第一章 直角三角形的边角关系 知识归纳与题型突破（十一类题型清单）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记·巧练（北师大版）

第一章 直角三角形的边角关系 知识归纳与题型突破（十一类题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、锐角三角函数 1.正弦、余弦、正切的定义 　　如右图、在Rt△ABC中，∠C=90°，如果锐角A确定： (1)sinA=，这个比叫做∠A的正弦. (2)cosA=，这个比叫做∠A的余弦. (3)tanA=，这个比叫做∠A的正切. 要点： 　　(1)正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中定义的，其本质是两条线段的比值，它只是一个数值，其大小只与锐角的大小有关，而与所在直角三角形的大小无关. 　　(2)sinA、cosA、tanA是一个整体符号，即表示∠A三个三角函数值，书写时习惯上省略符号“∠”， 　 　　但不能写成sin·A，对于用三个大写字母表示一个角时，其三角函数中符号“∠”不能省略，应写成sin∠BAC，而不能写出sinBAC. 　　(3)sin2A表示(sinA)2，而不能写成sinA2. 　　(4)三角函数有时还可以表示成等. 2.锐角三角函数的定义 　　锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数. 要点： 　　1. 函数值的取值范围 对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是∠A的函数.同样，cosA、tanA也是∠A的函数，其中∠A是自变量，sinA、cosA、tanA分别是对应的函数.其中自变量∠A的取值范围是0°＜∠A＜90°，函数值的取值范围是0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA＞0. 　　2．锐角三角函数之间的关系： 　　余角三角函数关系：“正余互化公式” 如∠A+∠B=90°， 那么：sinA=cosB； cosA=sinB； 　　同角三角函数关系：sin2A＋cos2A=1；tanA= 　　3.30°、45°、60°角的三角函数值 ∠A 30° 45° 60° sinA cosA tanA 1 　　30°、45°、60°角的三角函数值和解30°、60°直角三角形和解45°直角三角形为本章重中之重，是几何计算题的基本工具，三边的比借助锐角三角函数值记熟练. 二、解直角三角形 　　在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形． 　　解直角三角形的依据是直角三角形中各元素之间的一些相等关系，如图： 　　　　　　　　　　　 　　角角关系：两锐角互余，即∠A+∠B=90°； 　　边边关系：勾股定理，即； 　　边角关系：锐角三角函数，即 　　 要点： 　　解直角三角形，可能出现的情况归纳起来只有下列两种情形： 　　(1)已知两条边(一直角边和一斜边；两直角边)； 　　(2)已知一条边和一个锐角(一直角边和一锐角；斜边和一锐角)．这两种情形的共同之处：有一条边．因此，直角三角形可解的条件是：至少已知一条边． 三、解直角三角形的应用 　　解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键. 1.解这类问题的一般过程 　　(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型. 　　(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题. 　　(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形. 　　(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解. 　　2.常见应用问题 　　*(1)坡度：； 坡角:. 　　　　　 　　(2)方位角： 　　　　　 　　(3)仰角与俯角： 　　　　　 要点： 1．解直角三角形的常见类型及解法 已知条件 解法步骤 Rt△ABC 两 边 两直角边(a，b) 由求∠A， ∠B=90°－∠A， 斜边，一直角边(如c，a) 由求∠A， ∠B=90°－∠A， 一 边 一 角 一直角边 和一锐角 锐角、邻边 (如∠A，b) ∠B=90°－∠A， ， 锐角、对边 (如∠A，a) ∠B=90°－∠A， ， 斜边、锐角(如c，∠A) ∠B=90°－∠A， ， 　　 2．用解直角三角形的知识解决实际问题的基本方法是： 　　　　 　　把实际问题抽象成数学问题(解直角三角形)，就是要舍去实际事物的具体内容，把事物及它们的联系转化为图形(点、线、角等)以及图形之间的大小或位置关系． 　　借助生活常识以及课本中一些概念(如俯角、仰角、倾斜角、坡度、坡角等)的意义，也有助于把实际问题抽象为数学问题． 　　当需要求解的三角形不是直角三角形时，应恰当地作高，化斜三角形为直角三角形再求解． 03 题型归纳 题型一　锐角三角函数的概念 例题 1．在中，若各边的长度都扩大为原来的2倍，则锐角A的余弦值（    ） A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来的 C．保持不变 D．扩大为原来的4倍 巩固训练 2．在中，，各边都扩大2倍，则锐角A的三角函数值（    ） A．扩大2倍 B．不变 C．缩小 D．扩大 3．在中，，的余弦值为 ． 4．如图，在中，，，，则的正切值为（　　） A．5 B． C． D． 题型二　求锐角三角函数 例题 5．在中，，，，那么的值为（　　） A． B． C． D． 巩固训练 6．在中，，那么等于（    ） A． B． C． D． 