精品解析：2024-2025学年苏科版八年级上册数学期中练习卷

2024年苏科版八年级上册数学期中练习卷 （练习范围：第1、2、3章） 一、选择题（每小题3分，合计24分） 1. 杭州亚运会，作为亚洲体育盛事的一次精彩呈现，不仅展示了各国运动员的卓越才能，也彰显了杭州这座城市的独特魅力．下列关于体育运动的图标中，是轴对称图形的为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，中，D、E、F三点分别在AB、BC、AC上，且四边形BEFD是以DE为对称轴的线对称图形，四边形CFDE是以FE为对称轴的线对称图形若，则的度数为何？（） A. 65 B. 70 C. 75 D. 80 3. 在如图所示的纸片中，，D是斜边AB的中点，把纸片沿着CD折叠，点B到点E的位置，连接AE．若，，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点均在小正方形方格的顶点上，线段交于点，若，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 如图，等边三角形与正方形重叠，其中、两点分别在、上，且，连接，若，，则的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 如图，在中，，，E是边上一点．连接并延长至点D，连接，若，，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 7. 如图，是的角平分线，过点E作，分别交及的外角的平分线于点M，F．若，则的值为（ ） A. 36 B. 9 C. 6 D. 18 8. 如图，是外角的平分线，， 于点.若，则的长是( ) A. 2 B. 1.5 C. 1 D. 0.5 二、填空题（每小题3分，合计30分） 9. 如图，在中，，是边的中线，若，，则的长度为________． 10. 如图，在中，，点D为中点，过点C作交的延长线于点E，若，，则的长为________． 11. 如图，在中，，，点D是边AB上一点，点B关于直线CD的对称点为，当时，则的度数为________． 12. 如图，线段的垂直平分线与线段的垂直平分线相交于点E，连接．若，则的度数为______． 13. 如图，在等边三角形中，点D，E分别在边上，且，过点E作，交的延长线于点F．若，则以为边的正方形的面积为_____． 14. 2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图1），且大正方形的面积是15，小正方形的面积是3，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b．如果将四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，那么图2中最大的正方形的面积为____． 15. 如图，已知，点在内部，点与点关于对称，点与点关于对称，连接，分别交，于点，．若，，则长为______． 16. 如图，在长方形的对称轴l上找一点P，使得，均为等腰三角形，则满足条件的点P有_____个． 17. 如图，为射线上的一个动点，分别以为直角边，B为直角顶点，在两侧作等腰直角三角形和等腰直角三角形．连接交于点P，则当点B在射线上运动时，的长是_____． 18. 如图，在等边三角形中，高，E是线段上一动点．现有一动点P沿着折线运动，在上的速度是每秒4个单位长度，在上的速度是每秒2个单位长度, 则点P从点A运动到点C至少需_____s． 三、解答题（本题共10小题，合计96分） 19 如图，与相交于点O，．求证：． 20. 在①，②，③这三个条件中选择一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答． 问题：如图，在中，，点在边上，点在边上，连接，，与相交于点．若________________，求证：． 21. 如图，，，，垂足分别为，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 22. 如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，BC＝5．点D为AC上一点，且BD＝4，CD＝3． (1)求证：BD⊥AC； (2)求AB的长． 23. 如图，在直角三角形中，． （1）作的平分线交于点D，过点D作的垂线交于点E；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）若的周长为10，，求的周长． 24. 已知：在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，且AC⊥BD，作BF⊥CD，垂足为点F，BF与AC交于点G，∠BGE=∠ADE． （1）如图1，求证：AD=CD； （2）如图2，BH是△ABE的中线，若AE=2DE，DE=EG，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于△ADE面积的2倍． 25. 我们规定：三角形任意两边的“美妙值”等于第三边上的中线与第三边一半的平方差．如图，在中，是边上的中线，与的“美妙值”就等于的值，可记为．若，，求下列各式的值： （1）； （2）． 26. 在中，，D是的中点，以为腰向外作等腰直角，，连接，交于点F，交于点G． （1）若，则 ； （2）求证：； （3）若，则的值为 ． 27. 如图（1），，，．点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）． （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，与是否全等，并判断此时线段和线段的位置关系，请分别说明理由； （2）如图（2），将图（1）中的“”改为“”，其他条件不变．设点Q的运动速度为，是否存在实数x，使得与全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由． 28. 如图1，中，于，且． （1）试说明是等腰三角形； （2）已知，如图2，动点从点出发以每秒的速度沿线段向点运动，同时动点从点出发以相同速度沿线段向点运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点运动的时间为（秒）． ①若的边与平行，求的值； ②若点是边的中点，问在点运动的过䅅中，能否成为等腰三角形？若能，求出的值，若不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年苏科版八年级上册数学期中练习卷 （练习范围：第1、2、3章） 一、选择题（每小题3分，合计24分） 1. 杭州亚运会，作为亚洲体育盛事的一次精彩呈现，不仅展示了各国运动员的卓越才能，也彰显了杭州这座城市的独特魅力．下列关于体育运动的图标中，是轴对称图形的为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，故A符合题意； B．不是轴对称图形，故B不符合题意； C．不是轴对称图形，故C不符合题意； D．不是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：D． 2. 如图，中，D、E、F三点分别在AB、BC、AC上，且四边形BEFD是以DE为对称轴的线对称图形，四边形CFDE是以FE为对称轴的线对称图形若，则的度数为何？（） A. 65 B. 70 C. 75 D. 80 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称的性质可得，据此可得，，再根据三角形的内角和定理可得的度数． 【详解】解：四边形BEFD是以DE为对称轴的线对称图形，四边形CFDE是以FE为对称轴的线对称图形， ，， ， 故选：D． 【点睛】本题考查轴对称的性质．对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等． 3. 在如图所示的纸片中，，D是斜边AB的中点，把纸片沿着CD折叠，点B到点E的位置，连接AE．若，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可知CD=BD=AD，根据折叠的性质可知∠B=∠DCB=∠DCE=∠EDC=，根据平行线的性质，可得出∠AED=∠EDC，根据等边对等角即可求得∠EAD的度数，最后=∠EAD-∠CAD即可求出． 【详解】∵D是斜边AB的中点，△ABC为直角三角形， ∴CD=BD=AD， ∵△CDE由△CDB沿CD折叠得到， ∴△CDE≌△CDB， 则CD=BD=AD=ED， ∴∠B=∠DCB=∠DCE=∠DEC=， ∴∠EDC=180°-2， ∵， ∴∠AED=∠EDC=180°-2， ∵ED=AD， ∴∠EAD=∠AED=180°-2， ∵∠B=，△ABC为直角三角形， ∴∠CAD=90°-， ∴=∠EAD-∠CAD=180°-2-（90°-）=90°-， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，折叠的性质，等腰三角形的性质以及直角三角形两个锐角互余，熟练地掌握相关知识是解题的关键． 4. 如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点均在小正方形方格的顶点上，线段交于点，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形外角的性质及平行线的性质可进行求解． 【详解】解：如图， 由图可知：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选C． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 5. 如图，等边三角形与正方形的重叠，其中、两点分别在、上，且，连接，若，，则的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定，含度角的直角三角形的性质；过作于，根据等边三角形的性质和判定和正方形的性质求出，，，，求出，求出和，即可求出答案． 【详解】解：过作于， 则， 是等边三角形，， ，， ，， 是等边三角形，且边长为， ，， ， 四边形是正方形，， ，， ， ， 的面积， 故选：B． 6. 如图，在中，，，E是边上一点．连接并延长至点D，连接，若，，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作，垂足为，根据等腰三角形的性质可得，，根据含30度角的直角三角形的性质得出，那么可证．再利用证明，得出，设，根据列出方程，求解即可． 【详解】解：作，垂足为，如图所示： ，， ，， ， ， ． ， ， ． 在和中， ， ， ． 设，则，． ， ， ， 线段长为． 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，属于中考常考题型． 7. 如图，是的角平分线，过点E作，分别交及的外角的平分线于点M，F．若，则的值为（ ） A. 36 B. 9 C. 6 D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、等腰三角形的判定以及平行线的性质等知识，先证，再由勾股定理得，然后证，，则，即可得出结论． 【详解】解：∵是的角平分线，是的外角的平分线， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 8. 如图，是的外角的平分线，， 于点.若，则的长是( ) A. 2 B. 1.5 C. 1 D. 0.5 【答案】C 【解析】 【分析】过点D作DF⊥AB于F，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=DF，再利用“HL”证明△BDE和△BDF全等，△ADF和△CDE全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=BF，AF=CE，再用AB、BC表示出AF、CE，整理即可解得． 【详解】如图，过点D作DF⊥AB于F， ∵BD是∠ABP的角平分线， ∴DE=DF， 在△BDE和△BDF中， ∴△BDE≌△BDF(HL)， ∴BE=BF， 在△ADF和△CDE中， ∴△ADF≌△CDE(HL)， ∴AF=CE， ∵AF=AB−BF， CE=BC+BE， ∴AB−BF=BC+BE， ∴2BE=AB−BC， ∵AB=5，BC=3， ∴2BE=5−3=2， 解得BE=1. 故选:C. 【点睛】考查角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键. 二、填空题（每小题3分，合计30分） 9. 如图，在中，，是边的中线，若，，则的长度为________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：∵在中，，是边的中线， ∴，， 在中，，， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握等腰三角形的三线合一性质是解答的关键． 10. 如图，在中，，点D为的中点，过点C作交的延长线于点E，若，，则的长为________． 【答案】####1.5 【解析】 【分析】先根据证明，推出，再利用勾股定理求出，最后根据中点的定义即可求的长． 【详解】解：， ， 点D为的中点， ， 又， ， ， 中，，， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的性质等，证明是解题的关键． 11. 如图，在中，，，点D是边AB上一点，点B关于直线CD的对称点为，当时，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，连接，根据轴对称的性质及全等三角形的判定与性质可得，，并由平行线的性质可推出，最后由等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可求得结果． 【详解】解：如图，连接 ∵点B关于直线CD的对称点为， ∴，． ∵， ∴． ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵． ∴． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称、等腰三角形及平行线的性质等知识，熟练掌握轴对称、等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键． 12. 如图，线段的垂直平分线与线段的垂直平分线相交于点E，连接．若，则的度数为______． 【答案】##度 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质．连接，，证明，则，即可得到答案． 【详解】解：连接，， ∵线段的垂直平分线与线段的垂直平分线相交于点E， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为： 13. 如图，在等边三角形中，点D，E分别在边上，且，过点E作，交的延长线于点F．若，则以为边的正方形的面积为_____． 【答案】75 【解析】 【分析】根据平行线的性质可得，根据三角形内角和定理即可求解的度数，易证是等边三角形，再根据直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴以为边的正方形的面积为75． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，勾股定理以及直角三角形的性质，熟记30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． 14. 2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图1），且大正方形的面积是15，小正方形的面积是3，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b．如果将四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，那么图2中最大的正方形的面积为____． 【答案】27 【解析】 【分析】根据题意得出a2+b2=15，（b-a）2=3，图2中大正方形的面积为：（a+b）2，然后利用完全平方公式的变形求出（a+b）2即可． 【详解】解：由题意可得在图1中：a2+b2=15，（b-a）2=3， 图2中大正方形的面积为：（a+b）2， ∵（b-a）2=3 a2-2ab+b2=3， ∴15-2ab=3 2ab=12， ∴（a+b）2=a2+2ab+b2=15+12=27， 故答案为：27． 【点睛】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用，熟知完全平方式的形式是解题关键． 15. 如图，已知，点在内部，点与点关于对称，点与点关于对称，连接，分别交，于点，．若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查轴对称的性质、等腰直角三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用对称的性质解决问题，依据勾股定理列方程求解．由对称推出，，，推出，由此即可判断是等腰直角三角形，由轴对称可得，，，进而得出，最后依据勾股定理列方程，即可得到的长度． 【详解】解：如图，连接， 由，关于直线对称，、关于直线对称， 得，，， ， 是等腰直角三角形， ， 设， 由， 得， 根据轴对称可得，，， 故， 得，即， 故． 故答案为：． 16. 如图，在长方形的对称轴l上找一点P，使得，均为等腰三角形，则满足条件的点P有_____个． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查的是轴对称图形的性质，等腰三角形的判定与性质，分类讨论：如图，为的垂直平分线与对称轴的交点，以为圆心，为半径画弧，与对称轴交于，，以为圆心，为半径画弧，与对称轴交于，，从而可得答案． 【详解】解：如图，为的垂直平分线与对称轴的交点， ∴， ∴，均为等腰三角形， 如图，∵，即， ∴， 以为圆心，为半径画弧，与对称轴交于，， ∴，均为等腰三角形， 如图，∵，即， ∴， 以为圆心，为半径画弧，与对称轴交于，， ∴，均为等腰三角形， 综上：当，均为等腰三角形，这样的点有5个． 故答案为：5 17. 如图，为射线上的一个动点，分别以为直角边，B为直角顶点，在两侧作等腰直角三角形和等腰直角三角形．连接交于点P，则当点B在射线上运动时，的长是_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定的应用等知识，过点E作，垂足为点N，先证明，得到，再证明，即可解决问题． 【详解】解：如图，过点E作，垂足为点N， ∵， ∴， ∴， ∵均为等腰直角三角形， ∴； 在与中， ， ∴， ∴； ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴ ∴． 故答案为：2． 18. 如图，在等边三角形中，高，E是线段上一动点．现有一动点P沿着折线运动，在上的速度是每秒4个单位长度，在上的速度是每秒2个单位长度, 则点P从点A运动到点C至少需_____s． 【答案】5 【解析】 【分析】如图，作于交于．沿着折线运动的时间，根据垂线段最短可知，当时，沿着折线运动的时间最短，由此即可解决问题．本题考查垂线段最短、等边三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． 【详解】解：如图，作于交于． 是等边三角形，， ． ． ． 沿着折线运动的时间， 根据垂线段最短可知，当时，沿着折线运动的时间最短， 、是等边三角形的高， ， 沿着折线运动的时间最时间． 故答案为：5． 三、解答题（本题共10小题，合计96分） 19. 如图，与相交于点O，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，根据平行线的性质推出，由证明，即可证得． 【详解】∵， ∴， 在与中， ，，， ∴． ∴． 20. 在①，②，③这三个条件中选择一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答． 问题：如图，在中，，点在边上，点在边上，连接，，与相交于点．若________________，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定条件进行证明即可． 【详解】解：选择条件①的证明： 在和中， ， ， ； 选择条件②的证明： 在和中， ， ， ； 选择条件③的证明：连接， 在和， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 21. 如图，，，，垂足分别为，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用“”可证明； （2）先利用全等三角形的性质得到，再利用勾股定理计算出，从而得到的长，然后计算即可． 【小问1详解】 证明：，， ， 在和中， ， ； 【小问2详解】 解：， ， 在中，， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 22. 如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，BC＝5．点D为AC上一点，且BD＝4，CD＝3． (1)求证：BD⊥AC； (2)求AB的长． 【答案】证明见解析；（2）AB=. 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理逆定理判断即可； （2）设AB＝x，则AC＝x，AD＝x－3，根据AB2=AD2+BD2列方程求解即可. 【详解】（1）证明：在△BDC中， ∵， ∴∠BDC＝90°，即BD⊥AC ， （2）解：设AB＝x，则AC＝x，AD＝x－3， ∵BD⊥AC， ∴∠ADB＝90°. 在Rt△ABD中 ∴， 即 ， 解得：， ∴AB=. 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. 23. 如图，在直角三角形中，． （1）作平分线交于点D，过点D作的垂线交于点E；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）若周长为10，，求的周长． 【答案】（1）见解析 （2）18 【解析】 【分析】（1）根据用尺规作一个内角平分线的方法和作垂线的方法进行作图即可； （2）根据角平分线的性质得出，证明，得出，根据的周长为10，得出，求出结果即可． 【小问1详解】 解：如图，为所求作的角平分线，为所求作的垂线； 【小问2详解】 解：∵是的平分线，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的周长为10， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，尺规作角平分线和垂线，解题的关键是数形结合，熟练掌握基本的作图方法． 24. 已知：在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，且AC⊥BD，作BF⊥CD，垂足为点F，BF与AC交于点G，∠BGE=∠ADE． （1）如图1，求证：AD=CD； （2）如图2，BH是△ABE的中线，若AE=2DE，DE=EG，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于△ADE面积的2倍． 【答案】（1）证明见解析；（2）△ACD、△ABE、△BCE、△BHG． 【解析】 【详解】分析：（1）由AC⊥BD、BF⊥CD知∠ADE+∠DAE=∠CGF+∠GCF，根据∠BGE=∠ADE=∠CGF得出∠DAE=∠GCF即可得； （2）设DE=a，先得出AE=2DE=2a、EG=DE=a、AH=HE=a、CE=AE=2a，据此知S△ADC=2a2=2S△ADE，证△ADE≌△BGE得BE=AE=2a，再分别求出S△ABE、S△ACE、S△BHG，从而得出答案． 