4.2指数函数综合练习-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

指数函数综合练习 一、单选题 1．已知指数函数图象过点，则等于（    ） A．3 B．6 C．9 D．27 2．函数是指数函数，则有（    ） A．或 B． C． D．且 3．函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 4．函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 5．若函数（且）的图像不经过第二象限，则有（　　） A．且 B．且 C．且 D．且 6．已知函数的图像恒过定点，且点在直线上，则的最小值为（   ） A．4 B．1 C．2 D． 7．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 8．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 9．已知函数，若，则的最大值和最小值分别是（    ） A． B． C． D．3，1 10．设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 11．已知，那么大小关系为（    ） A． B． C． D． 12．已知奇函数在R上是增函数，．若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 13．若指数函数（且）的图象经过点，当时， ． 14．某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年，剩留的这种物质为上一年的84％，则该物质的剩留量y关于经过年数x的函数关系式为 ． 15．指数函数在上是严格减函数，则的取值范围是 ． 16．函数且 过定点，则________ 17．函数的单调递增区间是 18．函数的值域为 ． 三、解答题 19．已知（，且），求x的取值范围． 20．已知函数是定义域在上的奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性并证明； (3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 指数函数综合练习 一、单选题 1．已知指数函数图象过点，则等于（    ） A．3 B．6 C．9 D．27 【答案】C 【分析】先求得的解析式，进而求得. 【详解】设且， 将代入得， 解得，所以， 所以. 故选：C 2．函数是指数函数，则有（    ） A．或 B． C． D．且 【答案】C 【分析】根据指数函数的定义，即可证明. 【详解】由已知得，即得. 故选：C 3．函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数奇偶性以及指数函数性质，利用排除法即可得出结论． 【详解】易知函数定义域为， 且满足，可得其为偶函数，图象关于轴对称； 又当时，，因此排除A， 又， 利用指数函数图象性质可知其在上单调递增，且增长速度越来越快，即排除CD， 故选：B. 4．函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的性质判断函数图象 【详解】依题意，可得，则为奇函数，且当时，，则A，B，C均不正确， 故选：D． 5．若函数（且）的图像不经过第二象限，则有（　　） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】D 【分析】根据指数函数的图象判断求解． 【详解】由指数函数图像的特征可知当时，函数（且）的图像必经过第二象限，故排除选项B、C． 又函数（且）的图像不经过第二象限， 则其图像与轴的交点不在轴上方，所以当时，，即， 故选：D． 6．已知函数的图像恒过定点，且点在直线上，则的最小值为（   ） A．4 B．1 C．2 D． 【答案】C 【分析】由指数函数性质得定点坐标，代入直线方程得的关系，然后由基本不等式求得最小值． 【详解】由得，又，所以定点为， 从而， ，当且仅当时等号成立， 故选：C 7．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数的单调性，结合分母不为零、交集思想进行求解即可. 【详解】函数的定义域满足，解得且． 则函数定义域为， 故选：D 8．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，运算求解即可得函数的定义域. 【详解】令，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：C. 9．已知函数，若，则的最大值和最小值分别是（    ） A． B． C． D．3，1 【答案】B 【分析】利用换元法，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】由，得到，令， 则，对称轴， 当时，取得最大值，最大值为， 当时，取得最小值，最小值为， 所以的最大值和最小值分别是. 故选：B． 10．设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用指数运算及指数函数单调性比较大小. 【详解】依题意，，而， 所以. 故选：A 11．已知，那么大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数单调性，结合中间值比较大小. 【详解】，故. 故选：B 12．已知奇函数在R上是增函数，．若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据条件确定函数的奇偶性及单调性，然后比较大小. 【详解】因为是R上的奇函数，所以，即是R上的偶函数， 又在R上是增函数，而，所以时，， 于是时，单调递增， 则偶函数在上是增函数，在上是减函数. 因为，而， 所以，即. 故选：C. 二、填空题 13．若指数函数（且）的图象经过点，当时， ． 【答案】/0.015625 【分析】先根据已知求出参数的值，然后将代入函数表达式即可求解. 【详解】由题意，注意到且，所以解得， 所以指数函数解析式为， 当时，. 故答案为：. 14．某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年，剩留的这种物质为上一年的84％，则该物质的剩留量y关于经过年数x的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】有题意，结合指数函数的定义，归纳即可求解． 【详解】设该物质最初的质量是1，经过年剩留量是， 经过1年，剩留量； 经过2年，剩留量； …… 一般地，经过年，剩留量， 故答案为：． 15．指数函数在上是严格减函数，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据条件，利用指数函数的性质，即可求出结果. 【详解】因为指数函数在上是严格减函数，所以，得到， 故答案为：. 16．函数且 过定点，则________ 【答案】-2 【分析】根据指数函数的性质求解. 【详解】当时，即函数恒过， 此时 故答案为： 17．函数的单调递增区间是 【答案】 【分析】利用指数函数、二次函数的单调性，结合复合函数单调性求解即得. 【详解】函数的定义域为R，令， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 而函数在定义域上单调递减， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递增区间是. 故答案为： 18．函数的值域为 ． 【答案】 【分析】首先利用基本不等式求出的取值范围，令，则，再结合指数函数的性质计算可得. 【详解】当时，当且仅当，即时取等号， 当时，当且仅当，即时取等号， 令，则， 对于函数在定义域上单调递减，且，， 所以函数，的值域为， 则函数的值域为. 故答案为： 三、解答题 19．已知（，且），求x的取值范围． 【答案】答案见解析 【分析】分类讨论，利用指数函数单调性求解不等式即得. 【详解】当时，函数在R上是减函数， 则不等式化为：，即，解得或； 当时，函数在R上是增函数， 则不等式化为：，即，解得， 综上所述，当时，x的取值范围是或； 当时，x的取值范围是． 20．已知函数是定义域在上的奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性并证明； (3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)在上是增函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据函数奇偶性得，解得的值；最后代入验证； （2）根据指数函数的单调性可直接下结论，然后利用单调性的定义证明； （3）根据函数奇偶性与单调性将不等式化简为对于恒成立，再根据恒成立转化为对应函数最值问题，最后根据函数最值得结果. 【详解】（1）函数是定义域在上的奇函数， 由，得，即有， 下面检验：， 且定义域为关于原点对称，所以为奇函数，故符合； （2）在上是增函数.证明如下： 设任意，， 由于，则，即有，则有， 故在上是增函数； （3）因为对任意的，不等式恒成立， 所以对于恒成立， 因为是定义域在上的奇函数，所以对于恒成立， 又在上是增函数，所以，即对于恒成立， 而函数在上的最大值为，所以， 所以实数的取值范围为. 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$