精品解析：陕西省咸阳市永寿县御家宫中学2024—-2025学年九年级上学期期中调研数学试题

2024～2025学年度第一学期期中调研试题（卷） 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，时间120分钟，学生直接在试题上答卷； 2．答卷前将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 若是关于x的方程的一个根，则a的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程中求出a的值即可得到答案． 【详解】解：∵是关于x的方程的一个根， ∴， ∴， 故选：A． 2. 袋中有50个除颜色外完全相同的小球，搅匀后随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，记为一次试验，通过多次摸球试验后发现从中摸出一个红球的频率稳定在，则估计袋中红球的个数为（ ） A. 20 B. 15 C. 10 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量，大量反复试验下频率的稳定值即为概率值，据此得到从中摸出一个红球的概率为，再用球的总数乘以摸出红球的概率即可得到答案． 【详解】解：∵通过多次摸球试验后发现从中摸出一个红球的频率稳定在， ∴从中摸出一个红球的概率为， ∴估计袋中红球的个数为， 故选：C． 3. 如图，在中，点，分别在，边上，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．根据平行线分线段成比例定理得到，然后根据比例的性质求的值． 【详解】解：∵， ， ． 故选：B． 4. 如图，在菱形中，E是的中点，F是的中点，连接．如果，那么的长为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线性质、菱形的性质．熟练掌握三角形的中位线性质、菱形的性质是解题的关键． 根据三角形的中位线性质求出，再根据菱形的性质即可求解． 【详解】解：在中，E是的中点，F是的中点， ， ， ， ， 四边形是菱形， ． 故选B． 5. 小冰和小雪自愿参加学校组织的课后托管服务活动，随机选择自主阅读、体育活动、科普活动三项中的某一项，那么小冰和小雪同时选择“体育活动”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】画出树状图，共有9种等可能的结果，其中小冰和小雪同时选择“体育活动”的结果有l种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：设自主阅读、体育活动、科普活动分别记为A、B、C， 画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中小冰和小雪同时选择“体育活动”的结果有1种， 小冰和小雪同时选择“体育活动”的概率为， 故选：． 【点睛】本题考查了用树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件，解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验，画出树状图表示所有等可能的情况是解题的关键． 6. 如图，在正方形的内侧，作等边三角形，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得是等腰三角形，由三角形内角和定理，则可求得的度数；由即可求解． 【详解】解：正方形中，； 为等边三角形， ， ，， ； ； 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握这三种性质是关键． 7. 若代数式与的值互为相反数，则x的值为（ ） A. 或 B. 或 C. 或2 D. 或2 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相反数的定义，因式分解法解一元二次方程．由相反数的定义得出，然后解一元二次方程求解即可得出答案． 【详解】解：代数式与的值互为相反数， 则， 整理得：，即， 解得：或， 故选：B． 8. 如图，在中，，，动点D以的速度从点A出发沿方向向点B运动．动点E以的速度从点C出发沿方向向点A运动．两点同时开始运动，当点D运动到点B的位置后，两点均停止运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是（ ） A. 或 B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，设运动时间为，由题意得，，则，再由题意可得只存在和这两种情况，据此分两种情况根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可． 【详解】解：设运动时间为， 由题意得，， ∴， ∵， ∴只存在和这两种情况， 当，则， ∴， 解得； 当，则， ∴， 解得； 综上所述，或， 故选：D． 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 线段为矩形的对角线，若，则的长为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，根据矩形的对角线相等，即可得出结果． 【详解】解：∵线段为矩形的对角线，， ∴； 故答案为：6． 10. 黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字清的边 ， 上，且，“远”字的笔画“、”的位置在 的黄金分割点处，且 若，则 的长为_______(结果保留根号)． 【答案】## 【解析】 【分析】先证明四边形是矩形，根据黄金分割的定义可得，据此求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． 又∵， ∴． 11. 某新开业的商场地下共有三层停车库，已知最底层开了80盏灯，每层开灯的数量都是下一层开灯数量的x倍，三层停车库共开了380盏灯，则根据题意可列方程为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据每层开灯的数量都是下一层开灯数量的x倍，得到第二层开了盏灯，第三层开了盏灯，再根据三层停车库共开了380盏灯，列出方程即可． 【详解】解：由题意，得：第二层开了盏灯，第三层开了盏灯， 故可列方程为：； 故答案为： 12. 如图，已知正方形的面积为64，点在上，点在的延长线上，且，，则的长为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，由正方形的性质得出，，由勾股定理得出，证明得出，即可得解． 【详解】解：四边形是正方形，且正方形的面积为64， ，， ， ， ， ， ，即， ， ， 故答案为：． 13. 如图，在中，，点在上，，且为上一点，过点作交于点，交于点，若，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，相似三角形的性质与判定；过点作于点，根据平行线分线段成比例可得，设，则，根据题意得出，根据含30度角的直角三角形的性质得出，得出，则，证明，根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∵ ∴ 设，则 ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴， 在中， ,则 ∴ ∴ ∴ ∴是等边三角形，则 又∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程-公式法：将各项系数代入求根公式求解即可． 【详解】解：，， 方程有两个不相等的实数根 ， 15. 刘老师将4支红中性笔芯和若干支黑色中性放入一个不透明的盒子中并搅匀，这些中性笔芯除颜色不同外其余都相同，他让若干学生进行摸笔芯试验，每次摸出一支中性笔芯，记下颜色后，放回搅匀，经过多次试验发现，从盒中摸出一支笔芯是红色中性笔芯的频率稳定在．试估算盒中黑色中性笔芯的数量． 【答案】16支 【解析】 【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率即可． 【详解】解：∵从盒中摸出一支笔芯是红色中性笔芯的频率稳定在， ∴从盒中摸出一支笔芯是红色中性笔芯的概率为， 设盒中有x支黑色中性笔芯，根据题意得 ， 解得：， 经检验：是原分式方程的解， ∴估算盒中有16支黑色中性笔芯． 【点睛】此题考查了利用概率的求法估计总体个数，利用如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现m种可能，那么事件A的概率 是解题关键． 16. 如图，分别延长的边到点D，E，连接，，，，．求的长 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行线的性质，先由平行线的性质得到，再证明得到，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 17. 如图是一个转盘，转盘被等分成三等份，分别标注数字“1”“2”“3”，转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为转出的数字，此时称为转动转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止）． （1）转动转盘一次，转盘停止后，指针指向奇数的概率是_______； （2）嘉嘉和淇淇一起玩转盘游戏，规则如下：两人各转一次转盘，若两次转出的数字均为奇数，则嘉嘉获胜；若两次转出的数字为一个奇数一个偶数（不分先后），则淇淇获胜．请通过画树形图或列表的方法说明该游戏规则对双方是否公平． 【答案】（1） （2） 画树状图如下： 由树状图可知，一共有9种等可能性的结果数，其中两次转出的数字均为奇数的结果数有4种，两次转出的数字为一个奇数一个偶数的结果数有4种， ∴二人获胜的概率都为， ∴该游戏对二人公平． 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，游戏的公平性： （1）直接根据概率计算公式求解即可； （2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到两次转出的数字均为奇数的结果数和两次转出的数字为一个奇数一个偶数的结果数，进一步求出二人获胜的概率即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵一共有3个区域，每个区域被转到的概率相同，且奇数有2个区域， ∴转动转盘一次，转盘停止后，指针指向奇数的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：略． 18. 某校九年级学生一模考试的数学成绩是75分，经过自己不断地努力，二模、中考两次考试成绩的增长率均相同，中考数学成绩为108分，求后两次考试成绩的平均增长率． 【答案】后两次考试成绩的平均增长率是 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设后两次考试成绩的平均增长率是，根据题意列出关于x的一元二次方程，求解即可得出答案． 【详解】解：设后两次考试成绩的平均增长率是， 由题意，得， 解得不符合本题要求舍去． 答：后两次考试成绩的平均增长率是． 19. 如图，已知正方形中，，为对角线，平分，，垂足为．求的长． 【答案】 【解析】 【分析】利用正方形的性质求出，再根据角平分线的性质可得，进而可证明，问题随之得解． 【详解】∵正方形中，，为对角线， ∴， ∴， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，角平分线的性质，勾股定理等知识，证明，是解答本题的关键． 20. 