精品解析： 上海市莘光学校2024-2025学年上学期期中考试八年级数学试卷

2024学年第一学期期中考试 八年级数学试卷 （90分钟，满分100分） 一、选择题（本大题共6题，每题2分，共12分） 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 在下列各式中，二次根式的有理化因式是( ) A. B. C. D. 3. 一元二次方程x2-x-2=0的根的情况是（  ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 只有一个实数根 4. 下列命题中，真命题是（ ） A. 内错角相等 B. 方程没有实数根 C. 对顶角相等 D. 若，则 5. 随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司年缴税万元，年缴税万元．该公司这两年缴税的年平均增长率是（ ） A. B. C. D. 6. 对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则 其中正确的：（ ） A. 只有① B. 只有①② C. ①②③ D. 只有①②④ 二、填空题（本大题共12题，每题2分，共24分） 7. 若代数式有意义，则x的取值范围是__________． 8. 若最简二次根式和是同类二次根式，则________． 9. 化简：_______________． 10. 不等式的解集是________． 11. 化简：________． 12. 已知关于x的方程没有实数根，那么k的取值范围是 _____ 13. 若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是________． 14. 若关于x的一元二次方程（a+2）x2+x+a2﹣4=0的一个根是0，则a为_____． 15. 在实数范围内分解因式：_________． 16. 把命题“等角的补角相等”改写成“如果……，那么……”的形式：______． 17. 如图，在中，，，为上一点，连接，过作于，连接．若，则的面积为_________． 18. 已知：在中，，，为边的中点，把△绕点顺时针旋转度后，如果点恰好落在初始的边上，那么________． 三、简答题（本大题共5题，每小题6分，共30分） 19. 计算：． 20. 已知，求的值 21. 解方程： 22. 解方程：2x2﹣4x+1=0.(用配方法) 23. 已知关于的一元二次方程．求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． 四、解答题（本大题共3题，其中24题7分，25题7分，26题8分，共22分） 24. 在一块长16m，宽12m的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是荒地面积的一半，下面分别是小华与小芳的设计方案． （1）同学们都认为小华的方案是正确的，但对小芳方案是否符合条件有不同意见，你认为小芳的方案符合条件吗？若不符合，请用方程的方法说明理由； （2）你还有其他的设计方案吗？请在图1-3中画出你所设计的草图，将花园部分涂上阴影，并加以说明. 25. 如图1，油纸伞是中国传统工艺品之一，起源于中国的一种纸制或布制伞，油纸伞的制作工艺十分巧妙，如图2，伞圈D沿着伞柄AP滑动时，总有伞骨，，从而使得伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的．为了说明这一制作方法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程. 已知：如图，点，，，在同一平面内，__________，__________.求证：__________. 26. 如图，在中，，点D是的中点，连接，过B作交的延长线于点E，连接，过A作交于点F． （1）求证：； （2）求证：． 五、综合题（本题共12分） 27. 已知，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且． （1）【特殊情况，探索结论】 如图1，当点为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：___________（填“”，“”或“”）． （2）【特例启发，解答题目】 如图2，当点为边上任意一点时，请判断线段与的大小关系，并说明理由．（提示：过点E作，交于点F） （3）【拓展结论，设计新题】 在等边三角形中，点在直线上，点在线段的延长线上，且，若的边长为1，，则线段的长___________（请你画出相应图形） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第一学期期中考试 八年级数学试卷 （90分钟，满分100分） 一、选择题（本大题共6题，每题2分，共12分） 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是最简二次根式，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．根据最简二次根式的概念判断即可． 【详解】解：A、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； B、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； C、，被开方数不是整数，不是最简二次根式，不符合题意； D、是最简二次根式，符合题意； 故选：D． 2. 在下列各式中，二次根式的有理化因式是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】二次根式的有理化因式就是将原式中的根号化去，即可得出答案． 【详解】∵， ∴二次根式的有理化因式是：. 故选C. 3. 一元二次方程x2-x-2=0的根的情况是（  ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 只有一个实数根 【答案】A 【解析】 【分析】先计算出判别式的值，然后根据判别式的意义进行判断． 【详解】解：△=（-1）2-4×1×（-2）=9＞0， 所以方程有两个不相等的两个实数根． 故选A． 【点睛】本题考查了根的判别式：用一元二次方程根的判别式（△=b2-4ac）判断方程的根的情况．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根． 4. 下列命题中，真命题是（ ） A. 内错角相等 B. 方程没有实数根 C. 对顶角相等 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了真命题，平行线的性质，利用平方根解方程，对顶角相等，二次根式的性质．熟练掌握真命题，平行线的性质，利用平方根解方程，对顶角相等，二次根式的性质是解题的关键． 利用平行线的性质，利用平方根解方程，对顶角相等，二次根式的性质对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：A．由题意知，两直线平行，内错角相等，A不是真命题，故不符合要求； B．方程有实数根，B不是真命题，故不符合要求； C．对顶角相等，C是真命题，故符合要求； D．若，则，D不是真命题，故不符合要求； 故选：C． 5. 随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司年缴税万元，年缴税万元．该公司这两年缴税的年平均增长率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 设年平均增长率是，依题意得，，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：设年平均增长率是， 依题意得，， 解得，或（舍去）， ∴年平均增长率是， 故选：C． 6. 对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则 其中正确的：（ ） A. 只有① B. 只有①② C. ①②③ D. 只有①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程解的含义、一元二次方程根的判别式等知识逐个分析即可． 【详解】由，表明方程有实数根﹣1，表明一元二次方程有实数解，则，故①正确； ∵方程有两个不相等的实根， ∴方程有两个不相等的实根， 即a与c异号． ∴-ac>0， ∴， ∴方程必有两个不相等的实根； 故②正确； ∵是方程的一个根， ∴， 即 当时，一定有成立； 当c=0时，则不一定成立，例如：方程，则； 故③错误； ∵是一元二次方程的根， ∴， ∴， ∴， 故④正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解等知识，熟练掌握这些知识是解答本题的关键． 二、填空题（本大题共12题，每题2分，共24分） 7. 若代数式有意义，则x的取值范围是__________． 【答案】且 【解析】 【分析】结合二次根式和分式有意义的条件，列式求解即可得到答案； 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， 解得：且， 故答案为：且． 【点睛】本题主要考查了二次根式和分式有意义的条件；对于二次根式，被开方数不能为负；对于分式，分母不能为0；掌握这两个知识点是解题的关键． 8. 若最简二次根式和是同类二次根式，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，同类二次根式，因式分解法解一元二次方程等知识．熟练掌握二次根式有意义的条件，同类二次根式，因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 由题意知，，可求，由最简二次根式和是同类二次根式，可得，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， ∵最简二次根式和是同类二次根式， ∴，整理得，， 解得，或（舍去）， 故答案为：． 9. 化简：_______________． 【答案】 【解析】 【分析】利用二次根式的性质，先将原式化为绝对值形式，再根据判断绝对值内式子的正负，去掉绝对值符号即可得到结果． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴． 10. 不等式的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查二次根式分母有理化，解一元一次不等式，正确理解不等式性质是解题关键． 直接根据解一元一次不等式的步骤：移项、合并同类项、化系数为1进行即可． 【详解】解： ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11. 化简：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查化简二次根式，根据最简二次根式的定义，需将根式内的分母去掉，因此要根据的符号和被开方数的非负性判断出的符号，然后再化简． 【详解】解：，且， ， ． 12. 已知关于x的方程没有实数根，那么k的取值范围是 _____ 【答案】 【解析】 【分析】首先将方程转化成一般形式，然后根据没有实数根，即，即可得解. 【详解】由已知，得 ∵方程没有实数根 ∴ ∴ 【点睛】此题主要考查根据方程根的情况求参数的取值范围，熟练掌握，即可解题. 13. 若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根据一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义：是解决问题的关键． 方程可整理为，再根据一元二次方程定义直接列式即可得到答案． 【详解】解：∵， ∵是关于的一元二次方程， ， 则， 故答案为：． 14. 若关于x的一元二次方程（a+2）x2+x+a2﹣4=0的一个根是0，则a为_____． 【答案】2． 【解析】 【分析】把x=0代入已知方程，列出关于a的新方程，再根据一元二次方程的定义可知a+2≠0，由此求解即可得答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程（a+2）x2+x+a2﹣4=0的一个根是0， ∴a2﹣4=0且a+2≠0， 解得 a=2， 故答案为：2． 【点睛】本题综合考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的解，熟练掌握相关知识是解题的关键.注意：一元二次方程的二次项系数不等于零． 15. 在实数范围内分解因式：_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数范围内的因式分解，公式法解一元二次方程．熟练掌握实数范围内的因式分解是解题的关键． 解方程，进而可得结果． 【详解】解：令， ， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 把命题“等角的补角相等”改写成“如果……，那么……”的形式：______． 【答案】如果两个角相等，那么这两个角的补角相等 【解析】 【分析】本题考查了命题的改写，理解命题的构成成为解题的关键． 根据命题的条件与结论即可改写即可． 【详解】解：命题“等角的补角相等”改写成“如果……，那么……”的形式为：如果两个角相等，那么这两个角的补角相等． 故答案为：如果两个角相等，那么这两个角的补角相等． 17. 如图，在中，，，为上一点，连接，过作于，连接．若，则的面积为_________． 【答案】8 【解析】 【分析】此题重点考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 作交的延长线于点，可证明，得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：作交的延长线于点， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：8． 18. 已知：在中，，，为边的中点，把△绕点顺时针旋转度后，如果点恰好落在初始的边上，那么________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理等知识．熟练掌握旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，并分情况求解是解题的关键． 由题意知，分当旋转后的点恰好落在边上时，当旋转后的点恰好落在边上时，两种情况求解作答即可． 【详解】解：∵，， ∴， 当旋转后的点恰好落在边上时，如图， 由旋转的性质可知，， ∴， ∴； 当旋转后的点恰好落在边上时，如图， 同理，， ∴； 综上所述，或， 故答案为：或． 三、简答题（本大题共5题，每小题6分，共30分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的加减运算，先化简各个二次根式，再合并同类二次根式即可． 【详解】解： ． 20. 已知，求的值 【答案】4 【解析】 【分析】先对x进行化简，然后代入求解即可． 【详解】解：由可得：， ∴． 【点睛】本题主要考查二次根式的分母有理化及完全平方公式，熟练掌握二次根式的分母有理化及完全平方公式是解题的关键． 21. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的求解，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的求解方法． 利用因式分解法，求解即可． 【详解】解：， ∴， ∴或， 解得：． 22. 解方程：2x2﹣4x+1=0.(用配方法) 【答案】x1=1+ ，x2=1﹣. 【解析】 【详解】试题分析：首先移项，再将二次项系数化为1，然后配方解出x即可. 试题解析：2x2﹣4x+1=0， 移项，得2x2﹣4x=－1， 二次项系数化为1，得x2﹣2x=－， 配方，得x2﹣2x+12=－+12，即（x－1）2=， 解得，x－1=±， 即x1=1+，x2=1－. 点睛：配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）解出未知数. 23. 已知关于的一元二次方程．求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． 【答案】 证明：∵， ∴， ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 由证明作答即可． 【详解】略 四、解答题（本大题共3题，其中24题7分，25题7分，26题8分，共22分） 24. 在一块长16m，宽12m的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是荒地面积的一半，下面分别是小华与小芳的设计方案． （1）同学们都认为小华的方案是正确的，但对小芳方案是否符合条件有不同意见，你认为小芳的方案符合条件吗？若不符合，请用方程的方法说明理由； （2）你还有其他的设计方案吗？请在图1-3中画出你所设计的草图，将花园部分涂上阴影，并加以说明. 【答案】（1）不符合．设小路宽度均为xm， 根据题意得：（16-2x）（12-2x）=×12×16， 解这个方程得：x1=2，x2=12．但x2=12不符合题意，应舍去， ∴x=2． ∴小芳的方案不符合条件，小路的宽度均为2m． （2）答案不唯一． 例如： 左边的图形，取上边长得中点作为三角形的顶点，下边的长的两个端点为三角形的另外两个顶点，此三角形的面积等于矩形面积的一半； 右图横竖两条小路，且小路在每一处的宽都相同，其小路的宽为4米时，除去小路剩下的面积为矩形面积的一半． 【解析】 【分析】（1）利用等量关系花园的长×花园的宽=荒地面积的一半得到路的宽度，跟小芳所给的道路比较即可； （2）利用同底等高的三角形的面积等于矩形的面积的一半，可得另一方案；保证阴影部分的面积等于荒地面积的一半即可． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，抓住等量关系花园的面积等于荒地面积的一半是解决问题的关键． 25. 如图1，油纸伞是中国传统工艺品之一，起源于中国的一种纸制或布制伞，油纸伞的制作工艺十分巧妙，如图2，伞圈D沿着伞柄AP滑动时，总有伞骨，，从而使得伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的．为了说明这一制作方法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程. 已知：如图，点，，，在同一平面内，__________，__________.求证：__________. 【答案】已知：，， 求证：AP平分； 证明：∵是公共边， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴平分． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形、角平分线的知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，角平分线的定义． 【详解】略 26. 如图，在中，，点D是的中点，连接，过B作交的延长线于点E，连接，过A作交于点F． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在与中， ， ∴， ∴； （2） 证明：如图，过点A作，垂足为G． ∵， ∴， ∵点D是的中点， ∴． ∴在与中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定： （1）先证明，可证明，即可； （2）过点A作，垂足为G．证明，可得，再由，可得，从而得到，进而得到，即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 五、综合题（本题共12分） 27. 已知，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且． （1）【特殊情况，探索结论】 如图1，当点为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：___________（填“”，“”或“”）． （2）【特例启发，解答题目】 如图2，当点为边上任意一点时，请判断线段与的大小关系，并说明理由．（提示：过点E作，交于点F） （3）【拓展结论，设计新题】 在等边三角形中，点在直线上，点在线段的延长线上，且，若的边长为1，，则线段的长___________（请你画出相应图形） 【答案】（1） （2） ，理由如下： 过点作，交于点， 则，，， 是等边三角形， ，， ，， 为等边三角形，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）3， 如图3所示： 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质解答即可． （2）过点作，交于点，根据等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，解答即可． （3）过点作，交于点，根据等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，解答即可． 本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：，理由如下： ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：略； 【小问3详解】 解：过点作，交的延长线于点，如图3所示： 则，，， 是等边三角形， ，， ，， 为等边三角形，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $