2024-2025学年苏科版七年级数学上册期中复习培优卷

2024-2025学年第一学期七年级数学期中复习培优卷 （考试范围：第1章-第3章 满分：130分，用时：120分钟） 班级：_____________ 姓名：________________ 一．选择题（每小题3分，共24分） 1．、两数在数轴上的位置如图，下列结论正确的是　　 A．， B． C．， D． 2．如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上0，1，2，3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示2024的点与圆周上表示哪个数字的点重合？　　 A．0 B．1 C．2 D．3 第1题第2题第3题 3．“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，现将数字填入如图所示的“幻方”中，使得每个圆圈上的四个数字的和都等于21，若每个圆圈上的四个数字的平方和分别记、、，且．如果将交点处的三个圆圈填入的数字分别记作为、、，则的值为　　 A．6 B．10 C．14 D．18 4．数轴上某一个点表示的数为，比小2的数用表示，那么的最小值为　　 A．0 B．1 C．2 D．3 5．如，2，，我们叫集合，其中1，2，叫做集合的元素．集合中的元素具有确定性（如必然存在），互异性（如，，无序性（即改变元素的顺序，集合不变）．若集合，1，，我们说．已知集合，0，，集合，若，则的值是　　 A．2 B． C． D． 6．已知数，，在数轴上的位置如图，下列说法： ①；②；③；④． 其中正确结论序号是　　 A．①④ B．②③ C．②③④ D．①③④ 第6题第7题 7．将一些完全相同的棋子按如图所示的规律摆放，第①个图中有4颗棋子，第②个图中有7颗棋子，第③个图中有12颗棋子，，按此规律，则第⑨个图中棋子的颗数是　　 A．52 B．67 C．84 D．101 8．给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第个数记为为正整数），已知．并规定：，，．则：①；②；③对于任意正整数，成立，以上结论中正确的有　　 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二．填空题（每小题3分，共24分） 9．如图所示，各正方形的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，“◆”位置的数是　　． 10．若一个四位自然数的千位数字与个位数字之和恰好是的百位数字与十位数字之和的2倍，则称这个四位数为“好数”．一个“好数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，．若为整数，是4的倍数，则　　；所有满足条件的的最大值和最小值的差为　　． 11．若四位数满足各位数字均不为0，千位数字与十位数字的和的十倍加上百位数字以及个位数字的和刚好等于150，则称该四位数为“数学满分数”，比如：5298，，则5298是“数学满分数”，定义，对于四位数（，，）是“数学满分数”，则为　　，在此条件下，若能被7整除，则符合题意的最大值与最小值的差为　　． 12．如果一个四位自然数的各数位上的数字均不为0，满足，那么称这个四位数为“天天向上数”．例如：四位数2129，，是“天天向上数”：又如3465，，不是“天天向上数”．若一个“天天向上数”为，则此时　　；若一个“天天向上数”的前三个数字组成的三位数与后三位数字组成的三位数的和能被9整除，则满足条件的数的最大值与最小值的差为　　． 13．我们把13的倍数称为“大吉数”，判断一个数是否是大吉数，可以用的末三位数减去末三位数以前的数字所组成的数，其差记为，如果是“大吉数”，这个数就是“大吉数”．比如：数字253448，这个数末三位是448，末三位以前是253，则，因为，所以是“大吉数”，那么253448也是“大吉数”．若整数（其中，且为整数）是“大吉数”，则　　．若，均为“大吉数”，且，（，，，且、、均为整数），则的最大值为　　． 14．在1、3两个数之间写上两个数之和4，看作第一次操作；再在1、4、3每相邻两个数之间写上两个数之和的，得到和两个数，看作第二次操作；第3次操作就在第二次操作基础上，每相邻两个数之间写上这两个数之和的第4次操作就在第三次操作基础上，每相邻两个数之间写上这两个数之和的；经过4次操作后所有数的和是　　． 15．一个四位正整数，将的千位数字和百位数字分别作为两位数的十位数字和个位数字，将的十位数字和个位数字分别作为两位数的十位数字和个位数字，规定，当能被6整除时，被称为“顺心数”．例如：，则，，，因为36能被6整除，所以1224是“顺心数”．最小的“顺心数”为　　；若“顺心数”（其中，，，，，均为整数），且的各个数位数字之和等于它千位数字的4倍，则的最大值为　　． 16．一个四位正整数，其各个数位上的数字均不为零，如果个位数字等于十位数字与千位数字之和，则称这个四位数为“压轴数”．