浙江省九年级上学期期中真题必刷易错、压轴60题（15个考点专练）-2024-2025学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（浙教版）

期中真题必刷易错、压轴60题（15个考点专练） 一．二次函数的性质（共4小题） 1．（2023秋•萧山区校级期中）二次函数中，当时，随的增大而增大，则一次项系数满足　　 A． B． C． D． 2．（2024秋•义乌市期中）已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为　　 A．或4 B．2或 C．或2 D． 3．（2023秋•西湖区校级期中）二次函数，当时，设此函数最大值为10，最小值为，则的值　　 A．与，的值都有关 B．与无关，但与有关 C．与，的值都无关 D．与有关，但与无关 4．（2023秋•西湖区校级期中）在平面直角坐标系中，设二次函数，，是实数）． （1）若函数经过点的图象经过点，求证：函数的图象经过点． （2）设函数和函数的最值分别为和，若且函数的图象过和两点，求的值． 二．二次函数图象与系数的关系（共4小题） 5．（2023秋•绍兴期中）在平面直角坐标系中，已知点，点都在直线上，若抛物线与线段有两个不同的交点，则的取值范围是 　　． 6．（2023秋•余杭区校级期中）已知二次函数，当时，该函数取最大值12．设该函数图象与轴的一个交点的横坐标为，若，则的取值范围是 　　． 7．（2023秋•仙居县期中）在直角坐标系中，设函数，，是常数，． （1）已知． ①若函数的图象经过和两点，求函数的表达式； ②若将函数图象向下平移两个单位后与轴恰好有一个交点，求的最小值． （2）若，，，，是该函数图象上的两个不同点，对于任意，当时，恒有，试求的取值范围． 8．（2023秋•慈溪市校级期中）已知二次函数． （1）若它的图象经过点，求，满足的关系式． （2）在（1）的条件下，当自变量的值满足时，随的增大而增大． ①求的取值范围； ②记，求的取值范围． （3）若它的图象经过点，，，且，请直接写出的取值范围． 三．待定系数法求二次函数解析式（共3小题） 9．（2023秋•余姚市校级期中）二次函数、为实数）的图象经过点，点． （1）求该二次函数的表达式及顶点坐标． （2）当时，求该二次函数的最大值与最小值． 10．（2023秋•龙泉市期中）已知关于的二次函数，经过点，，，． （1）若此函数图象过点，求这个二次函数的表达式； （2）若时，时，求的值； （3）若，当，且时，求证：． 11．（2023秋•嘉兴期中）定义：二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与轴交点也相同的两个二次函数互为友好同轴二次函数．例如：的友好同轴二次函数为． （1）函数的对称轴为 　　，其友好同轴二次函数为 　　，两个函数表达式的二次项系数的关系是 　　； （2）已知二次函数（其中且且，其友好同轴二次函数记为． ①若函数的图象与函数的图象交于、两点（点的横坐标小于点的横坐标），求线段的长； ②当时，函数的最大值与最小值的差为8，求的值． 四．抛物线与x轴的交点（共5小题） 12．（2023秋•东阳市期中）已知抛物线的顶点坐标为，若关于的一元二次方程（为实数）在范围内有两个不同的实数根，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 13．（2023秋•宁海县期中）抛物线与轴的一个交点的坐标为，则此抛物线与轴的另一个交点的坐标是 　　． 14．（2023秋•乐清市校级期中）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于、两点在的左侧），点关于抛物线对称轴的对称点为点，动点在轴上，点在以点为圆心，半径为1的圆上，则的最小值是 　　． 15．（2023秋•温岭市期中）如图，已知二次函数的图象经过点，，与轴的另一个交点为． （1）求该图象的解析式． （2）求长． 16．（2023秋•西湖区期中）已知：二次函数的图象与轴相交于，两点，与轴相交于点，点为抛物线的顶点． （1）求二次函数的解析式； （2）求的值． 五．二次函数的应用（共6小题） 17．（2021秋•西湖区校级期中）某农场拟建两间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙长，中间用一道墙隔开（如图），已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为，设两饲养室合计长，总占地面积为 （1）求关于的函数表达式和自变量的取值范围； （2）若要使两间饲养室占地总面积达到，则为多少？占地总面积有可能达到吗？ 18．（2023秋•诸暨市期中）某种商品每件的进价为10元，若每件按20元的价格销售，则每月能卖出360件．若每件涨价1元销售，则每月能少卖出30件． （1）设每件涨价元为整数），本月通过销售该商品获利为元，求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； （2）通过计算说明，每件定价多少元时，每月获得的利润最大？并求此最大利润． 19．（2023秋•萧山区期中）某超市采购了两批同样的冰墩墩挂件，第一批花了6600元，第二批花了8000元，第一批每个挂件的进价是第二批的1.1倍，且第二批比第一批多购进50个． （1）求第二批每个挂件的进价； （2）两批挂件售完后，该超市以第二批每个挂件的进价又采购一批同样的挂件，经市场调查发现，当售价为每个60元时，每周能卖出40个，若每降价1元，每周多卖10个，由于货源紧缺，每周最多能卖90个，求每个挂件售价定为多少元时，每周可获得最大利润，最大利润是多少？ 20．（2024秋•瓯海区校级期中）根据以下素材，探索完成任务． 柚子季将至，某超市购进一批柚子进行销售 素材1 超市以20元千克的批发价格购进柚子，准备在销售旺季里销售．根据食品保鲜度，商家决定在整个40天的销售旺季里，前15天以32元千克的销售单价进行销售，从第16天开始每天销售单价降低0.4元千克进行降价销售． 素材2 根据往年的销售数据，柚子在销售旺季40天内的日销数量（千克）与时间第（天的关系如表． 时间 第（天 1 2 3 10 日销售量 （千克） 30 35 40 75 问题解决 任务1 小明看到柚子降价销售“26元千克”，计算这是超市卖柚子到第几天了． 任务2 利用一次函数、二次函数、反比例函数的知识，直接写出日销售量（千克）与时间（天的关系式． 任务3 请你帮助超市算一算，在销售旺季里利润最大是第几天，最大的利润是多少． 21．（2023秋•海曙区校级期中）某品牌大米远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价为每千克4元的该大米，以不低于成本价且不超过每千克7元的价格销售．当每千克售价为5元时，每天售出大米；当每千克售价为6元时，每天售出大米，通过分析销售数据发现：每天销售大米的数量与每千克售价（元满足一次函数关系． （1）请直接写出与的函数关系式； （2）超市将该大米每千克售价定为多少元时，每天销售该大米的利润可达到1800元？ （3）当每千克售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？ 22．（2023秋•江北区期中）随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展， 对花木的需求量逐年提高 ． 某园林专业户计划投资种植花卉及树木， 根据市场调查与预测， 种植树木的利润与投资量成正比例关系， 如图①所示；种植花卉的利润与投资量成二次函数关系， 如图②所示 （注 ：利润与投资量的单位： 万元） （1） 分别求出利润与关于投资量的函数关系式； （2） 如果这位专业户以 8 万元资金投入种植花卉和树木， 他至少获得多少利润， 他能获取的最大利润是多少？ 六．二次函数综合题（共19小题） 23．（2023秋•鄞州区期中）阅读材料： 地球行星防御理事会截获了来自半人马座三体星系的信息，得知了这个异星世界的数学知识中有被称为“圈”的图形．有好几种人类已知的图形符合“圈”的定义，抛物线就是其中之一如果把抛物线看作“圈”，它将满足以下基本事实：对抛物线上的任意一个定点，在它内部必定有一定点，过的任意直线交抛物线于，两点（都不同于点，使得始终为直角，并把称为所对的“圈心”；其中，满足如下关系：它们的横坐标的和为抛物线顶点横坐标的2倍，与的纵坐标的差等于抛物线二次项系数的倒数．（节选自《三体罗辑前传》 根据材料提供的基本事实，解答下列问题： （1）点是抛物线上一点，直接写出所对的“圈心” 的坐标； （2）点是抛物线上的点，它的横坐标是2，求所对的“圈心”坐标； （3）点是抛物线上不同于原点的任意一点，轴于，作交轴于点，求证：点所对的“圈心”是点． 24．（2023秋•金东区期中）如图1，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且点坐标为． （1）求抛物线的解析式． （2）如图2，轴上存在一点，使经过，两点，求点的坐标． （3）如图3，连结，点（不与，，三点重合）为抛物线上一动点，连结，，在点运动过程中， 中是否存在一个内角，使其等于，若存在，求出此时点的横坐标；若不存在，请说明理由． 25．（2023秋•西湖区期中）抛物线与轴交于、在的左边），与轴负半轴交于，且． （1）求、的值； （2）将抛物线向左平移一个单位后得抛物线，交轴于、，交轴于，点为抛物线位于第四象限上的一点，连交轴于，连交轴于，求的值； （3）如图3，直线交抛物线于、两点，分别过、且与抛物线只有唯一公共点的两条直线交于，求证：点在一条定直线上． 26．（2023秋•东阳市期中）图1是一个瓷碗，图2是其截面图，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽，此时面汤最大深度． （1）当面汤的深度为时，汤面的直径长为 　　； （2）如图3，把瓷碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止，此时碗中液面宽度　　． 27．（2023秋•秀洲区校级期中）综合与实践 问题提出 某兴趣小组开展综合实践活动：在△中，，为上一点，，动点以每秒1个单位的速度从点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点时停止，以为边作正方形．设点的运动时间为 ，正方形的面积为，探究与的关系． 初步感知 （1）如图1，当点由点运动到点时， ①当时，　　； ②关于的函数解析式为 　　． （2）当点由点运动到点时，经探究发现是关于的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．请根据图象信息，求关于的函数解析式及线段的长． 延伸探究 （3）若存在3个时刻，，对应的正方形的面积均相等． ①　　； ②当时，求正方形的面积． 28．（2023秋•萧山区期中）如图①，是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在处，对称轴与水平线垂直，，点在抛物线上，且点到对称轴的距离，点在抛物线上，点到对称轴的距离是1． （1）求抛物线的表达式； （2）如图②，为更加稳固，小星想在上找一点，加装拉杆，，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小星找到点的位置并求出坐标； （3）为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为，当时，函数的值总大于等于9．求的取值范围． 29．（2024秋•浙江期中）如图1，抛物线经过点，，并交轴于点，（点在点的右边）． （1）求该抛物线的函数表达式． （2）如图2，为轴上一动点，点的坐标为，过三点，，作抛物线，连结． ①当抛物线的顶点落在线段上时，求此时的值． ②当抛物线与线段只有一个交点时，直接写出的取值范围． 