7．在中，，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 题型三 特殊锐角三角函数值 例题 8． 的值是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 9． ． 10．计算： ． 题型四 根据特殊锐角三角函数值求角度 例题 11．如果锐角满足，则的大小是 ． 巩固训练 12．如果锐角的正切值为，那么锐角为 度 13．在锐角中，，，则 °． 14．已知a为锐角，且则 ． 15．在中，若，，都是锐角，则是 三角形． 题型五 比较锐角函数值的大小 例题 16．已知实数，，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 17．令a=sin60°，b=cos45°，c=tan30°，则它们之间的大小关系是（    ） A．c<b<a B．b<c<a C．b<a<c D．a<c<b 18．中，，，，则（    ）    A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 题型六 网格问题 例题 19．如图，，，是正方形网格中的格点（小正方形的顶点），则的值为（   ） A． B． C． D． 巩固训练 20．如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则等于（  ）    A． B． C． D． 题型七 解直角三角形—直角三角形 例题 21．如图，在中，，，，则的值为（    ） A． B． C． D．2 巩固训练 22．在中，，则的长为（　　） A．8 B．12 C．13 D．18 23．如图，在中，，，，则的长是（    ） A． B． C． D． 24．如图，在中，，下列结论正确的是（　　）    A． B． C． D． 25．如图,在△ABC中,∠A=45°,∠C=90°,点D在线段AC上,∠BDC=60°,AD=1,则BD等于(   ) A． B．+1 C．-1 D． 题型八 解直角三角形在特殊平行四边形中的应用 例题 26．如图，在矩形中，，，对角线的垂直平分线分别交于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 巩固训练 27．如图，在菱形中，于点，，，则的值为（    ）    A． B． C．2 D． 28．如图，在矩形中，，点是上一点，连接，，若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 题型九 解直角三角形—非直角三角形 例题 29．如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．5 巩固训练 30．如图，在等腰中，．若，，则底边(　　) A． B． C． D． 31．如图，，，底边BC上的高为，底边QR上的高为，则有（    ） A． B． C． D．以上都有可能 32．如图，在四边形 中，平分，，， 于点．若 ，则点 到 的距离为 ． 33．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，∠AOD＝60°，AC＝BD＝2，则这个四边形的面积是（   ） A． B． C． D． 题型十 三角函数的应用、利用三角函数测高 例题 34．如图：为了测楼房BC的高，在距离楼房10米的A处，测得楼顶B的仰角为，那么楼房BC的高为（　　） A．10tana米 B．米 C．10sin米 D．米 巩固训练 35．如图，两建筑物的水平距离为，从A点测得D点的俯角为，测得C点的俯角为，则较低建筑物的高为 ． 36．如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔的高度，他从古塔底部点处前行到达斜坡的底部点处，然后沿斜坡前行到达最佳测量点处，在点处测得塔顶的仰角为，已知斜坡的斜面坡度，且点，，，，在同一平面内，小明同学测得古塔的高度是（　　）    A． B． C． D． 37．如图，某兴趣小组用无人机进行航拍测高，无人机从相距米的1号楼和2号楼的地面正中间点垂直起飞到点处，测得1号楼顶部的俯角为，测得2号楼顶部的俯角为．已知1号楼的高度为20米，那么2号楼的高度为 米（结果保留根号）．    38．长尾夹一般用来夹书或夹文件，因此也称书夹．长尾夹的侧面可近似的看作等腰三角形，如图1是一个长尾夹的侧平面示意图，已知．按压该长尾夹的手柄，撑开后可得如图2所示的侧平面示意图．测量得．求这时这个长尾夹可夹纸厚度为 （参考数据：） 39．一款闭门器按如图1所示安装，支点A，C分别固定在门框和门板上，门宽为，摇臂，连杆，闭门器工作时，摇臂、连杆和长度均固定不变，如图2，当门闭合时，，则的长为 ． 题型十一 解答题 例题 40．计算： 巩固训练 41．计算：． 42．如图所示，在中，，，，求的长． 43．如图，在菱形中，对角线与相交于点，，，点在边上，，连结交于点． (1)求的长． (2)的值为___________． 44．项目式学习，为了测量学校教学楼的高度，方案如下： 课题 测量教学楼的高度 测量工具 测倾器．皮尺 测量方法 在阳光下，小华站在楼影子的顶端F处，此刻量出小华的影长；然后在楼落在地面的影子上的点D处，安装测倾器，测出楼顶端A的仰角． 测量数据 小华的影长，小华身高，用测倾器测得顶端A的仰角为，测倾器高，， 说明 点B、D、F、G在同一水平直线上，均垂直于．参考数据∶． 请你根据上述信息，求学校教学楼的高度（结果精确到1米）． 45． 如图，一艘渔船位于小岛的北偏东方向，距离小岛海里的点处，它沿着点的南偏东的方向航行． (1)当渔船航行到与小岛距离最近时，求渔船航行的距离及渔船与小岛之间的最近距离． (2)当渔船到达距离小岛最近的点后，按原航向继续航行海里后到点处突然发生事故，渔船马上向小岛上的救援队求救，问救援队从处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短？