如图，学校打算用16的篱笆围成一个长方形的生物园饲养小兔，生物园的一面靠墙，墙长8，长方形的面积是30．求生物园的长和宽． 【答案】围成矩形的长为，宽为 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，可设垂直于墙的一边为，则长平行于墙的一边为，根据等量关系：面积是．列出方程求解即可． 【详解】解：设垂直于墙的一边为，则平行于墙的一边为． 由题意，得， 解得，． 当时，， ，不合题意舍去， 当时，． 答：长为、宽为． 21. 在《数书九章》（宋・秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图，表示塔的高度，表示竹竿顶端到地面的高度，表示人眼到地面的高度，、、在同一平面内，点、、在一条水平直线上．已知米，米，米，米，人从点远眺塔顶，视线恰好经过竹竿的顶端．根据以上信息，求塔的高度． 【答案】塔的高度为18.2米． 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的实际应用．如图，过作于，交于，可得，证明，可得，可得，从而可得答案． 【详解】解：如图，过作于，交于， 则，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，解得：，经检验符合题意； ∴（米）． 22. 如图，在矩形中，连接，过点B作交的延长线于点E．过点D作于F，对角线相交于点G，连接． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）因为是矩形，所以，结合，证明四边形是平行四边形，即可作答． （2）根据勾股定理得出，结合直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，即，进行作答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴ ∵，G为矩形对角线的交点，即G为中点， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 23. 如图，在中，点D、E分别是，的中点，，延长到点F，使得，连接． （1）求证；四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：，分别是，的中点， ∴是的中位线， ，， 又，， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线定理，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，通过中位线定理把与联系起来是解题的关键． （1）由中位线定理证明，，通过等量代换得出，先证四边形是平行四边形，再证四边形是菱形； （2）由四边形是菱形，，推出，是等边三角形得到，推出，则． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：四边形是菱形，， ， 又菱形中，， 是等边三角形， ， ∴， ∴． 24. 如图，四边形为平行四边形，E为边上一点，连接相交于点F，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， 即； （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先由平行四边形的性质得到，进而根据平行线的性质和已知条件得到，据此证明，根据相似三角形的性质即可证明； （2）求出，再证明，得到，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）． 25. 阅读材料：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个实数根比另一个大1，称这样的方程为“连根方程”，如方程就是一个连根方程． （1）请你判断方程是否是连根方程； （2）若关于x的一元二次方程（m是常数）是连根方程，求m的值； （3）已知关于x的一元二次方程是连根方程，且该方程较大的一个根是，求a，b的值． 【答案】（1）方程是连根方程 （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程的解的定义、解二元一次方程组等知识点，掌握连根方程的定义是解题的关键． （1）先用因式分解法解方程，再根据连根方程的定义进行判断即可； （2）解方程得，再根据连根方程的定义可得或，解之即可得到答案； （3）根据连根方程的定义可得该方程的另一个根为，则由方程的解的定义可得，解方程组即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 解得：， ∵， ∴方程是连根方程． 【小问2详解】 解：解方程得 ∵方程（是常数）是“连根方程”， ∴或， ∴或； 【小问3详解】 解：∵关于x的一元二次方程是连根方程，且该方程较大的一个根是， ∴该方程的另一个根为， ∴， 解得． 26. 如图，在中，，D是上一点，，连接． （1）如图①，求证：； （2）如图②，若，，当点D移动到使时，求的长度； （3）如图③，作交的延长线于点F，求证：． 【答案】（1） 证明：∵ ∴，， ∴，， ∴； （2）； （3） 证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵交的延长线于点F， ∴， ∴． ∴，即； ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质． （1）根据相似三角形的性质，以及比例线段的性质，得到，，即可得证； （2）证明，得到，代值计算即可； （3）根据，推出，证明，推出，进而得到，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年度第一学期期中调研试题（卷） 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，时间120分钟，学生直接在试题上答卷； 2．答卷前将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 若是关于x的方程的一个根，则a的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 袋中有50个除颜色外完全相同的小球，搅匀后随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，记为一次试验，通过多次摸球试验后发现从中摸出一个红球的频率稳定在，则估计袋中红球的个数为（ ） A. 20 B. 15 C. 10 D. 5 3. 如图，在中，点，分别在，边上，，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在菱形中，E是的中点，F是的中点，连接．如果，那么的长为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 5. 小冰和小雪自愿参加学校组织的课后托管服务活动，随机选择自主阅读、体育活动、科普活动三项中的某一项，那么小冰和小雪同时选择“体育活动”的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在正方形的内侧，作等边三角形，则为（ ） A. B. C. D. 7. 若代数式与的值互为相反数，则x的值为（ ） A. 或 B. 或 C. 或2 D. 或2 8. 如图，在中，，，动点D以的速度从点A出发沿方向向点B运动．动点E以的速度从点C出发沿方向向点A运动．两点同时开始运动，当点D运动到点B的位置后，两点均停止运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是（ ） A. 或 B. C. D. 或 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 线段为矩形的对角线，若，则的长为______． 10. 黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字清的边 ， 上，且，“远”字的笔画“、”的位置在 的黄金分割点处，且 若，则 的长为_______(结果保留根号)． 11. 某新开业的商场地下共有三层停车库，已知最底层开了80盏灯，每层开灯的数量都是下一层开灯数量的x倍，三层停车库共开了380盏灯，则根据题意可列方程为_______． 12. 如图，已知正方形的面积为64，点在上，点在的延长线上，且，，则的长为_______． 13. 如图，在中，，点在上，，且为上一点，过点作交于点，交于点，若，则的长为___________． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 解方程： 15. 刘老师将4支红中性笔芯和若干支黑色中性放入一个不透明的盒子中并搅匀，这些中性笔芯除颜色不同外其余都相同，他让若干学生进行摸笔芯试验，每次摸出一支中性笔芯，记下颜色后，放回搅匀，经过多次试验发现，从盒中摸出一支笔芯是红色中性笔芯的频率稳定在．试估算盒中黑色中性笔芯的数量． 16. 如图，分别延长的边到点D，E，连接，，，，．求的长 17. 如图是一个转盘，转盘被等分成三等份，分别标注数字“1”“2”“3”，转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为转出的数字，此时称为转动转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止）． （1）转动转盘一次，转盘停止后，指针指向奇数的概率是_______； （2）嘉嘉和淇淇一起玩转盘游戏，规则如下：两人各转一次转盘，若两次转出的数字均为奇数，则嘉嘉获胜；若两次转出的数字为一个奇数一个偶数（不分先后），则淇淇获胜．请通过画树形图或列表的方法说明该游戏规则对双方是否公平． 18. 某校九年级学生一模考试的数学成绩是75分，经过自己不断地努力，二模、中考两次考试成绩的增长率均相同，中考数学成绩为108分，求后两次考试成绩的平均增长率． 19. 如图，已知正方形中，，为对角线，平分，，垂足为．求的长． 20. 如图，学校打算用16的篱笆围成一个长方形的生物园饲养小兔，生物园的一面靠墙，墙长8，长方形的面积是30．求生物园的长和宽． 21. 在《数书九章》（宋・秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图，表示塔的高度，表示竹竿顶端到地面的高度，表示人眼到地面的高度，、、在同一平面内，点、、在一条水平直线上．已知米，米，米，米，人从点远眺塔顶，视线恰好经过竹竿的顶端．根据以上信息，求塔的高度． 22. 如图，在矩形中，连接，过点B作交的延长线于点E．过点D作于F，对角线相交于点G，连接． （1）求证：． （2）若，，求的长． 23. 如图，在中，点D、E分别是，的中点，，延长到点F，使得，连接． （1）求证；四边形是菱形； （2）若，，求的长． 24. 如图，四边形为平行四边形，E为边上一点，连接相交于点F，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 25. 阅读材料：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个实数根比另一个大1，称这样的方程为“连根方程”，如方程就是一个连根方程． （1）请你判断方程是否是连根方程； （2）若关于x的一元二次方程（m是常数）是连根方程，求m的值； （3）已知关于x的一元二次方程是连根方程，且该方程较大的一个根是，求a，b的值． 26. 如图，在中，，D是上一点，，连接． （1）如图①，求证：； （2）如图②，若，，当点D移动到使时，求的长度； （3）如图③，作交的延长线于点F，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $