正余弦定理的简单运用课件-2025届高三数学一轮复习

第27讲 正余弦定理及其应用 1 2 3 4 探究点一 利用余弦定理、正弦定理解基本量问题 5 6 7 探究点二 利用余弦定理、正弦定理判定三角形的形状 例2（1） 在中,若,则 是( ) B A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰或直角三角形 D.钝角三角形 [解析] , ， ,， ,， .故选B. ［思路点拨］根据正弦定理可得，整理可得 ， 又由，可得 ，即可得解. 8 （2） 在中，已知，且 ，则该三角 形的形状是( ) C A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.钝角三角形 [解析] ，，又， . 由，得，，即 ， 又， 该三角形为等边三角形. ［思路点拨］首先利用余弦定理求出角 ，再利用正弦定理与余弦定理将 化简得到， 的关系，进而判断出三角形形状. 9 变式题（1） （多选题）已知的内角，，所对的边分别为，， ， 则下列说法中正确的有( ) ACD A.若，则 一定是等边三角形 B.若，则 一定是等腰三角形 C.若，则 一定是等腰三角形 D.若，则 一定是钝角三角形 10 [解析] 对于A，若，则由正弦定理得 ， 即，则，所以 一定是等边三角形，故A正确； 对于B，若，则由正弦定理得 ， 即，则或 ，即或 ， 所以是等腰三角形或直角三角形，故B错误； 对于C，若 ，则由正弦定理得， 所以 ，即，所以一定是等腰三角形，故C正确； 对于D，在 中，因为，且， 所以,所以角 为钝角，所以一定是钝角三角形，故D正确.故选 . 11 （2） 在中，内角，，所对的边分别是，， ，若 ，则 的形状为( ) D A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 [解析] 因为 ， 所以由正弦定理得， 又 ， 所以 ， 所以，所以或， 所以或 ，所以 为等腰三角形或直角三角形. 12 目标1　解三角形 (2023新课标Ⅰ卷)在△ABC中，已知A＋B＝3C,2sin(A－C)＝sin B. (1) 求sin A的值； (2) 设AB＝5，求边AB上的高． 3 【思路分析】 (1) 根据角的关系及两角和、差的正弦公式，化简即可得解；(2) 利用同角之间的三角函数基本关系及两角和的正弦公式求sin B，再由正弦定理求出AC，根据等面积法求解即可． 练习1 [2023全国乙卷(理)]在△ABC中，已知∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1. (1) 求sin∠ABC的值； (2) 若D为BC上的一点，且∠BAD＝90°，求△ADC的面积． 练习2 18 若选③，因为(2b－a)cosC＝ccosA， 所以由正弦定理，得(2sinB－sinA)cosC＝sinCcosA， 化简，得2sinBcosC＝sinAcosC＋cosAsinC＝sin(A＋C)＝sinB. 又sin B≠0， 3 24 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 【解析】 (1) 因为A＋B＝3C， 所以π－C＝3C，即C＝. 因为2sin(A－C)＝sin B＝sin(A＋C)， 所以2sin Acos C－2cos Asin C＝sin Acos C＋cos Asin C， 所以sin Acos C＝3cos Asin C， 可得sin A＝3cos A， 即tan A＝3，所以0<A<， 所以sin A＝＝. (2) 由(1)知，cos A＝＝， 则sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝＝. 在△ABC中，由正弦定理＝， 可得AC＝＝2. 设边AB上的高为h， 则AB·h＝AB·AC·sin A， 所以h＝AC·sin A＝2×＝6. 【思路分析】 (1) 首先由余弦定理求得BC＝，然后由余弦定理可得cos B＝，最后由同角三角函数基本关系可得sin B＝；(2) 由题意可得＝4，则S△ACD＝S△ABC，据此即可求得△ADC的面积． 【解析】 (1) 由余弦定理可得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos A＝1＋4－2×1×2×cos 120°＝7， 所以BC＝，则cos B＝＝＝， 故sin B＝＝＝. (2) 由三角形的面积公式可得＝＝4， 故S△ACD＝S△ABC＝×＝，即△ADC的面积为. 【解析】(1) 若选①，因为(a－ccosB)＝bsinC，所以由正弦定理，得(sinA－sinC·cosB)＝sinBsinC， 即[sin(B＋C)－sinCcosB]＝sinBsinC， 所以sinBcosC＝sinBsinC. 又sin B≠0， 所以tanC＝，又C∈(0，π)，故C＝. 若选②，因为b＋bcosC＝csinB， 所以由正弦定理，得sinB＋sinBcosC＝sinCsinB. 又sinB≠0，所以1＋cosC＝sinC， 可得sin＝， 所以C－＝或C－＝(舍去)， 故C＝. 所以cosC＝，又C∈(0，π)， 故C＝. (2) 因为tanB＝， 所以解得 且sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝×＋×＝. 由正弦定理，得＝＝＝3， 即a＝3b. 又因为S△ABC＝3＝absinC，即ab＝12，所以3b2＝12，解得b＝2，则a＝6. 由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝36＋4－2×6×2×＝28，则c＝2， 所以△ABC的周长为a＋b＋c＝8＋2. 【解析】由S△ABC＝S△BCD＋S△ACD，得absin＝a·CDsin＋b·CDsin，整理，得a＋b＝ab.由余弦定理，得c2＝4＝a2＋b2－2abcos＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝a2b2－3ab，所以27(ab)2－48ab－64＝0，即(3ab－8)·(9ab＋8)＝0，解得ab＝或ab＝－(舍去)，所以a＋b＝×＝2，即解得或因为>2>，所以△ABC中最长边的边长为. $$