13.3.1等腰三角形提升训练练习2024—2025学年人教版数学八年级上册

13.3.1等腰三角形提升训练练习人教版2024—2025学年八年级上册 【考点·方法·破译】 1．等腰三角形性质 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即等腰三角形三线合一） 2．构造等腰三角形的常用方法 ⑴角平分线＋平行线＝等腰三角形 ⑵角平分线＋垂线（或高）＝等腰三角形 ⑶线段中垂线构造等腰三角形 ⑷将2倍角转化为相等角构造等腰三角形 【典型例题解析】 类型一.等腰三角形的概念、性质与判定 例1如图，∠BOC=9°，点A在OB上，且OA=1，按下列要求画图： 以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1； 再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2； 再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；… 这样画下去，直到得第条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则． 变式训练 1.如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E为（　　） A．60° B．30° C．20° D．15° 2．如图，若△ABC是等边三角形，AB＝6，BD是∠ABC的平分线，延长BC到E，使CE＝CD，则BE＝（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 3.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE． （1）求证：△DEF是等腰三角形； （2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数． 4.在△ABC中AB=AC，∠A=36°，称满足次条件的三角形为黄金等腰三角形，请完成以下操作（画图不要求使用圆规，以下问题所指的等腰三角形个数均不包括△ABC）： （1）在图1中画1条线段，使图中有2个等腰三角形，并直接写出这2个等腰三角形的顶角度数分别是______度和______度； （2）在图2中画2条线段，使图中有4个等腰三角形； （3）继续按以上操作发现：在△ABC中画条线段，则图中有______个等腰三角形，其中有______个黄金等腰三角形． 5.已知在△ABC中，AB＝AC，点D是边AB上一点，∠BCD＝∠A． （1）如图1，试说明CD＝CB的理由； （2）如图2，过点B作BE⊥AC，垂足为点E，BE与CD相交于点F． ①试说明∠BCD＝2∠CBE的理由； ②如果△BDF是等腰三角形，求∠A的度数． 6.若学校有一块三角形的绿地，AB＝BC＝20m，∠A＝15°，求绿地△ABC的面积？ 类型二.等腰三角形的三线合一 例2 已知AB=AD，AC=AE，∠BAC=∠DAE，DB交AC于点F，且AF平分BD，CE交AD于点G，求证：CG=GE 【变式练习】 7.如图，已知∠AOB＝60°，点P在OA边上，OP＝8cm，点M、N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2cm，则OM＝ 　 　cm． 8.已知：如图，在△ABC中，BE⊥AC，CD⊥AB，BE＝CD．求证：AB＝AC． 9.如图所示，△ABC中，AB=BC，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点D，交AC于F.点F是AC的中点，求证：∠CFD=∠B。 10.如图，△ABC中AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，AD=BD，AD与BE交于点F，连接CF，求证：BF=2AE 11.在Rt△ABC中，AB=AC，∠A=90°，点D为BC上任意一点，DF⊥AB于点F，DE⊥AC于点E，M为BC的中点，试判断△MEF是什么三角形，并证明你的结论。 12.如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D是AB上一点，过点D作DE⊥BC交BC于点E，交CA 的延长线于点F． （1）证明：△ADF是等腰三角形； （2）若∠B＝60°，BD＝6，AD＝3，求EC的长． 类型三.等腰三角形中的多解问题 例3如图，在直角坐标系中，O是原点，已知A（4，3）， P是坐标轴上的一点，若以O，A，P三点组成的三角形为 等腰三角形，则满足条件的点P共有个，写出其中一 个点P的坐标是． 【变式练习】 13.已知等腰三角形ABC中，一腰AC上的中线BD将三角形的周长分为9cm和15cm两部分，求这个三角形的腰长和底边的长 14.(1)等腰三角形的一个角是50°，则它一腰上的高与底边的夹角是____________ (2)等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是36°，则该等腰三角形的底角度数是________。 15.如图，a∥b，∠ABC=50°，若△ABC是等腰三角形，则∠=____________。 类型四.平行线＋平行线得等腰三角形 例4如图，在△ABC中，AE是∠BAC的角平分线，交BC于点E，DE∥AB交AC于点D． （1）求证AD＝ED； （2）若AC＝AB，DE＝3，求AC的长． 16.如图，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，过点D作EF∥BC交AB、AC于点E、F，若△AEF的周长为11，BC＝5，则△ABC的周长为 　 　． 17.如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC＝BE，AD＝BC．求证：△DCE为等腰三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $$