精品解析：期中模拟试卷（第二十一章 一元二次方程～第二十三章 旋转）2024-2025学年人教版九年级数学上册

期中模拟试卷（第二十一章 一元二次方程~第二十三章 旋转）2024-2025学年人教版九年级数学上册 时间：90分钟 满分：100分 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据中心对称图形的概念：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度后与原图重合，即可得到答案． 【详解】解：A、是轴对称图形不是中心对称形，故该选项错误； B、是轴对称图形也是中心对称形，故该选项正确； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称形，故该选项错误； D、不是轴对称图形不是中心对称形，故该选项错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，掌握轴对称图形的概念是解题关键． 2. 是方程的根，则式子的值为（ ） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，已知式子的值，代入代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先把代入，得，再代入，进行计算，即可作答． 【详解】解：∵是方程的根， ∴把代入， ∴得， 则， 故选：C． 3. 一元二次方程的解为（ ） A. B. ， C. ， D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ∴， ∴，， 故选：B． 【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，正确计算是解题的关键． 4. 若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A. B. C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义及根的判别式，根据一元二次方程的定义及根的判别式可得且，求解不等式即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根， ∴且， 解得：且 ． 故选：D． 5. 若关于x的方程的两根之和为p，两根之积为q，则关于y的方程的两根之积是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，．根据关于x的方程的两根之和为p，两根之积为q，可以得到关于y的方程的根符合，，然后整理化简，即可解答本题． 【详解】解：设关于y的方程的两根分别为，， ∵关于x的方程的两根之和为p，两根之积为q， ∴，， ∴，， 化简，得：，， 整理可得，， 故选：A． 6. 二次函数的图象与坐标轴的交点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】该题考查函数图象与坐标轴的交点关系．首先用判定图象与轴的交点情况；再判定与轴交点的情况即可解答． 【详解】解：因△判断，图象与轴有一个交点． ∵当时，， ∴函数图象与轴有一个交点， ∴二次函数与坐标轴有2个交点． 故选：C． 7. 将抛物线向上平移2个单位，再向右平移1个单位得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图像的平移，熟练掌握知识点是解题的关键． 按照“上加下减，左加右减”求解即可． 【详解】解：由题意得，平移后的抛物线解析式为：， 即：， 故选：B． 8. 已知二次函数，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③；④；⑤若和均在该函数图象上，且，则．其中正确结论的个数共有（ ）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了抛物线图象综合，根据抛物线开口向下，；对称轴在原点的左边，，得到，，判断；结合图象经过点，对称轴为直线，得到点的对称点为，；根据抛物线与x轴有2个交点，判断；根据函数的最值，判定；根据对称轴，增减性，数形结合思想计算判断即可． 【详解】∵抛物线开口向下， ∴； ∵对称轴在原点的左边， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴交点位于坐标轴上， ∴， ∴； 故①错误； ∵抛物线与x轴有2个交点， ∴， 故②正确； ∵图象经过点，对称轴为直线， ∴点的对称点为， ∴； 故③正确； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴函数有最大值，且最大值为； 当时， 函数， 故； 故④正确； ∵和均在该函数图象上，且， ∴． 故⑤错误； 故选：B． 9. 如图，将绕点顺时针方向旋转得到，且点恰好落在上，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知可得：，，根据已知，∠B+∠C=75゜，从而可求得∠C的度数，再由旋转的性质即可求得结果． 【详解】∵ ∴ 由旋转的性质有：， ∴， ∴ ∵ ∴∠B+∠C=75゜ 即2∠C+∠C=75゜ ∴∠C=25゜ ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理及三角形外角性质等知识，掌握这些知识是关键． 10. 已知二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，有以下结论：①；②若t为任意实数，则有；③当图象经过点时，方程的两根为，（），则，其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】利用抛物线开口方向得到a＞0，利用抛物线的对称轴方程得到，利用抛物线与y轴的交点位置得到c＜0，则可对①进行判断；利用二次函数当x=-1时有最小值可对②进行判断；由于二次函数与直线y=3的一个交点为（1，3），利用对称性得到二次函数y=ax2+bx+c与直线y=3的另一个交点为（-3，3），从而得到x1=-3，x2=1，则可对③进行判断． 【详解】∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线，即， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在x轴下方， ∴， ∴，所以①正确； ∵时，y有最小值， ∴（t为任意实数），即，所以②正确； ∵图象经过点时，代入解析式可得， 方程可化为，消a可得方程的两根为，， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴二次函数与直线的另一个交点为， ，代入可得， 所以③正确． 综上所述，正确的个数是3． 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）． 二、填空题（每题2分，共12分） 11. 已知二次函数，则二次项系数____，一次项系数___． 【答案】 ①. 3 ②. -5 【解析】 【分析】根据二次函数的定义即可求解． 【详解】解：二次函数二次项系数，一次项系数， 故答案为：3；-5． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 12. 在平面直角坐标系中，将点绕原点O逆时针旋转得到点，则点的坐标是_______； 【答案】（3，－2） 【解析】 【分析】根据旋转性质可知，点A和点关于原点对称，由关于原点对称点坐标：点A（x，y）得到解答即可． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，将点A(-3，2)绕原点O旋转180°得到， ∴点A和点关于原点对称， ∴点的坐标为（3，-2）， 故答案为：（3，-2）． 【点睛】本题考查了旋转的性质、坐标与图形变化，掌握关于原点对称的点的坐标：点A（x，y）得到是解答的关键． 13. 将二次函数写成的形式为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的三种形式，熟练掌握配方法是解题的关键． 利用配方法先提出二次项系数，在加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式． 【详解】解：． 故答案为：． 14. 一元二次方程配方后可化为______． 【答案】 【解析】 【分析】先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上16，然后把方程左边写成完全平方形式即可． 【详解】解： 移项得：， 配方得：，即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 15. 观察下列一组方程：①；②；③；④；它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”．若也是“连根一元二次方程”，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数关系，设方程的两根分别是和，根据一元二次方程根与系数关系可得，可得方程的两根，继而根据一元二次方程根与系数关系即可得出的值； 【详解】解：设方程的两根分别是和，，根据一元二次方程根与系数关系可得：， 解得：，则， ∴， ∴， 故答案为： 16. 如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的是________．（填序号） 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与系数的关系，熟练掌握二次函数图象和性质及判别式和根的关系是解题的关键； 根据二次项系数a判定开口方向和大小，一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，常数项c决定抛物线与y轴的交点，抛物线与x轴的交点个数有判别式决定，由以上进行判断即可． 【详解】由抛物线图象可知：抛物线开口往下，对称轴在y轴右侧，与y轴的交点在y轴的正半轴上， ，对称轴为，即，， 故①正确； 抛物线与x轴有两个交点， ， ，故②错误； ， 点A的坐标为，代入解析式得， ∵，等于两边同时除以得，故③正确； 设，， 二次函数的图象与x轴交于A，B两点， 和是方程的两根， ， ， ，故④正确； 综上所述：正确的有①③④， 故答案为：①③④． 三、计算题（共8分） 17. 解方程． （1）（公式法）； （2）（配方法）； （3）（因式分解法）． 【答案】（1）； （2），； （3），． 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程， （1）根据公式法直接求解即可； （2）先将二次项系数化为1，再移项，再进行配方，最后开平方即可求解； （3）先进行移项，再利用平方差公式进行因式分解即可求解． 【小问1详解】 解：， ，，， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解： 两边都除以2，得． 移项，得． 配方，得， 即， 开平方，得， 即，， ∴，． 【小问3详解】 解：原方程可变形为． ∴． ∴，， ∴，． 四、作图题（共4分） 18. 如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，． （1）将绕点逆时针旋转后对应得到，请写出点的坐标． （2）请在图中画出绕点顺时针旋转后的，并求出旋转过程中点所经过的路径长（结果保留根号和． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】本题考查作图旋转变换、点的坐标、弧长公式，熟练掌握旋转的性质、弧长公式是解答本题的关键． （1）根据旋转的性质作出点A、B、C的对应点、、，再根据点的位置写出坐标即可． （2）先利用勾股定理求出的长，再利用弧长公式计算即可． 【小问1详解】 解：如图所示，绕点逆时针旋转后对应得到， ∴，，． 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求， ∵ ∴由勾股定理得，， 旋转过程中点所经过的路径长为． 五、解答题（共46分） 19. 已知关于的一元二次方程． （1）如果是该方程的一个根，求另一个根； （2）如果方程有两个实数根，求的取值范围． 【答案】（1）另一个根为； （2）k的取值范围是且． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根、根与系数的关系、根的判别式． （1）将代入，然后解方程即可得到，再根据根与系数的关系求得另一个根； （2）根据一元二次方程的定义得，根的判别式，可求得k的取值范围． 【小问1详解】 解：将代入得 ， 解方程得：， 故关于x的一元二次方程为：， 解得：， 故另一个根为； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵有两个实数根， ∴， 解之得：， 故k的取值范围是且． 20. 已知二次函数 (，，是常数)的图象过点，点，交轴于点． （1）求点坐标和，的值； （2）抛物线的对称轴为 ； （3）当时，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求得，再运用待定系数法可求出抛物线的解析式，即可求解； （2）根据对称轴公式，即可求解； （3）抛物开口向下，当时，结合函数性质可得出． 【小问1详解】 解：当时，， ； 将点，点代入， 得， 解得 ； 【小问2详解】 解：， 抛物线对称轴为直线． 故答案为：直线． 【小问3详解】 ，抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，取最小值为； 当时取最大值为， 当时，． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 21. 一人一盔安全守规，一人一戴平安常在，某电动自行车配件店经市场调查，发现进价为元的新款头盔每月的销售量（件）与售价x（元）成一次函数关系． （1）若物价局规定，该头盔最高售价不得超过元，当售价为多少元时，利润为元； （2）若获利不得高于进价的，那么售价定为多少元时，月销售利润达到最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）当售价为元时，利润达到元 （2）售价定为元时，月销售利润最大为元 【解析】 【分析】（1）根据利润等于每件的利润乘以销售量，列出方程，即可求解； （2）根据利润等于每件的利润乘以销售量，列出函数关系式，再根据二次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：依题意得， 整理得：， 解得：， ∵物价局规定，该头盔最高售价不得超过100元， ∴不合题意舍去， 答：当售价为元时，利润达到元． 【小问2详解】 设利润为W元，则 ∵，即：， 又∵， ∴当时，， 答：售价定为元时，月销售利润最大为元． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的实际应用，明确题意，准确列出方程或函数关系式是解题的关键． 22. 某款网红产品很受消费者喜爱，每个产品的进价为40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天的销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为个，销售单价为元． （1）直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围． （2）将产品的销售单价定为多少元时，商家每天销售产品获得的利润（元）最大？最大利润是多少元？ （3）该商户从每天的利润中捐出200元做慈善，为了保证捐款后每天剩余利润等于2200元，求销售单价的值． 【答案】（1） （2）将产品的销售单价定为52元时，商家每天销售产品获得的利润（元）最大，最大利润是2640元． （3）为了保证捐款后每天剩余利润等于2200元，销售单价为50元 【解析】 【分析】本题主要了考查二次函数应用，一元二次方程的应用的等知识点， （1）根据题意直接写出y与x之间的函数关系式和自变量的取值范围； （2）根据销售利润销售量（售价进价），列出平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润； （3）根据题意得剩余利润为，利用函数性质求出时的x的取值范围即可； 解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． 【小问1详解】 根据题意，得， 与之间的函数关系式为； 【小问2详解】 根据题意，得． ，又对称轴直线，且， 当时，有最大值，最大值为2640， 将产品的销售单价定为52元时，商家每天销售产品获得的利润（元）最大，最大利润是2640元； 【小问3详解】 依题意可得剩余利润为元． 捐款后每天剩余利润等于2200元， ，即， 解得或（舍去）， 为了保证捐款后每天剩余利润等于2200元，销售单价为50元． 