最短航程是多少？（结果保留根号） 46．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线交x轴于点A，交y轴于点B，． (1)求k的值； (2)如图1，点C为第三象限直线上一点，点C横坐标为t，的长为d，求d与t的函数关系式并直接写出自变量t的取值范围； (3)如图2，在（2）的条件下，当时，点D、E在第一象限直线上，且，过点C作轴交y轴于点G，，连接，在线段上取一点H，连接、、，若，，线段交x轴于点Q，求的值． 47．已知，在正方形中，点E、F分别在边和上，连接、交于点G， ． (1)如图1， 求证： (2)如图2， 若点E为的中点， 连接， 求 的值 (3)如图3，在矩形， ， ， 点E、F分别在边和上， 连接、交于点G， 若， ． 连接交于点H， 点M是上的一点，过点 M作交直线于点 N，①若， 则线段 的长为 ； ②若平分， 则线段的长为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 直角三角形的边角关系 知识归纳与题型突破（十一类题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、锐角三角函数 1.正弦、余弦、正切的定义 　　如右图、在Rt△ABC中，∠C=90°，如果锐角A确定： (1)sinA=，这个比叫做∠A的正弦. (2)cosA=，这个比叫做∠A的余弦. (3)tanA=，这个比叫做∠A的正切. 要点： 　　(1)正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中定义的，其本质是两条线段的比值，它只是一个数值，其大小只与锐角的大小有关，而与所在直角三角形的大小无关. 　　(2)sinA、cosA、tanA是一个整体符号，即表示∠A三个三角函数值，书写时习惯上省略符号“∠”， 　 　　但不能写成sin·A，对于用三个大写字母表示一个角时，其三角函数中符号“∠”不能省略，应写成sin∠BAC，而不能写出sinBAC. 　　(3)sin2A表示(sinA)2，而不能写成sinA2. 　　(4)三角函数有时还可以表示成等. 2.锐角三角函数的定义 　　锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数. 要点： 　　1. 函数值的取值范围 对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是∠A的函数.同样，cosA、tanA也是∠A的函数，其中∠A是自变量，sinA、cosA、tanA分别是对应的函数.其中自变量∠A的取值范围是0°＜∠A＜90°，函数值的取值范围是0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA＞0. 　　2．锐角三角函数之间的关系： 　　余角三角函数关系：“正余互化公式” 如∠A+∠B=90°， 那么：sinA=cosB； cosA=sinB； 　　同角三角函数关系：sin2A＋cos2A=1；tanA= 　　3.30°、45°、60°角的三角函数值 ∠A 30° 45° 60° sinA cosA tanA 1 　　30°、45°、60°角的三角函数值和解30°、60°直角三角形和解45°直角三角形为本章重中之重，是几何计算题的基本工具，三边的比借助锐角三角函数值记熟练. 二、解直角三角形 　　在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形． 　　解直角三角形的依据是直角三角形中各元素之间的一些相等关系，如图： 　　　　　　　　　　　 　　角角关系：两锐角互余，即∠A+∠B=90°； 　　边边关系：勾股定理，即； 　　边角关系：锐角三角函数，即 　　 要点： 　　解直角三角形，可能出现的情况归纳起来只有下列两种情形： 　　(1)已知两条边(一直角边和一斜边；两直角边)； 　　(2)已知一条边和一个锐角(一直角边和一锐角；斜边和一锐角)．这两种情形的共同之处：有一条边．因此，直角三角形可解的条件是：至少已知一条边． 三、解直角三角形的应用 　　解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键. 1.解这类问题的一般过程 　　(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型. 　　(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题. 　　(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形. 　　(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解. 　　2.常见应用问题 　　*(1)坡度：； 坡角:. 　　　　　 　　(2)方位角： 　　　　　 　　(3)仰角与俯角： 　　　　　 要点： 1．解直角三角形的常见类型及解法 已知条件 解法步骤 Rt△ABC 两 边 两直角边(a，b) 由求∠A， ∠B=90°－∠A， 斜边，一直角边(如c，a) 由求∠A， ∠B=90°－∠A， 一 边 一 角 一直角边 和一锐角 锐角、邻边 (如∠A，b) ∠B=90°－∠A， ， 锐角、对边 (如∠A，a) ∠B=90°－∠A， ， 斜边、锐角(如c，∠A) ∠B=90°－∠A， ， 　　 2．用解直角三角形的知识解决实际问题的基本方法是： 　　　　 　　把实际问题抽象成数学问题(解直角三角形)，就是要舍去实际事物的具体内容，把事物及它们的联系转化为图形(点、线、角等)以及图形之间的大小或位置关系． 　　借助生活常识以及课本中一些概念(如俯角、仰角、倾斜角、坡度、坡角等)的意义，也有助于把实际问题抽象为数学问题． 　　当需要求解的三角形不是直角三角形时，应恰当地作高，化斜三角形为直角三角形再求解． 03 题型归纳 题型一　锐角三角函数的概念 例题 1．在中，若各边的长度都扩大为原来的2倍，则锐角A的余弦值（    ） A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来的 C．保持不变 D．扩大为原来的4倍 【答案】C 【分析】本题考查了角的余弦值，某个角的余弦值只与该角的大小有关，据此即可求解． 【解析】解：∵某个角的余弦值只与该角的大小有关， ∴若各边的长度都扩大为原来的2倍，则锐角A的余弦值保持不变 故选：C ． 巩固训练 2．在中，，各边都扩大2倍，则锐角A的三角函数值（    ） A．扩大2倍 B．不变 C．缩小 D．扩大 【答案】B 【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，三角形相似的判定和性质，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义，三角形相似的判定和性质，根据三角形相似的判定，可以确定各边扩大后的三角形与原三角形相似，再根据相似三角形的性质可知锐角A的度数不变，所以锐角A对应的三角函数值就不变． 【解析】解：因为各边扩大后的三角形与原三角形相似，锐角A的度数不变，锐角A对应的三角函数值就不变． 故选：B． 3．在中，，的余弦值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了余弦．根据余弦的定义，即可求解． 【解析】解：在中，， ∴， 故答案为：． 4．如图，在中，，，，则的正切值为（　　） A．5 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角函数的比值关系，熟悉掌握正弦的比值关系是解题的关键． 根据正切的比值关系列式比较即可． 【解析】解：在中，，，， ∴． 故选：C． 题型二　求锐角三角函数 例题 5．在中，，，，那么的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了锐角三角函数，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据正弦的定义解答即可． 【解析】解：在中，，，， 则， 故选：A． 巩固训练 6．在中，，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查锐角三角函数的定义及运用． 据题意画出图形，由锐角三角函数的定义解答即可． 【解析】 解：如图， 由图可知． 故选：A． 7．在中，，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了锐角三角函数，勾股定理，正确记忆三角函数的定义是解题关键． 先根据勾股定理求出，再根据三角函数的定义分别求解可得． 【解析】解：如图所示， ∵，，， ∴， A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D． 题型三 特殊锐角三角函数值 例题 8． 的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求一个角的正切值，熟记是解题的关键． 【解析】解：依题意， 故选：A． 巩固训练 9． ． 【答案】 【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解决本题的关键． 根据特殊角的三角函数值解决此题． 【解析】解：原式 = 故答案为： 10．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的运算，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值，掌握运算法则．根据特殊角的三角形函数值的运算法则计算即可． 【解析】解： ． 题型四 根据特殊锐角三角函数值求角度 例题 11．如果锐角满足，则的大小是 ． 【答案】/30度 【分析】本题主要考查了根据特殊角三角函数值求角的度数，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 根据特殊角的三角函数值即可直接得出答案． 【解析】解：锐角满足， 锐角， 故答案为：． 巩固训练 12．如果锐角的正切值为，那么锐角为 度 【答案】 【分析】根据特殊角的三角函数值，即可解答． 【解析】解：因为锐角的正切值为，即， 所以锐角为度， 故答案为：． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 13．在锐角中，，，则 °． 【答案】 【分析】考查了特殊角的三角函数值及三角形内角和定理，解题的关键是掌握特殊角的三角函数值．根据，可求出的度数，再利用三角形的内角和即可求解． 【解析】解：在锐角中，， ， ， ， 故答案为：． 14．已知a为锐角，且则 ． 【答案】60°/60度 【分析】本题考查由特殊角的三角函数值，求角的度数．根据，得到，求解即可．牢记特殊角的三角函数值，是解题的关键． 【解析】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 15．在中，若，，都是锐角，则是 三角形． 【答案】等腰直角 【分析】此题考查了已知三角函数值求角，涉及了绝对值和平方的非负性，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值． 根据绝对值和平方的非负性可得，，求得，即可求解． 【解析】解：由可得 ， 即， 解得：，则， ∴为等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角． 题型五 比较锐角函数值的大小 例题 16．已知实数，，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求出各三角函数值，然后比较他们的大小即可． 本题主要考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是熟练掌握所有特殊角的三角函数值，实数比较大小． 【解析】∵，，， ∴． 故选:：A． 巩固训练 17．令a=sin60°，b=cos45°，c=tan30°，则它们之间的大小关系是（    ） A．c<b<a B．b<c<a C．b<a<c D．a<c<b 【答案】A 【分析】分别求出a、b、c所对应的值，然后比较它们的大小即可． 【解析】a=sin60°=,b=cos45°=,c=tan30°=， ∵<<， ∴c<b<a. 故选A. 【点睛】本题考查的是三角函数，熟练掌握特殊角度的三角函数值是解题的关键. 18．中，，，，则（    ）    A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 【答案】B 【分析】根据勾股定理求出的长，再根据直角三角形中正弦、余弦、正切的定义分别求值，即可得到答案． 【解析】解：在中 ，，， ∴， ∵，，，， ∴ ，， 故选B． 题型六 网格问题 例题 19．如图，，，是正方形网格中的格点（小正方形的顶点），则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设小正方形的边长为1，过点B作BD⊥AC于D，过点B作BF⊥AE于点F，由勾股定理可求AC，BC的长，由三角形的面积公式可求BD的长，即可求sin∠ACB的值． 【解析】解：设小正方形的边长为1，过点B作BD⊥AC于D，过点B作BF⊥AE于点F， ∵S△ABC=2×7-×1×3−×1×7−×2×4=5， 由勾股定理可知：AC= ， ∵AC•BD=5， ∴BD=， 由勾股定理可知：BC= ， ∴sin∠ACB= = . 故选A． 【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，解题的关键是运用面积法求BD的长． 巩固训练 20．如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则等于（  ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，过点A作AD⊥BC于D．解直角三角形即可解决问题． 【解析】解：如图，过点A作AD⊥BC于D．    在Rt△ABD中，tan∠ABC＝， 故选：C． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 题型七 解直角三角形—直角三角形 例题 21．如图，在中，，，，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确掌握边角之间的关系是解题关键．直接利用勾股定理求出的长，再利用锐角三角函数关系得出答案． 【解析】解：在中，，， 设，则，故， 则． 故选：C 巩固训练 22．在中，，则的长为（　　） A．8 B．12 C．13 D．18 【答案】C 【分析】在中，，求出，由勾股定理求出的长即可． 【解析】解：在中，∵， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】此题考查了解直角三角形、勾股定理，熟练掌握锐角三角形函数是解题的关键． 23．如图，在中，，，，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形，解题的关键是熟练掌握锐角三角形的定义． 根据余弦的定义解答即可． 【解析】解：在中，， ， ， ， 故选：C 24．如图，在中，，下列结论正确的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了锐角三角三角函数关系．根据锐角三角三角函数关系，逐项判断，即可求解． 【解析】解：A、，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项正确，符合题意； 故选：D． 25．如图,在△ABC中,∠A=45°,∠C=90°,点D在线段AC上,∠BDC=60°,AD=1,则BD等于(   ) A． B．+1 C．-1 D． 【答案】B 【分析】设BC=x，根据锐角三角函数分别用x表示出AC和CD，然后利用AC－CD=AD列方程即可求出BC，再根据锐角三角函数即可求出BD. 【解析】解：设BC=x ∵在△ABC中,∠A=45°,∠C=90°, ∴AC=BC=x 在Rt△BCD中，CD= ∵AC－CD=AD，AD=1 ∴ 解得： 即BC= 在Rt△BCD中，BD= 故选：B. 【点睛】此题考查的是解直角三角形的应用，掌握用锐角三角函数解直角三角形是解决此题的关键. 题型八 解直角三角形在特殊平行四边形中的应用 例题 26．如图，在矩形中，，，对角线的垂直平分线分别交于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意以及矩形的性质，勾股定理求得，进而根据得出即可求解． 【解析】解：∵四边形是矩形，，， ∴，， ∵对角线的垂直平分线分别交于点， ∴，， ∵，则， ∴， ∴， 解得：， 故选：D 【点睛】本题考查了矩形的性质，正切的定义，勾股定理，垂直平分线的性质，得出是解题的关键． 巩固训练 27．如图，在菱形中，于点，，，则的值为（    ）    A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解直角三角形，菱形的性质，勾股定理，先解得到，再由勾股定理求出，由菱形的性质得到，则，据此根据正切的定义可得答案． 