4.2 角 讲义 2024-—2025学年北师大版七年级数学上册

和娜姐一起学数学《基本平面图形》——角 知识点一：角及其表示方法 １、有公共端点的两条射线组成的图形叫做角； 这个公共端点是角的顶点，点称为顶点. 这两条射线是角的两条边，射线、称为是角的边. ２、角也可以看作一条射线绕端点旋转所组成的图形. 【注意】在不做特别说明的情况下，我们说的角都指不大于平角的角. ３、角的表示方法（角用符号“”表示，读作“角”）： （1）用三个大写字母及符号“”来表示(中间的字母表示顶点，其它两个字母分别表示角的两边上的点) （2）用一个数字及符号“”来表示 （3）用一个希腊字母及符号“”来表示 （4）用顶点字母及符号“”来表示（顶点处只能有一个角） 如下图： 知识点二：角的度量 １、角的度量单位有度、分、秒. 以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制. 把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作； 把1度的角60等分，每一份叫做1分的角，记作； 把1分的角60等分，每一份叫做1秒的角，记作； 2、度、分、秒之间的转换 1周角，一平角 ，， ， 【例】填空 （1）　　　′=　　　° （2）　　　°　　　′　　　″ （3）　　　　° （4）　　　°　　　′ 分析：（1）， 　　　 所以 （2），， 　　　 所以 （3），， 所以. （4） 3、时钟上的角度 时针，12小时转，1小时转，1分钟转； 分针，1小时转，1分钟转. 知识点三：角的比较与运算 1、在放大镜下，一个角的度数不会改变； 角的大小与角的两边画出的长短没有关系. 2、角的大小比较的主要方法： （1）度量法 　　①“中”：角的顶点对量角器的中心； 　　②重合：角的一边与量角器的零线重合； 　　③读数：读出角的另一边所对的度数. （2）叠合法 　　①对顶点：使角的顶点重合； 　　②对一边，叠合：放一边同侧； 　　③看另一边的位置作判断.　如下图所示： 3、角的和、差： 如右图： ，或 ，或 ，或 知识点四：角的平分线 １、从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线. 如右图中， 是的角平分线， 有 或. ２、尺规作角平分线 （1）以点为圆心，任意长为半径画弧交于点，交于点. （2）分别以点、为圆心，以大于长为半径画弧，两弧在内交于点. （3）作射线. 射线就是的平分线. 知识点五：余角和补角 １、如果两个角的和等于（直角），就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角. ２、如果两个角的和等于（平角），就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角. ３、性质： 　　同角或等角的补角相等 同角或等角的余角相等 知识点六：方位角 如右图中，射线的方向可以表示为“北偏东”； 射线的方向可以表示为“南偏东”. 【说明】如果是北偏东，我们通常称为“东北方向”； 如果是南偏西，我们通常称为“西南方向”. 巩固练习 1、下列说法正确的是( ) A.角的边越长，角越大 B.在一边的延长线上取一点D C. D.以上都不对 2、赵师傅透过放大5倍的放大镜从正上方看的角，则通过放大镜他看到的角等于（ ）度. A. B. C. D. 3、下列图中角的表示方法正确的个数有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4、一个角的内部从顶点引出4条射线，则此时构成的角的个数有( ) A.5个     B.6个  C.10个   D.15个 5、,,,则______°, 依据是 . 6、如图，是一副三角板重叠而成的图形， 则_____________. 7、已知是一个平角，是它的角平分线，、又分别是、的平分线，则∶为( ) A. 1∶1 B. 1∶2 C. 2∶1 D. 1∶3 8、如图，军舰从港口沿方向航行，它的方向是( ) A.东偏南 B.南偏东 C.南偏西 D.北偏东 9、甲从O点出发，沿北偏西走了50米到达A点，乙也从O点出发，沿南偏东方向走了80米到达B点，则为( ) A. B. C. D. 10、如图，、分别是和的平分线， . ① 度. ②当OC在内绕点O转动时，的值　 改变.（填“会”或“不会”） 11、如图，点A、O、E在同一直线上，，，平分，则的度数为( ) A. B. C. D. 12、钟表上2时15分时，时针与分针的夹角为( ) A. B. C. D. 13、小云晚上9:30回家，这时分针与时针所成的角的度数为( ) A. B. C. D. 14、把下图中的同一个角用不同的方法表示出来，并填入下表： 15、一条射线，再引射线和射线，使，，= . 16、如右图与都是直角，如果，则是( ). A. B. C. D. 17、 = ′= ″； = 平角= 周角. 18、计算： （1）________分=_________秒； （2）________分=________度. 19、如右图，，，，则_____________. 20、比较与的大小，正确的是（ ） A. B. C. D. 不能确定 21、（1） ° ；（2）_______°________′________″. （3）_______°________′ ； （4）________°_________′. （5）计算：__________________. 22、如图所示，是一条线段，有一只蚂蚁从点出发，按顺时针方向沿着图中实线爬行，最后又回到点，则蚂蚁共转了___________度的角. 23、如右图： （1）图中共有 个小于平角的角，能用一个字母标记的角是 . （2）以为顶点的角有 个，它们是 . （3）若经过测量，，，则是的 . 24、一个角的余角比它的补角的还少，求这个角. 25、一个角的补角比它的余角的倍还多，求这个角的度数. 26、如图，已知，平分， ，求的度数. 27、如图所示，点是直线上一点，，分别平分和，若，则和是多少度？ 28、如图，是平角，，，平分； （1）求的度数；（2）是的平分线吗？为什么？ 29、已知：如图，，，是的平分线，求的度数. 30、如图所示，OB是的平分线，OD是的平分线. （1）如果，， 那么是多少度？ （2）如果，，那么是多少度？ 31、如下图，在已知角内画射线，画1条射线，图中共有 个角；画2条射线，图中共有 个角；画3条射线，图中共有 个角，求画条射线所得的角的个数 . 参考答案 1、D 2、A 3、B 4、D 5、40，同角的余角相等 6、 7、D 8、D 9、C 10、42，不会 11、D 12、C 13、B 14、从左向右依次是：，，，， 15、或 16、A 17、9，540，， 18、（1）15，900 （2）45，0.75 19、 20、A 21、（1）23.5 （2）78，21，36 （3）19，59 （4）44，52 （5）35，34，32 22、1080 23、（1）7，， （2）3，，， （3）平分线 24、 25、 26、 27、， 28、（1） （2）OE是∠BOC的平分线.（通过计算，可以得） 29、 30、（1） （2） 31、3，6，10， 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 1 2 3 A B C D E � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� 图8-3 ∠1� � � EMBED Equation.3 ���� � ∠3� � � ∠2� � ∠D� � � $$