13.5 统计估计（五大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020必修第三册）

13.5 统计估计 题型1：估计总体的分布 1．如果将样本容量取得足够大，分组的组距取得足够小，那么相应的频率折线图将趋于一条光滑的曲线，我们把这样的曲线称为 . 2．某小学为了了解三年级学生的身高情况，用随机抽样的方法获得了校内20名三年级学生的身高（单位：厘米），结果如下： 104  111  112  115  117 117  118  119  121  123 126  128  129  129  133 135  136  138  142  145 试估计该校全体三年级学生的身高情况． 身高分布区间 频数 频率 [100，110） 1 0.05 0.005 [110，120） 7 0.35 0.035 [120，130） 6 0.30 0.030 [130，140） 4 0.20 0.020 [140，150） 2 0.10 0.010 3．某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了25根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标）（单位：mm），所得数据都在区间[5，40]中，具体数据如下： 12  14  16  17  17 19  20  20  21  22 23  23  23  24  24 25  25  26  27  27 28  29  30  32  34 试估计这批棉花的质量情况． 棉花纤维长度分布区间 频数 频率 [10，15） 2 0.08 0.016 [15，20） 4 0.16 0.032 [20，25） 9 0.36 0.072 [25，30） 7 0.28 0.056 [30，35] 3 0.12 0.024 4．某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了20名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果如下（单位：小时）： 0.2  0.3  0.3  0.4  0.5 0.6  0.6  0.7  0.7  0.8 0.8  1.0  1.1  1.3  1.4 1.4  1.6  1.7  2.0  2.3 (1)试估计该学校学生的课外阅读情况； (2)估计该学校学生的课外阅读时间超过1小时的人数占比． 5．廖老师为了了解学生周末利用网络进行学习的时间，在所任教班级随机调查了10名学生，其统计数据如下表： 时间（单位：小时） 4 3 2 l 0 人数 3 4 1 1 1 则这10名学生周末利用网络进行学习的平均时间是 小时. 题型2：估计总体的集中趋势 6．样本数据16，24，14，10，20，30，12，14，40的中位数为 . 7．为了解一路段车辆行驶速度的情况，交警统计了该路段上午7：00至9：00来往车辆的车速（单位：千米/时），并绘制成如图所示的条形统计图，这些车速的众数是 . 8．已知总体划分为3层，按比例用分层随机抽样法抽样，各层的样本量及样本平均数如下表： 分层 样本量 样本平均数 第一层 10 55 第二层 30 75 第三层 10 90 估计总体平均数为（    ） A．73 B．74 C．76 D．80 9．一组数据2，3，x，5，7的平均数是4，则这组数据的众数是 ． 10．已知一组数据1，2，0，，x，1的平均数是1，则这组数据的中位数为 . 11．某大学生暑假到工厂参加劳动，生产了100件产品，质检人员测量其长度（单位：厘米），将所得数据分成6组：，得到如图所示的频率分布直方图，则对这100件产品，下列说法中不正确的是（    ）    A． B．长度的平均数是93 C．长度的中位数一定落在区间内 D．长度落在区间内的个数为35 题型3：估计总体的离散程度 12．有一组样本数据为1，3，5，7，则它的方差为 . 13．体育是初三学生中考的第一科，某班50名同学的体育中考成绩数据如表，其中有两个数据被遮盖，下列关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（    ） 分数 43 44 45 46 47 48 49 50 人数 1 2 1 3 4 30 A．中位数，众数 B．中位数，方差 C．平均数，方差 D．平均数，众数 14．上春季，某队甲、乙两名篮球运动员都参加了相同的场比赛，他们所有比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示，据此你认为甲、乙两名运动员得分的表现（    ） A．甲比乙好 B．乙比甲好 C．甲乙一样好 D．无法确定 15．已知样本数据的平均数为8，方差为32，由这组数据得到新样本数据，其中，则得到的新样本数据的平均数和方差分别是 和 ． 16．已知某7个数的平均数为2，方差为4，现加入一个新数据2，此时这8个数的方差为 . 17．已知某人收集一个样本容量为50的一组数据，并求得其平均数为70，方差为75，现发现在收集这些数据时，其中得两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90，在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为，则（    ） A． B． C． D． 18．已知一组数据的平均数是3，方差为4，则数据的平均数和方差分别是（    ） A． B． C． D． 19．某射击运动员连续射击5次，命中的环数（环数为整数）形成的一组数据中，中位数为8，唯一的众数为9，极差为3，则该组数据的平均数为（   ） A．7.6 B．7.8 C．8 D．8.2 20．某篮球运动员进行投篮训练，共进行了10组，每组投篮55次，每组投篮命中的个数分别为m，n，48，47，48，50，45，47，49，50.已知这组数据的平均数为48，方差为7，则（    ） A．10 B． C． D．5 题型4：估计百分数 21．已知某学校参加学科节数学竞赛决赛的8人的成绩（单位：分）为：，则这组数据的第75百分位数是 . 22．有8位同学在一次考试中的数学成绩如下： 95，45，62，78，53，83，74，88， 则该小组本次考试数学成绩的第60百分位数为 . 23．以下数据为参加某次数学竞赛的15人的成绩（单位：分），分数从低到高依次是：，，则这15人成绩的第80百分位数是 ． 24．某校举行演讲比赛，10位评委对某选手的评分如下：7.5，7.8，7.8，7.8，8.0，8.0，8.3，8.3，8.8，8.9，选手的最终得分为去掉一个最低分和一个最高分之后，剩下8个评分的平均数．则下列说法错误的是（    ）． A．剩下的8个评分的众数为7.8 B．原来的10个评分的80％分位数8.3 C．剩下的8个评分的平均数比原来的10个评分的平均数小 D．剩下的8个评分的方差比原来的10个评分的方差小 25．有一组样本数据，，…，，其中是最小值，是最大值，则下列说法正确的是（    ） A．的中位数一定等于的中位数； B．的平均数一定等于的平均数； C．的标准差一定不小于的标准差； D．的30百分位数一定不等于的30百分位数． 题型5：利用统计图表估计百分数 26．上海申花队一线队员共26名球员，其年龄分布茎叶图如图所示：则申花队球员年龄的第75百分位数是 27．某小组成员的年龄分布茎叶图如图所示，则该小组成员年龄的第25百分位数是 ． 28．高二年级进行消防知识竞赛，统计所有参赛同学的成绩，如下图所示，成绩都在内，估计所有参赛同学成绩的第百分位数为 ． 29．某单位为了解该单位党员开展学习党史知识活动情况，随机抽取了部分党员，对他们一周的党史学习时间进行了统计，统计数据如下表所示： 党史学习时间 (小时) 7 8 9 10 11 党员人数 6 10 9 8 7 则该单位党员一周学习党史时间的众数及第40 百分位数分别是（    ） A．8， 8.5 B．8， 8 C．9， 8 D．8， 9 30．某校举办“学党史、育文化”党史知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确是（    ） ①的值为0.005； ②估计成绩低于60分的有25人； ③估计这组数据的众数为75； ④估计这组数据的第85百分位数为86.    A．②③ B．①③④ C．①② D．①②③ 一、填空题 1．学校为了解学生身高单位：情况，采用分层随机抽样的方法从名学生（男女生人数之比为）中抽取了一个容量为的样本.其中，男生平均身高为，方差为，女生平均身高为，方差为，用样本估计总体，则该学校学生身高的方差为 ． 2．对于没有重复数据的样本、、…、，记这m个数的第k百分位数为．若不在这组数据中，且在区间中的数据有且只有5个，则m的所有可能值组成的集合为 ． 二、单选题 3．某研究小组为了解某市高中生自主阅读情况，随机调查了2000名学生的每周自主阅读时间，按照时长（单位：小时）分成五组：，得到如图所示的频率分布直方图，其中每周自主阅读时间不低于8小时的频率为0.3.则以下说法中错误的是（    ） A． B．估计样本数据的第60百分位数值是7.5小时 C．样本的极差介于6小时至10小时之间 D．估计这2000名学生每周自主阅读时间的平均值是6.5小时 4．在一组数3，3，8，11，28中插入两个整数，，使得新的一组数极差为原来极差的两倍，且众数和中位数保持不变，则的最大值为（    ） A．57 B．58 C．60 D．61 三、解答题 5．黄山雄踞风景秀丽的安徽南部，是我国最著名的山岳风景区之一. 为更好地提升旅游品质，黄山风景区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据这100名游客的评分，制成如图所示的频率分布直方图.    (1)根据频率分布直方图，求的值； (2)估计这100名游客对景区满意度评分的众数、平均数（结果均精确到0.1）； (3)景区的工作人员采用按比例分层抽样的方法从评分在、的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行个别交流，求选取的2人评分分别在和内各1人的概率. 6．掷一颗骰子10次，记录出现偶数点的比例．这样的试验共做了100次，所得数据如下表所示． 比例 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 频数 1 3 8 21 28 23 10 5 1 0 (1)绘制频率分布条形图； (2)求偶数出现比例的平均值和标准差． 7．某调研机构为了了解人们对“奥运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“奥运会”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人. (1)根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄； 现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“奥运会”宣传使者. (2)若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率； (3)若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和1，据此估计这人中35~45岁所有人的年龄的方差. 8．某学习小组拟对本校高二年级学生上学路上花费时间（单位：分钟）进行统计调查，随机抽取了男生、女生各10人，按他们上学路上花费时间绘制了如图茎叶图，并将上学路上花费时间划分了时间等级（时间越短等级越小），如下表所示. 花费时间（分钟） 时间等级 一级 二级 三级 (1)试根据茎叶图，求出这10名女生上学路上花费时间的极差和中位数； (2)已知高二年级共有200人，若该20个样本数据是以性别分层抽样的方式获取，试根据茎叶图估计全年级上学路上花费时间不超过40分钟的男生人数； (3)现从这20人中随机抽取男、女生各一人，设事件为“被选中的男生的时间等级小于被选中的女生的时间等级”，假设这20个人上学互不影响，求事件发生的概率. 9．三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表(单位：小时)； A班 6 7 8 B班 6 7 8 10 11 12 C班 3 6 9 12 (1)试估计班的学生人数； (2)从班和班抽出的学生中，各随机选取一人，班选出的人记为甲，班选出的人记为乙，假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率； (3)再从三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，8.25(单位：小时)，这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记，表格中数据的平均数记为 ，试判断和的大小，(结论不要求证明) 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 13.5 统计估计 题型1：估计总体的分布 1．如果将样本容量取得足够大，分组的组距取得足够小，那么相应的频率折线图将趋于一条光滑的曲线，我们把这样的曲线称为 . 【答案】总体分布的密度曲线 【分析】根据总体分布的密度曲线的概念可知． 【解析】我们把这样的曲线称为：总体分布的密度曲线． 故答案为：总体分布的密度曲线． 2．某小学为了了解三年级学生的身高情况，用随机抽样的方法获得了校内20名三年级学生的身高（单位：厘米），结果如下： 104  111  112  115  117 117  118  119  121  123 126  128  129  129  133 135  136  138  142  145 试估计该校全体三年级学生的身高情况． 【答案】答案见解析 【分析】先根据样本数据制作频率分布直方图，由此估计总体的分布情况. 【解析】这里的总体是该校三年级学生的身高情况，我们要利用通过抽样获得的20名三年级学生的身高信息来估计总体的分布情况．由于从题目中的数据很难看出任何规律，因此我们通过制作频率分布表来分析样本数据的频率分布．这组数据的最小值为104，最大值为145，故全距为41，可选取组距为10，将其分为5组．其频率分布表如下： 身高分布区间 频数 频率 [100，110） 1 0.05 0.005 [110，120） 7 0.35 0.035 [120，130） 6 0.30 0.030 [130，140） 4 0.20 0.020 [140，150） 2 0.10 0.010 从上表中可以估计总体的大致分布情况．比如，该校三年级学生的身高在[110，130）范围内的频率最大，不足110厘米和大于130厘米的频率相对较小． 3．某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了25根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标）（单位：mm），所得数据都在区间[5，40]中，具体数据如下： 12  14  16  17  17 19  20  20  21  22 23  23  23  24  24 25  25  26  27  27 28  29  30  32  34 试估计这批棉花的质量情况． 【答案】答案见解析 【分析】利用样本数据制作频率分布表，根据样本的频率分布估计这批棉花的质量情况． 【解析】这里的总体是某棉纺厂一批棉花的棉花纤维的长度情况，我们要利用通过抽样获得的25根棉花纤维的长度来估计总体的分布情况．由于题目中的数据很难看出任何规律，因此我们通过制作频率分布表来分析样本数据的频率分布．这组数据的最小值为12，最大值为34，故极差为22，可选取组距为5，将其分为5组．其频率分布表如下： 棉花纤维长度分布区间 频数 频率 [10，15） 2 0.08 0.016 [15，20） 4 0.16 0.032 [20，25） 9 0.36 0.072 [25，30） 7 0.28 0.056 [30，35] 3 0.12 0.024 从上表中可以估计总体的大致分布情况．比如，该棉纺厂一批棉花的棉花纤维的长度在[15，30）范围内的频率最大，不足15 mm和大于30 mm的频率相对较小． 4．某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了20名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果如下（单位：小时）： 0.2  0.3  0.3  0.4  0.5 0.6  0.6  0.7  0.7  0.8 0.8  1.0  1.1  1.3  1.4 1.4  1.6  1.7  2.0  2.3 (1)试估计该学校学生的课外阅读情况； (2)估计该学校学生的课外阅读时间超过1小时的人数占比． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）（2）制作频率分布表来分析样本数据的频率分布，即可通过样本频率分布估计整体的频率分步 【解析】（1）由于样本的数据很难看出任何规律，因此通过制作频率分布表来分析样本数据的频率分布． 样本的最小值为0.2，最大值为2.3，故全距为2.1，可选取组距为0.5，将其分为5组．其频率分布表如下： 课外阅读时间分布区间 频数 频率 4 0.20 0.40 7 0.35 0.70 5 0.25 0.50 2 0.10 0.20 2 0.10 0.20 从上表中可以估计总体的大致分布情况．比如，该校学生的课外阅读所用时间在范围内的频率最大，大于1.5小时的频率相对较小． （2）由（1）得，估计该学校学生的课外阅读时间超过1小时的人数占比为． 5．廖老师为了了解学生周末利用网络进行学习的时间，在所任教班级随机调查了10名学生，其统计数据如下表： 时间（单位：小时） 4 3 2 l 0 人数 3 4 1 1 1 则这10名学生周末利用网络进行学习的平均时间是 小时. 【答案】2.7 【分析】依据加权平均数的概念求解可得. 【解析】这10名学生周末利用网络进行学习的平均时间是： . 故答案为：2.7 题型2：估计总体的集中趋势 6．样本数据16，24，14，10，20，30，12，14，40的中位数为 . 【答案】16 【分析】先将数据按照从小到大顺序排列，再根据中位数定义计算即得. 【解析】将这组数据按照从小到大的顺序排列为：， 故其中位数为第五个数：16. 故答案为：16. 7．为了解一路段车辆行驶速度的情况，交警统计了该路段上午7：00至9：00来往车辆的车速（单位：千米/时），并绘制成如图所示的条形统计图，这些车速的众数是 . 【答案】70 【分析】根据给定的条形统计图，利用众数的意义直接写出结果. 【解析】由条形统计图知，70千米/时是出现次数最多的，所以这些车速的众数是70. 故答案为：70 8．已知总体划分为3层，按比例用分层随机抽样法抽样，各层的样本量及样本平均数如下表： 分层 样本量 样本平均数 第一层 10 55 第二层 30 75 第三层 10 90 估计总体平均数为（    ） A．73 B．74 C．76 D．80 【答案】B 【分析】利用分层抽样的平均数公式，列式计算即得. 【解析】依题意，估计总体平均数为. 故选：B 9．一组数据2，3，x，5，7的平均数是4，则这组数据的众数是 ． 【答案】3 【分析】根据平均数得到方程，求出，从而求出众数. 【解析】∵一组数据2，3，x，5，7的平均数是4， ∴，解得， 由于3出现了2次，其他数据均出现1次， ∴这组数据的众数是3 故答案为：3 10．已知一组数据1，2，0，，x，1的平均数是1，则这组数据的中位数为 . 【答案】1 【分析】由平均数的公式求得，根据中位数的概念求出结果. 【解析】这组数据的平均数为， 有， 可求得. 将这组数据从小到大重新排列后，观察数据可知最中间的两个数是1与1， 其平均数即中位数是. 故答案为：1. 11．某大学生暑假到工厂参加劳动，生产了100件产品，质检人员测量其长度（单位：厘米），将所得数据分成6组：，得到如图所示的频率分布直方图，则对这100件产品，下列说法中不正确的是（    ）    A． B．长度的平均数是93 C．长度的中位数一定落在区间内 D．长度落在区间内的个数为35 【答案】A 【分析】按照频率分布直方图的含义，结合相关公式即可得解. 【解析】对于A，由频率和为1，得，解得，故A错误； 对于B，根据频率分布直方图长度的平均数为 ，故B正确； 对于D，长度落在区间内的个数为，故D正确； 对于C，有个数，内有个数， 所以长度的中位数一定落在区间内，故C正确. 故选：A 题型3：估计总体的离散程度 12．有一组样本数据为1，3，5，7，则它的方差为 . 【答案】5 【分析】首先计算出这组数据的平均数，结合方差公式即可得解. 【解析】这组数据的平均数为，这组数据的方差为. 故答案为：5. 13．体育是初三学生中考的第一科，某班50名同学的体育中考成绩数据如表，其中有两个数据被遮盖，下列关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（    ） 分数 43 44 45 46 47 48 49 50 人数 1 2 1 3 4 30 A．中位数，众数 B．中位数，方差 C．平均数，方差 D．平均数，众数 【答案】A 【分析】根据众数、中位数平均数和方差的定义求解可得． 【解析】解：这组数据中成绩为46、47的人数和为， 则这组数据中出现次数最多的数50，即众数50， 第25、26个数据都是50，则中位数为50， 即中位数，众数不变，平均数，方差均与具体数据有关， 故平均数，方差与被遮盖的数据有关. 故选：A． 14．上春季，某队甲、乙两名篮球运动员都参加了相同的场比赛，他们所有比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示，据此你认为甲、乙两名运动员得分的表现（    ） A．甲比乙好 B．乙比甲好 C．甲乙一样好 D．无法确定 【答案】A 【分析】由给定的茎叶图，求出甲乙得分的平均数及方差，再比较大小即得. 【解析】依题意，甲得分的平均数， 乙得分的平均数， 甲得分的方差， 乙得分的方差， 显然，说明甲、乙得分的平均水平相当，而甲得分比乙得分更稳定，因此甲比乙好. 故选：A 15．已知样本数据的平均数为8，方差为32，由这组数据得到新样本数据，其中，则得到的新样本数据的平均数和方差分别是 和 ． 【答案】 【分析】由平均数和方差的定义及性质即可求解. 【解析】由题意，样本数据的平均值，方差， 因为新数据中， 所以新数据的平均值， 方差. 故答案为：①，②. 16．已知某7个数的平均数为2，方差为4，现加入一个新数据2，此时这8个数的方差为 . 【答案】 【分析】先由原7个数的方差求出，再求出加入一个新数据2后所得8个数的平均数，即可根据方差公式求出新方差. 【解析】原7个数的方差为，即， 加入一个新数据2后所得8个数的平均数为， 所以这8个数的方差为. 故答案为: . 17．已知某人收集一个样本容量为50的一组数据，并求得其平均数为70，方差为75，现发现在收集这些数据时，其中得两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90，在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由平均数，方差计算公式可判断各选项正误. 【解析】设其他48个数据依次为， 则，因为， 因此平均数不变，即；又由方差计算公式可知：， ， 注意到，则. 故选：C. 18．已知一组数据的平均数是3，方差为4，则数据的平均数和方差分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，由平均数与方差的性质列出方程，代入计算，即可求解. 【解析】设数据的平均数和方差分别是，， 则数据的平均数是，方差是， 所以，解得，，解得， 即数据的平均数和方差分别是. 故选：A 19．某射击运动员连续射击5次，命中的环数（环数为整数）形成的一组数据中，中位数为8，唯一的众数为9，极差为3，则该组数据的平均数为（   ） A．7.6 B．7.8 C．8 D．8.2 【答案】B 【分析】首先分析数据的情况，再根据平均数公式计算可得. 【解析】这组数据一共有5个数，中位数为8， 从小到大排列，8的前面有2个数，后面也有2个数， 又唯一的众数为9，则有两个9， 其余数字均出现一次， 则最大数字为9， 又极差为3，所以最小数字为6， 所以这组数据为6、7、8、9、9， 所以平均数为：. 故选：B. 20．某篮球运动员进行投篮训练，共进行了10组，每组投篮55次，每组投篮命中的个数分别为m，n，48，47，48，50，45，47，49，50.已知这组数据的平均数为48，方差为7，则（    ） A．10 B． C． D．5 【答案】A 【分析】根据平均数与方差的公式列方程可得解. 【解析】因为这组数据的平均数为48，方差为7， 所以 整理得 设，则， 因为50，所以，即， 则． 故选：A 题型4：估计百分数 21．已知某学校参加学科节数学竞赛决赛的8人的成绩（单位：分）为：，则这组数据的第75百分位数是 . 【答案】/ 【分析】根据题意，利用百分位数的定义和计算方法，即可求解. 【解析】将数据从小到大排序得， 因为，所以第75百分位数是. 故答案为：. 22．有8位同学在一次考试中的数学成绩如下： 95，45，62，78，53，83，74，88， 则该小组本次考试数学成绩的第60百分位数为 . 【答案】 【分析】将成绩按照从小到大的顺序排列后利用百分位数的定义计算即可得出结果. 【解析】根据题意将8位同学的成绩按照从小到大的顺序排列如下：； 又，所以成绩的第60百分位数为第5个数，即为. 故答案为： 23．以下数据为参加某次数学竞赛的15人的成绩（单位：分），分数从低到高依次是：，，则这15人成绩的第80百分位数是 ． 【答案】90.5 【分析】计算，即可确定这15人成绩的第80百分位数为第12和第13个数据的平均数，由此可得答案. 【解析】因为， 将数据从小到大排序得56、70、72、78、79、80、81、83、84、86、88、90、91、94、98， 故这15人成绩的第80百分位数为， 故答案为：90.5. 24．