【解析】解：∵， ∴， 在中，， ∴， ∴ ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴在中，， 故选：D． 28．如图，在矩形中，，点是上一点，连接，，若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解直角三角形，矩形的性质，先解得到，再解可得． 【解析】解；∵四边形是矩形， ∴， 在中，，， ∴， 在中，， ∴， 故选A． 题型九 解直角三角形—非直角三角形 例题 29．如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．5 【答案】D 【分析】作于，根据，，算出和，再根据，算出，最后根据计算即可． 【解析】如下图，作于，    在中，，， ，， 在中，， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了用锐角三角函数解非直角三角形，作垂直构造直角三角形是解题的关键． 巩固训练 30．如图，在等腰中，．若，，则底边(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先如图过点A作AD⊥BC交BC于D点，据此接着利用等腰三角形性质可以得出∠BAD=∠BAC=，BC=2BD，然后在Rt△ABD中，根据求出BD，最后利用BC=2BD求出答案即可. 【解析】 如图，过点A作AD⊥BC交BC于D点，则△ABD是直角三角形， ∵△ABC为等腰三角形，AD⊥BC， ∴∠BAD=∠BAC=，BC=2BD， 在Rt△ABD中，， ∴， ∴， 故选：C. 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的综合运用，熟练掌握相关方法是解题关键. 31．如图，，，底边BC上的高为，底边QR上的高为，则有（    ） A． B． C． D．以上都有可能 【答案】B 【分析】由已知可知高所对的斜边都为5，由正弦的定义可得到高关于正弦的表达式，比较正弦值即可得到答案． 【解析】解：如图，分别作出两三角形的高 ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查解直角三角形，依题意作高构造直角三角形是解题的关键． 32．如图，在四边形 中，平分，，， 于点．若 ，则点 到 的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，角平分线的性质；过点作交的延长线于点，则的长为点到 的距离，进而解，即可求解． 【解析】解：如图所示，过点作交的延长线于点，则的长为点到 的距离 ∵平分， 于点． ∴， ∵，，， ∴， 即点 到 的距离为， 故答案为：． 33．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，∠AOD＝60°，AC＝BD＝2，则这个四边形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过B、D两点分别作AC的垂线，利用∠AOD=60°，可推出DG=DO，BH=BO，再利用四边形ABCD的面积等于△ACD的面积加上△ABC的面积，即可求出； 【解析】如图，过点D作DG⊥AC于点G，过点B作BH⊥AC于点H， ∵∠AOD=60°， ∴∠AOD=∠BOC=60°， ∴DG=DO， 同理可得：BH=BO， S四边形ABCD=×AC×DG+×AC×BH =×AC××（DO+BO） =， 故选：C． 【点睛】本题考查含30°的直角三角形的性质和四边形面积的计算，熟练掌握含30°直角三角形的性质和不规则四边形面积的计算是解决本题的关键． 题型十 三角函数的应用、利用三角函数测高 例题 34．如图：为了测楼房BC的高，在距离楼房10米的A处，测得楼顶B的仰角为，那么楼房BC的高为（　　） A．10tana米 B．米 C．10sin米 D．米 【答案】A 【解析】试题分析：根据题意得：tan∠A=，则BC=AC·tan∠A=10tanα. 考点：锐角三角函数的计算. 巩固训练 35．如图，两建筑物的水平距离为，从A点测得D点的俯角为，测得C点的俯角为，则较低建筑物的高为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，过点C作于E，则四边形是矩形，，解得到 ，解得到，则． 【解析】解：如图所示，过点C作于E，则四边形是矩形， ∴， 由题意得，， 在中，， 在中，， ∴， 故答案为：． 36．如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔的高度，他从古塔底部点处前行到达斜坡的底部点处，然后沿斜坡前行到达最佳测量点处，在点处测得塔顶的仰角为，已知斜坡的斜面坡度，且点，，，，在同一平面内，小明同学测得古塔的高度是（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过作于，于，得到，，设，，根据勾股定理得到，求得，，，于是得到结论． 【解析】解：过作于，于，    ，， 斜坡的斜面坡度， ， 设，， ， ， ，， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，解直角三角形的应用坡角坡度问题，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 37．如图，某兴趣小组用无人机进行航拍测高，无人机从相距米的1号楼和2号楼的地面正中间点垂直起飞到点处，测得1号楼顶部的俯角为，测得2号楼顶部的俯角为．已知1号楼的高度为20米，那么2号楼的高度为 米（结果保留根号）．    【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形．过点E作于，于，先利用正切三角函数可求出的值，在中，求出的值，然后根据线段的和差即可得出答案． 【解析】解：如图，过点E作于，于，      则四边形和四边形均为矩形， ， 由题意得：米，米，米，，， 在中，，即， 解得（米）， 米， 在中，，，， 米， （米）， 答：2号楼的高度是米． 故答案为：． 38．长尾夹一般用来夹书或夹文件，因此也称书夹．长尾夹的侧面可近似的看作等腰三角形，如图1是一个长尾夹的侧平面示意图，已知．按压该长尾夹的手柄，撑开后可得如图2所示的侧平面示意图．测量得．求这时这个长尾夹可夹纸厚度为 （参考数据：） 【答案】 【分析】如图1，在，求得．如答图2，在中，利用余弦函数求得，据此即可求解．本题考查了解直角三角形的应用，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键． 【解析】解：图1，作于点． ∵， ∴，． 在，， ∵，， ∴． 由题意可知：，． 如答图2，作于点，于点． 在中，． ∵， ∴． 同理可证：， ∴． ∵四边形为矩形， ∴． 答案：这时这个长尾夹可夹纸厚度为． 故答案为： 39．一款闭门器按如图1所示安装，支点A，C分别固定在门框和门板上，门宽为，摇臂，连杆，闭门器工作时，摇臂、连杆和长度均固定不变，如图2，当门闭合时，，则的长为 ． 【答案】18 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形是解题的关键． 根据题意，过点作于点，可求得，则，因此，得出结论垂直平分，因此． 【解析】解：过点作于点，如图： 则， 在中， ， ， ，即垂直平分， ， 故答案为：18． 题型十一 解答题 例题 40．计算： 【答案】 【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值，实数的运算，正确记忆相关数据是解题关键．直接利用特殊角的三角函数值分别代入，进而化简得出答案． 【解析】解： ． 巩固训练 41．计算：． 【答案】 【分析】此题主要考查了实数的综合运算能力，解决此类题目的关键是熟练掌握二次根式的化简、特殊角的三角函数值的运算．此题涉及二次根式的化简、特殊角的三角函数值的求法，在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果即可． 【解析】解： ． 42．如图所示，在中，，，，求的长． 【答案】． 【分析】本题主要考查了解直角三角形．如图，过点A作于D，先解求出，，再解求出的长即可． 【解析】解：如图，过点A作于D， ∴， 在中，，， ∴，， 在中，， ∴，， ∴． 43．如图，在菱形中，对角线与相交于点，，，点在边上，，连结交于点． (1)求的长． (2)的值为___________． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定、菱形的性质及三角函数，熟练掌握菱形的性质、相似三角形的性质与判定及三角函数是解题的关键； （1）由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解； （2）由题意易得，然后根据正切的定义可进行求解． 【解析】（1）解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵四边形是菱形，，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为4． 44．项目式学习，为了测量学校教学楼的高度，方案如下： 课题 测量教学楼的高度 测量工具 测倾器．皮尺 测量方法 在阳光下，小华站在楼影子的顶端F处，此刻量出小华的影长；然后在楼落在地面的影子上的点D处，安装测倾器，测出楼顶端A的仰角． 测量数据 小华的影长，小华身高，用测倾器测得顶端A的仰角为，测倾器高，， 说明 点B、D、F、G在同一水平直线上，均垂直于．参考数据∶． 请你根据上述信息，求学校教学楼的高度（结果精确到1米）． 【答案】教学楼的高度约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，平行投影，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点作，垂足为，根据题意可得：，，然后设，则，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后根据同一时刻物高与影长是成正比例的，可得：，从而进行计算可求出的长，即可解答． 【解析】解：过点作，垂足为， 由题意得：，， 设， ， ， 在中，， ， ， 由题意得：， ， 解得：， 经检验：是原方程的根， ， 教学楼的高度约为． 45． 如图，一艘渔船位于小岛的北偏东方向，距离小岛海里的点处，它沿着点的南偏东的方向航行． (1)当渔船航行到与小岛距离最近时，求渔船航行的距离及渔船与小岛之间的最近距离． (2)当渔船到达距离小岛最近的点后，按原航向继续航行海里后到点处突然发生事故，渔船马上向小岛上的救援队求救，问救援队从处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短？最短航程是多少？（结果保留根号） 【答案】(1)渔船航行海里距离小岛最近，渔船与小岛之间的最近距离为海里 (2)救援队从处出发沿点的南偏东的方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是海里 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，构造直角三角形是解答的关键． （1）过作于，根据题意求得，在中，根据垂线段最短和锐角三角函数定义求解即可； （2）先根据锐角三角函数定义求得，进而可得，在中，利用两点之间线段最短及锐角三角函数定义求解即可． 