将“压轴数”的千位数字去掉得到一个三位数，再将这个三位数与原“压轴数”的千位数字的3倍求和，记作．则最大的压轴数与最小的压轴数之差为　　．有两个四位正整数，（，）均为“压轴数”，若能被7整除且能被13整除，则满足条件的值的和为　　． 三．解答题（共82分） 17．（2×5=10分）计算 （1） （2）． 18．（3+4=7分）规定一种新运算“※”，两数，通过“※”运算得，即※，例如：3※，根据上面规定解答下题： （1）求7※的值； （2）7※与※7的值相等吗？ 19．（2+2+2=6分）某检修小组从地出发，在东西向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中七次行驶记录如下．（单位： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 （1）求收工时距地多远？ （2）在第　　次纪录时距地最远． （3）若每千米耗油0.4升，问共耗油多少升？ 20．（2+2+4=8分）某自行车厂为了赶进度，一周计划生产1400辆自行车，平均每天生产200辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入，下表是某周的生产情况（超产为正，减产为负） 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 （1）根据记录可知第一天生产多少辆？ （2）产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少辆？ （3）赶进度期间该厂实行计件工资加浮动工资制度．即：每生产一辆车的工资为60元，超过计划完成任务每辆车则在原来60元工资上再奖励15元；比计划每少生产一辆则在应得的总工资上扣发15元（工资按日统计，每周汇总一次），求该厂工人这一周的工资总额是多少？ 21．（2+2+4=8分）阅读理解，并完成下列各题： 对于数轴上任一点，把与点相距个单位长度的两点所表示的数分别记作和（其中，并把、这两个数叫做“点关于的对称数组”，记作，．例如：原点表示数0，原点关于1的对称数组是，． （1）点表示的数为，则　　； （2）如果，，那么点表示的数是　　，的值是　　； （3）如果点、是数轴上的两个动点，，，，（其中，． 两点同时从原点出发反向运动，当时，求点、之间的距离． 22．（2+2+2+2=8分）分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．用这种方法解决下列问题： （1）当时，求的值． （2）当时，求的值． （3）已知，是有理数，当时，试求的值． （4）已知，是有理数，当时，试求的值． 23．（2+4=6分）定义：对于确定位置的三个数：，，，计算，，，将这三个数的最小值称为，，的“分差”．例如对于1，，3，因为，，，所以1，，3的“分差”为． （1），，1的“分差”为　　； （2）调整“，，1”这三个数的位置，得到不同的“分差”，求这些不同“分差”中的最大值． 24．（2+2+2+2=8分）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小锦在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究： 操作一： （1）折叠纸面，若使1表示的点与表示的点重合，则表示的点与　　表示的点重合； 操作二： （2）折叠纸面，若使2表示的点与表示的点重合，回答以下问题： ①3表示的点与　　表示的点重合； ②若数轴上、两点之间距离为在的左侧），且、两点经折叠后重合，则、两点表示的数分别是　　； 操作三： （3）在数轴上剪下9个单位长度（从到的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是　　． 25．（2+4+4=10分）已知数轴上的点，对应的有理数分别为，，且，点是数轴上的一个动点． （1）求出，两点之间的距离． （2）若点到点和点的距离相等，求出此时点所对应的数． （3）数轴上一点距点7.2个单位长度，其对应的数满足．当点满足时，求点对应的数． 26．（2+2+2+2+2+2=10分）通常把脏衣服用洗衣液清洗后会进行拧干，但由于不可能拧净衣服上的全部污水，所以还需要用清水进行多次漂洗，不断降低衣服中污水的含量．某小组研究了如何用清水漂洗衣服效果更好，部分内容如下，请补充完整：实验研究：先准备几件相同的洗过一次并拧干（存留一些污水）的衣服，把每件衣服分别用一定量的清水浸泡，经过充分搓洗，使清水与衣服上存留的污水混合均匀，然后拧干，视为一次漂洗．称重、记录每次漂洗后衣服上存留的污水重量和比例，如：把一件存留1斤污水的衣服用10斤清水漂洗后，拧干到仍然存留1斤污水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的，在多次实验后，通过对收集的数据进行分析，该小组决定使用20斤清水，采用三种不同的方案，对每件衣服分别进行漂洗，并假设每次拧干后的衣服上都存留约1斤的污水．数据计算：对三种漂洗方案进行计算、比较． 方案一：采用一次漂洗的方式．将20斤清水一次用掉，漂洗后衣服中存有的污物是原来的　　； 方案二：采用两次漂洗的方式，且两次用水量不同．如第一次用12斤清水，第二次用8斤清水，漂洗后衣服中存有的污物是原来的　　； 方案三：采用两次漂洗的方式，且两次用水量相同，每次用10斤清水，漂洗后衣服中存有的污物是原来的　　． 实验结论：对比可知，在这三种方案中，方案　　的漂洗效果最好（填“一”“二”或“三”． 推广证明：将脏衣服用洗衣液清洗后，再用清水进行漂洗，假设每次拧干后还存留斤污水，现用斤清水漂洗（方案二中第一次用水量为斤），请比较并证明方案二与方案三的漂洗效果． 答案与解析 一．选择题（共8小题） 1．、两数在数轴上的位置如图，下列结论正确的是　　 A．， B． C．， D． 【答案】 【考点】数轴；绝对值 【专题】实数；符号意识 【分析】依据题意，根据，两数在数轴的位置，确定，的符号，并利用得到的结论对四个选项进行逐一判断． 【解答】解：由题意：，，的绝对值大于的绝对值． ， ． 选项不正确． 的绝对值大于的绝对值，，， ． 选项不正确． ，， ，． 选项正确． 的绝对值大于的绝对值， ． 选项不正确． 故选：． 【点评】本题主要考查了数轴和绝对值．解题的关键是应用绝对值的几何意义判断数轴上的点对应的数的符号． 2．如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上0，1，2，3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示2024的点与圆周上表示哪个数字的点重合？　　 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】 【考点】数轴 【专题】运算能力；实数 【分析】根据圆的周长为4个单位长度，先求出此圆在数轴上向右滚动的距离，再除以4，然后根据余数判断与圆周上哪个数字重合． 【解答】解：， ， 所以数轴上表示2024的点与圆周上的数字1重合， 故选：． 【点评】本题考查了数轴，找出圆运动的规律与数轴上的数字的对应关系是解答本题的关键． 3．“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，现将数字填入如图所示的“幻方”中，使得每个圆圈上的四个数字的和都等于21，若每个圆圈上的四个数字的平方和分别记、、，且．如果将交点处的三个圆圈填入的数字分别记作为、、，则的值为　　 A．6 B．10 C．14 D．18 【答案】 【考点】有理数的加法；有理数的乘方 【专题】整式；实数；运算能力 【分析】每个圆圈上的四个数字的和都等于21，则三个大圆圈上的数字之和为63，可得，由于，进而得，再结合即可解决问题． 【解答】解：每个圆圈上的四个数字的和都等于21， 三个大圆圈上的数字之和为：， 各小圆圈的数字之和为：， 为什么，这是因为、、都加了两次， ， ， ， ， 而各圆圈的数字的平方和为， 为什么呢？ 这是因为三角形各顶点处三个圆圈内的数字的平方都加了两次， ， ， ， ， ， ， ， ， 将代入得， ， ． 故选：． 【点评】本题考查有理数的乘方和加法运算，整式的运算，乘法公式，掌握有理数的乘方和加法运算法则，以及整式运算法则和乘法公式是解题的关键． 4．数轴上某一个点表示的数为，比小2的数用表示，那么的最小值为　　 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】 【考点】数轴；绝对值 【专题】推理填空题；推理能力 【分析】理解绝对值的定义，如表示数轴上点到2的距离；表示到原点的距离； 【解答】解：比小2的数用表示， ， ， 那么的最小值就是在数轴上找一点到原点和到2的距离最小， 显然这个点就是在0与2之间， 当在区间0与2之间时， 为最小值， 的最小值为2， 故选：． 【点评】本题考查绝对值的定义，难点在于对这个式子的理解并用绝对值意义来解答． 5．如，2，，我们叫集合，其中1，2，叫做集合的元素．集合中的元素具有确定性（如必然存在），互异性（如，，无序性（即改变元素的顺序，集合不变）．若集合，1，，我们说．已知集合，0，，集合，若，则的值是　　 A．2 B． C． D． 【答案】 【考点】绝对值 【专题】探究型；推理能力 【分析】利用新定义，根据元素的互异性、无序性推出只有，从而得出两种情况．讨论后即可得解． 【解答】解：由题意知，0，，由互异性可知，，． 因为，， 由，可得，， 所以，即， 那么就有或者， 当得， 当无解． 所以当时，，0，，，，， 此时符合题意． 所以． 故选：． 【点评】本题考查的是新定义下的探究型题目，关键是理解新定义的含义，再去探究题目． 6．已知数，，在数轴上的位置如图，下列说法： ①；②；③；④． 其中正确结论序号是　　 A．①④ B．②③ C．②③④ D．①③④ 【答案】 【考点】数轴；绝对值 【专题】计算题；数感 【分析】该题根据，，三点在数轴上的位置分析比较代数式的大小． 【解答】解：由题意得：，． ①项：． ． 且． ． 此选项错误，排除． ④项：，，． ． ，． ，． ，，． ，． ；． 此选项正确． 故选：． 【点评】该题考查数轴上实数结合绝对值的大小比较． 7．将一些完全相同的棋子按如图所示的规律摆放，第①个图中有4颗棋子，第②个图中有7颗棋子，第③个图中有12颗棋子，，按此规律，则第⑨个图中棋子的颗数是　　 A．52 B．67 C．84 D．101 【答案】 【考点】规律型：图形的变化类 【专题】规律型；猜想归纳；推理能力 【分析】根据图形的变换规律，即可得到第⑨个图形中，棋子数量为，从而可得答案． 【解答】解：第①个图形中，棋子数量为； 第②个图形中，棋子数量为； 第③个图形中，棋子数量为； 以此类推， 第个图形中，棋子数量为； 第⑨个图形中共有棋子的颗数是， 故选：． 【点评】本题考查图形的变化规律问题，需要找出图形之间的联系，得出运算规律，再利用规律解决问题．解决问题的关键是得到第个图形中，棋子数量为． 8．给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第个数记为为正整数），已知．并规定：，，．则：①；②；③对于任意正整数，成立，以上结论中正确的有　　 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】 【考点】规律型：数字的变化类 【专题】数据分析观念；分类讨论；规律型；猜想归纳 【分析】根据题中规定，分别算出，，，，找到相应规律，可得①是否正确；分别算出，，，，，，得到它们循环的规律，进而计算，可得②是否正确；得到用表示的式子，进而根据为正奇数和正偶数两种情况进行探讨，看等式的左右两边是否相等可得③是否正确． 【解答】解：， ． ． ． ． ． ． 故①正确； 由题意可知， ， ， ， ， ． ． ． ． 故②正确； ， ， ， ， ． 当为正奇数时， ． ． ． 当为正偶数时， ． ． ． 故③正确． 故选：． 【点评】本题考查代数式的变化规律．根据题意分别得到，，的变化规律，是解决本题的关键；难点是得到用表示的代数式． 二．填空题 9．如图所示，各正方形的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，“◆”位置的数是　158　． 【答案】158． 【考点】规律型：数字的变化类 【专题】猜想归纳；推理能力 【分析】观察每个图形中，左上角的数从左向右是连续的偶数，每个图形中第1行中的数左右两个数相差2，每个图形中的第一列的上下两数差2，右下角的数是右上角与左下角两数积减左上角的数，依据此规律解答． 【解答】解：观察每个图形中，左上角的数从左向右是连续的偶数，每个图形中第1行中的数左右两个数相差4， 右边的数是14， 又每个图形中的第一列的上下两数差2， 下面的数是12， 右下角的数是右上角与左下角两数积减左上角的数， “◆”位置的数是， 故答案为：158． 【点评】本题考查规律型：数字的变化类：探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式． 10．若一个四位自然数的千位数字与个位数字之和恰好是的百位数字与十位数字之和的2倍，则称这个四位数为“好数”．一个“好数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，．若为整数，是4的倍数，则　5　；所有满足条件的的最大值和最小值的差为　　． 【答案】5，8082． 【考点】列代数式；整式的加减 【专题】阅读型；模型思想 【分析】根据定义得到，进一步得到；，，是4的倍数，，5或9，进一步计算即可． 【解答】解： ， ， 为整数， ，， ， 是4的倍数， ，5或9， 时，取到最小值，，， ，或2， 的最小值为1239， 时，取到最大值，，， ，或2， 的最大值为9321， ． 故答案为：5，8082． 【点评】本题考查了数字类规律、分式的运算等知识，读懂题意求出；是解题的关键． 11．若四位数满足各位数字均不为0，千位数字与十位数字的和的十倍加上百位数字以及个位数字的和刚好等于150，则称该四位数为“数学满分数”，比如：5298，，则5298是“数学满分数”，定义，对于四位数（，，）是“数学满分数”，则为　　，在此条件下，若能被7整除，则符合题意的最大值与最小值的差为　　． 【答案】1，2376． 【考点】整式的加减 【专题】创新意识；探究型；新定义 【分析】把所给的四位数整理成千位上的数字百位上的数字个位上的数字个位数字的形式，判断出各个数位上的数字；进而根据新定义推理得到和具体的数值，相除即可求得它们的商； 根据前面得到的条件用2个未知数，表示出，进而根据能被7整除以及，的取值范围判断出和可能的值，再判断出，的值，即可得到符合题意的的最大值和最小值，相减即可． 【解答】解：， 的千位上的数字为：，百位上的数字为：，十位上的数字为：，个位上的数字为：， 是“数学满分数”， ， ， ， ， ∵，，，且，，，均为正整数， 当时，； 当时，； ． 最大为：， ，． ． ，， ，， ， ， 能被7整除， 为整数， ，，， 当时，，此时，； 当时，，此时，； 当时，，此时，； 当时，，此时，， ，，，时的值最大，此时； ，，，时的值最小，此时． 符合题意的最大值与最小值的差为． 故答案为：1，2376． 【点评】本题考查整式的相关知识．理解并应用新定义是解决本题的关键；经过推理得到和具体的数值是解决本题的难点． 12．如果一个四位自然数的各数位上的数字均不为0，满足，那么称这个四位数为“天天向上数”．例如：四位数2129，，是“天天向上数”：又如3465，，不是“天天向上数”．若一个“天天向上数”为，则此时　3　；若一个“天天向上数”的前三个数字组成的三位数与后三位数字组成的三位数的和能被9整除，则满足条件的数的最大值与最小值的差为　　． 【考点】整式的加减 【专题】新定义；运算能力 【分析】根据“天天向上数”定义计算即可得出的值，根据“天天向上数”的定义得出，由题意得出，结合、、、的取值得出或或，再分别求解即可得出答案． 【解答】解：一个“天天向上数”为， ， ， 解得：； 如果一个四位自然数的各数位上的数字均不为0，满足，那么称这个四位数为“天天向上数”， ， ， 一个“天天向上数”的前三个数字组成的三位数与后三位数字组成的三位数的和能被9整除， ， 为正整数）， 由题意得：，，，， ， 的和为偶数， 或或， 当时，解得或或或， ， 当时，此时、无符合题意的取值，不符合题意； 当时，此时，，即这个“天天向上数”为3358， 当时，此时，，即这个“天天向上数”为5266， 当时，此时，，即这个“天天向上数”为7174； 当时，解得或或或， ， 当时，此时，，即这个“天天向上数”为2899， 当时，此时、无符合题意的取值，不符合题意； 当时，此时、无符合题意的取值，不符合题意； 当时，此时、无符合题意的取值，不符合题意； 当时，解得， ， 当时，此时、无符合题意的取值，不符合题意； 综上所述，符合题意的“天天向上数”为3358，5266，7174，2899， ， ， 故答案为：3，4275． 【点评】本题考查了新定义运算、整式的加减的应用，理解“天天向上数”定义和较强的运算能力是解此题的关键． 13．我们把13的倍数称为“大吉数”，判断一个数是否是大吉数，可以用的末三位数减去末三位数以前的数字所组成的数，其差记为，如果是“大吉数”，这个数就是“大吉数”．比如：数字253448，这个数末三位是448，末三位以前是253，则，因为，所以是“大吉数”，那么253448也是“大吉数”．若整数（其中，且为整数）是“大吉数”，则　　．若，均为“大吉数”，且，（，，，且、、均为整数），则的最大值为　　． 【答案】91；819． 【考点】整式的加减 【专题】运算能力；整式 【分析】根据“大吉数的”的定义可分别表示和，再根据“大吉数”的定义可得出，的值，进而可得出结论． 【解答】解：整数（其中，且为整数）是“大吉数”，且， 是13的倍数， ，即； 为“大吉数”，，（，，，且、、均为整数）， ， 为13的倍数， ， ； 均为“大吉数”，， 当时，， 是13的倍数， 当时，，此时； 当时，；此时； 或， ；或， 的最大值为819； 故答案为：91；819． 【点评】本题考查新定义的运算及整除问题，解题的关键是正确理解新定义，求出，的值是解题关键． 14．在1、3两个数之间写上两个数之和4，看作第一次操作；再在1、4、3每相邻两个数之间写上两个数之和的，得到和两个数，看作第二次操作；第3次操作就在第二次操作基础上，每相邻两个数之间写上这两个数之和的第4次操作就在第三次操作基础上，每相邻两个数之间写上这两个数之和的；经过4次操作后所有数的和是　32　． 【答案】32． 【考点】规律型：数字的变化类 【专题】推理能力；计算题 【分析】按照题干操作，列举出第四次操作的结果，再计算即可得解． 【解答】解：设每一次操作之后所有数的和为， 第一次操作：1，4，3， ， 第二次操作：1，，4，，3， ， 第三次操作：1，，，，4，，，，3， ， 此时我们可以发现每次增加的数比前一次多2， 所以， 第四次操作：1，，，，，，，，4，，，，，，，，3， ， 所以经过4次操作后所有数的和是32； 故答案为：32． 【点评】本题主要考查了数字规律探究，列举法操作对比数据是解题关键， 15．一个四位正整数，将的千位数字和百位数字分别作为两位数的十位数字和个位数字，将的十位数字和个位数字分别作为两位数的十位数字和个位数字，规定，当能被6整除时，被称为“顺心数”．例如：，则，，，因为36能被6整除，所以1224是“顺心数”．最小的“顺心数”为　　；若“顺心数”（其中，，，，，均为整数），且的各个数位数字之和等于它千位数字的4倍，则的最大值为　　． 【答案】1014，6729． 【考点】整式的加减 【专题】运算能力；推理能力；整式；新定义 【分析】为了使最小，千位数最小为1，百位数最小为0，十位数最小是1，即，然后找出个位数字；由题意可知，的千位数字是，百位数字是，十位数字是，个位数字是，那么有，因为是“顺心数”，是6的倍数，即是6的倍数，所以推出，是2的倍数，因为，为了大一些，那么取2，从而得出的最大值． 【解答】解：是一个正四位数，为了使最小， 千位数最小为1，百位数最小为0，即， 为了使最小，能被6整除，且为两位数， 当的十位数为1，个位数取0时， ，不能被6整除， 当的十位数为1，个位数取1时， ，不能被6整除， 当的十位数为1，个位数取2时， ，不能被6整除， 当的十位数为1，个位数取3时， ，不能被6整除， 当的十位数为1，个位数取4时， ，能被6整除， 最小的“顺心数”为1014； （其中，，，，，均为整数）， 由题意可知，的千位数字是，百位数字是，十位数字是，个位数字是， 的各个数位数字之和等于它千位数字的4倍， ，即， 是“顺心数”， 是6的倍数， 即是6的倍数， ， ， 是6的倍数，且，，均为整数， 必须是6，可以是2，4，6，8， ， 为了使最大，要越大越好，那么越小越好， ， 当，时， ， ，满足， 此时，，， ， ，96是6的倍数， 所以6729是“顺心数”， 故的最大值是6729． 故答案为：1014，6729． 【点评】本题考查了“顺心数”的定义，6的倍数特征，以及列举法、排除法解题，解题的关键是找到的千位、百位、十位、个位数字分别是谁，正确理解“顺心数”的定义． 16．一个四位正整数，其各个数位上的数字均不为零，如果个位数字等于十位数字与千位数字之和，则称这个四位数为“压轴数”．将“压轴数”的千位数字去掉得到一个三位数，再将这个三位数与原“压轴数”的千位数字的3倍求和，记作．则最大的压轴数与最小的压轴数之差为　　．有两个四位正整数，（，）均为“压轴数”，若能被7整除且能被13整除，则满足条件的值的和为　　． 【答案】7807；9507． 【考点】整式的加减；列代数式 【专题】运算能力；整式 【分析】根据定义得出最大的“压轴数”与最小的“压轴数”，计算即可；根据定义计算出和，然后根据能被7整除且能被13整除，即可求解． 【解答】解：要想使“压轴数”最大，则千位是最大的一位数， 又各个数位上的数字均不为零，个位数字等于十位数字与千位数字之和， 千位不能为9，即千位最大是8，最小是1， 最大的“压轴数”是8919，最小的“压轴数”是1112， 最大的“压轴数”与最小的“压轴数”之差为， ，， ，， 个位数字等于十位数字与千位数字之和， ，， ，， ， ， 能被7整除且能被13整除， 能被7整除，能被13整除， ， ， 能被7整除， ， 当，时，能被7整除，此时， 当，时，能被7整除，此时， 其余取值均不符合， 满足条件的值的和为． 故答案为：7807，9507． 【点评】本题主要考查了列代数式、整式的加减等知识点，能正确理解题意并列出代数式是解决本题的关键． 三．解答题（共11小题） 17．计算 （1） （2）． 【考点】：有理数的混合运算 【分析】（1）根据幂的乘方、有理数的乘除法和减法可以解答本题； （2）先把除法转化为乘法，再根据乘法分配律即可解答本题． 【解答】解：（1） ； （2） ． 【点评】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． 18．规定一种新运算“※”，两数，通过“※”运算得，即※，例如：3※，根据上面规定解答下题： （1）求7※的值； （2）7※与※7的值相等吗？ 【考点】：有理数的混合运算 【专题】23：新定义 【分析】（1）把所给定义式中的换成7、换成代入计算即可． （2）根据（1）中所给的定义先分别计算出7※与※7的值，然后比较计算结果即可． 【解答】解：（1）7※ （2）不相等．理由是： ※，※， 即： ※与※7的值不相等． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是理解所给运算的意义、运算顺序． 19．某检修小组从地出发，在东西向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中七次行驶记录如下．（单位： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 （1）求收工时距地多远？ （2）在第　五　次纪录时距地最远． （3）若每千米耗油0.4升，问共耗油多少升？ 【考点】正数和负数；有理数的加减混合运算 【专题】应用题 【分析】（1）收工时距地的距离等于所有记录数字的和的绝对值； （2）分别计算每次距地的距离，进行比较即可； （3）所有记录数的绝对值的和升，就是共耗油数． 【解答】解：（1）； （2）由题意得，第一次距地4千米；第二次距地千米；第三次距地千米；第四次距地千米；第五次距地千米；而第六次、第七次是向相反的方向又行驶了共7千米，所以在第五次纪录时距地最远； （3）． 【点评】此题主要考查正负数在实际生活中的应用，所以学生在学这一部分时一定要联系实际，不能死学． 20．某自行车厂为了赶进度，一周计划生产1400辆自行车，平均每天生产200辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入，下表是某周的生产情况（超产为正，减产为负） 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 （1）根据记录可知第一天生产多少辆？ （2）产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少辆？ （3）赶进度期间该厂实行计件工资加浮动工资制度．即：每生产一辆车的工资为60元，超过计划完成任务每辆车则在原来60元工资上再奖励15元；比计划每少生产一辆则在应得的总工资上扣发15元（工资按日统计，每周汇总一次），求该厂工人这一周的工资总额是多少？ 【考点】正数和负数 【专题】运算能力 【分析】（1）根据有理数的加法，可得答案； （2）根据最大数减最小数，可得答案； （3）根据每辆的价格乘以数量，可得基本工资，根据每辆的奖金乘以超额的数量，可得奖金，根据工资加奖金，可得答案． 【解答】解：（1）（辆， 答：第一天生产204辆； （2）（辆， 答：产量最多的一天比产量最少的一天多生产26辆； （3） （元， 答：该厂工人这一周的工资总额是84450元． 【点评】本题考查了正数和负数，利用了有理数的加减法运算，利用工资加奖金等于实际收入是解题关键． 21．阅读理解，并完成下列各题： 对于数轴上任一点，把与点相距个单位长度的两点所表示的数分别记作和（其中，并把、这两个数叫做“点关于的对称数组”，记作，．例如：原点表示数0，原点关于1的对称数组是，． （1）点表示的数为，则　，　； （2）如果，，那么点表示的数是　　，的值是　　； （3）如果点、是数轴上的两个动点，，，，（其中，． 两点同时从原点出发反向运动，当时，求点、之间的距离． 【答案】（1），； （2）1014，1010； （3）或． 【考点】绝对值；数轴 【专题】运算能力；创新题型 【分析】（1）根据题意，与点相距7个单位长度的两点是，5．所以点关于7的对称数组是，； （2），表示与点相距个单位长度的两个点分别是4和2024，那么点即为这两点的中点，进而可计算； （3）设点、表示的数分别为、．根据题意可得：，，，，进而由得出，计算求解即可． 【解答】解：（1）根据题意，，； 故答案为：，； （2）点表示的数为：，； 故答案为：1014，1010； （3）设点、表示的数分别为、．根据题意可得：，，，， ， ， ①当时， 解得：； ②当时， 解得：． 综上所述：点、之间的距离是或． 【点评】本题主要考查了数轴和绝对值的有关内容，关键在于理解新定义，正确列式计算． 22．分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．用这种方法解决下列问题： （1）当时，求的值． （2）当时，求的值． （3）已知，是有理数，当时，试求的值． （4）已知，是有理数，当时，试求的值． 【答案】（1）1； （2）； （3）； （4）0，． 【考点】有理数的混合运算 【专题】实数；运算能力 【分析】（1）直接将代入求出答案； （2）直接将代入求出答案； （3）分别利用，或，分析得出答案； （4）分别利用当，，三个字母中有一个字母小于0，其它两个字母大于0，当，，都小于0，分析得出答案． 【解答】解：（1）当时，； （2）当时，； （3）若，是有理数，当时，分两种情况： 当，时， ， 当，时， 当时，的值为； （4）若，是有理数，当时，分2种情况： ①当，，三个字母中有一个字母小于0，其它两个字母大于0时，， ②当，，时，， 综上所述，的所有可能的值为0，． 【点评】此题主要考查了绝对值，正确分类讨论得出是解题关键． 23．定义：对于确定位置的三个数：，，，计算，，，将这三个数的最小值称为，，的“分差”．例如对于1，，3，因为，，，所以1，，3的“分差”为． （1），，1的“分差”为　　； （2）调整“，，1”这三个数的位置，得到不同的“分差”，求这些不同“分差”中的最大值． 【考点】有理数的减法 【专题】分类讨论；计算题；实数；运算能力 【分析】（1）按“新定义”代入三个代数式求值再比较大小． （2）三个数根据位置不同可得6种组合，除第（1）题的顺序，计算其余五种情况的“分差”，再比较大小． 【解答】解：（1），， ，，， ，，1的“分差”为， 故答案为：； （2）①若，，， ，，， ，1，的“分差”为， ②若，，， ，，， ，，1的“分差”为， ③若，，， ，，， ，1，的“分差”为， ④若，，， ，，， ，，的“分差”为， ⑤若，，， ，，， ，，的“分差”为1， 综上所述，这些不同“分差”中的最大值为1． 【点评】本题考查了有理数的减法，解决本题的关键是准确分类计算． 24．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小锦在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究： 操作一： （1）折叠纸面，若使1表示的点与表示的点重合，则表示的点与　3　表示的点重合； 操作二： （2）折叠纸面，若使2表示的点与表示的点重合，回答以下问题： ①3表示的点与　　表示的点重合； ②若数轴上、两点之间距离为在的左侧），且、两点经折叠后重合，则、两点表示的数分别是　　； 操作三： （3）在数轴上剪下9个单位长度（从到的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是　　． 【答案】（1）3；（2）①，②，6；（3），1.5或． 【考点】数轴 【专题】阅读型；推理能力；数据分析观念；运算能力；构造法 【分析】（1）根据对称性与1重合，可以得出折痕的点为原点； （2）根据对称性找到折痕的点为，①设3表示的点与数表示的点重合，根据对称性列式求出的值；②因为，所以到折痕的点距离为8，因为折痕对应的点为，由此得出、两点表示的数； （3）分三种情况进行讨论：设折痕处对应的点所表示的数是，计算出对应的的值即可． 【解答】解：（1）操作一： 表示的点1与表示的点重合，折痕为原点，则表示的点与3表示的点重合； （2）操作二：折叠纸面，若使2表示的点与表示的点重合，则折痕表示的点为， ①设3表示的点与数表示的点重合，则．； ②数轴上、两点之间距离为 16， 数轴上、两点到折痕的距离为8， 在的左侧，则、两点表示的数分别是和6； （3）操作三：设折痕处对应的点所表示的数是， 如图1，当时，设，，， ， ，，． ， 设折痕处对应的点所表示的数是如图1， 如图2，当时，设，，， ， ，，， 如图 3，当时，设，，， ， ，，，． ， 综上所述，折痕点可能的数是：，1.5或． 故答案是：（1）3；（2）①，②，6；（3），1.5或． 【点评】本题主要考查的是折叠，同时应用了数轴和线段的和差，确定数轴的折点事本题的关键． 25．已知数轴上的点，对应的有理数分别为，，且，点是数轴上的一个动点． （1）求出，两点之间的距离． （2）若点到点和点的距离相等，求出此时点所对应的数． （3）数轴上一点距点7.2个单位长度，其对应的数满足．当点满足时，求点对应的数． 【答案】（1）12，（2），（3）或． 【考点】非负数的性质：偶次方；数轴；非负数的性质：绝对值 【分析】（1）根据初中阶段学的，可求解、的值； （2）根据两点间的中点坐标公式，即可求出点对应的数； （3）根据已知条件求出点表示的数，再设未知数，表示和，根据列方程即可． 【解答】（1），， 又， ，， ，， ，， 点对应的数为2，点对应的数为， 的距离． （2）到，的距离相等， 为中点， 点对应的数为：． （3）距离点7.2个单位长度， 对应的数为：或， 又，，即和异号， ， ， 设点对应的数为， 则，， ， ， 或， 解方程得，或． 综上所述，点对应的数为或． 【点评】本题考查了数轴、中点坐标公式以及用方程思想解决数轴问题，注意分情况讨论是解决本题的关键． 26．通常把脏衣服用洗衣液清洗后会进行拧干，但由于不可能拧净衣服上的全部污水，所以还需要用清水进行多次漂洗，不断降低衣服中污水的含量．某小组研究了如何用清水漂洗衣服效果更好，部分内容如下，请补充完整：实验研究：先准备几件相同的洗过一次并拧干（存留一些污水）的衣服，把每件衣服分别用一定量的清水浸泡，经过充分搓洗，使清水与衣服上存留的污水混合均匀，然后拧干，视为一次漂洗．称重、记录每次漂洗后衣服上存留的污水重量和比例，如：把一件存留1斤污水的衣服用10斤清水漂洗后，拧干到仍然存留1斤污水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的，在多次实验后，通过对收集的数据进行分析，该小组决定使用20斤清水，采用三种不同的方案，对每件衣服分别进行漂洗，并假设每次拧干后的衣服上都存留约1斤的污水．数据计算：对三种漂洗方案进行计算、比较． 方案一：采用一次漂洗的方式．将20斤清水一次用掉，漂洗后衣服中存有的污物是原来的　　； 方案二：采用两次漂洗的方式，且两次用水量不同．如第一次用12斤清水，第二次用8斤清水，漂洗后衣服中存有的污物是原来的　　； 方案三：采用两次漂洗的方式，且两次用水量相同，每次用10斤清水，漂洗后衣服中存有的污物是原来的　　． 实验结论：对比可知，在这三种方案中，方案　　的漂洗效果最好（填“一”“二”或“三”． 推广证明：将脏衣服用洗衣液清洗后，再用清水进行漂洗，假设每次拧干后还存留斤污水，现用斤清水漂洗（方案二中第一次用水量为斤），请比较并证明方案二与方案三的漂洗效果． 【答案】，，；三；方案三的漂洗效果最好，证明见解答． 【考点】有理数的混合运算 【专题】实数；推理能力；运算能力 【分析】数据计算：分别计算出三种方案漂洗后衣服中存有的污物与原来的污物关系即可解答； 实验结论：比较数据计算得出的数据，即可作出判断； 推广证明：先用字母表示出三种方案漂洗后衣服中存有的污物与原来污物间的关系，再利用求差法比较即可解决问题． 【解答】解：数据计算： 方案一：漂洗后衣服中存有的污物是原来的； 方案二：漂洗后衣服中存有的污物是原来的； 方案三：漂洗后衣服中存有的污物是原来的， 故答案为：，，； 实验结论： ， 方案三的漂洗效果最好． 故答案为：三； 推广证明： 方案一：漂洗后衣服中存有的污物是原来的； 方案二：漂洗后衣服中存有的污物是原来的； 方案三：漂洗后衣服中存有的污物是原来的， ， 方案三比方案一漂洗效果好； ， 当时，， 方案三比方案二漂洗效果好， 综上所述，方案三的漂洗效果最好． 【点评】本题考查有理数的混合计算及应用，理解题意，列出算式，并准确计算是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$