3.2 实数 课件2024--2025学年浙教版数学七年级上册

实 数 年 级：七年级 学 科：初中数学（浙教版） 动手操作，感悟存在 问题1：如图1，边长为2的正方形，你能通过折叠得到面积为2的正方形吗？ 追问：正方形ABCD的边长是多少？ 分析：边长为2的正方形面积是4，若想得到面积为2的正方形，只需连接各边中点，正方形ABCD即满足条件. 2 2 图1 1 1 A D B C 应怎样表示？ 问题2：正方形ABCD的边长介于哪两个相邻整数之间？ 探索发现，界定大小 方法1：根据小学已学“三角形任意两边之和大于第三边”， 在△ABE中，AE+EB＞AB，即1+1＞ ，所以 ＜2； 在△CDB中，因为CD+CB＞DB，所以 + ＞2，即 + ＞1+1，所以 ＞1，综上所述1＜ ＜2. A D B C E 方法2：根据正数的底数越大，它的平方就越大.因为 ， ， ，所以1＜ ＜2，也就是说 在1和2 之间. 探索发现，界定大小 问题3： 究竟有多大？请探索 的十分位、百分位、 千分位等数位上的值. … … 揭示概念，扩充数系 以上探究，可以得到一系列越来越接近的近似值，事实上， =1.414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 698 078 569··· ，它既不是有限小数，也不是无限循环小数（不能化为分数）. 像这种无限不循环小数叫做无理数. 无理数广泛存在着，如π， 等.其中 π=3.141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 169 3···， =1.732 050 807 568 877 293 527 446 341 505 872 366 9··· . 任意写一个无限不循环小数，如1.010 010 001···（两个“1”之间依次多一个“0”），它也是无理数. 揭示概念，扩充数系 问题4：你能列举出一些无理数吗？ 如 ， ， ，π+3，2π， 1.020 020 002· · ·（两个“2”之间依次多一个“0”） 无理数的三种类型： （1）含根号且开不尽方的数； （2）化简后含π的式子； （3）有规律但不循环的无限小数（可构造）. 揭示概念，扩充数系 追问： 、 能在数轴上表示出来吗？ -1 0 1 2 1 问题5：有理数能用数轴上的点表示，你能将 、 和π表示出来吗？ 1 小结：实数与数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的点表示；反过来，数轴上的点都对应表示每一个实数. 问题6：实数由哪些数组成？你能分类吗？ 揭示概念，扩充数系 还有其他分类方式吗？ 如果我们把整数看做小数部分为零的有限小数，那么有理数便是有限小数与无限循环小数的统称.和有理数一样，无理数也可分为正无理数和负无理数.有理数和无理数统称实数. 类比性质，体现通法 问题7：根据以上无理数在数轴上点的表示，你认为有理数的相反数和绝对值的概念、大小比较法则适用于无理数吗？ 把数扩充到实数后，有理数中的相反数和绝对值的概念、数的大小比较法则同样适用，数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的大. 如 的相反数是 ，| |= ， 一个数的绝对值是 ,则这个数是 . . > 类比性质，体现通法 问题8：把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小 （用“＜”连接）. ，-π，1.5， 解：把 ，-π，1.5， 表示在数轴上，如下图. ∴ -π＜ ＜1.5＜ . 分析：对于-π， 等无理数，我们可以取其适当的近似值，把它们近似地表示在数轴上，如取π≈3.1， ≈-1.7. 检测评价，即时反馈 1.指出下列各数是有理数还是无理数：1， ， ，3.14159， ， ， ， 3.131331333133331···（两个“1”之间依次多一个“3”）. 2.请写出四个无理数. 3.分别求下列各数的绝对值和相反数:（1） . （2） . （3）-π. 4.请将下列实数表示在数轴上，并把它们按从小到大的顺序排列，用“＜”连接. ， ， ， , 0. 0 0 2 1 -2 -1 · · · · ∴ ＜ ＜0 ＜ ＜ . ， ，0.121221222122221· · ·（两个“1”之间依次多一个“2” 有理数：1， ， ，3.14159， ， . 无理数： , 3.131331333133331···（两个“1”之间依次多一个“3”) 检测评价，即时反馈 … … 5.用第72页考察的近似值的方法，求 的近似值.写出精确到十分位的近似值.你能将 的近似值准确到哪一位？ 检测评价，即时反馈 6.利用如图4×4方格，作出面积为8平方单位的正方形，然后在数轴上表示实数 和 . 分析：4×4方格的总面积为16平方单位，要想作出面积为8平方单位的正方形，取各边中点连结即可. 第6题图 易知小正方形边长即为 ，故以大正方形底边中点为数轴原点，小正方形边长为一个单位长度，建立数轴. -3 -2 -1 0 1 2 3 课堂总结，建构体系 1.研究内容：无理数的存在性，无理数概念：定义、表 示、性质；实数分类及性质. 2.研究路径：首先经历用“直观刻画抽象”的过程，解决无 理数的存在性问题，完成第一次抽象；其次经历用“具体” 刻画“一般”的过程：先弄清楚其中一个或几个无理数； 第三经历用“近似”刻画“精确”的过程：用有理数逼近 来估计无理数的大小. 3.研究思想方法：利用研究有理数的方法体系研究无理数， 即用“已知”来研究“未知”，体现数学研究的一般方法， 渗透数形结合思想. 分层作业，彰显差异 作业：配套见作业本（2），必做题：1-4题；选做题5-7题. 课后探究，拓展提升 证明 是无理数. $$