【解析】（1）解：过作于，则， 由题意可知，则， 在中，∵，， ∴． 答：渔船航行海里距离小岛最近，渔船与小岛之间的最近距离为海里． （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，∵，， ∴． 故救援队从处出发沿点的南偏东的方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是海里． 46．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线交x轴于点A，交y轴于点B，． (1)求k的值； (2)如图1，点C为第三象限直线上一点，点C横坐标为t，的长为d，求d与t的函数关系式并直接写出自变量t的取值范围； (3)如图2，在（2）的条件下，当时，点D、E在第一象限直线上，且，过点C作轴交y轴于点G，，连接，在线段上取一点H，连接、、，若，，线段交x轴于点Q，求的值． 【答案】(1)k的值为 (2)d与t的函数关系式，自变量t的取值范围 (3)的值为 【分析】（1）先求出，得出，再根据，得出，求出，代入解析式中求出k的值即可； （2）过点C作轴于点D，根据特殊角的三角函数值得出，得出，根据点C横坐标为t，点C在直线上，且在第三象限，得出，求出，根据，得出，即可得出答案； （3）过点E作轴于点M，过点H分别作x轴和y轴的平行线，两平行线交于点N，交于点K，交y轴于点I，先求出点C的横坐标为，点C的纵坐标为：，得出，即可得出，设点D的坐标为：，求出点E的坐标为，，设直线的解析式为：，把，代入求出直线的解析式为：，设点H的坐标为，证明，得出，求出，得出，在中，根据求出，根据轴，得出，从而得出． 【解析】（1）解：把代入得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 把代入得：， 解得：； （2）解：过点C作轴于点D，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵点C横坐标为t，点C在直线上，且在第三象限， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即d与t的函数关系式，自变量t的取值范围； （3）解：过点E作轴于点M，过点H分别作x轴和y轴的平行线，两平行线交于点N，交于点K，交y轴于点I，如图所示： ∵， ∴， 解得：， 即此时点C的横坐标为， ∴点C的纵坐标为：， ∵轴， ∴点G的坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设点D的坐标为：， ∵， ∴， 根据作图可知：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴点E的横坐标为， ∵点E在直线上， ∴点E的坐标为， ∵，，轴， ∴， ∴设直线的解析式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵点H在直线上， ∴设点H的坐标为， ∵轴，轴，轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， 即， ∴在中， ， ∵轴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，一次函数的综合应用，求一次函数解析，解直角三角形的相关计算，三角形相似的判定和性质，求一次函数解析式，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质，数形结合． 47．已知，在正方形中，点E、F分别在边和上，连接、交于点G， ． (1)如图1， 求证： (2)如图2， 若点E为的中点， 连接， 求 的值 (3)如图3，在矩形， ， ， 点E、F分别在边和上， 连接、交于点G， 若， ． 连接交于点H， 点M是上的一点，过点 M作交直线于点 N，①若， 则线段 的长为 ； ②若平分， 则线段的长为 ． 【答案】(1)见解析； (2) (3)①；② 【分析】（1）先证明，再通过角度计算即可得证； （2）延长交延长线于点，先证得，再得到，设，则 ，再过点作于，设， 则 ，，，，，得到，再算出，再通过计算即可； （3）①先通过矩形性质算出，延长交延长线于，则，得到，进而算出，再算出，设 则，算出a，再得到的长度，而则，代入数据即可求解； ②过点M作，易知且 为等腰直角三角形，设，则，设，则，得到，再通过三角函数及勾股定理算出，进而算出a，过E作 则四边形为矩形，算出与，再通过三角函数算出，则即可求解． 【解析】（1）证明 ：∵正方形， ∴，， 又∵， ， ， ， ， ． （2）由（1）可知， ， ， 延长交延长线于点， ∵ 为 中点， ， ， ， ∴ 为中点， ， ∴， 设， 则 ， 过点作于， 则， 设， 则 ，，，，， ， ， ， ， ． （3） ①∵矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ， ， 延长交延长线于， 则 ， ， ， ∵， ， ， ∴， ， 设 则，， ， ， 又∵ ， ， ， 而， ， ， ． 故答案为：． ②过点M作， ∵平分， 则且 为等腰直角三角形，且四边形为正方形， 由①知，， 设，则，， ，， ∴，又， ，， ， ∵ 且， ∴P、M、N共线， 过E作 则四边形为矩形， ， ， 又∵ ， ， ∵， ∴， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形基本性质，正方形基本性质，全等三角形性质，解直角三角形等基本性质，具有一定难度，能够正确做出辅助线是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$