专题5.1 方程（3大知识点9类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年七年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题5.1 方程（3大知识点9类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】方程的有关概念 1．定义：含有未知数的等式叫做方程. 【要点提示】判断一个式子是不是方程，只需看两点：一.是等式；二.是含有未知数． 2．方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解. 【要点提示】判断一个数（或一组数）是否是某方程的解，只需看两点：①.它（或它们）是方程中未知数的值； ②将它（或它们）分别代入方程的左边和右边，若左边等于右边，则它们是方程的解，否则不是． 3．解方程：求方程的解的过程叫做解方程. 4．方程的两个特征：（1）.方程是等式；（2）.方程中必须含有字母（或未知数）. 【知识点2】一元一次方程的有关概念 定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程. 【要点提示】“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件： ①首先是一个方程;②其次是必须只含有一个未知数;③未知数的指数是1;④分母中不含有未知数． 【知识点3】等式的性质 1．等式的概念：用符号“=”来表示相等关系的式子叫做等式. 2．等式的性质： 　　等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.即： 　　如果，那么 (为一个数或一个式子) . 　　等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等. 即：如果，则；如果则 【要点提示】 （1）根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形； (2) 等式性质1中，强调的是整式，如果在等式两边同加的不是整式，那么变形后的等式不一定成立 （3）等式的性质2中等式两边都除以同一个数时，这个除数不能为零． 考点与题型目录 【考点一】从算式到方程 【题型1】方程的判断.........................................................2 【题型2】列方程.............................................................2 【题型3】方程的解...........................................................3 【题型4】一元一次方程的定义.................................................3 【考点二】等式的性质 【题型5】等式变形的判断.....................................................3 【题型6】利用等式的变形成“含的代数式表示的形式”.......................4 【题型7】利用等式的性质解方程...............................................4 【考点三】直通中考与拓展延伸 【题型8】直通中考..........................................................5 【题型9】拓展延伸..........................................................5 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】方程的判断 【例1】（2024七年级上·全国·专题练习）下面式子中，是方程的是______；①；②；③；④． 【变式1】（24-25九年级上·全国·单元测试）下列各式，，（a，b为已知数），，中，方程有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（2024七年级上·江苏·专题练习）下列关于x的方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，整式方程有 ． 【题型2】列方程 【例2】（21-22七年级上·陕西渭南·阶段练习）用方程表示下列语句所表示的相等关系： （1）七年级学生人数为n，其中男生占，女生有人； （2）一种商品每件的进价为a元，售价为进价的倍，现每件又降价元，现售价为每件元． 【变式1】（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）把一些图书分给某班学生，如果每人分3本，则余20本；如果每人分4本，则缺25本．设有名学生，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级上·陕西咸阳·期中）蛋白质和碳水化合物是我们日常饮食中的两个重要组成部分，它们都是身体所需的营养素，能够为我们提供能量，一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的倍，碳水化合物，蛋白质与脂肪的含量共．