精品解析：甘肃省平凉市第七中学2024-2025学年九年级上学期第一次质量检测数学试题

2024-2025学年第一学期第一次质量检测试题 九年级 数学 命题人：王梓晨 审核人：崔向婕 一、选择题 ：本大题共 10 小题 ，每小题 3 分 ，共30分，每小题只有一个正确选项 ．   1. 16的平方根是（ ） A. 4 B. 4或 C. 2 D. 2或 2. 敦煌是中华民族古老文明的象征，是人类文化中的一朵奇葩．敦煌壁画是敦煌石窟艺术内容之一，具有较高的艺术价值．下列图形中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 公元前5世纪，古希腊数学家毕达哥拉斯首次提出了关于一元二次方程的概念．下列关于x的方程中，是一元二次方程的为（ ） A. B. C. D. （a、b为常数） 4. 下面是小明同学用配方法解方程2x-12x-1=0的过程： 解：2x-12x=1……第1步； x-6x=1……第2步； x-6x+9=1+9……第3步； （x-3）=10，x-3=±……第4步； ∴x1=3+，x2=3-； 最开始出现错误的是（ ） A. 第1步 B. 第2步 C. 第3步 D. 第4步 5. 若，是方程两个根，则（ ） A. B. C. D. 6. 去年月，我国公共充电桩数量由万台增长至万台，设公共充电桩的月平均增长率为，则可列方程（ ） A. B. C. D. 7. 把二次函数的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位后得到的二次函数为（ ） A. B. C. D. 8. 下列关于方程实数根的情况，说法正确的是（ ） A. 没有实数根 B. 有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 9. 如图所示，当时，函数与函数的图象大致是（　　）. A. B. C. D. 10. 如图，正方形的边长为，动点，同时从点出发，在正方形的边上，分别按，的方向，都以的速度运动，到达点运动终止，连接，设运动时间为，的面积为，则下列图象中能大致表示与的函数关系的是（　　） A. B. C. D. 二、 填空题 ：本大题共6小题 ，每小题 4 分 ，共24分 ． 11. 因式分解：_______. 12. 定义运算“” （a、b均为整数，且），例： ，则____________． 13. 一元二次方程的二次项系数______，一次项系数______． 14. 抛物线的开口方向_______________，顶点坐标为 _________ 15. 二次函数 的对称轴是________________． 16. 如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有函数关系：，则小球飞行最大高度是______． 三、 解答题 ：本大题共 6小题 ，共46分 ．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： 18. 解下列方程： （1）； （2） ； 19. 解方程： （1）； （2） （配方法） 20. 如图，已知村庄A，B分别在道路、上． 尺规作图：作的角平分线和线段的垂直平分线，交于点D（保留作图痕迹，不写作法）； 21. 今年秋冬季是支原体肺炎的感染高发期，如果外出时能够戴上口罩、做好防护，可以有效遏制支原体肺炎病毒的传染，现在，有一个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后共有49人患了支原体肺炎(假设每个人每轮传染的人数同样多)，求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 22. 已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有两个实数根． （1）求k的取值范围； （2）若方程有一个根为2，求方程的另一根． 四、 解答题 ：本大题共 5小题 ，共50分 ．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 已知关于x的一元二次方程，求证：不论m为任何实数，方程有两个不相等的实数根； 24. 某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为米的篱笆围成，已知墙长为米，为方便进入，在墙的对面留出米宽的门（如图所示）．怎样围成面积为平方米的苗圃园． 25. 我们一般会通过列表、描点、连线的方式来画函数图像，并结合图像研究函数的性质．请按要求完成对二次函数的研究． （1）列表： … … … … 其中， _______． 根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数的图像． （2）根据函数图像，下列关于该函数性质的说法正确的有：_______（填序号） ①该函数图像是轴对称图形，它的对称轴是轴；②该函数有最小值，没有最大值； ③当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；④当时，的值为1． 26. 一人一盔，安全守规，为保证市民安全出行，某商店以每顶元的价格购进一批头盔，售价为每顶元时，每月可售出顶，在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价元，每月可多售出顶． （1）如果经过降价后，每顶头盔售价为元，那么每月可以多售出多少顶头盔？ （2）要使该商店每月获得的利润为元，求每顶头盔的售价是多少元？ 27. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）． （1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）判断△ABC的形状，证明你的结论； （3）点M是对称轴上的一个动点，当△ACM的周长最小时，求点M的坐标及△ACM的周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期第一次质量检测试题 九年级 数学 命题人：王梓晨 审核人：崔向婕 一、选择题 ：本大题共 10 小题 ，每小题 3 分 ，共30分，每小题只有一个正确选项 ．   1. 