30．（2023秋•慈溪市校级期中）已知二次函数的图象经过三点，，． （1）求二次函数的表达式． （2）二次函数的图象上若有两点，，且，根据图象直接写出的取值范围． （3）点是第一象限内二次函数的图象上的一动点，作轴交于点，作于点．当点运动时，求△周长的最大值． 31．（2023秋•黄岩区期中）定义： （ⅰ）如果两个函数，，存在取同一个值，使得，那么称，为“合作函数”．称对应的值为，的“合作点”； （ⅱ）如果两个函数为，为“合作函数”，那么的最大值称为，的“共赢值”． （1）判断函数与是否为“合作函数”，如果是，请求出合作点；如果不是，请说明理由； （2）已知函数与是“合作函数”，且有唯一合作点． ①求出的取值范围； ②若它们的“共赢值”为18，试求出的值． 32． （2023秋•萧山区校级期中）如图1是一座圆弧型拱桥侧面示意图．水面宽与桥长均为24米，桥拱顶部离水面的距离为8米，以桥拱顶部为原点，桥面为轴建立平面直角坐标系． （1）求圆弧型桥拱所在圆的半径； （2）如图2，桥面上方有3根高度均为4米的支柱，，，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面的距离为1米． ①求出轴右侧一条钢缆抛物线的函数表达式； ②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求经过钢缆最低点的彩带的长度． 33．（2023秋•奉化区校级期中）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．是线段上的动点（点不与点，重合），连接并延长交抛物线于另一点，连接，，，设点的横坐标为． （1）求证：△是直角三角形． （2）记△的面积为，求关于的函数表达式． （3）在点的运动过程中，是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由． 34．（2023秋•绍兴期中）如图1，平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点，点是线段上一个动点，过点作轴的垂线，交直线于点，交抛物线于点． （1）求抛物线的解析式； （2）当面积最大时，求点的坐标； （3）如图2，是否存在以点、、为顶点的三角形与相似，若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 35．（2023秋•慈溪市期中）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？ 素材1：图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形或圆弧形桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶离水面．据调查，该河段水位在此基础上再涨达到最高． 素材2：为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂长的灯笼，如图3．为了安全，灯笼底部距离水面不小于；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布． 问题解决： 任务1：确定桥拱形状是抛物线：在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式． 任务2：拟定设计方案：在任务1的基础上，给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标． 任务3：确定桥拱形状是圆弧：在图2中用适当方法求圆弧所在圆的半径长 任务4：拟定通行方案：在任务3的基础上，该河段水位涨达到最高时，有一艘货船它漏出水面高2.2米，船体宽9米需要从拱桥下通过，给出船航行线路，并判断是否能顺利通行． 36．（2023秋•湖州期中）已知抛物线交轴于，两点，为抛物线的顶点，，为抛物线上不与，重合的相异两点，记中点为，直线，的交点为． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若，，且，求证：，，三点共线； （3）小明研究发现：无论，在抛物线上如何运动，只要，，三点共线，，，中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由． 37．（2023秋•婺城区校级期中）如图，抛物线与直线相交于点和点． （1）求和的值； （2）求点的坐标，并结合图象写出不等式的解集； （3）点是直线上的一个动点，将点向右平移3个单位长度得到点，若线段与抛物线只有一个公共点，直接写出点的横坐标的取值范围． 38．（2023秋•浙江期中）新定义：我们把抛物线与抛物线其中称为“关联抛物线”．例如：抛物线的“关联抛物线”为．已知抛物线的“关联抛物线”为． （1）写出抛物线的函数表达式（用含的式子表示）　　，顶点坐标为 　　． （2）对于和，当时，求的取值范围． （3）若，当时，的最大值与最小值的差为，求的值． 39．（2023秋•文成县期中）如图，已知点的坐标是，点的坐标是，以为直径作，交轴的负半轴于点，连接，，过，，三点作抛物线． （1）求点的坐标及抛物线的解析式； （2）点是延长线上一点，的平分线交于点，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点，使得，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 40．（2023秋•乐清市期中）二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为． （1）求点的坐标； （2）如图①，是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当的垂直平分线恰好经过点时，求点的坐标； （3）如图②，是该二次函数图象上的一个动点，连接，取中点，连接，，，当的面积为12时，求点的坐标． 41．（2023秋•椒江区校级期中）如图，二次函数的图象交轴于点，，交轴于点．点是轴上的一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）①若点仅在线段上运动，如图，求线段的最大值； ②若点在轴上运动，则在轴上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 七．垂径定理（共1小题） 42．（2023秋•西湖区校级期中）如图，以为圆心，半径为2的圆与轴交于、两点，与轴交于，两点，点为上一动点，于，则弦的长度为 　　；当点在的运动过程中，线段的长度的最小值为 　　． 八．圆心角、弧、弦的关系（共2小题） 43．（2023秋•鹿城区校级期中）如图，线段，是的两条弦，，连结，． （1）证明：． （2）若于点，且弦的弦心距为4，求的半径． 44．（2023秋•绍兴期中）如图，是的直径，是的中点，于，交于． （1）求证：； （2）若，，求、的长． 九．圆周角定理（共6小题） 45．（2023秋•江干区校级期中）如图，点在上，，则的度数为　　 A． B． C． D． 46．（2023秋•杭州期中）如图，已知是的直径，半径，点在劣弧上（不与点，点重合），与交于点，设，，则以下关系式成立的是　　 A． B． C． D． 47．（2023秋•江干区校级期中）如图，为的直径，为上半圆的一个动点，于点，的角平分线交于点．且的半径为5，连结，则　　；若弦的长为6，则　　． 48．（2023秋•西湖区校级期中）如图，是的直径，点，是上的点，且，分别与，相交于点，． （1）求证：点为的中点； （2）若，，求的直径． 49．（2023秋•滨江区校级期中）如图，是的直径，点为上一点，为弧的中点，过作于点，交于点，交弦于点，连接，． （1）求证：． （2）若，，求的半径． 50．（2023秋•海曙区校级期中）如图，在锐角中，是最短边．以为直径的，交于，过作，交于，连接、、． （1）求证：； （2）若，，求的度数； （3）若，，求的长． 一十．圆内接四边形的性质（共1小题） 51．（2023秋•嵊州市期中）如图，四边形内接于，平分，延长交的延长线于点． （1）若，求的度数； （2）若，求证：． 一十一．点与圆的位置关系（共2小题） 52．（2023秋•西湖区校级期中）已知的半径为5，点到圆心的距离为4.5，则点在　　 A．圆外 B．圆上 C．圆内 D．不能确定 53．（2023秋•西湖区校级期中）已知的半径为3，若点在圆上，则 　　3（填“”、“ ”、“ ” ． 一十二．三角形的外接圆与外心（共4小题） 54．（2023秋•江干区校级期中）如图，是的外接圆，已知，则的大小为　　 A． B． C． D． 55．（2023秋•西湖区校级期中）如图，是的内接等腰三角形，，弦过边的中点，且，若，则外接圆的半径为 　　，　　． 56．（2023秋•平湖市期中）如图，在平面直角坐标系中，的外接圆与轴交于点，，． （1）求的长． （2）求的长． 57．（2023秋•滨江区校级期中）如图，在中，在边上，圆为锐角的外接圆，连结并延长交于点． （1）若，请用含的代数式表示； （2）如图2，作，垂足为，与交于点，已知． ①求证：； ②若，，求的值． 一十三．概率的意义（共1小题） 58．（2023秋•金华期中）某天气预报软件显示“义乌市明天的降水概率为”对这条信息的下列说法中，正确的是　　 A．义乌市明天将有的时间下雨 B．义乌市明天将有的地区下雨 C．义乌市明天下雨的可能性较大 D．义乌市明天下雨的可能性较小 一十四．概率公式（共1小题） 59．（2023秋•乐清市期中）一个口袋中放有除颜色外，形状大小都相同的黑白两种球，黑球6个，白球10个，现在往袋中放入个白球，使得摸到白球的概率为0.8，则　　． 一十五．利用频率估计概率（共1小题） 60．（2023秋•萧山区期中）在一个不透明的口袋里装有若干个相同的红球，为了估计袋中红球的数量，八（1）班学生在数学实验室分组做摸球试验：每组先将10个与红球大小形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是这次活动统计汇总各小组数据后获得的全班数据统计表： 摸球的次数 150 300 600 900 1200 1500 摸到白球的频数 63 247 365 484 606 摸到白球的频率 0.420 0.410 0.412 0.406 0.403 （1）按表格数据格式，表中的　　；　　； （2）请估计：当次数很大时，摸到白球的频率将会接近 　　（精确到； （3）请推算：摸到红球的概率是 　　（精确到； （4）试估算：这一个不透明的口袋中红球有 　　个． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中真题必刷易错、压轴60题（15个考点专练） 一．二次函数的性质（共4小题） 1．（2023秋•萧山区校级期中）二次函数中，当时，随的增大而增大，则一次项系数满足　　 A． B． C． D． 【分析】根据的值先确定抛物线的开口方向，然后再根据已知当时，随的增大而增大，可得抛物线的对称轴，从而进行计算即可解答． 【解答】解：， 二次函数的图象开口向上， 当时，随的增大而增大， ， 解得：， 故选：． 【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 2．（2024秋•义乌市期中）已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为　　 A．或4 B．2或 C．或2 D． 【分析】根据表达式求出对称轴，对的正负进行分类讨论，求出每种情况的最小值即可． 【解答】解：由题意得，的对称轴为直线，顶点坐标为， ①当时，在， 的最小值为， ， ； ②当时，在， 当时函数有最小值， ， 解得； 综上所述：的值为2或． 故选：． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数的最值，对的分类讨论是本题的解题关键． 3．（2023秋•西湖区校级期中）二次函数，当时，设此函数最大值为10，最小值为，则的值　　 A．与，的值都有关 B．与无关，但与有关 C．与，的值都无关 D．与有关，但与无关 【分析】依据题意，先根据二次函数的已知条件，得出二次函数的图象开口向上，再分别进行讨论，即可得出函数的最大值与最小值即可得到结论． 【解答】解：二次函数， 该抛物线的对称轴为直线，且， 当时，即， 当时，二次函数有最大值为：，即， ． 当时，二次函数有最小值为：，即，与有关但与无关． 当， 当时，二次函数有最大值为：． ． 当时，二次函数有最小值为：，即，与有关但与无关． 当时，即， 当时，二次函数取最小值为． 此时①若，即， 当时，二次函数的最大值为， ． ，与有关但与无关． ②若，即， 当时，二次函数的最大值为，即． ． ，与有关但与无关8， 故选：． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 4．（2023秋•西湖区校级期中）在平面直角坐标系中，设二次函数，，是实数）． （1）若函数经过点的图象经过点，求证：函数的图象经过点． （2）设函数和函数的最值分别为和，若且函数的图象过和两点，求的值． 【分析】（1）函数的图象经过点，可得，推出，把代入得，，可得结论． （2）依据题意，可得，，由，即可求得，得到，根据函数的图象经过点和两点的纵坐标相同，得到，从而得到，把点代入即可求得的值． 【解答】（1）证明：函数的图象经过点， ， ， 把代入得，， 函数的图象经过点； （2）解：由题意得，，， 又， ． ． ． 又函数的图象经过点和，且两点的纵坐标相同， ． ， ． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 二．二次函数图象与系数的关系（共4小题） 5．（2023秋•绍兴期中）在平面直角坐标系中，已知点，点都在直线上，若抛物线与线段有两个不同的交点，则的取值范围是 　或．　． 【分析】根据两条函数图象有两个不同的交点，可得联立后的一元二次方程中，即可求出的取值范围． 【解答】解：， ， 抛物线与线段有两个不同的交点， ， ， ， ①当时，， 解得：， ②当时， ， 解得：， ． 综上所述：或． 【点评】本题主要考查了二次函数图象与线段交点的问题，解题的关键在于联立方程得出． 6．（2023秋•余杭区校级期中）已知二次函数，当时，该函数取最大值12．设该函数图象与轴的一个交点的横坐标为，若，则的取值范围是 　　． 【分析】根据二次函数，当时，该函数取最大值12，可以写出该函数的顶点式，得到，再根据该函数图象与轴的一个交点的横坐标为，，可知，当时，，即可得到的取值范围，本题得以解决． 【解答】解：二次函数，当时，该函数取最大值12， ，该函数解析式可以写成， 设该函数图象与轴的一个交点的横坐标为，， 当时，， 即，解得，， 的取值范围是， 故答案为：． 【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数的最值、抛物线与轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 7．（2023秋•仙居县期中）在直角坐标系中，设函数，，是常数，． （1）已知． ①若函数的图象经过和两点，求函数的表达式； ②若将函数图象向下平移两个单位后与轴恰好有一个交点，求的最小值． （2）若，，，，是该函数图象上的两个不同点，对于任意，当时，恒有，试求的取值范围． 【分析】（1）依据题意，将代入得，①将和两点代入求出，，进而可以得解； ②函数向下平移两个单位得，再由该函数与轴恰好有一个交点，进而可得△，可得，进而可以判断得解； （2）依据题意，首先求出对称轴是直线，再结合题意即可求出的取值范围． 【解答】解：（1）， ． ①将和两点代入．得， ， 解得：． ． ②函数向下平移两个单位得，此时该函数与轴恰好有一个交点， △， 即， ， ， ． 当时，的最小值为1． （2）对称轴是直线， ，对任意的，都有， ，． ． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 8．（2023秋•慈溪市校级期中）已知二次函数． （1）若它的图象经过点，求，满足的关系式． （2）在（1）的条件下，当自变量的值满足时，随的增大而增大． ①求的取值范围； ②记，求的取值范围． （3）若它的图象经过点，，，且，请直接写出的取值范围． 【分析】（1）依据题意，将点代入解析式即可得解； （2）①依据题意，由，抛物线开口向上，故在对称轴右侧随的增大而增大，进而可以得解； ②依据题意，结合的范围，将看作的二次函数进行计算可以得解； （3）依据题意，可得对称轴是直线，在结合图象过点，又经过点，，，且，依据点与对称轴的距离进而可以计算得解． 【解答】解：（1）将点代入解析式得，， ． （2）①由，抛物线开口向上，故在对称轴右侧随的增大而增大， 又时，随的增大而增大． ． ． 由， ． 又由（1）， ． ． ②由题意， ． 又， ． （3）由题意， 二次函数过点，， 对称轴是直线． 当时，， 二次函数图象过． 抛物线开口向上， 在对称轴直线左侧随的增大而减小，在对称轴的右侧是随的增大而增大． 图象过，， ，而， ，在对称轴直线的左侧或两侧． ①当，在对称轴直线的左侧， 又由题意，也在左侧，且， ． ． ②，在对称轴直线的两侧， 在左侧，在右侧． 又， ． ． 综上，或． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要能熟练掌握并灵活运用是关键． 三．待定系数法求二次函数解析式（共3小题） 9．（2023秋•余姚市校级期中）二次函数、为实数）的图象经过点，点． （1）求该二次函数的表达式及顶点坐标． （2）当时，求该二次函数的最大值与最小值． 【分析】（1）利用待定系数法确定函数的解析式，利用配方法即可求得顶点坐标； （2）根据的取值范围可知抛物线的顶点二次函数可取得最大值，再由二次函数的对称性和图象，即可得出找到最小值． 【解答】解：（1）二次函数的图象经过点，， ，解得， 该二次函数的解析式， ， 顶点坐标为； （2）的顶点坐标为， 当时，函数的最大值为5， 根据二次函数的对称性，由图象可知：当时，函数有最小值，最小值． 【点评】本题主要考查了求二次函数的解析式、二次函数的图象和性质，利用二次函数图象上点的坐标特征，确定二次函数的极值和函数的解析式是解题的关键． 10．（2023秋•龙泉市期中）已知关于的二次函数，经过点，，，． （1）若此函数图象过点，求这个二次函数的表达式； （2）若时，时，求的值； （3）若，当，且时，求证：． 【分析】（1）依据题意，将代入二次函数解析式求出，进而可以得解； （2）依据题意，可以求出对称轴，然后由时，，进而计算可以得解； （3）依据题意，由，再结合已知条件进行判断进而可以得解． 【解答】（1）解：把代入解析式得： 解得： ． （2）解：由题意得：对称轴为直线． ， ． 又， ． （3）证明：由题意得： ， ， ． ， ． 【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，解题时要熟练掌握二次函数的性质并能灵活运用是关键． 11．（2023秋•嘉兴期中）定义：二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与轴交点也相同的两个二次函数互为友好同轴二次函数．例如：的友好同轴二次函数为． （1）函数的对称轴为 　　，其友好同轴二次函数为 　　，两个函数表达式的二次项系数的关系是 　　； （2）已知二次函数（其中且且，其友好同轴二次函数记为． ①若函数的图象与函数的图象交于、两点（点的横坐标小于点的横坐标），求线段的长； ②当时，函数的最大值与最小值的差为8，求的值． 【分析】（1）由函数的对称轴为直线，由于二次项系数之和为1，对称轴为直线，友好同轴二次函数为，据此判断系数关系即可； （2）①由，根据定义可得其友好同轴二次函数为，因为函数的图象与函数的图象交于、两点，两函数解析式联立解一元二次方程即可求得值； ②为，则对称轴为：，分两种情况当时，当时，根据范围找到最大值和最小值，建立方程即可解决． 【解答】解：（1）由函数的对称轴为直线， 根据定义：其友好同轴二次函数的二次项系数为， 对称轴为直线， 一次项系数为：，常数项为：1 其友好同轴二次函数为：， 则二次项系数之和为1， 故答案为：；二次项系数之和为1； （2）①（其中且且， 其友好同轴二次函数为， 函数的图象与函数的图象交于、两点， ， 即， ， 解得：或， 则或， 则，， ； ②由①知：， 则对称轴为：， ， 当时，即， 开口向上，则时，取最小值为， 时，取最大值为4， 函数最大值与最小值的差为8， ， 解得：， 当时，即， 开口向下，则时，取最大值为， ， 当时，取最小值为4， 函数最大值与最小值的差为8， ， 解得：． 综上所述：或3． 【点评】本题考查二次函数的图象和性质，最值问题，图象的交点问题，综合性较强，仔细审题是关键 四．抛物线与x轴的交点（共5小题） 12．（2023秋•东阳市期中）已知抛物线的顶点坐标为，若关于的一元二次方程（为实数）在范围内有两个不同的实数根，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】依据题意，我们可以将关于的一元二次方程的根可以看作是二次函数与直线交点的横坐标的值，从而关于的一元二次方程（为实数）在范围内有两个不同的实数根就是二次函数与直线在时有两个不同的交点，再由抛物线顶点为，求出后得解析式，然后画出草图，结合图象即可判断得解． 【解答】解：由题意，抛物线为， 关于的一元二次方程的根可以看作是二次函数与直线交点的横坐标的值． 又关于的一元二次方程（为实数）在范围内有两个不同的实数根， 二次函数与直线在时有两个不同的交点． 抛物线顶点为， 对称轴直线． ． 抛物线为． ， 当时，；当时，． 此时对应图象如下， 在范围内有两个不同的实数根， ． 故选：． 【点评】本题主要考查的是抛物线与轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． 13．（2023秋•宁海县期中）抛物线与轴的一个交点的坐标为，则此抛物线与轴的另一个交点的坐标是 　　． 【分析】依据题意，令，即可求得抛物线与轴的交点的横坐标，从而可以判断得解． 【解答】解：由题意，令， ． 或． 一个交点为，另一个交点为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了抛物线与轴的交点的应用，解题时要熟练掌握并理解是关键． 14．（2023秋•乐清市校级期中）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于、两点在的左侧），点关于抛物线对称轴的对称点为点，动点在轴上，点在以点为圆心，半径为1的圆上，则的最小值是 　　． 【分析】依据题意，过点作轴的对称点，连接交轴于点，交圆于点，则点、为所求点，即可求解． 【解答】解：对于，令，则，令，解得或3， 故点、、的坐标分别为、、， 函数的对称轴为直线，则点， 过点作轴的对称点，连接交轴于点，交圆于点，则点、为所求点， 理由：点、关于轴对称，则， 则为最小， 则最小． 故答案为：． 【点评】本题主要考查的是抛物线与轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征、点的对称性等，利用轴对称确定最短路线是解题的关键． 15．（2023秋•温岭市期中）如图，已知二次函数的图象经过点，，与轴的另一个交点为． （1）求该图象的解析式． （2）求长． 【分析】（1）利用待定系数法把问题转化为方程组解决． （2）令，求出、两点坐标即可解决问题． 【解答】解：（1）把，代入得 ， 解得， 二次函数的解析式为． （2）对于抛物线，令，得，解得或2， ，， ，， ． 