一元二次不等式讲义-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

二次函数与一元二次方程 一、二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 二、二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1，或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 【典题1】填表 方程 方程根的情况 二次函数图像 解不等式 1.求下列关于的不等式的解集. (1) (2) 2.求不等式的解集. (1) (2) 3.解下列不等式： (1) (2) 简单的分式不等式的解法 系数化为正，大于取“两端”，小于取“中间” 1.解不等式. 2.解不等式≥0. 3.解不等式 1.不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 2.不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3.不等式的解集为（　　） A． B．或 C． D．或 4.不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 解绝对值不等式 或， 注：｜ax＋b｜≤c（c＞0）和｜ax＋b｜≥c（c＞0）型不等式的解法 （1）｜ax＋b｜≤c⇔－c≤ax＋b≤c； （2）｜ax＋b｜≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c. 1.解不等式：|2x＋3|≥5 2.解不等式：|2x－1|＜3： 3.不等式的解集为（    ） A．R B． C． D． 4.不等式的解集是（    ） A．R B． C． D． 5.下面是的解集的是（    ） A． B． C． D． 一元二次不等式与根与系数关系的交汇 1.设一元二次不等式的解集为，则（ ） A． B． C． D． 2.设一元二次不等式的解集为，则的值为（ ） A． B． C． D． 3.已知关于的一元二次不等式的解集为，则关于的一元二次不等式的解集为（ ） A． B． C．， D． 4.(多选)已知关于x的不等式的解集为，则(    ) A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 5.(多选)已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是(    ) A． B． C． D．的解集为 6.已知区间是关于的一元二次不等式的解集，则的最小值是（ ） A． B． C． D．3 含有参数的一元二次不等式的解法 1.解关于的不等式：. 2.解关于的不等式：； 3.已知不等式的解集为或 (1)求的值 (2)解不等式． 4.已知关于不等式的解集为． (1)求实数； (2)解关于不等式． 5.求关于的不等式的解集. 6.解关于x的不等式：． 一元二次不等式恒成立问题的求解 1.利用一元二次方程根的判别式解一元二次不等式在R上的恒成立问题 （1）未说明不等式为一元二次不等式时，有 不等式对任意实数恒成立； 不等式对任意实数恒成立； （2）一元二次不等式对任意实数恒成立的条件是； （3）一元二次不等式对任意实数恒成立的条件是． 2．分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题． 一元二次不等式恒成立问题 1.若关于的一元二次不等式的解集为，则（ ） A． B． C． D． 2.若关于x的一元二次不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3.不等式对一切恒成立，则实数的取值范围为__________. 4.命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 5.（多选），关于x的不等式恒成立的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 不等式的恒成立与有解问题 1.设命题，若是真命题，则实数m的取值范围为______. 2.若是假命题，则实数的取值范围为 ． 3.当时，关于x的不等式恒成立，则m的取值集合是 ． 4.已知函数. (1)若的解集是或，求实数的值； (2)当时，若时函数有解，求的取值范围. 整数解个数问题 1.（多选）已知，关于的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则的值可以是（ ） A． B． C． D．0 2.（多选）关于的一元二次不等式的解集中有且仅有5个整数，则实数的值可以是（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 3.（多选）已知，关于的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则的值可以是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 4.若关于x的一元二次方程有两个不相等的实根，且．则实数a的取值范围为 ． 5.关于x的方程至少有一个负实根，则的取值范围为___________． 6.关于的不等式的整数解恰有3个，则实数的取值范围是______. 实际问题中的一元二次不等式问题 1.某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏．现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入，则这批台灯的销售单价x(单位：元)的取值范围是(    ) A． B． C． D． 2.某商品在最近天内的价格与时间 (单位：天)的函数关系是；销售量与时间的函数关系是，则使这种商品日销售金额不小于元的的范围为(    ) A． B． C． D． 3.某礼服租赁公司共有300套礼服供租赁，若每套礼服每天的租价为200元，则所有礼服均被租出；若将每套礼服每天的租价在200元的基础上提高10x元(，)，则被租出的礼服会减少10x套.若要使该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入超过6.24万元，则该礼服租赁公司每套礼服每天的租价应定为(    ) A．220元 B．240元 C．250元 D．280元 4.河南是华夏文明的主要发祥地之一，众多的文物古迹和著名的黄河等自然风光构成了河南丰富的旅游资源，在旅游业蓬勃发展的带动下，餐饮、酒店、工艺品等行业持续发展．某连锁酒店共有500间客房，若每间客房每天的定价是200元，则均可被租出；若每间客房每天的定价在200元的基础上提高元(，)，则被租出的客房会减少套．若要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106600元，则该连锁酒店每间客房每天的定价应为(    ) A．250元 B．260元 C．270元 D．280元 5.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于的内接矩形花园(阴影部分)，则图中矩形花园的其中一边的边长(单位：m)的取值范围是(    )    A． B． C． D． 6.2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，在党和国家强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情，之后一方面防止境外输入，另一方面复工复产．某厂经调查测算，某种商品原来每件售价为25元，年销售量8万件． （1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？ （2）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并将定价提高到元．公司拟投入万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价． 学科网（北京）股份有限公司 $$