详解：（1）∵∠BGE=∠ADE，∠BGE=∠CGF， ∴∠ADE=∠CGF， ∵AC⊥BD、BF⊥CD， ∴∠ADE+∠DAE=∠CGF+∠GCF， ∴∠DAE=∠GCF， ∴AD=CD； （2）设DE=a， 则AE=2DE=2a，EG=DE=a， ∴S△ADE=AE×DE=×2a×a=a2， ∵BH是△ABE的中线， ∴AH=HE=a， ∵AD=CD、AC⊥BD， ∴CE=AE=2a， 则S△ADC=AC•DE=•（2a+2a）•a=2a2=2S△ADE； 在△ADE和△BGE中， ∵， ∴△ADE≌△BGE（ASA）， ∴BE=AE=2a， ∴S△ABE=AE•BE=•（2a）•2a=2a2， S△ACE=CE•BE=•（2a）•2a=2a2， S△BHG=HG•BE=•（a+a）•2a=2a2， 综上，面积等于△ADE面积的2倍的三角形有△ACD、△ABE、△BCE、△BHG． 点睛：本题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握等腰三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质． 25. 我们规定：三角形任意两边的“美妙值”等于第三边上的中线与第三边一半的平方差．如图，在中，是边上的中线，与的“美妙值”就等于的值，可记为．若，，求下列各式的值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和勾股定理，熟练掌握并运用它们是本题的关键． （1）先根据三角形内角和定理求出，再求出，根据勾股定理求出，再代入进行计算即可； （2）取的中点E，连接．由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求得，进而求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， 在中，∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：取的中点E，连接．如图， ∴， ∵是直角三角形， ∴， ∴． 26. 在中，，D是的中点，以为腰向外作等腰直角，，连接，交于点F，交于点G． （1）若，则 ； （2）求证：； （3）若，则的值为 ． 【答案】（1）20 （2）见解析 （3）18 【解析】 【分析】（1）根据等腰直角三角形的旋转得出，求出，根据三角形内角和定理求出即可； （2）根据等腰三角形的性质得出，根据推出，根据全等性质得出，即可得出答案； （3）根据全等得出，求出，根据勾股定理求出，即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵以为腰向外作等腰直角， ∴ ∵ ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故答案为：20； 【小问2详解】 证明：∵，D是的中点， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：18. 【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，能综合运用性质进行推理是解此题的关键． 27. 如图（1），，，．点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）． （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，与是否全等，并判断此时线段和线段的位置关系，请分别说明理由； （2）如图（2），将图（1）中的“”改为“”，其他条件不变．设点Q的运动速度为，是否存在实数x，使得与全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）全等；线段和线段垂直，理由见解析 （2）存在，或，使得与全等 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等，在解题时注意分类讨论思想的运用． （1）利用证得，得出，进一步得出得出结论即可； （2）由，分两种情况：，，建立方程组求得答案即可． 小问1详解】 解：（1）与全等，线段和线段垂直．理由如下： 当时，， 又，即， 在和中， ， ∴． ∴， ∴． ∴， 即线段和线段垂直． 【小问2详解】 存在，或，使得与全等． 理由：依题意得： ①若， 则， 则， 解得； ②若， 则， 则， 解得：， 综上所述，存在或，使得与全等． 28. 如图1，中，于，且． （1）试说明是等腰三角形； （2）已知，如图2，动点从点出发以每秒的速度沿线段向点运动，同时动点从点出发以相同速度沿线段向点运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点运动的时间为（秒）． ①若的边与平行，求的值； ②若点是边的中点，问在点运动的过䅅中，能否成为等腰三角形？若能，求出的值，若不能，请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）①5或6；②9或10或 【解析】 【分析】（1）设，，，则，由勾股定理求出，即可得出结论； （2）由面积求出、、、；①当时，；当时，；得出方程，解方程即可； ②根据题意得出当点在上，即时，为等腰三角形，有3种可能：如果；如果；如果；分别得出方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：证明：设，，， 则， 在中，， ， 是等腰三角形； 【小问2详解】 ，而， ， 则，，，． ①当时，， 即， ， 当时，， 得：， 若的边与平行时，值为5或6． ②点是边的中点，， ， 当点在上，即时，为钝角三角形，但； 当时，点运动到点，不构成三角形 当点在上，即时，为等腰三角形，有3种可能． 如果，则， ； 如果，则点运动到点， ； 如果， 过点作于，如图3所示： ， ， 在中，； ，， 则在中，， ． 综上所述，符合要求的值为9或10或． 故答案为：9或10或． 【点睛】此题是三角综合题，主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形的面积公式，勾股定理，解本题的关键是熟练掌握方程的思想方法和分类讨论思想． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$