4.2.2对数运算法则（同步课件）数学人教B版2019必修第二册

4.2 对数与对数函数 4.2.2 对数运算法则 第4章 指数函数、对数函数与幂函数 情境引入 由指数运算的运算法则可知，因此. 尝试与发现：(1)你知道与的值吗？你能算出的值吗？如果设，，则_________，_________，怎样由这两个式子得到？ (2)由指数运算的法则能得出对数运算具有什么运算法则？ 一般地，设，，则，. 由可知，代入与的值， 有. 新知探索 由此可知. 不难看出，上述结论可以推广到真数为有限多个正因数相乘的情形，即 . 特别地，当正因数全部相等时，可得，其中是正整数. 我们还可以由得出，其中为任意实数. 证明：设∵∴. 根据对数与指数间的关系可得： 新知探索 例如，. 另外，由上面两个结论可知 . 例如，_____________. 总的来说，对数运算具有运算法则： 其中，且，，，. ① ； ② ； ③ . 例题 例1 用，，表示下列各式： (1)；(2)；(3). 解(1)：. (2)：. (3)： . 例题 例2 计算下列各式的值： (1)；(2)；(3)；(4). 解(1)：. (2)：. (3)： . 例题 例2 计算下列各式的值： (1)；(2)；(3)；(4). (4)： . 例2说明，利用对数运算的运算法则，可以在不求出对数值的前提下，算出一些含对数的对数式的值. 新知探索 情境与问题：大家可能已经看出，对数值的计算并不容易，比如，，等.事实上，在没有计算器的时代，人们曾花费了大量的精力，求出一些常用对数的近似值,制成表格以供大家查询使用.这样一来，大家就可以根据已知的值和对数运算法则，求出另一些对数的值，例如，由 ，可得出 . 但是我们知道，对数的底可以是任意不等于的正数，那么知道常用对数的值，能不能求出任意对数的值呢？比如，能不能借助，的值算出的值呢? 新知探索 设，则，从而，即，所以 ，也就是说. 一般地，我们有，其中且，，且，这一结果通常被称为换底公式. 计算器或计算机在计算任意对数的值时，是使用换底公式转化为常用对数或自然对数来计算的. 新知探索 一般地，我们有，其中且，，且，这一结果通常被称为换底公式. 证明：设则于是 根据对数的性质：， 我们有：， 即 例题 例3 求的值. 解： . 例4 求证：，其中且，，，且. 解：. 练习 题型一：对数运算性质的应用 例1.(1)若则 等于（ ）. A. B. C. D. 解： 故选A. 练习 例1.(2)①；② ③ 解：①原式 ②原式. ③原式 2. 练习 对数式化简与求值的基本原则和方法： 基本原则：正用或逆用公式，对真数进行处理，一般本着便于真数化简的原则进行. 常用方法： (1)“收”，将同底的两对数的和（差）收成积（商）的对数; (2)“拆”，将积（商）的对数拆成同底的两对数的和（差）. ① ② ③ 练习 变1.(1)（全国卷改编）设，则 A. B. C. D. 解：因为，所以则有所以故选B. 变1.(2)计算下列各式： ①② 解：①原式 ②原式 练习 题型二：换底公式 例2.(1)计算的值. 解：(1)原式 练习 例2.(2)已知用表示的值. 解：(2)∵ ∴ 于是 练习 利用换底公式进行化简的原则和技巧： 原则：化异底为同底 技巧： (1)先进行部分运算，最后再换成同底; (2)借助换底公式一次性统一换为常用对数（自然对数），再化简、通分、求值； (3)利用对数恒等式或常用结论，有时可熟记一些常用结论. 对数换底公式： 且；；，且. 练习 变式2.(1)若则的值为_______. 解：(1)由已知可得即， ∴即 变式2.(2)计算 解：(2)原式 练习 例3.在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度（单位：）和燃料的质量（单位：kg），火箭（除燃料外）的质量（单位：kg）满足(为自然对数的底数).当燃料质量为火箭（除燃料外）质量的两倍时，求火箭的最大速度（单位：）.（） 题型三：对数运算的综合应用 解：∵ ∴2000 故当燃料质量为火箭（除燃料外）质量的两倍时，火箭的最大速度为 练习 变式3.酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量低于的驾驶员可以驾驶汽车，酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶汽车？【参考数据：】 解：设他至少经过个小时后才能驾驶汽车，则， ∴，∴， ∴他至少经过个小时才能驾驶汽车. 课堂小结&作业 课堂小结： (1)对数的运算性质； (2)换底公式. 作业： (1)整理本节课的题型； (2)课本P23的练习，练习； (3)课本P29的习题的第2——5题，习题的第1——4题. 谢谢学习 Thank you for learning $$