16的平方根是（ ） A. 4 B. 4或 C. 2 D. 2或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平方根，解决本题的关键是熟记平方根的定义．根据平方根的定义，即可解答． 【详解】解：16的平方根是． 故选：B． 2. 敦煌是中华民族古老文明的象征，是人类文化中的一朵奇葩．敦煌壁画是敦煌石窟艺术内容之一，具有较高的艺术价值．下列图形中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：A中图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B中图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C中图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D中图形是轴对称图形，故本选项符合题意， 故选：D． 3. 公元前5世纪，古希腊数学家毕达哥拉斯首次提出了关于一元二次方程的概念．下列关于x的方程中，是一元二次方程的为（ ） A. B. C. D. （a、b为常数） 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的识别，形如（其中a、b、c为常数且）的方程叫作一元二次方程，由此逐项判断即可． 【详解】解：A．关于x的方程不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； B．，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C．是一元二次方程，符合题意． D．（a、b为常数），当时，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：C． 4. 下面是小明同学用配方法解方程2x-12x-1=0的过程： 解：2x-12x=1……第1步； x-6x=1……第2步； x-6x+9=1+9……第3步； （x-3）=10，x-3=±……第4步； ∴x1=3+，x2=3-； 最开始出现错误的是（ ） A. 第1步 B. 第2步 C. 第3步 D. 第4步 【答案】B 【解析】 【分析】利用配方法逐步求解，即可找到出现的错误． 【详解】解：正确的解法为： 2x-12x-1=0……第1步； x-6x=……第2步； x-6x+9=+9……第3步； （x-3）=，x-3=±……第4步； ∴x1=3+，x2=3-； 可知最开始出现错误的是第2步． 故选B． 【点睛】本题考查配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程的基本步骤并正确计算是解题的关键． 5. 若，是方程两个根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根与系数的关系，解题的关键是记住，是一元二次方程的两根时，，．利用根与系数关系求解． 【详解】解：∵是方程两个根， ∴． 故选：B 6. 去年月，我国公共充电桩数量由万台增长至万台，设公共充电桩的月平均增长率为，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程中增长率的问题，理解题意是解题关键． 根据题意直接列出一元二次方程即可． 【详解】解：设公共充电桩的月平均增长率为，依题意得： ． 故选：A． 7. 把二次函数的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位后得到的二次函数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的平移．根据二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”，即可求解． 【详解】解：二次函数的图象向左平移1个单位， 再向下平移2个单位后得到的二次函数为， 故选：B． 8. 下列关于方程实数根的情况，说法正确的是（ ） A. 没有实数根 B. 有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】D 【解析】 【分析】求出的值，然后根据的值判断即可. 本题考查了一元二次方程的根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系是解答本题的关键.当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根. 【详解】解：对于方程来说， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根. 故选：D. 9. 如图所示，当时，函数与函数的图象大致是（　　）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了二次函数，关键是熟练掌握二次函数的图象及一次函数的图象．根据得到同号，再判断即可． 【详解】解：由题意可知，同号， 当时，二次函数经过一、二象限，一次函数经过一、二、三象限， 当时，二次函数经过三、四象限，一次函数经过二、三、四象限， 故选C． 10. 如图，正方形的边长为，动点，同时从点出发，在正方形的边上，分别按，的方向，都以的速度运动，到达点运动终止，连接，设运动时间为，的面积为，则下列图象中能大致表示与的函数关系的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意结合图形，分情况讨论：①时，根据，列出函数关系式，从而得到函数图象；②时，根据列出函数关系式，从而得到函数图象，再结合四个选项即可得解． 【详解】①当时， ∵正方形的边长为， ∴； ②当时， ， 所以，与之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有A选项图象符合， 故选A． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，根据题意，分别求出两个时间段的函数关系式是解题的关键． 二、 填空题 ：本大题共6小题 ，每小题 4 分 ，共24分 ． 11. 因式分解：_______. 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了提取公因式法分解因式，直接提取公因式a分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 定义运算“” （a、b均为整数，且），例： ，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了含乘方的有理混合计算，先根据新定义得到，再计算乘方后计算乘法，最后计算减法即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 13. 一元二次方程的二次项系数______，一次项系数______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为，，，根据定义即可得出答案，把握“一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项的含义”是解题的关键． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数为，一次项系数为， 故答案为：，． 14. 抛物线的开口方向_______________，顶点坐标为 _________ 【答案】 ①. 向上 ②. 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据二次函数的顶点坐标为，以及当时，开口向上，当时，开口向下，据此即可作答． 【详解】解：∵抛物线 ∴抛物线的开口方向向上，顶点坐标为． 故答案为：向上，． 15. 二次函数 的对称轴是________________． 【答案】直线 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数对称轴公式是解决问题的关键．根据二次函数对称轴公式，代值求解即可． 【详解】解：二次函数， 对称轴为：直线， 故答案为：直线． 16. 如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有函数关系：，则小球飞行最大高度是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用．把一般式化为顶点式，即可得到答案． 【详解】且， 当时，取最大值． 故答案为：． 三、 解答题 ：本大题共 6小题 ，共46分 ．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： 【答案】3 【解析】 【分析】先化简二次根式，再合并计算． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 18. 解下列方程： （1）； （2） ； 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，选择合适的解法是解题的关键． （1）利用直接开方法求解即可； （2）利用公式法求解即可． 【小问1详解】 解： ， ∴或 ∴； 【小问2详解】 解： ． 19. 解方程： （1）； （2） （配方法） 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程： （1）先移项，再用因式分解法求解； （2）先变形、移项，得到，再通过配方求解． 【小问1详解】 解： ， 或， ，； 【小问2详解】 解： ， 方程变形得：， 配方得：， 即， ∴， 解得：，． 20. 如图，已知村庄A，B分别在道路、上． 尺规作图：作的角平分线和线段的垂直平分线，交于点D（保留作图痕迹，不写作法）； 【答案】 点为所求， 【解析】 【分析】此题重点考查尺规作图、基本作图“作已知角的平分线”、“作已知线段的垂直平分线”等知识，按尺规作图的要求正确地作出图形是解题的关键．根据作已知角的平分线及作已线段的垂直平分线的作法正确地作出相应的图形即可． 【详解】解：作的平分线：以点为圆心，以适当长度为半径作弧，分别交、于点、；分别以点、为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于内部一点，作射线； 作的垂直平分线：分别以点、为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点、，作直线， 直线与射线相交于点，则点为所求． 21. 今年秋冬季是支原体肺炎的感染高发期，如果外出时能够戴上口罩、做好防护，可以有效遏制支原体肺炎病毒的传染，现在，有一个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后共有49人患了支原体肺炎(假设每个人每轮传染的人数同样多)，求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程，解题的关键是找到等量关系，列方程计算． 【详解】解：设每轮传染巾平均一个人传染了个人， 列方程得：， 解得：，（舍去）， 答：每轮传染巾平均一个人传染了个人． 22. 已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有两个实数根． （1）求k的取值范围； （2）若方程有一个根为2，求方程的另一根． 【答案】（1）k≥﹣1； （2）方程的另一根为﹣4． 【解析】 【分析】（1）由一元二次方程x2＋2x－k＝0有两个实数根，可得：，再解不等式可得答案； （2）由方程有一个根为2，设方程的另一根 根据根与系数的关系可得：再解方程可得答案． 【小问1详解】 解：（1）∵方程有两个实数根， ∴，即 ∴ ； 【小问2详解】 解： 方程有一个根为2，设方程的另一根 所以可方程的另一根为 【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键． 四、 解答题 ：本大题共 5小题 ，共50分 ．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 已知关于x的一元二次方程，求证：不论m为任何实数，方程有两个不相等的实数根； 【答案】 证明：关于的方程中的， 此方程根的判别式为， ， ， 不论为任何实数，方程有两个不相等的实数根． 【解析】 【分析】先求出一元二次方程根的判别式，再利用偶次方的非负性即可得证． 【详解】略 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式等知识点，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． 24. 某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为米的篱笆围成，已知墙长为米，为方便进入，在墙的对面留出米宽的门（如图所示）．怎样围成面积为平方米的苗圃园． 【答案】这个苗圃园垂直于墙的一边长为米，平行于墙的一边长为米时，围成面积为平方米的苗圃园． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设这个苗圃园垂直于墙的一边长为米，则这个苗圃园平行于墙的一边长为米，根据矩形的面积公式结合苗圃园的面积为平方米，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论． 【详解】解：设这个苗圃园垂直于墙的一边长为米，则这个苗圃园平行于墙的一边长为米， 根据题意得：， 解得：， ∵当时，，舍去， ∴． ∴， ∴这个苗圃园垂直于墙的一边长为米，平行于墙的一边长为米， 答：这个苗圃园垂直于墙的一边长为米，平行于墙的一边长为米时，围成面积为平方米的苗圃园． 25. 我们一般会通过列表、描点、连线的方式来画函数图像，并结合图像研究函数的性质．请按要求完成对二次函数的研究． （1）列表： … … … … 其中， _______． 根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数的图像． （2）根据函数图像，下列关于该函数性质的说法正确的有：_______（填序号） ①该函数图像是轴对称图形，它的对称轴是轴；②该函数有最小值，没有最大值； ③当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；④当时，的值为1． 【答案】（1）， 画出函数的图象如图： （2）①②． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键． （1）把代入即可求得的值，然后根据列表，描点，连线画出函数的图象即可； （2）观察图象即可判断． 【小问1详解】 解：当时，， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：观察图象， ①该函数图像是轴对称图形，它的对称轴是轴．正确； ②该函数有最小值，没有最大值．正确； ③当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大．原说法错误； ④当时，的值为或．错误； 故答案为：①②． 26. 一人一盔，安全守规，为保证市民安全出行，某商店以每顶元的价格购进一批头盔，售价为每顶元时，每月可售出顶，在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价元，每月可多售出顶． （1）如果经过降价后，每顶头盔售价为元，那么每月可以多售出多少顶头盔？ （2）要使该商店每月获得的利润为元，求每顶头盔的售价是多少元？ 【答案】（1）每月可以多售出顶头盔； （2）每顶头盔的售价为元时，该商店每月获得的利润为元． 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用及列代数式，根据题意正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据销售数量与售价的关系列代数式即可； （2）设每顶头盔的售价为元，根据商店每月获得的利润为元列出方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵商店以每顶元的价格购进一批头盔，售价为每顶元时，每月可售出顶，每降价元，每月可多售出顶． ∴每顶头盔售价为元，那么每月可以多售出顶头盔； 【小问2详解】 解：设每顶头盔的售价为元，则， 整理得：， 解得：， ∴每顶头盔的售价为元时，该商店每月获得的利润为元． 27. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）． （1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）判断△ABC的形状，证明你的结论； （3）点M是对称轴上的一个动点，当△ACM的周长最小时，求点M的坐标及△ACM的周长． 【答案】（1），D（，﹣）； （2）△ABC是直角三角形， 当x＝0时y＝﹣2， ∴C（0，﹣2），OC＝2， 当y＝0时，即， 解得：＝﹣1，＝4， ∴B（4，0）， ∴OA＝1，OB＝4， ∴AB＝5， ∵＝25，，， ∴， ∴△ABC是直角三角形； （3）M（，﹣），3 【解析】 【分析】（1）直接将（﹣1，0）代入解析式进而得出答案，再利用配方法求出顶点坐标； （2）先求出点C、B的坐标，然后分别求出＝25，，，进而利用勾股定理的逆定理得出结论； （3）利用轴对称最短路线求法得出M点位置，求出直线BC的解析式，可得点M的坐标，然后根据△ACM的最小周长为AC＋AM＋MC＝AC＋BC计算即可． 【小问1详解】 解：∵点A（﹣1，0）在抛物线上， ∴×＋b×（﹣1）﹣2＝0， 解得：b＝﹣， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴顶点D的坐标为：（，﹣）； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图，连接AM， 点A关于对称轴的对称点为点B，BC交对称轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC＋MA的值最小，最小值为BC的长，即此时△ACM周长最小， 设直线BC解析式为：y＝kx＋d， 代入C（0，﹣2），B（4，0）得：， 解得：， 故直线BC的解析式为：y＝x﹣2， 当x＝时，y＝﹣， ∴M（，﹣）， ∴△ACM最小周长是：AC＋AM＋MC＝AC＋BC＝＋2＝3． 【点睛】此题主要考查了待定系数法，二次根式的图象和性质，一次函数的图象和性质，利用轴对称求最短路线，勾股定理及其逆定理的应用等知识，根据轴对称的性质得出M点位置是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $