3.3.1抛物线及其标准方程学案-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.3 抛物线 2．抛物线的标准方程 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2=2px (p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py(p>0) 3.3.1 抛物线及其标准方程 抛物线定义： 叫作抛物线. 叫作抛物线的焦点， 叫作抛物线的准线. 思考1：抛物线的定义中，若点F在直线l上，那么点的轨迹是什么？ 思考2：抛物线方程中p(p＞0)的几何意义是什么？ 例1 （1）已知抛物线的标准方程是，求它的焦点坐标和准线方程； （2）已知抛物线的焦点是，求它的标准方程． 练习1．根据下列条件写出抛物线的标准方程： （1）焦点是； （2）准线方程是； （3）焦点到准线的距离是． 练习2．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 练习3．（1）抛物线上一点M与焦点的距离是，则点M到准线的距离是________，点M的横坐标是________； （2）抛物线上与焦点的距离等于9的点的坐标是________． 例2 一种卫星接收天线如图3.3-3左图所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线．在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处，如图（1），已知接收天线的口径（直径）为4.8m，深度为1m．试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标． 总结：利用抛物线的有关知识解决此问题，操作步骤为： (1)建系：建立适当的坐标系．(2)假设：设出合适的抛物线标准方程． (3)计算：通过计算求出抛物线的标准方程．(4)求解：求出需要求出的量． (5)还原：还原到实际问题中，从而解决实际问题. 变式1.如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有，已知行车道总宽度，那么车辆通过隧道的限制高度为 变式2.如图是抛物线形拱桥，当水面在l处时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为 米． 探究：为什么二次函数 的图象是抛物线？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.3 抛物线3.3.1抛物线及其标准方程 2．抛物线的标准方程 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2=2px (p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py(p>0) 1．抛物线的定义 (1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.定点F叫作抛物线的焦点，定直线l叫作抛物线的准线. 思考1：抛物线的定义中，若点F在直线l上，那么点的轨迹是什么？ 思考1：点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线． 思考2：抛物线方程中p(p＞0)的几何意义是什么？ 思考2：p的几何意义是焦点到准线的距离． 例1 （1）已知抛物线的标准方程是，求它的焦点坐标和准线方程； 解：（1）因为，抛物线的焦点在x轴正半轴上，所以它的焦点坐标是，准线方程是 （2）已知抛物线的焦点是，求它的标准方程． （2）因为抛物线的焦点在y轴负半轴上，且，，所以抛物线的标准方程是． 练习1．根据下列条件写出抛物线的标准方程： （1）焦点是； （2）准线方程是； （3）焦点到准线的距离是． 【详解】（1）由题意可知抛物线的焦点在轴的正半轴上，设抛物线的标准方程为， 则，可得，所以，抛物线的标准方程为； （2）由题意可知抛物线的焦点在轴的正半轴上，设抛物线的标准方程为， 则，可得，因此，抛物线的标准方程为； （3）抛物线的焦点到准线的距离为， 所以，抛物线的标准方程为或. 练习2．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： (1)； (2)； (3)； (4)． (1)解：，，即，抛物线的焦点坐标为，准线方程为． (2)解：，，即，抛物线的焦点坐标为，准线方程为． (3)解：，，即，抛物线的焦点坐标为，准线方程为． (4)解：，，，即，抛物线的焦点坐标为，准线方程为． 练习3．（1）抛物线上一点M与焦点的距离是，则点M到准线的距离是________，点M的横坐标是________； （2）抛物线上与焦点的距离等于9的点的坐标是________． 【详解】(1)由已知结合抛物线定义得点M到准线的距离是a； 抛物线的准线方程为，设的横坐标，于是有，即， 所以点M到准线的距离是a；点M的横坐标是； (2)抛物线的准线，设所求点坐标为， 由(1)知，此时，即， 所以所求点坐标这或. 故答案为：(1)a；；(2)或 例2 一种卫星接收天线如图3.3-3左图所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线．在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处，如图3.3-3（1），已知接收天线的口径（直径）为4.8m，深度为1m．试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标． 解：如图3.3-3（2），在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，焦点在x轴上． 设抛物线的标准方程是．由已知条件得，点A的坐标是，代入方程，得 ， 即． 所以，所求抛物线的标准方程是，焦点坐标是． 变式1.如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有，已知行车道总宽度，那么车辆通过隧道的限制高度为 【解题思路】根据题意，建立平面直角坐标系，即可得到抛物线方程，然后代入计算，即可得到结果. 【解答过程】 取隧道截面，以抛物线的顶点为原点，对称轴为轴，建立直角坐标系， 则，设抛物线方程为 ，将点代入抛物线方程， 可得，则抛物线方程为，行车宽度，将代入抛物线方程， 可得，所以限度为. 变式2.如图是抛物线形拱桥，当水面在l处时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为 米． 解析：建立如图所示的平面直角坐标系， 设抛物线方程为x2＝my， 将A(2，－2)代入x2＝my，得m＝－2． ∴x2＝－2y．将B(x0，－3)代入x2＝－2y，得x0＝或－(舍去)，故水面宽为2米． 探究：为什么二次函数 的图象是抛物线 解析：我们知道，二次函数的图象是抛物线.经过本节的学习我们知道，抛物线是平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）的距离相等的点的轨迹.因此，只要能说明二次函数的图象符合抛物线的几何特征，就解决了为什么二次函数的图象是抛物线的问题.由抛物线与其方程之间的关系可知，如果能用适当的方式将转化为抛物线标准方程的形式，那么就可以说明二次函数的图象是抛物线. 按照这种思路，我们对的右边配方，得 由函数图象平移的性质可以知道，沿向量 平移函数的图象（如图），除了位置外，函数图象不 发生任何变化.平移后的图象对应的函数解析式为 ，即，这个方程表示的曲线是顶点为原点，焦点为（0, ）的抛物线.因此，二次函数的图象是一条抛物线. 学科网（北京）股份有限公司 $$