分成三组，测试结果如下表： A组 B组 C组 疫苗有效 673 660 疫苗无效 77 已知在全体样本中随机抽取1个，抽到组疫苗无效的概率是0.045. (1)求的值； (2)现用分层抽样的方法在全部测试结果中抽取360个样本，求在组抽取的个数； (3)在选定的2000个样本，若疫苗有效的概率低于，则认为测试没有通过.已知，求该疫苗能通过测试的概率. 【答案】(1)90 (2)90 (3) 【分析】（1）由B组疫苗无效的数量求出比率计算即得； （2）根据组疫苗的抽样比等于整体疫苗的抽样比即可求得； （3）根据疫苗有效的概率低于确定时认为测试没有通过，再根据条件和列举出组的测试结果中疫苗有效与无效的所有基本事件，利用古典概型概率公式即可求得. 【解析】（1）由题意得，. （2）由（1）得，C组样本总个数. 现用分层抽样的方法在全部测试结果中抽取360个样本， 则在C组抽取的个数为. （3）设“该疫苗没有通过测试”为事件. ， 故，组的测试结果中疫苗有效与无效的基本事件有11个，它们是：，. 因疫苗有效的概率低于时认为测试没有通过，即当，即时认为测试没有通过， 事件包含的基本事件有2个，它们是：，则, 所求概率为. 6．某地区课改时实行高考新方案试点，规定：语文、数学和英语是必考科目，考生还要从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目.为了解某校学生选科情况，现从高一、高二、高三学生中各随机选取了100名学生作为样本进行调查，调查数据如下表，用频率估计概率. 选考情况 第1门 第2门 第3门 第4门 第5门 第6门 物理 化学 生物 历史 地理 政治 高一选科人数 80 70 35 20 35 60 高二选科人数 60 45 55 40 40 60 高三选科人数 50 40 60 40 40 70 (1)已知该校高一年级有400人，估计该学校高一年级学生中选考历史的人数； (2)现采用分层抽样的方式从样本中随机抽取三个年级中选择历史学科的5名学生组成兴趣小组，再从这人中随机抽取2名同学参加知识问答比赛，求这2名参赛同学来自不同年级的概率； (3)假设三个年级选择选考科目是相互独立的.为了解不同年级学生对各科目的选择倾向，现从高一、高二、高三样本中各随机选取1名学生进行调查，求这3名学生均选择了第1门科目的概率. 【答案】(1)80人 (2) (3) 【分析】（1）由样本中选择历史学科的比例结合高一年级学生总人数即可得解. （2）先确认各年级样本中抽取的人数并进行编号，列出从这5名运动员中随机抽取2名参加比赛所有可能的结果，再由2名参赛同学来自相同年级的可能结果即可求出2名参赛同学来自不同年级的概率. （3）先求出样本中三个年级选第一门科目的概率即可依据相互独立乘法概率公式进一步求出所求概率. 【解析】（1）由题意知，样本中高一学生共有100人，其中选择历史学科的学生有20人， 故估计高一年级选历史学科的学生有人. （2）由表格数据可知应从样本中三个年级选历史的学生中分别抽取人数为1，2，2， 编号依次为，，，，， 从这5名运动员中随机抽取2名参加比赛，所有可能的结果为 ，，，，，，，，，，共10种， 设为事件“这2名参赛同学来自不同年级”， 则 为事件“这2名参赛同学来自相同年级”有，共2种， 所以事件发生的概率. （3）样本中三个年级选第一门科目的学生分别为80，60，50， 所以样本中三个年级选第一门科目的概率分别为， 所以现从高一、高二、高三样本中各随机选取1名学生进行调查， 则这3名学生均选择了第1门科目的概率为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！20 学科网（北京）股份有限公司 $$