23. 已知抛物线与x轴交于，B，与y轴交于，直线l的解析式为． （1）求抛物线的解析式； （2）若直线l与抛物线只有一个公共点P，试求的面积． 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数综合，熟练掌握待定系数法求二次函数和一次函数解析式，抛物线与直线的交点，根的判别式，是解题的关键． （1）把点，代入抛物线解析式，构造方程组求解即可； （2）由抛物线与直线l：只有一个公共点P，可得，即，得到，解得，从而得到直线l的解析式，进而求得点P的坐标为，根据面积公式即可解答． 【小问1详解】 ∵抛物线过点，， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：． 【小问2详解】 ∵抛物线与直线l：只有一个公共点P， ∴， 即， ∴， 解得：， ∴直线l的解析式为，方程为， 解得，， 则， ∴， ∵时，，或（舍去）， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中模拟试卷（第二十一章 一元二次方程~第二十三章 旋转）2024-2025学年人教版九年级数学上册 时间：90分钟 满分：100分 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A B. C. D. 2. 是方程的根，则式子的值为（ ） A 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 3. 一元二次方程的解为（ ） A. B. ， C. ， D. 4. 若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A. B. C. D. 且 5. 若关于x的方程的两根之和为p，两根之积为q，则关于y的方程的两根之积是（　　） A. B. C. D. 6. 二次函数的图象与坐标轴的交点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 7. 将抛物线向上平移2个单位，再向右平移1个单位得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③；④；⑤若和均在该函数图象上，且，则．其中正确结论的个数共有（ ）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 9. 如图，将绕点顺时针方向旋转得到，且点恰好落在上，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，有以下结论：①；②若t为任意实数，则有；③当图象经过点时，方程的两根为，（），则，其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（每题2分，共12分） 11. 已知二次函数，则二次项系数____，一次项系数___． 12. 在平面直角坐标系中，将点绕原点O逆时针旋转得到点，则点的坐标是_______； 13. 将二次函数写成的形式为________． 14. 一元二次方程配方后可化为______． 15. 观察下列一组方程：①；②；③；④；它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”．若也是“连根一元二次方程”，则的值为______． 16. 如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的是________．（填序号） 三、计算题（共8分） 17 解方程． （1）（公式法）； （2）（配方法）； （3）（因式分解法）． 四、作图题（共4分） 18. 如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，． （1）将绕点逆时针旋转后对应得到，请写出点的坐标． （2）请在图中画出绕点顺时针旋转后的，并求出旋转过程中点所经过的路径长（结果保留根号和． 五、解答题（共46分） 19. 已知关于的一元二次方程． （1）如果是该方程一个根，求另一个根； （2）如果方程有两个实数根，求的取值范围． 20. 已知二次函数 (，，是常数)的图象过点，点，交轴于点． （1）求点的坐标和，的值； （2）抛物线的对称轴为 ； （3）当时，求的取值范围． 21. 一人一盔安全守规，一人一戴平安常在，某电动自行车配件店经市场调查，发现进价为元的新款头盔每月的销售量（件）与售价x（元）成一次函数关系． （1）若物价局规定，该头盔最高售价不得超过元，当售价为多少元时，利润为元； （2）若获利不得高于进价的，那么售价定为多少元时，月销售利润达到最大？最大利润是多少元？ 22. 某款网红产品很受消费者喜爱，每个产品的进价为40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天的销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为个，销售单价为元． （1）直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围． （2）将产品的销售单价定为多少元时，商家每天销售产品获得的利润（元）最大？最大利润是多少元？ （3）该商户从每天的利润中捐出200元做慈善，为了保证捐款后每天剩余利润等于2200元，求销售单价的值． 23. 已知抛物线与x轴交于，B，与y轴交于，直线l的解析式为． （1）求抛物线解析式； （2）若直线l与抛物线只有一个公共点P，试求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$