设蛋白质的含量为，脂肪的含量为，可列出方程为 ． 【题型3】方程的解 【例3】（24-25七年级上·全国·课后作业）检验下列方程后面小括号内的数是否为相应方程的解 (1)； (2)． 【变式1】（24-25九年级上·重庆·阶段练习）关于x的一元二次方程的一个解是，则（    ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【变式2】（24-25七年级上·全国·期末）有一个一元一次方程：■，其中“■”表示一个被污染的常数．答案注明方程的解是，这个被污染的常数应是 ． 【题型4】一元一次方程的定义 【例4】（22-23七年级上·黑龙江佳木斯·期末）已知是关于x的一元一次方程，求m的值． 【变式1】（24-25七年级上·全国·单元测试）下列各式：①；②；③；④；⑤．其中，一元一次方程有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（24-25七年级上·全国·阶段练习）若是关于x的一元一次方程，则的值为 ． 【题型5】等式变形的判断 【例5】（23-24七年级上·江苏泰州·期末）小明在学习了等式的基本性质后，对等式进行变形，得出“”的错误结论，但他找不到错误原因，聪明的你能帮助他找到原因吗？小明的具体过程如表所示： 将等式变形 两边同时加，得（第①步） 两边同时除以，得（第②步） （1）第______步等式变形产生错误； （2）请分析产生错误的原因，写出等式正确变形过程，求出的值． 【变式1】（23-24七年级下·重庆沙坪坝·开学考试）下列等式变形不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式2】（24-25九年级上·全国·课后作业）下列等式变形：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，则．其中一定正确的是 （填序号）． 【题型6】利用等式的变形成“含的代数式表示的形式” 【例6】（20-21六年级上·山东泰安·课后作业）能否从等式得到，为什么？反过来，能否从得到，为什么？ 【变式1】（23-24七年级下·云南德宏·期末）由可以得到用x表示y的式子为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24六年级下·全国·单元测试）将方程变形为用含的式子表示，那么 ； 【题型7】利用等式的性质解方程 【例7】（24-25六年级上·黑龙江绥化·阶段练习）解方程 (1) (2) (3) 【变式1】（23-24六年级上·山东威海·期末）整式的值随取值的变化而变化，下表是当取不同值时对应的整式的值，则关于的方程的解为（    ） 0 1 2 3 0 4 8 A． B． C． D． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）利用等式的基本性质将方程化为的形式 (1)； (2)． 第三部分【直通中考与拓展延伸】 【题型8】直通中考 【例1】（2024·贵州·中考真题）小红学习了等式的性质后，在甲、乙两台天平的左右两边分别放入“■”“●”“▲”三种物体，如图所示，天平都保持平衡．若设“■”与“●”的质量分别为x，y，则下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2021·山东日照·中考真题）关于的方程（、为实数且），恰好是该方程的根，则的值为 ． 【题型9】拓展延伸 【例1】（23-24七年级下·浙江台州·期末）有五张写有数字的卡片，分别记为①，②，③，④，⑤，将它们按如图所示放置在桌上．下表记录了相邻两张卡片上的数的和． 卡片编号 ①② ②③ ③④ ④⑤ ①⑤ 两数的和 则写有最大数卡片的编号是(    ) A．② B．③ C．④ D．⑤ 【例2】（23-24九年级下·浙江杭州·自主招生）已知，，，，是满足条件的五个不同的整数，若是关于的方程的整数根，则的值为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5.1 方程（3大知识点9类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】方程的有关概念 1．定义：含有未知数的等式叫做方程. 【要点提示】判断一个式子是不是方程，只需看两点：一.是等式；二.是含有未知数． 2．方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解. 【要点提示】判断一个数（或一组数）是否是某方程的解，只需看两点：①.它（或它们）是方程中未知数的值； ②将它（或它们）分别代入方程的左边和右边，若左边等于右边，则它们是方程的解，否则不是． 3．解方程：求方程的解的过程叫做解方程. 4．方程的两个特征：（1）.方程是等式；（2）.方程中必须含有字母（或未知数）. 【知识点2】一元一次方程的有关概念 定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程. 【要点提示】“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件： ①首先是一个方程;②其次是必须只含有一个未知数;③未知数的指数是1;④分母中不含有未知数． 【知识点3】等式的性质 1．等式的概念：用符号“=”来表示相等关系的式子叫做等式. 2．等式的性质： 　　等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.即： 　　如果，那么 (为一个数或一个式子) . 　　等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等. 即：如果，则；如果则 【要点提示】 （1）根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形； (2) 等式性质1中，强调的是整式，如果在等式两边同加的不是整式，那么变形后的等式不一定成立 （3）等式的性质2中等式两边都除以同一个数时，这个除数不能为零． 考点与题型目录 【考点一】从算式到方程 【题型1】方程的判断.........................................................2 【题型2】列方程.............................................................3 【题型3】方程的解...........................................................4 【题型4】一元一次方程的定义.................................................5 【考点二】等式的性质 【题型5】等式变形的判断.....................................................7 【题型6】利用等式的变形成“含的代数式表示的形式”.......................8 【题型7】利用等式的性质解方程...............................................9 【考点三】直通中考与拓展延伸 【题型8】直通中考..........................................................11 【题型9】拓展延伸..........................................................12 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】方程的判断 【例1】（2024七年级上·全国·专题练习）下面式子中，是方程的是______；①；②；③；④． 【答案】①④ 【分析】本题考查了方程的概念．含有未知数的等式叫作方程，据此判断即可． 解：①，④符合方程的概念，是方程． ②不是等式，③不含未知数，都不是方程． 故答案为：①④． 【变式1】（24-25九年级上·全国·单元测试）下列各式，，（a，b为已知数），，中，方程有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了方程的定义，含有未知数的等式叫做方程．根据方程的定义可以解答． 解：，，，这3个式子即是等式又含有未知数，都是方程． 不是等式，因而不是方程． （a，b为已知数）不含未知数，所以不是方程． 故有3个式子是方程． 故选：C． 【变式2】（2024七年级上·江苏·专题练习）下列关于x的方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，整式方程有 ． 【答案】②③④⑥ 【分析】本题考查了整式方程的定义，判断一个方程是否为整式方程，要看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．根据整式方程的定义：分母中不含未知数的方程叫做整式方程进行判断． 解：②0，③，④，⑥的分母中不含未知数，是整式方程；① 和⑤分母中含未知数，是分式方程． 故答案为：②③④⑥． 【题型2】列方程 【例2】（21-22七年级上·陕西渭南·阶段练习）用方程表示下列语句所表示的相等关系： (1)七年级学生人数为n，其中男生占，女生有人； (2)一种商品每件的进价为a元，售价为进价的倍，现每件又降价元，现售价为每件元． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据题意，男生人数为，也可以表示为，因此列出方程即可； （2）根据题意，售价为，现售价为，因为现售价为每件元，即可列出方程． 解：（1）根据题意， （2）根据题意， ， 【点拨】本题考查了列一元一次方程等知识内容，正确理解并列出等价的方程是解题的关键． 【变式1】（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）把一些图书分给某班学生，如果每人分3本，则余20本；如果每人分4本，则缺25本．设有名学生，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图书的数量不变，列出等量关系式，即可求解， 本题考查了列一元一次方程，解题的关系式：根据图书数量不变，列出等量关系式． 解：根据题意得：， 故选：． 【变式2】（23-24八年级上·陕西咸阳·期中）蛋白质和碳水化合物是我们日常饮食中的两个重要组成部分，它们都是身体所需的营养素，能够为我们提供能量，一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的倍，碳水化合物，蛋白质与脂肪的含量共．设蛋白质的含量为，脂肪的含量为，可列出方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程，根据碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共列方程，解题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列出方程． 解：设蛋白质的含量为，脂肪的含量为，则碳水化合物含量为，依题意可列方程，， 故答案为：． 【题型3】方程的解 【例3】（24-25七年级上·全国·课后作业）检验下列方程后面小括号内的数是否为相应方程的解 (1)； (2)． 【答案】(1)是； (2)否. 【分析】本题主要考查了方程的解，解题的关键是掌握使方程两边相等的未知数的值是方程的解． （1）将分别代入方程两边，再比较两边，若相等，则是该方程的解，否则不是； （2）将分别代入方程两边，再比较两边，若相等，则是该方程的解，否则不是． 解：（1）当时， 左边， 右边， 左边右边， ∴是该方程的解． （2）解：当时， 左边， 右边， 左边右边， ∴不是方程的解． 【变式1】（24-25九年级上·重庆·阶段练习）关于x的一元二次方程的一个解是，则（    ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解的概念，使方程两边成立的未知数的值叫方程的解． 利用一元二次方程解的定义得到，然后再对所求代数式变形，最后整体代入计算即可． 解：∵关于x的一元二次方程的一个解是， ∴，即， ∴． 故选A． 【变式2】（24-25七年级上·全国·期末）有一个一元一次方程：■，其中“■”表示一个被污染的常数．答案注明方程的解是，这个被污染的常数应是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了一元一次方程的解，利用方程的解满足方程得出关于x的方程是解题关键． 根据方程的解满足方程，可得关于x的方程，根据解方程，可得答案． 解：设常数为x，由题意，得 解得， 故答案为：3． 【题型4】一元一次方程的定义 【例4】（22-23七年级上·黑龙江佳木斯·期末）已知是关于x的一元一次方程，求m的值． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的定义，根据只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程，据此解答即可． 解：∵方程为关于x的一元一次方程， ∴项的系数为0．且x的系数不为0， ，即， 解得：， ， ， ． ∴． 【变式1】（24-25七年级上·全国·单元测试）下列各式：①；②；③；④；⑤．其中，一元一次方程有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查的是一元一次方程的定义，掌握一元一次方程的定义是解题的关键．根据一元一次方程的定义进行判定． 解：①是二元一次方程，不符合题意； ②是一元二次方程，不符合题意； ③是一元一次方程，符合题意； ④是分式方程，不符合题意； ⑤是代数式，不是方程，不符合题意． 故选：A． 【变式2】（24-25七年级上·全国·阶段练习）若是关于x的一元一次方程，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，绝对值，以及代数式求值，熟记“只含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程是一元一次方程”是解题关键．根据一元一次方程的定义，求出，再代入计算求值即可． 解：是关于x的一元一次方程， ，， ， ， 故答案为：． 【题型5】等式变形的判断 【例5】（23-24七年级上·江苏泰州·期末）小明在学习了等式的基本性质后，对等式进行变形，得出“”的错误结论，但他找不到错误原因，聪明的你能帮助他找到原因吗？小明的具体过程如表所示： 将等式变形 两边同时加，得（第①步） 两边同时除以，得（第②步） (1)第______步等式变形产生错误； (2)请分析产生错误的原因，写出等式正确变形过程，求出的值． 【答案】(1)；(2)产生错误的原因：等式两边同时除以字母时，没有考虑字母是否为；的值为． 【分析】（）根据等式的性质可知错误发生在第步； （）根据等式的基本性质即可解答； 本题考查了等式的基本性质，掌握等式的基本性质是解题的关键． 解：（1）第步等式变形产生错误， 故答案为：； （2）产生错误的原因：等式两边同时除以字母时，没有考虑字母是否为． 正确过程： 两边同时加，得， 两边同时减，得， 两边同时除以，得． 【变式1】（23-24七年级下·重庆沙坪坝·开学考试）下列等式变形不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了等式的性质，等式的两边加或都减同一个数，结果仍是等式；等式两边都成一或除以同一个不为0的数，结果仍是等式．据此进行解答即可． 解：A、若，则，变形正确，不符合题意； B、若，则，变形正确，不符合题意； C、若，则，变形正确，不符合题意； D、若，当时，无意义，变形错误，符合题意； 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·全国·课后作业）下列等式变形：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，则．其中一定正确的是 （填序号）． 【答案】①④⑤ 解：①若，则，变形正确；②若，则，原变形不正确；③若，则，原变形不正确；④若，则，变形正确；⑤若，则，变形正确． 【题型6】利用等式的变形成“含的代数式表示的形式” 【例6】（20-21六年级上·山东泰安·课后作业）能否从等式得到，为什么？反过来，能否从得到，为什么？ 【分析】根据等式的性质解答即可． 解；不能从等式（2a-1）x=3a+5中得到理由是：2a-1=0时，无意义； 能从中得到（2a-1）x=3a+5，理由是：方程得两边都乘以（2a-1）． 【点拨】本题考查了等式的性质，等式的两边都乘以或除以同一个不为零的整式，结果仍是等式． 【变式1】（23-24七年级下·云南德宏·期末）由可以得到用x表示y的式子为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等式的性质，恒等变形即可得到答案． 本题考查等式的性质，读懂题意，按要求恒等变形是解决问题的关键． 解：由，得， 故选：B． 【变式2】（23-24六年级下·全国·单元测试）将方程变形为用含的式子表示，那么 ； 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质运算即可，掌握等式的性质是解题的关键． 解：， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型7】利用等式的性质解方程 【例7】（24-25六年级上·黑龙江绥化·阶段练习）解方程 (1) (2) (3) 【答案】(1); (2); (3) 【分析】此题考查了解方程，熟练掌握等式的性质是解题的关键． （1）由题意得到，再两边同除以即可得到答案； （2）方程两边同除以得到，两边都减去10即可得到答案； （3）方程两边都乘以得到，两边都除以即可得到答案． 解：（1） ∴ 则 解得． （2） ∴ 则 解得． （3） 则 ∴ ∴ 解得． 【变式1】（23-24六年级上·山东威海·期末）整式的值随取值的变化而变化，下表是当取不同值时对应的整式的值，则关于的方程的解为（    ） 0 1 2 3 0 4 8 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义，等式的性质等知识．根据表格得到当时，，再根据等式性质进行变形即可求解． 解：由表格得当时，， 等式两边同乘，得， 所以关于的方程的解为． 故选：A． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）利用等式的基本性质将方程化为的形式 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用等式的基本性质解方程． （1）去括号后，先在方程两边同时加上6，再在方程两边同时减去x，即可求解； （2）方程两边同时乘以12后去括号并化简，再在方程两边同时减去7，最后方程两边同时除以7，即可解答． 解：（1）， 去括号得：， 方程两边同时加上6，得：， 即：， 方程两边同时减去x，得：， 即； （2）． 方程两边同时乘以12，得：， 去括号得：， 化简，得：， 方程两边同时减去7，得， 方程两边同时除以7，得：． 第三部分【直通中考与拓展延伸】 【题型8】直通中考 【例1】（2024·贵州·中考真题）小红学习了等式的性质后，在甲、乙两台天平的左右两边分别放入“■”“●”“▲”三种物体，如图所示，天平都保持平衡．若设“■”与“●”的质量分别为x，y，则下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等式的性质，设“▲”的质量为a，根据题意列出等式，，然后化简代入即可解题． 解：设“▲”的质量为a， 由甲图可得，即， 由乙图可得，即， ∴， 故选C． 【例2】（2021·山东日照·中考真题）关于的方程（、为实数且），恰好是该方程的根，则的值为 ． 【答案】-2 【分析】根据方程的解的概念，将代入原方程，然后利用等式的性质求解． 解：由题意可得， 把代入原方程可得：， 等式左右两边同时除以，可得：， 即， 故答案为：． 【点拨】本题考查方程的解的概念及等式的性质，理解方程的解的定义，掌握等式的基本性质是解题关键． 【题型9】拓展延伸 【例1】（23-24七年级下·浙江台州·期末）有五张写有数字的卡片，分别记为①，②，③，④，⑤，将它们按如图所示放置在桌上．下表记录了相邻两张卡片上的数的和． 卡片编号 ①② ②③ ③④ ④⑤ ①⑤ 两数的和 则写有最大数卡片的编号是(    ) A．② B．③ C．④ D．⑤ 【答案】A 【分析】本题考查了等式的性质，由题意得关于①②③④⑤的方程，利用等式的性质求出它们的值，最后根据题意得结论． 解：①②，②③，③④，④⑤，①⑤ ， ，得③①，，得⑤③ ． ，得⑤①． ，得⑤，，得①． ⑤，①． 把⑤①的值代入、、、得②，③，④． 故选：A． 【例2】（23-24九年级下·浙江杭州·自主招生）已知，，，，是满足条件的五个不同的整数，若是关于的方程的整数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是方程的整数根问题，根据已知条件可知，，，，是五个不同的整数，再把分解成五个整数积的形式，再把，，，，五个整数相加可得它们的和，最后把代入计算即可求解，根据题意把分解成几个整数积的形式是解题的关键． 解：∵是关于的方程的整数根， ∴， ∵，且，，，，是五个不同的整数， ∴，，，，也是五个不同的整数， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$