某校举行演讲比赛，10位评委对某选手的评分如下：7.5，7.8，7.8，7.8，8.0，8.0，8.3，8.3，8.8，8.9，选手的最终得分为去掉一个最低分和一个最高分之后，剩下8个评分的平均数．则下列说法错误的是（    ）． A．剩下的8个评分的众数为7.8 B．原来的10个评分的80％分位数8.3 C．剩下的8个评分的平均数比原来的10个评分的平均数小 D．剩下的8个评分的方差比原来的10个评分的方差小 【答案】B 【分析】利用众数、百分位数、平均数及方差的定义，对以下各项逐一判断，即可得到本题答案. 【解析】对于A，剩下的8个评分：7.8，7.8，7.8，8.0，8.0，8.3，8.3，8.8，其众数为7.8，A正确； 对于B，由，可得原来的10个评分的80%分位数，B错误； 对于C，原来的10个评分的平均数为， 剩下的8个评分的平均数为，，C正确； 对于D，原来的10个评分的方差为， 剩下的8个评分的方差为，，D正确. 故选：B 25．有一组样本数据，，…，，其中是最小值，是最大值，则下列说法正确的是（    ） A．的中位数一定等于的中位数； B．的平均数一定等于的平均数； C．的标准差一定不小于的标准差； D．的30百分位数一定不等于的30百分位数． 【答案】A 【分析】根据中位数、百分位数、平均数及标准差的定义一一判断即可. 【解析】对于A：因为的中位数为从小到大排列的第个数，设为； 又的中位数从小到大排列的第个数恰为， 所以的中位数一定等于的中位数，故A正确； 对于B：因为与不一定相等， 故的平均数与的平均数不一定相等，故B错误； 对于C：因为的极差不大于的极差， 所以的标准差不大于的标准差，故C错误； 对于D：因为，， 则的百分位数为从小到大排列的第个数，设为； 的百分位数为从小到大排列的第个数恰为， 故的百分位数一定等于的百分位数，故D正确. 故选：A 题型5：利用统计图表估计百分数 26．上海申花队一线队员共26名球员，其年龄分布茎叶图如图所示：则申花队球员年龄的第75百分位数是 【答案】 【分析】将数据由小到大排列，由百分位数的定义知第75百分位数为第20名球员的年龄. 【解析】，该国家队球员年龄的第75百分位数为第20名球员的年龄为31岁． 故答案为：. 27．某小组成员的年龄分布茎叶图如图所示，则该小组成员年龄的第25百分位数是 ． 【答案】/ 【分析】根据茎叶图中数据，利用百分位数的定义计算即可. 【解析】因为，所以该小组成员年龄的第25百分位数是， 故答案为：. 28．高二年级进行消防知识竞赛，统计所有参赛同学的成绩，如下图所示，成绩都在内，估计所有参赛同学成绩的第百分位数为 ． 【答案】 【分析】先利用各矩形的面积之和为1，求得a，再利用第75百分位数的定义求解 【解析】因为， 参赛成绩位于内的频率为， 第75百分位数在内，设为，则，解得， 即第75百分位数为， 故答案为： 29．某单位为了解该单位党员开展学习党史知识活动情况，随机抽取了部分党员，对他们一周的党史学习时间进行了统计，统计数据如下表所示： 党史学习时间 (小时) 7 8 9 10 11 党员人数 6 10 9 8 7 则该单位党员一周学习党史时间的众数及第40 百分位数分别是（    ） A．8， 8.5 B．8， 8 C．9， 8 D．8， 9 【答案】A 【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数值，根据众数的概念可得结果.把样本数据从小到大排序，根据取第16个数和第17个数的平均数即是第40百分位数. 【解析】党员人数一共有， 学习党史时间为8小时的人数最多，故学习党史时间的众数为8， 因为，所以第40百分位数是第16和17个数的平均数， 把学习党史时间从小到大进行排序，根据所给数据可知第16，17个数分别为8，9，所以第40百分位数是 故选：A. 30．某校举办“学党史、育文化”党史知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确是（    ） ①的值为0.005； ②估计成绩低于60分的有25人； ③估计这组数据的众数为75； ④估计这组数据的第85百分位数为86.    A．②③ B．①③④ C．①② D．①②③ 【答案】B 【分析】由频率分布直方图逐项判断即可. 【解析】由频率直方图可知：， 解得：，故①正确； 成绩低于60分的频率为， 所以成绩低于60分的有人，故②错误； 最高矩形底边中点值为，故这组数据的众数估计为75，故③正确； 由于，故第85百分位数位于， 所以设第85百分位数为，，解得，故④正确. 故选：B 一、填空题 1．学校为了解学生身高单位：情况，采用分层随机抽样的方法从名学生（男女生人数之比为）中抽取了一个容量为的样本.其中，男生平均身高为，方差为，女生平均身高为，方差为，用样本估计总体，则该学校学生身高的方差为 ． 【答案】 【分析】根据题意，求出样本的平均数和方差，结合用样本估计总体的思路，即可得答案． 【解析】根据题意，由于男女生人数之比为，则样本中男女生人数之比为， 其中，男生平均身高为，方差为，女生平均身高为，方差为， 则样本的平均数， 样本的方差， 用样本估计总体，则该学校学生身高的方差为． 故答案为：． 2．对于没有重复数据的样本、、…、，记这m个数的第k百分位数为．若不在这组数据中，且在区间中的数据有且只有5个，则m的所有可能值组成的集合为 ． 【答案】 【分析】就是否为正整数分类讨论，若为正整数，则5个数分别为；若不为整数，则5个数分别为，就的范围分类计算后可得m的所有可能值组成的集合. 【解析】不妨设，因为不在这组数据，故为正整数， 若为正整数，故，其中为正整数， 故，， 因为在区间中的数据有且只有5个， 故这个5个数分别为，故即， 但当时，，此时至少有6个， 故， 当时，即为，共5个，符合； 当时，即为，共6个，不符合； 当时，即为，共7个，不符合； 若为不是整数，故，其中为正奇数， 设，其中为正整数， 则，且，故， 故，， 因为在区间中的数据有且只有5个， 故这个5个数分别为，故即， 但当，，此时至少有6个， 故， 当时，即为，共5个，符合； 当时，即为，共6个，不符合； 当时，即为，共7个，不符合； 综上，符合条件的为，， 故答案为：. 【点睛】思路点睛：与不等式有关的整数解问题，可先根据区间中含有的整数的个数初步确定参数的范围，再逐个讨论后舍去矛盾的情况即可. 二、单选题 3．某研究小组为了解某市高中生自主阅读情况，随机调查了2000名学生的每周自主阅读时间，按照时长（单位：小时）分成五组：，得到如图所示的频率分布直方图，其中每周自主阅读时间不低于8小时的频率为0.3.则以下说法中错误的是（    ） A． B．估计样本数据的第60百分位数值是7.5小时 C．样本的极差介于6小时至10小时之间 D．估计这2000名学生每周自主阅读时间的平均值是6.5小时 【答案】D 【分析】A项，由已知频率可得关系；B项，由各组频率之和为与A项所得频率关系求解，由，估计第60百分位数值所在区间，再利用矩形面积计算估值即可；C项，由最大值与最小值的取值区间，再由不等式的性质可得极差范围；D项，样本平均数由每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积（频率）的乘积之和近似代替，计算可得. 【解析】选项A，由每周自主阅读时间不低于8小时的频率为0.3， 则，解得，故A正确； 选项B，由各组频率之和为得，， 联立解得， 故五组的频率分别为， 因为前两组的频率之和为，前三组的频率之和为， 且， 设样本数据的第60百分位数值为，则， 由，解得， 故估计样本数据的第60百分位数值是7.5小时，故B正确； 选项C，设样本数据中的最小值为，最大值为， 由频率分布直方图可知，最小值，最大值， 所以，则由不等式的性质可得极差， 即样本的极差介于6小时至10小时之间，故C正确； 选项D，由频率分布直方图样本平均数的近似值为， 估计这2000名学生每周自主阅读时间的平均值是小时，故D错误. 故选：D. 4．在一组数3，3，8，11，28中插入两个整数，，使得新的一组数极差为原来极差的两倍，且众数和中位数保持不变，则的最大值为（    ） A．57 B．58 C．60 D．61 【答案】C 【分析】由题意可得插入的两个数不可能都是；可得一个为，另一个数不小于8，由极差加倍，则另一个数为，若插入的两个数是不等的且不是，，，，且极差为，进而可得，进而可求的最大值. 【解析】若插入两个整数后众数不变，则插入的数可以是“两个都是”，或是“一个为，另一个不是”， 或是“两个不等的且不是，，”． ①因为新的一组数极差加倍，所以插入的两个数不可能都是； ②因为中位数保持不变，若插入的数“一个为，另一个不是”，则一个为，另一个数不小于， 又因为极差加倍，则另一个数为，此时； ③若插入的两个数是不等的且不是，，，，且极差为，中位数保持不变， 则两个数可以为 ，，，，，，， 所以，的最大值为． 故选：C. 三、解答题 5．黄山雄踞风景秀丽的安徽南部，是我国最著名的山岳风景区之一. 为更好地提升旅游品质，黄山风景区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据这100名游客的评分，制成如图所示的频率分布直方图.    (1)根据频率分布直方图，求的值； (2)估计这100名游客对景区满意度评分的众数、平均数（结果均精确到0.1）； (3)景区的工作人员采用按比例分层抽样的方法从评分在、的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行个别交流，求选取的2人评分分别在和内各1人的概率. 【答案】(1) (2)众数 ，平均数 (3) 【分析】（1）根据直方图中频率和为1求参数即可； （2）由众数的定义和平均数的求法，结合直方图求解即可； （3）利用分层抽样及频率求各组人数，利用列举法结合古典概型运算求解. 【解析】（1）由频率分布直方图知：，可得. （2）根据频率分布直方图中矩形最高组的组中值即为众数可知，众数为， 平均数为. （3）因为评分在的频率分别为， 则在中抽取人，设为； 在中抽取人，设为； 从这6人中随机抽取2人，则有： ， ，共有15个基本事件， 设选取的2人评分分别在和内各1人为事件， 则有，共有8个基本事件， 所以. 6．掷一颗骰子10次，记录出现偶数点的比例．这样的试验共做了100次，所得数据如下表所示． 比例 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 频数 1 3 8 21 28 23 10 5 1 0 (1)绘制频率分布条形图； (2)求偶数出现比例的平均值和标准差． 【答案】(1)答案见解析； (2)0.512，0.1478. 【分析】（1）由题意绘制频率分布条形图； （2）由所给的数据求偶数出现比例的平均值和标准差. 【解析】（1）如图所示：    （2）平均数： 标准差：. 所以，标准差 7．某调研机构为了了解人们对“奥运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“奥运会”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人. (1)根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄； 现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“奥运会”宣传使者. (2)若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率； (3)若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和1，据此估计这人中35~45岁所有人的年龄的方差. 【答案】(1)岁 (2) (3)10 【分析】（1）由频率分布直方图的平均数算法可得； （2）根据古典型概念公式可得； （3）根据分层抽样平均数和方差公式可得. 【解析】（1）设这人的平均年龄为，则 （2）由题意得，第四组应抽取人，记为（甲），，，， 第五组抽取人，记为（乙），， 对应的样本空间的样本点为： 设事件为“甲、乙两人至少一人被选上”，则 ， 所以 （3）设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，， 则，，，， 设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为， 则， ， 因此第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10. 据此估计这人中35~45岁所有人的年龄的方差为10. 8．某学习小组拟对本校高二年级学生上学路上花费时间（单位：分钟）进行统计调查，随机抽取了男生、女生各10人，按他们上学路上花费时间绘制了如图茎叶图，并将上学路上花费时间划分了时间等级（时间越短等级越小），如下表所示. 花费时间（分钟） 时间等级 一级 二级 三级 (1)试根据茎叶图，求出这10名女生上学路上花费时间的极差和中位数； (2)已知高二年级共有200人，若该20个样本数据是以性别分层抽样的方式获取，试根据茎叶图估计全年级上学路上花费时间不超过40分钟的男生人数； (3)现从这20人中随机抽取男、女生各一人，设事件为“被选中的男生的时间等级小于被选中的女生的时间等级”，假设这20个人上学互不影响，求事件发生的概率. 【答案】(1)极差为，中位数为 (2)估计全年级上学路上花费时间不超过40分钟的男生人数为人 (3)事件发生的概率为 【分析】（1）根据极差和中位数的定义即可求解； （2）根据分层抽样求出高二年级中男生的人数，据此即可估计全年级上学路上花费时间不超过40分钟的男生人数； （3）分女生的时间为二级和三级两种情况即可求解. 【解析】（1）极差为，中位数为； （2）高二年级中男生共有人， 估计全年级上学路上花费时间不超过40分钟的男生人数为人； （3）. 9．三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表(单位：小时)； A班 6 7 8 B班 6 7 8 10 11 12 C班 3 6 9 12 (1)试估计班的学生人数； (2)从班和班抽出的学生中，各随机选取一人，班选出的人记为甲，班选出的人记为乙，假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率； (3)再从三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，8.25(单位：小时)，这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记，表格中数据的平均数记为 ，试判断和的大小，(结论不要求证明) 【答案】(1)40人 (2) (3) 【分析】（1）由题意知，抽出的名学生中，来自班的学生有名，再根据分层抽样的定义即可求解； （2）根据独立性的概率乘法公式即可求解； （3）三组平均数分别为总均值，而中多加的三个数平均值为，比小，从而可判断. 【解析】（1）由题意知，抽出的名学生中，来自班的学生有名. 根据分层抽样方法，班的学生人数估计为. （2）解法1：设事件为“甲是现有样本中班的第个人”，， 事件为“乙是现有样本中班的第个人”，， 由题意可知，，；，. ，，. 设事件为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”.由题意知， 因此 解法2：在班中取到每个人的概率相同均为， 设班中取到第个人事件为， C班中取到第个人事件为， 班中取到的概率为， 所求事件为， 则 ； （3）.理由如下： 三组平均数分别为总均值， 但中多加的三个数据平均值为，比小， 故拉低了平均值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！25 学科网（北京）股份有限公司 $$