【点评】本题考查抛物线与轴的交点坐标、待定系数法等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数解析式，掌握求函数与坐标轴的交点坐标的方法，属于中考常考题型． 16．（2023秋•西湖区期中）已知：二次函数的图象与轴相交于，两点，与轴相交于点，点为抛物线的顶点． （1）求二次函数的解析式； （2）求的值． 【分析】（1）设抛物线解析式为，把点代入即可． （2）连接，根据求出△面积即可解决问题． 【解答】解：（1）二次函数的图象与轴相交于，两点， 可以假设抛物线解析式为， 与轴相交于点， ， ， 抛物线解析式为， （2）连接． ， 点坐标， ， ． ． 【点评】本题考查二次函数与轴交点、待定系数法等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数解析式，学会利用分割法求三角形面积，属于中考常考题型． 五．二次函数的应用（共6小题） 17．（2021秋•西湖区校级期中）某农场拟建两间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙长，中间用一道墙隔开（如图），已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为，设两饲养室合计长，总占地面积为 （1）求关于的函数表达式和自变量的取值范围； （2）若要使两间饲养室占地总面积达到，则为多少？占地总面积有可能达到吗？ 【分析】（1）根据题意用含的代数式表示出饲养室的宽，由矩形的面积长宽计算即可； （2）由（1）可知是的二次函数，根据二次函数的性质分析即可． 【解答】解：（1）围墙的总长为50米，2间饲养室合计长米， 饲养室的宽米， 总占地面积为，； （2）当两间饲养室占地总面积达到200平方米时，则， 解得：或30； 当面积达到200平方米时，各道墙长分别为20米、10米或30米、米； 当占地面积达到210平方米时，则， 方程的△，所以此方程无解， 占地面积不可能达到210平方米． 【点评】此题主要考查了由实际问题列二次函数故选以及二次函数的最值问题和一元二次方程的应用，同时也利用了矩形的性质，解题时首先正确了解题意，然后根据题意列出方程即可解决问题． 18．（2023秋•诸暨市期中）某种商品每件的进价为10元，若每件按20元的价格销售，则每月能卖出360件．若每件涨价1元销售，则每月能少卖出30件． （1）设每件涨价元为整数），本月通过销售该商品获利为元，求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； （2）通过计算说明，每件定价多少元时，每月获得的利润最大？并求此最大利润． 【分析】（1）依据题意，根据每月的利润每件的利润销售量列出函数解析式，并根据实际意义求出自变量的取值范围； （2）依据题意，把（1）中解析式化为顶点式，根据函数的性质求最值，并求出此时的售价即可． 【解答】解：（1）设每件涨价元，则这个月能卖出件， 每件的利润为件， ， ， 解得， 又， ， 与的函数关系式为，自变量的取值范围为； （2）由（1）知，， ， 当时，有最大值，最大值为3630， 此时定价为（元， 每件定价21元时，每月获得的利润最大，最大利润为3630元． 【点评】本题主要考查二次函数的应用，解答本题的关键是找到等量关系列出函数解析式． 19．（2023秋•萧山区期中）某超市采购了两批同样的冰墩墩挂件，第一批花了6600元，第二批花了8000元，第一批每个挂件的进价是第二批的1.1倍，且第二批比第一批多购进50个． （1）求第二批每个挂件的进价； （2）两批挂件售完后，该超市以第二批每个挂件的进价又采购一批同样的挂件，经市场调查发现，当售价为每个60元时，每周能卖出40个，若每降价1元，每周多卖10个，由于货源紧缺，每周最多能卖90个，求每个挂件售价定为多少元时，每周可获得最大利润，最大利润是多少？ 【分析】（1）设第二批每个挂件的进价为元，则第一批每个挂件的进价为元，根据题意列出方程，求解即可； （2）设每个售价定为元，每周所获利润为元，则可列出关于的函数关系式，再根据“每周最多能卖90个”得出的取值范围，根据二次函数的性质可得出结论． 【解答】解：（1）设第二批每个挂件的进价为元，则第一批每个挂件的进价为元， 根据题意可得，， 解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合实际意义， ． 第二批每个挂件的进价为40元． （2）设每个售价定为元，每周所获利润为元， 根据题意可知，， ， 当时，随的增大而减小， ， ， 当时，取最大，此时． 当每个挂件售价定为55元时，每周可获得最大利润，最大利润是1350元． 【点评】本题综合考查分式方程和二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题关键． 20．（2024秋•瓯海区校级期中）根据以下素材，探索完成任务． 柚子季将至，某超市购进一批柚子进行销售 素材1 超市以20元千克的批发价格购进柚子，准备在销售旺季里销售．根据食品保鲜度，商家决定在整个40天的销售旺季里，前15天以32元千克的销售单价进行销售，从第16天开始每天销售单价降低0.4元千克进行降价销售． 素材2 根据往年的销售数据，柚子在销售旺季40天内的日销数量（千克）与时间第（天的关系如表． 时间 第（天 1 2 3 10 日销售量 （千克） 30 35 40 75 问题解决 任务1 小明看到柚子降价销售“26元千克”，计算这是超市卖柚子到第几天了． 任务2 利用一次函数、二次函数、反比例函数的知识，直接写出日销售量（千克）与时间（天的关系式． 任务3 请你帮助超市算一算，在销售旺季里利润最大是第几天，最大的利润是多少． 【分析】任务1：由题意得，第柚子的价格为：，即可求解； 任务2：由待定系数法即可求解； 任务3：当时，则，当时，则，分别求出最大值，即可求解． 【解答】解：任务1：由题意得，第柚子的价格为：， 则， 解得：， 即超市卖柚子到第30天了； 任务2：由表格知，函数为一次函数， 设函数的表达式为：， 将代入上式得：， 解得：， 故一次函数的表达式为：； 任务3：设销售旺季里利润为元， 当时，则， 当时，取得最大值为（元； 当时，则， 则函数的对称轴为， 故当时，函数取得最大值为：798元， 故当时，函数去取得最大值为1200， 即在销售旺季里利润最大是第15天，最大的利润是1200元． 【点评】本题考查了二次函数在销售问题中的应用，同时本题还考查了待定系数法求一次函数的解析式、解一元二次方程等知识点，明确二次函数的相关性质并会数形结合是解题的关键． 21．（2023秋•海曙区校级期中）某品牌大米远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价为每千克4元的该大米，以不低于成本价且不超过每千克7元的价格销售．当每千克售价为5元时，每天售出大米；当每千克售价为6元时，每天售出大米，通过分析销售数据发现：每天销售大米的数量与每千克售价（元满足一次函数关系． （1）请直接写出与的函数关系式； （2）超市将该大米每千克售价定为多少元时，每天销售该大米的利润可达到1800元？ （3）当每千克售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？ 【分析】（1）根据题意设，当每千克售价为5元时，每天售出大米；当每千克售价为6元时，每天售出大米，则，求得、即可； （2）定价为元，每千克利润元，销售量为 ，则即，解方程即可； （3）设利润为，根据题意可得化为顶点式即可求出合适的值． 【解答】解：（1）根据题意设， 当每千克售价为5元时，每天售出大米； 当每千克售价为6元时，每天售出大米， 则， 解得：， 则与的函数关系式；， （2）定价为元，每千克利润元， 由（1）知销售量为， 则， 解得：（舍去），， 超市将该大米每千克售价定为6元时，每天销售该大米的利润可达到1800元； （3）设利润为元， 根据题意可得：， 即， ，对称轴为， 当时，随的增大而增大， 又， 时，（元， 当每千克售价定为7元时，每天获利最大，最大利润为2550元． 【点评】本题考查二次函数的应用以及一元二次方程的解法，属于综合题，关键是理解题意，搞清楚数量关系． 22．（2023秋•江北区期中）随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展， 对花木的需求量逐年提高 ． 某园林专业户计划投资种植花卉及树木， 根据市场调查与预测， 种植树木的利润与投资量成正比例关系， 如图①所示；种植花卉的利润与投资量成二次函数关系， 如图②所示 （注 ：利润与投资量的单位： 万元） （1） 分别求出利润与关于投资量的函数关系式； （2） 如果这位专业户以 8 万元资金投入种植花卉和树木， 他至少获得多少利润， 他能获取的最大利润是多少？ 【分析】（1） 可根据图象利用待定系数法求解函数解析式； （2） 根据总利润树木利润花卉利润， 列出函数关系式， 再求函数的最值 ． 【解答】解： （1） 设，由图①所示， 函数的图象过， 所以，， 故利润关于投资量的函数关系式是； 该抛物线的顶点是原点， 设， 由图②所示， 函数的图象过， ，， 故利润关于投资量的函数关系式是：； （2） 设这位专业户投入种植花卉万元，则投入种植树木万元， 他获得的利润是万元， 根据题意， 得， 当时，的最小值是 14 ， ， 时，的最大值为 32 ， 答： 当时，的最大值是 32 ． 【点评】本题第 （1） 个问题是已知一次函数和二次函数的图象， 求函数的解析式， 观察两个函数的图象可知， 前者是正比例函数， 后者是二次函数， 顶点是，利用待定系数法， 先设两个函数的解析式， 再将，代入相应的解析式求出参数即可；第 （2） 个问题是已知自变量的取值范围求二次函数的最值， 属于二次函数的条件最值问题 ． 这类试题一般先将函数解析式配方， 将函数解析式变成顶点形式， 找出顶点坐标和对称轴方程， 结合自变量的取值范围， 画出函数图象 （抛 物线的一部分） ，根据抛物线的对称性、 开口方向， 确定函数的最大 （或 最小） 值， 不宜直接用最值公式， 这种解题方法体现了数学中的数形结合的思想， 它的优点是直观形象， 避免死记公式 ． 六．二次函数综合题（共19小题） 23．（2023秋•鄞州区期中）阅读材料： 地球行星防御理事会截获了来自半人马座三体星系的信息，得知了这个异星世界的数学知识中有被称为“圈”的图形．有好几种人类已知的图形符合“圈”的定义，抛物线就是其中之一如果把抛物线看作“圈”，它将满足以下基本事实：对抛物线上的任意一个定点，在它内部必定有一定点，过的任意直线交抛物线于，两点（都不同于点，使得始终为直角，并把称为所对的“圈心”；其中，满足如下关系：它们的横坐标的和为抛物线顶点横坐标的2倍，与的纵坐标的差等于抛物线二次项系数的倒数．（节选自《三体罗辑前传》 根据材料提供的基本事实，解答下列问题： （1）点是抛物线上一点，直接写出所对的“圈心” 的坐标； （2）点是抛物线上的点，它的横坐标是2，求所对的“圈心”坐标； （3）点是抛物线上不同于原点的任意一点，轴于，作交轴于点，求证：点所对的“圈心”是点． 【分析】（1）设“圈心” 的坐标为，，再根据“它们的横坐标的和为抛物线顶点横坐标的2倍，与的纵坐标的差等于抛物线二次项系数的倒数”建立方程，求出坐标即可； （2）先求出点的坐标，设“圈心”坐标为，根据横纵坐标之间的关系可得出结论； （3）设点的横坐标为，由此可表达和的长，根据题意，得出比例，由此可得出的坐标，结合定义可得出结论． 【解答】解：（1）抛物线的顶点坐标为； 设“圈心” 的坐标为，， ，， 解得，， 所对的“圈心” 的坐标为； 解：（2）点是抛物线上的点，它的横坐标是2， 的坐标为，顶点横坐标为3， 设“圈心”坐标为， ，， 解得，， 点所对的“圈心”坐标为； 证明：（3）点所对的圈心坐标为； 设点的横坐标为，则， ，， 如图，由题意可知，， ， ， ，即， ， ，即点所对的“圈心”是点． 【点评】本题属于属于新定义类问题，主要考查待定系数法求点坐标，相似三角形的性质与判定，解题的关键理解点和所对圈心坐标的关系． 24．（2023秋•金东区期中）如图1，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且点坐标为． （1）求抛物线的解析式． （2）如图2，轴上存在一点，使经过，两点，求点的坐标． （3）如图3，连结，点（不与，，三点重合）为抛物线上一动点，连结，，在点运动过程中， 中是否存在一个内角，使其等于，若存在，求出此时点的横坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）将点的坐标代入解析式，求出的值即可得出结论； （2）设点的坐标为，由圆的性质可知，，由此建立方程，求出即可； （3）根据题意，需要分三种情况：；；，分别画出图形，根据图形列出方程，求解即可． 【解答】解：（1）抛物线与轴交于，两点，且点坐标为， ， 解得， 抛物线的解析式为：； （2）抛物线与轴交于，两点，与轴交于点， 令，即， 解得或， 令，则， ，， 设点的坐标为，由题可知，， ， 解得， ； （3）存在，理由如下：在中，，， ； 根据题意， 中是否存在一个内角，使其等于，需要分以下三种情况： ①当时，如图，过点作于点，过点作轴于点，过点作轴交于点， ， ，，， ， ，， 轴，，， ， ， ， ， 设，则，， ， ， ， ，， ， 直线的解析式为：， 令， 解得（舍或； ②当时， 当点在上方时，如图，此时轴， 令， 解得； 当点在轴下方时，如图，设与轴交于点， ， ， 在中，由勾股定理可得，， 即， 解得， ，， 直线的解析式为：， 令， 解得（舍或； ③当时，如图，过点作交的延长线于点，过点作轴，分别过点，作轴的平行线，交于点，， ， ， 设点的横坐标为，则， ，， ，， ，， 直线的解析式为：， 将点的坐标代入上述解析式，可得， 整理得，即， 或（舍或（如图； 综上，符合题意的点的横坐标为：或3或或或5． 【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查待定系数法，相似三角形的性质与判定，角度的存在性等相关知识，分类讨论思想等数学思想，利用垂直构造一线三等角是解题关键． 25．（2023秋•西湖区期中）抛物线与轴交于、在的左边），与轴负半轴交于，且． （1）求、的值； （2）将抛物线向左平移一个单位后得抛物线，交轴于、，交轴于，点为抛物线位于第四象限上的一点，连交轴于，连交轴于，求的值； （3）如图3，直线交抛物线于、两点，分别过、且与抛物线只有唯一公共点的两条直线交于，求证：点在一条定直线上． 【分析】（1）根据点的坐标求出点的坐标，再把点和点的坐标代入解析式即可解答； （2）由平移得出抛物线的解析式，得出点，，的坐标；设点的横坐标为，可求出直线和直线的解析式，分别求出点和点的坐标，进而求出和的长，由此即可得出结论； （3）分别设出点和点的横坐标，表示过点和点的直线，根据两个函数有一个交点，求出直线和直线所在的直线解析式，联立求出点的坐标，最后根据根与系数的关系可消去参数，得出结论． 【解答】解：（1），， ， ， 把点和点的坐标代入抛物线， ，解得． ，． （2）由（1）知， 将抛物线向左平移一个单位后得抛物线， 令，则，令，则， ，，， 设点的横坐标为， ， 设直线的解析式为：， ，解得， 直线， 同理可得直线． ，，，， ，， ， ． （3）分别设和点的横坐标为，， ，． 令， 整理得， ，． 设过点与抛物线只有唯一公共点的直线为：， 设过点与抛物线只有唯一公共点的直线为：， 令，整理得， 由题意可知，△，整理得． 同理可得． 过点与抛物线只有唯一公共点的直线为：， 过点与抛物线只有唯一公共点的直线为：， 令，解得， ，，即，， 令，，消去可得． 即点在定直线：上运动． 【点评】本题属于二次函数与一次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式，中点坐标公式，根与系数的关系等知识，也考查学生的运算能力，（3）得出点的坐标是解题关键． 26．（2023秋•东阳市期中）图1是一个瓷碗，图2是其截面图，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽，此时面汤最大深度． （1）当面汤的深度为时，汤面的直径长为 　　； （2）如图3，把瓷碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止，此时碗中液面宽度　　． 【分析】（1）设点的坐标为：，则抛物线的表达式为：，则点的坐标为：，点，再用待定系数法即可求解； （2）确定直线的表达式为：，求出，，进而求解． 【解答】解：（1）以为原点，直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系，如图： 设点的坐标为：，则抛物线的表达式为：， 则点的坐标为：，点， 将点、的坐标代入抛物线表达式得： ，解得：， 即抛物线的表达式为：①， ， 故答案为：； （2）将瓷碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止，所以旋转前与水平方向的夹角为， 设直线的解析式为， 将点的坐标代入上式的：直线的表达式为：②， 联立①②并整理得：， 则，， 则， 则， 由的表达式知，其和轴的夹角为， 则， 故答案为：． 也可采取以下方法： 设过点的直线和轴的夹角为， 故设该直线的表达式为：， 将点的坐标代入上式得：， 解得：， 则直线的表达式为：， 由（1）知，抛物线的表达式为：， 联立上述两式得：， 解得：或， 则， 则． 【点评】本题考查了二次函数，一次函数以及直角三角形在实际生活中的应用，建立合适的直角坐标系和待定系数法求解析式是解题的关键． 27．（2023秋•秀洲区校级期中）综合与实践 问题提出 某兴趣小组开展综合实践活动：在△中，，为上一点，，动点以每秒1个单位的速度从点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点时停止，以为边作正方形．设点的运动时间为 ，正方形的面积为，探究与的关系． 初步感知 （1）如图1，当点由点运动到点时， ①当时，　3　； ②关于的函数解析式为 　　． （2）当点由点运动到点时，经探究发现是关于的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．请根据图象信息，求关于的函数解析式及线段的长． 延伸探究 （3）若存在3个时刻，，对应的正方形的面积均相等． ①　　； ②当时，求正方形的面积． 【分析】（1）①当时，，运用勾股定理即可求得答案； ②由题意得，运用勾股定理可得； （2）观察图象可得当点运动到点处时，，当点运动到点处时，，抛物线的顶点坐标为，由勾股定理可得，，即，设，将代入，即可求得，再利用勾股定理即可求得线段的长； （3）①方法一：根据抛物线的对称性可得当时，点与关于直线对称，点与关于直线对称，可得答案；方法二：过点作于点，可证得△△，得出，可求得，，根据存在3个时刻，，对应的正方形的面积均相等，可得，再证得△△，可得，列出等式即可； ②方法一：由，，可得，与联立即可求得答案；方法二：证明△△，得出，建立方程求解即可得出答案． 【解答】解：（1）①当时，， 又，， ． 故答案为：3； ②当点由点运动到点时，， ，， ． 故答案为：； （2）由图2可得：当点运动到点处时，，当点运动到点处时，， 抛物线的顶点坐标为， ，， ， 设，将代入，得， 解得：， ， ， 在△中，， 抛物线的解析式为； （3）①方法一：由（1）（2）可得，图象如图所示： 存在3个时刻，，对应的正方形的面积均相等， ， 点与关于直线对称，点与关于直线对称， ，， ，． 故答案为：4； 方法二：如图，则， ， △△， ，即， ，， ，， 存在3个时刻，，对应的正方形的面积均相等， ， ，， 在△和△中， ， △△， ， ， ． 故答案为：4； ②方法一：由①知：，， ， ， ， ． 方法二：，，， △△， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形面积等；解题关键是添加辅助线构造全等三角形和相似三角形． 28．（2023秋•萧山区期中）如图①，是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在处，对称轴与水平线垂直，，点在抛物线上，且点到对称轴的距离，点在抛物线上，点到对称轴的距离是1． （1）求抛物线的表达式； （2）如图②，为更加稳固，小星想在上找一点，加装拉杆，，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小星找到点的位置并求出坐标； （3）为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为，当时，函数的值总大于等于9．求的取值范围． 【分析】（1）根据题意，设抛物线的解析式为，待定系数法求解即可； （2）作点关于轴的对称点，连接交于点，则点即为所求； （3）分三种情况进行分类讨论，结合二次函数的图象和性质，建立不等式求得的取值范围即可． 【解答】解：（1）设抛物线的解析式为， 把点代入，得： ， 解得：， 抛物线的解析式为：； （2）作点关于轴的对称点，连接交于点，则点即为所求； 把代入，得： ， 设直线的解析式为， ， 解得：， ， 令，得， 点的坐标为； （3）， 抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，得： ， 解得：， ， 当时， 由，得： ， ， 解得：， ； 由，得： ， ， ； 当时，都成立； 当时，得： ， 解得：， 都成立； 综上所述，的取值范围为． 【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题． 29．（2024秋•浙江期中）如图1，抛物线经过点，，并交轴于点，（点在点的右边）． （1）求该抛物线的函数表达式． （2）如图2，为轴上一动点，点的坐标为，过三点，，作抛物线，连结． ①当抛物线的顶点落在线段上时，求此时的值． ②当抛物线与线段只有一个交点时，直接写出的取值范围． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①先求得点，，再求得抛物线的对称轴，利用待定系数法求得直线的解析式，据此求得的函数表达式，即可求解； ②分情况讨论，当，且抛物线在点的上方时，抛物线与线段只有一个交点；当抛物线与线段相切时；当，且抛物线在点的下方时，抛物线与线段只有一个交点，据此计算即可求解． 【解答】解：（1）抛物线经过点，，把点，点的坐标代入得： ， 解得， 该抛物线的函数表达式为； （2）①抛物线交轴于点，（点在点的右边）， 令，则， 解得，， 点，， 抛物线的对称轴为直线， 点的坐标为， 设，把点，点的坐标代入得： ， 解得， ， 把代入，得， 抛物线的顶点坐标为， 设的函数表达式为，把代入得： ， 解得， ， 为轴上一动点，点在抛物线上， 把点的坐标代入得：； ②设的函数表达式为， 点在抛物线上， ， 的函数表达式为， 当，且抛物线在点的上方时，抛物线与线段只有一个交点， 此时，； 当抛物线与线段相切时， 联立得， 整理得， △， 解得或（不合题意，舍去）， 当，且抛物线在点的下方时，抛物线与线段只有一个交点， 把代入，得： ， 解得， 此时，； 综上，的取值范围为或或． 【点评】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，一次函数图象上点坐标的特征等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标． 30．（2023秋•慈溪市校级期中）已知二次函数的图象经过三点，，． （1）求二次函数的表达式． （2）二次函数的图象上若有两点，，且，根据图象直接写出的取值范围． （3）点是第一象限内二次函数的图象上的一动点，作轴交于点，作于点．当点运动时，求△周长的最大值． 【分析】（1）根据题意设二次函数表达式为，将代入二次函数得：，求出的值，即可得到答案； （2）直接根据二次函数的图象观察即可得到答案； （3）用待定系数法求出直线的解析式，设，则点，则，证得△△，从而得到，进而得到周长，计算即可得到答案． 【解答】解：（1）由交点式设二次函数表达式为， 把代入二次函数得：， 解得：， 二次函数表达式为； （2）由（1）得，二次函数解析式为：， 对称轴为， 点，关于对称的点为，， 二次函数的图象上若有两点，且， 由图象可得的取值范围为； （3）设直线的解析式为：， 将，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 设，则点， 则， 轴， ， ， ， △△， ，， ，， ， ，， ，， △周长 ， 当时，有最大值，最大值为． 故△周长的最大值为． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的性质、三角形相似的判定与性质，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的性质、三角形相似的判定与性质是解题的关键，注意数形结合思想的运用． 31．（2023秋•黄岩区期中）定义： （ⅰ）如果两个函数，，存在取同一个值，使得，那么称，为“合作函数”．称对应的值为，的“合作点”； （ⅱ）如果两个函数为，为“合作函数”，那么的最大值称为，的“共赢值”． （1）判断函数与是否为“合作函数”，如果是，请求出合作点；如果不是，请说明理由； （2）已知函数与是“合作函数”，且有唯一合作点． ①求出的取值范围； ②若它们的“共赢值”为18，试求出的值． 【分析】（1）由得，，由，可得，计算求解然后作答即可； （2）①由得：，解得：，，由在时，有唯一“合作点”，可得或，计算求解，然后作答即可；②由题意得，，则对称轴为直线，开口向上，当且时，过，则，计算求出满足要求的解即可；当且，过，则，计算求出满足要求的解即可． 【解答】解：（1）当时，是“合作函数”，“合作点”为；当或时，不是“合作函数”．理由如下： ， ， 解得， ， ， 解得， 当时，是“合作函数”，“合作点”为； 当或时，不是“合作函数”． （2）①， ， 解得：，， 在时，有唯一“合作点”， 或， 解得或， 或； ②由题意得，， 对称轴为直线，开口向上， 当且时，过， ， 解得，（舍， 当且，过， ， 解得（舍去），， 综上所述，的值为3或． 【点评】本题考查了两直线的交点，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的图象与性质，一元一次不等式组等知识．理解题意是解题的关键． 32．（2023秋•萧山区校级期中）如图1是一座圆弧型拱桥侧面示意图．水面宽与桥长均为24米，桥拱顶部离水面的距离为8米，以桥拱顶部为原点，桥面为轴建立平面直角坐标系． （1）求圆弧型桥拱所在圆的半径； （2）如图2，桥面上方有3根高度均为4米的支柱，，，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面的距离为1米． ①求出轴右侧一条钢缆抛物线的函数表达式； ②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求经过钢缆最低点的彩带的长度． 【分析】（1）设圆弧型拱桥的圆心为，圆的半径为，则米，米，利用勾股定理列式解答即可； （2）①由图象分析右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为，然后利用待定系数法求函数解析式； ②连接圆与，作于点，如图2，从而得到米，米，利用勾股定理求得米，求得米，米，进而得解． 【解答】解：（1）设圆弧型拱桥的圆心为，圆的半径为，连接，交于点，如图1， 由题意得：，米，米， 米，米， 由勾股定理得：， ， 解得：， 答：圆弧型桥拱所在圆的半径为13米； （2）①由题意可知右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为，设其表达式为，将代入得： ， 解得：， 右边钢缆所在抛物线表达式为：； ②由题意可知，即为所求彩带的长度，如图2，连接圆与，作于点， 则米，米， （米， 米， （米， 答：经过钢缆最低点的彩带的长度为米． 【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数的应用，勾股定理，解答本题的关键要明确：一般先根据题意设出适当的二次函数表达式（一般式、顶点式或交点式），再结合实际和二次函数的图象与性质进行求解． 33．（2023秋•奉化区校级期中）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．是线段上的动点（点不与点，重合），连接并延长交抛物线于另一点，连接，，，设点的横坐标为． （1）求证：△是直角三角形． （2）记△的面积为，求关于的函数表达式． （3）在点的运动过程中，是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）分别求出二次函数与坐标轴的交点坐标，由两点之间的距离公式即可求出，，的长度，再运用勾股定理逆定理即可证明△是直角三角形； （2）连接，设点的坐标为，根据三角形面积公式即可得出答案； （3）过点作于点，则△△，根据相似三角形的性质得出，再结合得出，利用二次函数的性质即可解决最值问题． 【解答】（1）证明：由图可知，、点是二次函数与轴的交点， ， 解得：，， ，， 点是二次函数与轴的交点， 当时，， ， ， ， ， ， △是直角三角形； （2）解：连接，如图1， 设点的坐标为， ； （3）解：存在；理由如下： 过点作于点，如图2， 由（1）可知，△是直角三角形， ， ， ， ， ， △△， ， ， ， ， 当时，最大，最大为． 【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，灵活掌握以上性质解决问题是本题的关键． 34．（2023秋•绍兴期中）如图1，平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点，点是线段上一个动点，过点作轴的垂线，交直线于点，交抛物线于点． （1）求抛物线的解析式； （2）当面积最大时，求点的坐标； （3）如图2，是否存在以点、、为顶点的三角形与相似，若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）将，，三点的坐标代入，得到关于，，的三元一次方程组，解方程组即可； （2）设，则，求得直线的解析式为，即可得到，根据三角形面积公式可得，由二次函数的性质可得结论； （3）分和两种情况列式求解即可． 【解答】解：（1）抛物线过点，，， 代入得，， 解得，， 抛物线的解析式为：； （2）设，则， 设直线解析式为， 直线经过点，， ， 解得， 直线的解析式为， ， ， ， 当时，即当时，； （3）存在以点，，为顶点的三角形与相似，理由如下： 设，则，． ， 如图，过点作轴于点，则， 由（1）可得：，，， ， 是等腰直角三角形， ． 当以点，，为顶点的三角形与相似时，与为对应顶点， ①当时，，即， 解得：或（舍去）， ； ②当时，，即， 解得：或（舍去）， ． 综上所述，或． 【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的性质以及坐标系中面积的求法，其中第（3）小问，要注意分类求解，避免遗漏． 35．（2023秋•慈溪市期中）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？ 素材1：图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形或圆弧形桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶离水面．据调查，该河段水位在此基础上再涨达到最高． 素材2：为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂长的灯笼，如图3．为了安全，灯笼底部距离水面不小于；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布． 问题解决： 任务1：确定桥拱形状是抛物线：在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式． 任务2：拟定设计方案：在任务1的基础上，给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标． 任务3：确定桥拱形状是圆弧：在图2中用适当方法求圆弧所在圆的半径长 任务4：拟定通行方案：在任务3的基础上，该河段水位涨达到最高时，有一艘货船它漏出水面高2.2米，船体宽9米需要从拱桥下通过，给出船航行线路，并判断是否能顺利通行． 【分析】任务1：以拱顶为原点，建立如图2所示的直角坐标系，用待定系数法可得抛物线的函数表达式为：； 任务2：根据该河段水位再涨达到最高，灯笼底部距离水面不小于，灯笼长，可知悬挂点的纵坐标的最小值是，即可知悬挂点的横坐标的取值范围是：；方案一：从顶点处开始悬挂灯笼，根据，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为，可知共可挂7盏灯笼，最左边一盏灯笼的横坐标为：；方案二：从距顶点处开始挂灯笼，可知共可挂8盏灯笼，最左边一盏灯笼的横坐标为：； 任务3：设桥拱圆弧所在圆的圆心为，拱顶为，连接，，设交于，设半径为，由勾股定理可得，即可解得圆弧所在圆的半径长为； 任务4：画出图形，根据题意可知，，，由勾股定理可得，即可得到答案． 【解答】解：任务 以拱顶为原点，建立如图2所示的直角坐标系，则顶点为，且过点， 设抛物线的解析式为：， 把点代入得：， ， 抛物线的函数表达式为：； 任务 该河段水位再涨达到最高，灯笼底部距离水面不小于，灯笼长， 当悬挂点的纵坐标， 即悬挂点的纵坐标的最小值是， 当时，， ， 悬挂点的横坐标的取值范围是：； 方案一：如图3（坐标轴的横轴），从顶点处开始悬挂灯笼， ，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为， 若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，， 若顶点一侧悬挂3盏灯笼时，， 顶点一侧最多悬挂3盏灯笼， 灯笼挂满后成轴对称分布， 共可挂7盏灯笼， 最左边一盏灯笼的横坐标为：； 方案二：从距顶点处开始挂灯笼，如图4， 若顶点一侧悬挂5盏灯笼时，， 若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，， 顶点一侧最多悬挂4盏灯笼， 灯笼挂满后成轴对称分布， 共可挂8盏灯笼， 最左边一盏灯笼的横坐标为：； 任务 设桥拱圆弧所在圆的圆心为，拱顶为，连接，，设交于，如图： 由为拱顶和圆的对称性可知，，， 设半径为， ， ， 解得， 圆弧所在圆的半径长为； 任务 如图： 根据题意可知，， 由任务3可知，，， ， ， ， ， ， 能顺利通行，船航行线路是船的中心线沿航行． 【点评】本题考查了二次函数和圆的综合应用，解题的关键是能把实际问题转化为数学问题，掌握二次函数，圆的相关性质． 36．（2023秋•湖州期中）已知抛物线交轴于，两点，为抛物线的顶点，，为抛物线上不与，重合的相异两点，记中点为，直线，的交点为． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若，，且，求证：，，三点共线； （3）小明研究发现：无论，在抛物线上如何运动，只要，，三点共线，，，中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由． 【分析】（1）将，代入，即可求出答案； （2），，中点为，且，可求出过，两点所在直线的一次函数表达式，为抛物线上的一点，所以，此点在，可证得，，三点共线； （3）设，与，分别关于直线对称，则，关于直线对称，且与的面积不相等，所以的面积不为定值；如图，当，分别运动到点，的位置，且保持，，三点共线．此时与的交点到直线的距离小于到直线的距离，所以的面积小于的面积，故的面积不为定值；故的面积为定值，由（2）求出，此时的面积为2． 【解答】解：（1）已知抛物线交轴于，两点，把点，，代入得： ， 解得， 抛物线的函数表达式为； （2）为抛物线的顶点，，为抛物线上不与，重合的相异两点，记中点为，设直线对应的函数表达式为， ． 又， 把、的坐标代入得： ， 解得， 直线对应的函数表达式为． 点在抛物线上，所以， ， 解得或． 又， ， ， 在中，当时，， 满足直线对应的函数表达式， 点在直线上，即，，三点共线； （3）的面积为定值，其面积为2．理由如下： 如图1，当，分别运动到点，的位置时，，与，分别关于直线对称，此时仍有，，三点共线． 设与的交点为，则，关于直线对称，即轴．此时，与不平行，且不平分线段，故，到直线的距离不相等，即在此情形下与的面积不相等， 的面积不为定值． 如图2，当，分别运动到点，的位置，且保持，，三点共线．此时与的交点到直线的距离小于到直线的距离， 的面积小于的面积，则的面积不为定值． 又，，中存在面积为定值的三角形， 的面积为定值， 在（2）的条件下，直线对应的函数表达式为，直线对应的函数表达式为， 联立， 解得， ， ， ， 的面积为2， 综上所述，的面积为定值，其面积为2． 【点评】本题考查一次函数和二次函数的图象与性质、二元一次方程组、一元二次方程、三角形面积等基础知识，如何利用数形结合求得点的坐标、函数的表达式等是解题的关键． 37．（2023秋•婺城区校级期中）如图，抛物线与直线相交于点和点． （1）求和的值； （2）求点的坐标，并结合图象写出不等式的解集； （3）点是直线上的一个动点，将点向右平移3个单位长度得到点，若线段与抛物线只有一个公共点，直接写出点的横坐标的取值范围． 【分析】（1）利用待定系数法即可求解． （2）求出点的坐标为，再观察函数图象即可． （3）分类讨论：当点在线段上的点时，当点点右侧时，当点在点左侧时，分情况求解即可． 【解答】解：（1）将点代入得：， 解得：， 将点的坐标代入得：， 解得； 故，． （2）由（1）得，直线和抛物线的表达式分别为：，， 联立上述两个函数表达式得到， ， 解得或， 即点的坐标为， 从图象看，不等式的解集为或． （3）当点在线段上的点时，， 、的水平距离是3，如图， 故此时只有一个交点，即； 当点点右侧时，与抛物线没有公共点； 当点在点左侧时，当时，抛物线和交于抛物线的顶点，即时，线段与抛物线只有一个公共点， 综上所述，或． 【点评】本题考查了二次函数综合应用，一次函数的图象及性质，二次函数的图象和性质等知识，数形结合和分类讨论思想解决问题是解题的关键． 38．（2023秋•浙江期中）新定义：我们把抛物线与抛物线其中称为“关联抛物线”．例如：抛物线的“关联抛物线”为．已知抛物线的“关联抛物线”为． （1）写出抛物线的函数表达式（用含的式子表示）　　，顶点坐标为 　　． （2）对于和，当时，求的取值范围． （3）若，当时，的最大值与最小值的差为，求的值． 【分析】（1）根据“关联抛物线”定义可知，抛物线的函数表达式；即可得顶点坐标为； （2）由，得，即，当时，，可得或；当时，，得； （3）求出当时，．当 时，；当 时，；分三种情况讨论：Ⅰ．当，即时，若，，若，，Ⅱ．当时，，Ⅲ．当时，，分别解方程可得答案． 【解答】解：（1）根据“关联抛物线”定义可知，抛物线的函数表达式； ， 顶点坐标为； 故答案为：；； （2）， ， ， 当时，， 或； 当时，， ； 综上所述，当时，或；当时，； （3）， 当时，． 当 时，； 当 时，； 根据题意可知，需要分三种情况讨论： Ⅰ．当，即时， 若，即，则；， ， 解得或（舍或（舍； 若，即时，；， ， 解得或（舍或（舍； Ⅱ．当，即时，；． ， 解得（舍或（舍； Ⅲ．当，即时，，， ， 解得（舍去）或（舍去）， 综上所述，的值为或． 【点评】本题考查二次函数的应用，涉及新定义，二次函数的图象及性质，解题的关键是分类讨论思想的应用． 39．（2023秋•文成县期中）如图，已知点的坐标是，点的坐标是，以为直径作，交轴的负半轴于点，连接，，过，，三点作抛物线． （1）求点的坐标及抛物线的解析式； （2）点是延长线上一点，的平分线交于点，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点，使得，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【分析】（1）首先求得的长，即可得出点的坐标； （2）平分，如果连接，那么根据圆周角定理即可得出由此可得出的坐标为．根据、两点的坐标即可用待定系数法求出直线的解析式； （3）本题要分两种情况进行讨论： ①过作，交点右侧的抛物线于，此时，可先用待定系数法求出直线的解析式，然后根据与平行，那么直线的斜率与直线的斜率相同，因此可根据的坐标求出的解析式，然后联立直线的解析式和抛物线的解析式即可求出交点坐标，然后将不合题意的舍去即可得出符合条件的点． ②同①的思路类似，先作与相等的角：在上取一点，使．可通过证，得出，然后同①的方法一样，先求直线的解析式，进而可求出其与抛物线的交点即点的坐标．综上所述可求出符合条件的点的值． 【解答】解：（1）连接，如图1， ，， ，， 又，， ，即， 设解析式为，把代入得： ， 解得， 二次函数的解析式为， 即； （2）为的直径，且，， ， 点是延长线上一点，的平分线交于点， ， 连接交于点， 则，， 轴， ； （3）抛物线上存在点，使得，理由如下： 设射线交于点，则．分两种情况（如图所示） ①，，，． 把点、绕点逆时针旋转，使点与点重合，则点与点重合， 因此，点符合， ，， 用待定系数法可求出直线解析式为． 解方程组 得 点坐标为，，坐标为，不符合题意，舍去． ②， 点关于轴对称的点的坐标为也符合． ，． 用待定系数法可求出直线解析式为． 解方程组 得， 即 点坐标为，坐标为不符合题意，舍去． 符合条件的点有两个：，，． 【点评】本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、三角形相似及全等、探究角相等的构成情况等知识点，综合性强，解答本题的关键是熟练掌握分类讨论与数形结合的数学思想方法． 40．（2023秋•乐清市期中）二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为． （1）求点的坐标； （2）如图①，是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当的垂直平分线恰好经过点时，求点的坐标； （3）如图②，是该二次函数图象上的一个动点，连接，取中点，连接，，，当的面积为12时，求点的坐标． 【分析】（1）将，代入，即可得解析式，配成顶点式得坐标； （2）连接，，设，的垂直平分线恰好经过点，可得，据此列出方程即可求解； （3）设交抛物线的对称轴于点，设，则，设直线的解析式为，则，解得 求出，，由面积公式可求出的值，则可得出答案． 【解答】解：（1）将，代入得： ， 解得， 二次函数的解析式为， ， 顶点坐标； （2）如图1.1，图1.2，连接，，由点在线段的垂直平分线上，得． 设， ，由勾股定理可得： ， 解得， 满足条件的点的坐标为 或； （3）如图2，设交抛物线的对称轴于点， 设，则，， 设直线的解析式为，则， 解得：， ， 当时，， ，， ， ， 解得或， 当 时，，当 时，． 综合以上可得，满足条件的点的坐标为或． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数图象与性质，垂直平分线的性质，勾股定理，三角形的面积，熟练掌握二次函数的性质及方程思想是解题的关键． 41．（2023秋•椒江区校级期中）如图，二次函数的图象交轴于点，，交轴于点．点是轴上的一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）①若点仅在线段上运动，如图，求线段的最大值； ②若点在轴上运动，则在轴上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）把，代入中，构建方程组解决问题即可． （2）①构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可． ②分三种情形：如图中，当点在线段上，，四边形是菱形时．如图中，当是菱形的对角线时，四边形是正方形，如图中，当点在延长线上时，，四边形是菱形时，分别求解即可． 【解答】解：（1）把，代入中，得， 解得， ． （2）①设直线的表达式为，把，代入．得， 解得， ， 点是轴上的一动点，且轴． ，， ， ， 此函数有最大值． 又点在线段上运动，且， 当时，有最大值． ②如图中，当点在线段上，，四边形是菱形时． ，， ， 解得或0（舍弃） ， ， ， ． 如图中，当是菱形的对角线时，四边形是正方形，此时，可得． 如图中，当点在延长线上时，，四边形是菱形时， 则有，， 解得或0（舍弃）， ， ， ，． 当点在轴的右侧时，显然，此时满足条件的菱形不存在． 综上所述，满足条件的点的坐标为或或，． 【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，一次函数的性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 七．垂径定理（共1小题） 42．（2023秋•西湖区校级期中）如图，以为圆心，半径为2的圆与轴交于、两点，与轴交于，两点，点为上一动点，于，则弦的长度为 　　；当点在的运动过程中，线段的长度的最小值为 　　． 【分析】作于，连接．因为，推出点在以为直径的上推出当点在的延长线上时，的长最小，最小值，想办法求出、即可解决问题； 【解答】解：作于，连接． ， ， 在中，，， ，， ，， ， ， ， ， ， ，， ， 点在以为直径的上， 当点在的延长线上时，的长最小，最小值． 故答案为，． 【点评】本题考查垂径定理、直角三角形30度角的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 八．圆心角、弧、弦的关系（共2小题） 43．（2023秋•鹿城区校级期中）如图，线段，是的两条弦，，连结，． （1）证明：． （2）若于点，且弦的弦心距为4，求的半径． 【分析】（1）利用得到，则，根据圆周角定理得到，然后根据等腰三角形的判定得到结论； （2）连接、，过点作于点，由（1）可知，则，利用勾股定理求出即可． 【解答】（1）证明：， ， ， ， ； （2）解：连接、，过点作于点， ， 于点，， ， ， ． 即的半径为． 【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理和圆心角、弧、弦的关系． 44．（2023秋•绍兴期中）如图，是的直径，是的中点，于，交于． （1）求证：； （2）若，，求、的长． 【分析】（1）首先延长交于点，由垂径定理可证得，又由是的中点，易证得，继而可证得； （2）根据勾股定理得到，根据射影定理得到，根据三角形的面积公式得到，设，则，，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】（1）证明：延长交于点， ， ， ， 是的中点， ， ， ， ； （2），， ， ， ，设，则，， ， ． 【点评】此题考查了圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的判定以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． 九．圆周角定理（共6小题） 45．（2023秋•江干区校级期中）如图，点在上，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】利用等腰三角形的性质可得，从而利用三角形内角和定理可得，然后利用圆周角定理进行计算即可解答． 【解答】解：， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 46．（2023秋•杭州期中）如图，已知是的直径，半径，点在劣弧上（不与点，点重合），与交于点，设，，则以下关系式成立的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据垂直定义可得，从而可得，再利用对顶角相等可得，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得，最后利用圆周角定理可得，从而可得，进行计算即可解答． 【解答】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 47．（2023秋•江干区校级期中）如图，为的直径，为上半圆的一个动点，于点，的角平分线交于点．且的半径为5，连结，则　　；若弦的长为6，则　　． 【分析】连接、，根据角平分线的定义和等腰三角形的性质证明，在△中利用勾股定理求出即可；过点作交于点，利用圆周角定理求出，从而证明△是等腰直角三角形，在△中利用勾股定理求出、，在△中利用勾股定理求出，从而由计算出． 【解答】解：连接、． 是的角平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 过点作交于点， ， △是等腰直角三角形， ， ， 在△中，利用勾股定理，得， ． 故答案为：，． 【点评】本题考查圆周角定理、勾股定理、垂径定理，掌握圆周角定理、勾股定理、垂径定理及平行线的判定与性质是解题的关键． 48．（2023秋•西湖区校级期中）如图，是的直径，点，是上的点，且，分别与，相交于点，． （1）求证：点为的中点； （2）若，，求的直径． 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可得，从而利用平行线的性质可得，从而可得，然后利用垂径定理即可解答； （2）利用垂径定理可得，然后在中，利用勾股定理进行计算即可解答． 【解答】（1）证明：是的直径， ， ， ， ， ， 点为的中点； （2）解：， ， 在中，， ， ， ， 的直径为20． 【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，熟练掌握圆周角定理以及垂径定理是解题的关键． 49．（2023秋•滨江区校级期中）如图，是的直径，点为上一点，为弧的中点，过作于点，交于点，交弦于点，连接，． （1）求证：． （2）若，，求的半径． 【分析】（1）根据证明，可得结论； （2）先根据垂径定理可得，设的半径为，利用勾股定理求解即可． 【解答】（1）证明：是的中点， ， 为的直径，， ， ， ，， ， ； （2）解：如图，连接交于点， 为的直径，， ， ， ， 设的半径为，则， 在中，由勾股定理得：， ， ， 的半径为5． 【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理等知识，解答本题的关键是掌握垂径定理，难度适中． 50．（2023秋•海曙区校级期中）如图，在锐角中，是最短边．以为直径的，交于，过作，交于，连接、、． （1）求证：； （2）若，，求的度数； （3）若，，求的长． 【分析】（1）易证，，从而可知，即； （2）延长交于点，易证，由于，所以，所以； （3）易证，由于，所以，由圆周角定理可知，从而可证明，利用三角形相似的性质即可求出答案． 【解答】（1）证明：， ， ， ， ， 即， （2）解：延长交于点， 是的外角， ， ， ， ， ； （3）解：是中点 ， ， ， 是直径， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查圆的综合问题，涉及平行线的性质，三角形的外角的性质，三角形中线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质等知识，需要学生灵活运用所学知识． 一十．圆内接四边形的性质（共1小题） 51．（2023秋•嵊州市期中）如图，四边形内接于，平分，延长交的延长线于点． （1）若，求的度数； （2）若，求证：． 【分析】（1）根据圆内接四边形的性质计算即可； （2）证明即可． 【解答】（1）解：四边形内接于， ， 又， ， ； （2）证明：， ， 平分， ， ， 四边形内接于， ， 又， ， 在和中， ， ， ． 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 一十一．点与圆的位置关系（共2小题） 52．（2023秋•西湖区校级期中）已知的半径为5，点到圆心的距离为4.5，则点在　　 A．圆外 B．圆上 C．圆内 D．不能确定 【分析】根据：①点在圆外．②点在圆上．③点在圆内，即可判断． 【解答】解：，， ， 点在内． 故选：． 【点评】本题考查点与圆的位置关系，解题的关键是熟练掌握基本知识，点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． 53．（2023秋•西湖区校级期中）已知的半径为3，若点在圆上，则 　　3（填“”、“ ”、“ ” ． 【分析】点在圆上，则；点在圆外，；点在圆内，即点到圆心的距离，即圆的半径）． 【解答】解：点在圆上，的半径为3， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了点与圆的位置关系，注意掌握点和圆的位置关系与数量之间的等价关系是解决问题的关键． 一十二．三角形的外接圆与外心（共4小题） 54．（2023秋•江干区校级期中）如图，是的外接圆，已知，则的大小为　　 A． B． C． D． 【分析】先利用等腰三角形的性质可得，从而利用三角形内角和定理求出的度数，然后利用圆周角定理，进行计算即可解答． 【解答】解：， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 55．（2023秋•西湖区校级期中）如图，是的内接等腰三角形，，弦过边的中点，且，若，则外接圆的半径为 　　，　　． 【分析】连接，，，，过点作，垂足为，根据等腰三角形的性质可得，从而利用圆周角定理可得，进而可得是等边三角形，再利用等边三角形的性质可得，，然后根据已知可得是的垂直平分线，在中，利用锐角三角函数的定义可得的长，再利用平行线的性质可得：，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而在中，利用勾股定理求出的长，再利用垂径定理进行计算，即可解答． 【解答】解：连接，，，，过点作，垂足为， ， ， ， ， 是等边三角形， ，， ，， 是的垂直平分线， 点是的中点， 点是与的交点， 在中，， ， ， ， 在中，， 在中，， ， ， ， 故答案为：；． 【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，等腰三角形的性质，勾股定理，垂径定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 56．（2023秋•平湖市期中）如图，在平面直角坐标系中，的外接圆与轴交于点，，． （1）求的长． （2）求的长． 【分析】（1）连接，根据已知可得，再利用同弧所对的圆周角相等可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算可解答； （2）过点作，垂足为，根据垂直定义可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答． 【解答】解：（1）连接， 点， ， ， ， 在中，， 的长为； （2）过点作，垂足为， ， 在中，， ， ， 在中，， ， 的长为． 【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，坐标与图形的性质，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 57．（2023秋•滨江区校级期中）如图，在中，在边上，圆为锐角的外接圆，连结并延长交于点． （1）若，请用含的代数式表示； （2）如图2，作，垂足为，与交于点，已知． ①求证：； ②若，，求的值． 【分析】（1）根据圆周角定理即可解决问题； （2）①结合（1）利用三角形内角和定理即可解决问题； ②作，，证明四边形为矩形，再根据线段的和差即可解决问题． 【解答】（1）解：如图，连结， ， 又， ； （2）①证明：， ， 设， 由（1）得：， ， ， ， ； ②解：如图，作于点，于点， 由①得：，， ， ， ，， ， ， ，，， 四边形为矩形， ， ，， ， ． 【点评】本题考查了三角形外接圆与外心，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，矩形的判定与性质，解决本题的关键是掌握三角形外接圆与外心． 一十三．概率的意义（共1小题） 58．（2023秋•金华期中）某天气预报软件显示“义乌市明天的降水概率为”对这条信息的下列说法中，正确的是　　 A．义乌市明天将有的时间下雨 B．义乌市明天将有的地区下雨 C．义乌市明天下雨的可能性较大 D．义乌市明天下雨的可能性较小 【分析】根据概率的意义，即可解答． 【解答】解：某天气预报软件显示“义乌市明天的降水概率为”，意思是指义乌市明天下雨的可能性较大，可能性为， 故选：． 【点评】本题考查了概率的意义，熟练掌握这些数学概念是解题的关键． 一十四．概率公式（共1小题） 59．（2023秋•乐清市期中）一个口袋中放有除颜色外，形状大小都相同的黑白两种球，黑球6个，白球10个，现在往袋中放入个白球，使得摸到白球的概率为0.8，则　14　． 【分析】根据概率公式列出方程，即可求出答案． 【解答】解：由题意得， ， 解得， 经检验，是原分式方程的根， 故答案为：14． 【点评】本题主要考查了概率公式，解题的关键是根据概率公式正确列出方程． 一十五．利用频率估计概率（共1小题） 60．（2023秋•萧山区期中）在一个不透明的口袋里装有若干个相同的红球，为了估计袋中红球的数量，八（1）班学生在数学实验室分组做摸球试验：每组先将10个与红球大小形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是这次活动统计汇总各小组数据后获得的全班数据统计表： 摸球的次数 150 300 600 900 1200 1500 摸到白球的频数 63 247 365 484 606 摸到白球的频率 0.420 0.410 0.412 0.406 0.403 （1）按表格数据格式，表中的　123　；　　； （2）请估计：当次数很大时，摸到白球的频率将会接近 　　（精确到； （3）请推算：摸到红球的概率是 　　（精确到； （4）试估算：这一个不透明的口袋中红球有 　　个． 【分析】（1）根据频率频数样本总数分别求得、的值即可； （2）从表中的统计数据可知，摸到白球的频率稳定在0.4左右； （3）摸到红球的概率为； （4）根据红球的概率公式得到相应方程求解即可； 【解答】解：（1），； （2）当次数很大时，摸到白球的频率将会接近0.40； （3）摸到红球的概率是； （4）设红球有个，根据题意得：， 解得：； 故答案为：123，0.404；0.4；0.6；15． 【点评】考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．组成整体的几部分的概率之和为1． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$