精品解析： 山东省泰安市泰山区2024-2025学年七年级上学期期中数学试卷

第一学期期中学情抽测 初二数学样题 （时间：120分钟，满分：150分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分．每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确答案的字母代号选出来，填入下面答题栏中的对应位置） 1. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各图中，正确画出边上的高的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，点E、点F在BC上，，，添加一个条件，不能说明的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线，一块含有30度的直角三角板按如图所示放置．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，这是一株美丽的勾股树，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的边长是3、5、2、3，则最大正方形的面积是（ ） A. 13 B. 47 C. D. 6. 小明用小棍摆三角形，小棍的长度有8cm，9cm，15cm和18cm四种规格，他已经取了8cm和9cm两根木棍，那么第三根木棍不可能取（ ） A. 8cm B. 9cm C. 15cm D. 18cm 7. 下列各组数中，不能作为直角三角形三边长的是（ ） A. 3，4，5 B. 6，8，10 C. 5，12，16 D. 7，24，25 8. 《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高二丈，末折抵地，去根九尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高两丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部9尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断后垂直地面的竹子高度为x尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 小明用两个全等的等腰三角形与设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，它们关于直线对称，点E，F分别是底边的中点，．下列推断错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为25，小正方形的面积为5，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（ ） A. 45 B. 44 C. 40 D. 36 11. 如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P，画射线与交于点D，，垂足为E．则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 12. 已知的面积等于18，，则与的面积和等于（ ） A. 7 B. 7.5 C. 8 D. 9 二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分．只要求填写最后结果） 13. 若等腰三角形的顶角是，则它的一个底角是_______． 14. 若三角形两边长分别为2，6，则该三角形第三边长a的取值范围是_______． 15. 如图，某位同学将一副三角板随意摆放在桌上，则图中的度数______． 16. 如图，在中，，，，则_______． 17. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=15，斜边AB的垂直平分线与∠CAB的平分线都交BC于D点，则点D到斜边AB的距离为___________. 18. 如图所示的长方体中，，一只蚂蚁从点处，沿长方体表面爬行到点处吃食，蚂蚁需要爬行的最短路程为___________． 19. 如图，中，，，，折叠，使点A与点B重合，折痕与交于点D，与交于点E，则的长为______． 20. 如图，在中，的垂直平分线分别交于D、E两点，并且相交于点F，且，则的度数是______． 三、解答题（本大题共7个小题，满分70分．解答应写出计算过程、文字说明或推演步骤） 21. 如图，在四边形中，与交于点O，，垂足分别为点E、F，且，． 请说明：． 22. 数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端A的绳子沿旗杆垂到地面时，测得多出部分的长为（如图1），再将绳子拉直（如图2），测得绳子末端的位置D到旗杆底部B的距离为，求旗杆的长． 23. 如图4×4的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，探究在网格中与成轴对称的格点三角形． （1）如图①与成轴对称的格点三角形共有多少个； （2）在②、③、④中各画出一个不同位置的与成轴对称的格点三角形． 24. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点E，交于点F．求证：． 25. 在下图的每个三角形中，分别按要求作（画）图： （1）在图①中用尺规作出中线； （2）在图②中用尺规作出角平分线； （3）在图③中画出高线； （4）在图①中，若，（C表示周长）且，求的长． 26. 如图，在中，，点、在上，延长至使，连接；延长至使，连接，当时，猜想线段与线段的数量关系？并说明理由． 27. 如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，∠ABC的角平分线BE交AC于点E．点D为AB上一点，且AD＝AC，CD，BE交于点M． （1）求∠DMB的度数． （2）若CH⊥BE于点B，证明：AB＝4MH． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一学期期中学情抽测 初二数学样题 （时间：120分钟，满分：150分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分．每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确答案的字母代号选出来，填入下面答题栏中的对应位置） 1. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要查了轴对称图形．根据轴对称图形的定义，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项符合题意； D、是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：C． 2. 下列各图中，正确画出边上的高的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的高线，熟练掌握三角形高线的画法是解题的关键；因此此题可根据三角形的高线进行排除选项即可． 【详解】解：根据三角形高线的定义“从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段”可知只有D选项符合边上的高； 故选D． 3. 如图，点E、点F在BC上，，，添加一个条件，不能说明的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要查了全等三角形的判定和性质．根据全等三角形的判定和性质定理，逐项判断，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵， A、添加，满足边角边，可证明，故本选项不符合题意； B、添加，满足边边角，无法证明，故本选项符合题意； C、添加，满足角边角，可证明，故本选项不符合题意； D、添加，满足角角边，可证明，故本选项不符合题意； 故选：B 4. 如图，直线，一块含有30度的直角三角板按如图所示放置．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角性质，平行线的性质．利用对顶角相等求得的度数，再利用三角形的外角性质求得的度数，最后利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：A 5. 如图，这是一株美丽的勾股树，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的边长是3、5、2、3，则最大正方形的面积是（ ） A. 13 B. 47 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理：两条直角边的平方和等于斜边的平方，而正方形的面积等于边长的平方，故可得到以斜边为边长的正方形的面积等于两个以直角边为边长的面积之和． 【详解】由勾股定理得：正方形F的面积=正方形A的面积+正方形B的面积， 同理，正方形G的面积=正方形C的面积+正方形D的面积， ∴正方形E的面积=正方形F的面积+正方形G的面积． 故选B． 【点睛】此题考查的是勾股定理，掌握以直角三角形斜边为边长的正方形的面积等于两个以直角边为边长的正方形面积之和是解决此题的关键． 6. 小明用小棍摆三角形，小棍的长度有8cm，9cm，15cm和18cm四种规格，他已经取了8cm和9cm两根木棍，那么第三根木棍不可能取（ ） A. 8cm B. 9cm C. 15cm D. 18cm 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，先设第三根木棒的长为，再根据三角形的三边关系求出x的取值范围，找出不符合条件的x的值即可． 【详解】解：设第三根木棍长为， 则， 即， ∴第三根木棍不可能取18cm， 故选：D． 7. 下列各组数中，不能作为直角三角形三边长的是（ ） A. 3，4，5 B. 6，8，10 C. 5，12，16 D. 7，24，25 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．根矩定理内容逐一判断即可． 【详解】解：A.，能构成直角三角形； B.，能构成直角三角形； C.，不能构成直角三角形； D. ，能构成直角三角形； 故选：C． 8. 《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高二丈，末折抵地，去根九尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高两丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部9尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断后垂直地面的竹子高度为x尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意画出图形，设折断处离地面的高度为x尺，再利用勾股定理列出方程即可． 【详解】解：如图，设折断处离地面的高度为x尺，则尺，尺， 在中，，即． 故选：C． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图，领会数形结合的思想的应用． 9. 小明用两个全等的等腰三角形与设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，它们关于直线对称，点E，F分别是底边的中点，．下列推断错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了对称的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等；根据轴对称图形的性质可得，从而得到，可判断A，B；过点O作，则，根据题意可得，，再由，可得，从而得到，然后根据轴对称图形的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵它们关于直线对称， ∴， ∴， ∵点E，F分别是底边的中点， ∴，故选项B正确，不符合题意； ∴，故选项A正确，不符合题意； 根据题意无法得到和大小关系，故选项D错误，符合题意； 如图，过点O作，则，   ∵点E，F分别是底边的中点，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵它们关于直线对称， ∴， ∴， ∴，故C选项正确，不符合题意； 故选：D 10. 如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为25，小正方形的面积为5，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（ ） A. 45 B. 44 C. 40 D. 36 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，设直角三角形的两直角边为 a，b，斜边为c，根据图1，结合已知条件得到， ，进而求出，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，直角三角形的两直角边为a，b，斜边为c， ∵图1中大正方形的面积为25，小正方形的面积为5， ∴， ， ∴， ∴图2中大正方形的面积为． 故选∶A 11. 如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P，画射线与交于点D，，垂足为E．则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由作图方法可知，是的角平分线，则由角平分线的定义和性质即可判定A、B；利用勾股定理求出，利用等面积法求出，由此求出即可判断C、D． 【详解】解：由作图方法可知，是的角平分线， ∴，故A结论正确，不符合题意； ∵， ∴，故B结论正确，不符合题意； 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故C结论错误，符合题意； ∴，故D结论正确，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，角平分线的性质和定义，角平分线的尺规作图，灵活运用所学知识是解题的关键． 12. 已知的面积等于18，，则与的面积和等于（ ） A. 7 B. 7.5 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的面积，三角形中线的性质，连接，设，根据三角形中线的性质得出，，根据得出，最后根据的面积等于18即可求出的值，于是问题得解． 【详解】解：如图，连接， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵的面积等于18， ∴， ∴， 即与的面积和等于8， 故选：C． 二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分．只要求填写最后结果） 13. 若等腰三角形的顶角是，则它的一个底角是_______． 【答案】54 【解析】 【分析】本题主要查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形两底角相等，即可求解． 【详解】解：∵等腰三角形的顶角是， ∴它的一个底角是． 故答案为：54 14. 若三角形两边长分别为2，6，则该三角形第三边长a的取值范围是_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要查了三角形的三边关系．根据三角形的三边关系解答，即可． 【详解】解：∵三角形两边长分别为2，6， ∴， 即该三角形第三边长a的取值范围是． 故答案为： 15. 如图，某位同学将一副三角板随意摆放在桌上，则图中的度数______． 【答案】##度 【解析】 【分析】先根据三角形内角和定理得到，再由对顶角相等得到，由此即可得到答案． 【详解】解：如图所示，由题意得，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了对顶角相等，三角板中角度的计算，正确推出是解题的关键． 16. 如图，在中，，，，则_______． 【答案】##65度 【解析】 【分析】本题主要查了等腰三角形的性质．根据等腰三角形的性质可得，再由，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，即， ∴． 故答案为： 17. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=15，斜边AB的垂直平分线与∠CAB的平分线都交BC于D点，则点D到斜边AB的距离为___________. 【答案】5 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=BD，根据等边对等角的性质可得∠B=∠BAD，再根据三角形内角和定理列式求出∠B=30°，设AB的垂直平分线与AB相交于点E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=CD，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得BD=2DE，然后根据BC=CD+BD列式计算即可得解． 【详解】如图， ∵斜边AB的垂直平分线与BC相交于D点， ∴AD=BD， ∴∠B=∠BAD， ∵AD是∠BAC的角平分线， ∴∠BAD=∠CAD， ∵∠C=90°， ∴∠B+∠BAD+∠CAD=90°， 即3∠B=90°， ∴∠B=30°， ∴BD=2DE， ∵BC=15， ∴CD+BD=DE+BD=DE+2DE=3DE=15， ∴DE=5， 即点D到斜边AB的距离为5． 故答案为5． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，综合题，但难度不大，熟记各性质是解题的关键． 18. 如图所示的长方体中，，一只蚂蚁从点处，沿长方体表面爬行到点处吃食，蚂蚁需要爬行的最短路程为___________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了平面展开图，利用勾股定理求最短路径问题，要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答，解答时要进行分类讨论，利用勾股定理是解题的关键． 【详解】①展开正面和右面，如图，连接， ∵长，高， ∴， ②展开正面和上面， 如图，连接， ∴， ③展开左面和上面， ∴， ∴爬行的最短距离为， 故答案为：10． 19. 如图，中，，，，折叠，使点A与点B重合，折痕与交于点D，与交于点E，则的长为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质和勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 设，则，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：由折叠的性质，得， 设，则， 由勾股定理，得， ∴， 解得. 故答案为：3． 20. 如图，在中，的垂直平分线分别交于D、E两点，并且相交于点F，且，则的度数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，根据四边形内角和为求出，根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得到，，进而得到，，结合图形计算，得到答案． 【详解】解：的垂直平分线相交于点， ∴， ∴， ∵的垂直平分线分别交于两点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共7个小题，满分70分．解答应写出计算过程、文字说明或推演步骤） 21. 如图，在四边形中，与交于点O，，垂足分别为点E、F，且，． 请说明：． 【答案】 证明：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，先根据垂直得到，然后根据，得到，然后利用证明，即可得到结论． 【详解】略 22. 数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端A的绳子沿旗杆垂到地面时，测得多出部分的长为（如图1），再将绳子拉直（如图2），测得绳子末端的位置D到旗杆底部B的距离为，求旗杆的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要查了勾股定理的实际应用．设旗杆的长为，则，在中，根据勾股定理列出方程，即可求解． 【详解】解：设旗杆的长为，则， 在中，， ∴， 解得：， 即旗杆的长为． 23. 如图4×4的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，探究在网格中与成轴对称的格点三角形． （1）如图①与成轴对称的格点三角形共有多少个； （2）在②、③、④中各画出一个不同位置的与成轴对称的格点三角形． 【答案】（1）13个 （2） 如图所示：都是符合题意的图形． 【解析】 【分析】此题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键． （1）根据轴对称的性质得到符合的三角形即可； （2）直接利用轴对称图形的性质结合题意作图即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点E，交于点F．求证：． 【答案】 证明：连接， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形．连接，求出，再根据可求出的度数，由直角三角形的性质即可求出．掌握相关性质，是解题的关键． 【详解】略 25. 在下图的每个三角形中，分别按要求作（画）图： （1）在图①中用尺规作出中线； （2）在图②中用尺规作出角平分线； （3）在图③中画出高线； （4）在图①中，若，（C表示周长）且，求的长． 【答案】（1）如图，即为所作； （2） 如图，即为所作； （3） 如图，即为所作； （4）3 【解析】 【分析】（1）作线段的垂直平分线，交于D，连接即为所求； （2）先以A为圆心，任意长为半径作圆，交、于两点，然后再以这两点为圆心，大于两点间距离的一半为半径作弧，两弧交于一点，连接此点和点A，即可得解． （3）由于是钝角三角形，因此高线在的外部，过A点作高交的延长线于点D，即可得到高线； （4）先根据中线得到，然后根据周长差得到，即可解题． 本题主要考查了三角形的中线、高线、角平分线的作法，熟练掌握尺规作图的基本作法，是解答此类题目的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：∵是的中线， ∴， ∴， 又∵， ∴． 26. 如图，在中，，点、在上，延长至使，连接；延长至使，连接，当时，猜想线段与线段的数量关系？并说明理由． 【答案】 解：． 理由：，，， ， ， ， ， ， 又， ≌， ， ， ． 【解析】 【分析】证明≌，由全等三角形的性质可得出，则可得出结论． 【详解】略 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，证明≌是解题的关键． 27. 如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，∠ABC的角平分线BE交AC于点E．点D为AB上一点，且AD＝AC，CD，BE交于点M． （1）求∠DMB的度数． （2）若CH⊥BE于点B，证明：AB＝4MH． 【答案】（1）45°； （2）证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形的两锐角互余可得的度数，根据角平分线的定义可得的度数，根据等边对等角以及三角形的内角和定理可得的度数，进而根据三角形的外角性质可得的度数； （2）根据含30度角的直角三角形的性质，可得，，根据等腰直角三角形的性质可得，进而即可证明 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵BE是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）略 【点睛】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，角平分线的定义，等边对等角以及三角形的内角和定理、三角形的外角性质，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $