二次函数的存在性问题讲义2024-2025学年北师大版数学九年级下册

二次函数的存在性问题 【学习目标】 能够解决二次函数背景下平行四边形、直角三角形、矩形、相似三角形的存在性问题． 【教学重难点】 能够正确地进行分类讨论，对可能出现的情况做到既不重复，也不遗漏． 考点1：抛物线中的平行四边形存在性问题 知识点与方法技巧梳理： 考查较多的一般是已知两个定点，确定平行四边形另两个顶点的坐标．两定点连接的线段可以为平行四边形的边，也可以为平行四边形的对角线．可以借助画草图来进行分析． （1） 当线段为平行四边形的边时，可以利用对边平行且相等，得到对应点的横、纵坐标之差相等或平移线段来求点的坐标； （2） 当线段为平行四边形的对角线时，可以利用平行四边形的对角线互相平分和中点坐标公式，建立方程组求点的坐标． 【例1】如图，抛物线y＝ax 2＋bx＋c经过A（－1，0），B（3，0），C（0，－1）． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点P是抛物线上一点，点Q是y轴上一点，使得以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求出所有满足条件的点P的坐标． y O x C A B 【变式1】如图，抛物线y＝ax 2＋bx＋8经过点A（－6，0）、B（4，0），与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）若点D为BC的中点，点E为线段AB上一动点，连接DE．在抛物线的对称轴上是否存在点F，使得以C、D、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由． x C D y O E A B 【变式2】抛物线y＝ax 2－x－2与x轴交于A（－1，0），B两点，与y轴交于点C，点P是第四象限内抛物线上的一点． （1） 求抛物线的解析式； （2） 如图1，过P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．设点D的横坐标为m,当PE= BE时，求m的值； （3）如图2点F（1，0），连接CF并延长交直线PD于点M，点N是x轴上方抛物线上的一点，在（2）的条件下，x轴上是否存在一点H，使得以F，M，N，H为顶点的四边形是平行四边形．若存在，直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 考点2：抛物线中的直角三角形存在性问题 知识点与方法技巧梳理： 一般是已知两个定点，且这两定点是抛物线与坐标轴的交点，分类讨论时，这两点可以成为直角顶点，通过斜率互为负倒数或构造相似，求出直线的解析式，与抛物线联立求出第三点的坐标，这种情况比较简单，不再举例； 如果待求的顶点在抛物线上，且是直角顶点时，一般通过构造K型相似，设第三点的坐标，根据对应边成比例列出方程，注意把抛物线的解析式由一般式化成两点式，以便分子、分母约分，得到一个一元二次方程，否则将会得到高次方程． 【例2】如图，抛物线y＝－x 2＋2x＋3与y轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，点P在抛物线上，使∠APB＝90°，求点P的横坐标．y O A B x 【变式1】如图直线y＝x－5分别与x轴、y轴交于点A、B，抛物线y＝－x 2＋bx＋c经过A、B两点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点C是线段AB上不同于A、B的一点，点D是抛物线上一点，且C、D两点关于x轴对称，求线段CD的长； （3）在（2）的条件下，在抛物线上找一点P，使△APD为直角三角形，求点P的横坐标． O A x y B 【变式2】如图，二次函数y＝ax 2－4x＋c（a≠0）的图象与x轴交于点A、B（3，0），与y轴交于点C（0，3），点P（m，n）是抛物线上的动点．（1）求抛物线的表达式； （2）如图1，当m=2时，求△BCP的面积； （3）当∠PCB=15°时，求点P的坐标； （4）如图2，点Q是抛物线对称轴上一点，是否存在点P，使△POQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 考点3：抛物线中的矩形存在性问题 知识点与方法技巧梳理： 一般是含参数的抛物线，已知一个定点．可以构造K型相似，利用勾股定理和平行四边形的性质求出点的坐标． 【例3】如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax 2－2ax－3a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y＝kx＋b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC． （1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）； （2）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．x y O A B D l C 【变式1】如图，抛物线y＝－ ( x＋2)( x－m )（m＞0）与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，连接AC、BC． （1）若△ABC为直角三角形，求m的值； （2）直线y＝ x＋b经过点B，与抛物线交于另一点G，点P在y轴上，点Q在抛物线上，以点B、G、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由． C B A x y 备用图 C B A x y 【变式1】如图1，已知抛物线y＝ － x2＋ax与x轴负半轴交于点A，点B在y轴正半轴上，连接AB，交抛物线于点C，点C的坐标为（－1，2.5）． （1） 求此抛物线的解析式； （2） 求点A的坐标； （3） 如图2，过点C作CD⊥x轴于点D，点P为线段AC上方抛物线上的一个动点，连接OP，交CD于点E，过点P作PG⊥x轴于点G，交线段AC于点F，设点P的横坐标为m. ①求线段DE的长（用含m的代数式表示）； ②已知点M是x轴上一点，N是坐标平面内一点，当以点E、F、M、N为顶点的四边形是正方形时，直接写出此时m的值． 考点4：抛物线中的相似三角形存在性问题 知识点与方法技巧梳理： 根据已知条件确定相似三角形的对应顶点，注意角度的转化，尤其是旋转相似的“一拖二”，把不能直接求的线段关系转化成由旋转相似的“一拖二”而派生出来的一对相似三角形中去，根据对应边成比例列出比例式求解． 【例】如图，抛物线y＝ ( x＋1 )( x－m )（m为常数，且m＞0）与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C． （1）若抛物线经过点D（－2，2）求抛物线的解析式； （2）若点E在第一象限内的抛物线上，使得以A、B、E为顶点的三角形与△ABC相似，求m的值．C B O x A y 【变式】如图，抛物线y＝ x 2－( m＋1 )x＋2m与x轴正半轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且AB＝6． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点Q是y轴上的动点，在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PBQ∽△ABC？若存在，求出P、Q两点的坐标；若不存在，请说明理由． A x y O B C 【学习评估】 1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－ x 2＋ x＋ （m＞0）与x轴交于A（－1，0）、B（m，0）两点，与y轴交于点C，连接BC． （1）若OC＝2OA，求抛物线的函数表达式； （2）点P位于直线BC上方的抛物线上，当△PBC面积的最大值为32时，求点P的坐标； （3）直线y＝－ x＋b经过点A，与抛物线交于另一点G，点E在抛物线上，点F在抛物线的对称轴上，如果以点A、E、F、G为顶点的四边形为矩形，求出E，F两点的坐标． y x O A B P C y x O A B G C 备用图 2. 如图，抛物线y=ax2－2ax－1与y轴交于点C．已知抛物线顶点纵坐标为－2．点P在此抛物线上，其坐标为（m，n）． （1） 求抛物线的解析式． （2） 当-1≤m≤2时，结合图象，直接写出n的取值范围． （3） 若此抛物线在点P左侧部分（包括点P）恰有三个点到x轴的距离为1． ①求m的取值范围． ②以PC为边作等腰直角三角形PCQ，当点Q在此抛物线的对称轴上时，直接写出点P的坐标． 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 二次函数的存在性问题 【例】（1）y＝ x 2－ x－1 （2）设P（ m 2－ m－1） 若AB为边，则PQ＝AB＝4，m＝±4，∴P1（4，），P2（－4，7） 若AB为对角线，则m＋0＝－1＋3，m＝2，∴P3（2，－1） 【变式1】（1）y＝－ x 2－ x＋8 （2）存在，F1（－1，4），F2（－1，－4），F3（－1，12） 提示：若CD是对角线，则平移线段CD，使其中一个端点 落在对称轴上，另一个端点落在x轴上；若CD是对角线， CD的中点坐标为（1，6），则F点的纵坐标为12 x C D y O E A B F x C D y O E A B F x C D y O E A B F 【变式2】（1）y＝x 2－x－2 （2） m=． （3）存在，点H的坐标为（－，0）或（，0）或（，0）或（－，0）． 考点2：抛物线中的直角三角形存在性问题 【例2】构造矩形OBCD，则△APD∽△PBC，∴ ＝ y O A B x P C D 易求A（0，3），B（0，3） 设P（m，－m 2＋2m＋3），则PD＝m，AD＝－m 2＋2m＋3－3＝－m 2＋2m＝－m( m－2 ) PC＝3－m，BC＝－m 2＋2m＋3＝( m＋1 )( 3－m )，∴ ＝ ∴2－m ＝ ，即m 2－m－1＝0，解得m＝ ∴点P的横坐标为 O A x y P B D E F 【变式1】（1）y＝－x 2＋6x－5 （2）C（2，－3），D（2，3），CD＝6 （3）易求A（5，0），构造如图所示的相似三角形 D（2，3） 设P（m，－m 2＋6m－5），则DE＝m－2， PE＝－m 2＋6m－5－3＝－m 2＋6m－8＝－( m－2 )( m－4 ) PF＝－m 2＋6m－5＝－( m－1 )( m－5 )，AF＝5－m 由△PDE∽△APF，得 ＝ ∴ ＝ ∴－( m－4 )＝ ，即m 2－5m＋5＝0，解得m＝ ∴点P的横坐标为 【变式2】（1）y＝x 2－4x＋3； （2）3； （3）P（4－，6－4）；（4）m的值是或． 考点3：抛物线中的矩形存在性问题 【例3】（1）A（－1，0） 过D作DH⊥x轴于H，则DH∥y轴 ∴ ＝ ＝4，即OH＝4AO＝4 ∴点D的横坐标为4x y A B D l C Q P O ∵点D在抛物线y＝ax 2－2ax－3a上，∴D（4，5a） 把A（－1，0），D（4，5a）代入y＝kx＋b，得 解得 ∴直线l的函数表达式为y＝ax＋a （2）∵y＝ax 2－2ax－3a＝a( x－1 )2－4a，∴抛物线的对称轴为x＝1 设P（1，m） 由A（－1，0）、D（4，5a）可知： ①若AD是矩形的一条边，显然点P只能在直线l的下方 由PQ AD，可得点Q的坐标为（－4，21a） 则m＝21a＋5a＝26a，∴P（1，26a） ∵四边形ADPQ为矩形，∴AP＝DQ ( 1＋1 )2＋( 26a )2＝( 4＋4 )2＋( 5a－21a )2x y O A B D l C P Q 即a 2＝ ，∵a＜0，∴a＝－ ，∴P1（1，－ ） ②若AD是矩形的一条对角线，显然点P只能在直线l的下方 则线段AD的中点坐标为（ ，），∴Q（2，－3a） 则m＝5a－( －3a )＝8a，则P（1，8a） ∵四边形APDQ为矩形，∴AD＝PQ ∴( 4＋1 )2＋( 5a )2＝( 2－1 )2＋( 8a＋3a )2 即a 2＝ ，∵a＜0，∴a＝－ ，∴P2（1，－4） 综上所述，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形 点P的坐标为（1，－ ）或（1，－4） 【变式1】（1）令－ ( x＋2)( x－m )＝0，解得x1＝－2，x2＝m ∵m＞0，A在B的左侧，∴A（－2，0），B（m，0） 令x＝0，得y＝2，∴C（0，2），∴OA＝OC＝2，∴∠ACO＝∠CAO＝45° △ABC为直角三角形，只能∠ACB＝90° ∴∠BCO＝∠CBO＝45°，∴OB＝OC＝2，∴m＝2 （2）∵直线y＝ x＋b经过点B（m，0），∴0＝ m＋b ∴b＝－ m，∴y＝ x－ m 令－ ( x＋2)( x－m )＝ x－ m，解得x＝m或x＝－ m－2 ∴G（－ m－2，－ m－1）y C Q B A O G P x M ①若BG是矩形的一条对角线，显然点P只能在直线BG的下方 由PG BQ，可得点Q的横坐标为 m－2 ∴y＝－ ( m－2＋2 )( m－2－m )＝ m＋1 ∴Q（ m－2， m＋1） 点P的纵坐标为：－ m－1－ m－1＝－m－2 ∴P（0，－m－2） 作QM⊥x轴于MB y O A C x G P Q N M BM＝m－( m－2 )＝ ( m＋4 )，QM＝ m＋1＝ ( m＋4 ) ∵四边形BPGQ为矩形，∴BP⊥BQ ∴△BQM∽△PBO，∴ ＝ ，∴ ＝ ∵m＞0，∴ ＝2，∴m＝2，∴P（0，－4） ②若BG是矩形的一条边，显然点P只能在直线BG的下方 由点B的横坐标为m、点P的横坐标为0，可得矩形对角线交点的横坐标为 由点G横坐标为－ m－2可得点Q的横坐标为 m＋2 ∴y＝－ ( m＋2＋2 )( m＋2－m )＝－ m－5－ ∴Q（ m＋2，－ m－5－ ） 点P的纵坐标为－ m－1－ m－5－ ＝－ m－6－ ∴P（0，－ m－6－ ） 作QM⊥x轴于M，GN⊥x轴于N BM＝ m＋2－m＝ ( m＋4 )，QM＝ m＋5＋ ＝ ( m＋4 )( 3m＋8 ) BN＝m＋ m＋2＝ m＋2，GN＝ m＋1 ∵四边形BPEQ为矩形，∴BQ⊥BG ∴△BQM∽△GBN，∴ ＝ ，∴ ＝ ∵m＞0，∴ ＝ ，∴m＝8 ∴P（0，－19） 综上所述，点P的坐标为（0，－4）或（0，－19） 考点4：抛物线中的相似三角形存在性问题 【例4】（1）令 ( x＋1 )( x－m )＝0，得x1＝－1，x2＝m ∵m＞0，A在B的左侧，∴A（－1，0），B（m，0） ∵直线y＝－ x＋b经过点B，∴0＝－ m＋b，∴b＝ m，∴y＝－ x＋ m 令 ( x＋1 )( x－m )＝－ x＋ m，解得x1＝－2，x2＝m，∴点D的横坐标为－2 ∵y轴平分线段BD，∴m＝2，∴抛物线的解析式为y＝ ( x＋1 )( x－2 ) （2）由于∠ACB、∠ABE均为钝角，要使以A、B、E为顶点的三角形与△ABC相似，必须∠ACB＝∠ABE，且∠EAB＝∠ABC或∠EAB＝∠BAC 在y＝ ( x＋1 )( x－m )中，令x＝0，得y＝－ m ∴OC＝ m，∴AC＝ ，BC＝ m 过E作EG⊥x轴于G，设E（x，( x＋1 )( x－m )）y C B O x A G E ①当∠EAB＝∠ABC时，则tan∠EAB＝tan∠ABC ∴ ＝ ，即 ＝ ∴x＝m＋1，∴AG＝m＋2，EG＝ ( m＋2 ) ∴EA＝ ＝ ( m＋2 ) 由 ＝ ，得AB 2＝EA·BC，∴( m＋1 )2＝ ( m＋2 )· m 解得m＝－1或m＝－－1（舍去） ②当∠EAB＝∠BAC时，则tan∠EAB＝tan∠BACC B O x A E G y ∴ ＝ ，即 ＝ m ∴x＝2m，∴AG＝2m＋1，EG＝ m( 2m＋1 ) ∴EA＝ ＝ ( 2m＋1 ) 由 ＝ ，得AB 2＝EA·AC，∴( m＋1 )2＝ ( 2m＋1 ) · 整理得2m 3＝3m 2，∵m≠0，∴2m＝3，m＝ 综上，m＝－1 或m＝ 【变式】（1）令y＝0，即 x 2－( m＋1 )x＋2m＝0，解得x＝2或x＝2m ∵AB＝6，∴2m－2＝6，解得m＝4，或2－2m＝6，解得m＝－2（舍去）A x y O B Q C P D 点A在点B的左侧，∴A（2，0），B（8，0） 可求抛物线的函数表达式为y＝ x 2－5x＋8 （2）由（1）知，A（2，0），B（8，0），C（0，8） ∴OB＝OC＝8，∴BC＝8，∠OBC＝∠OCB＝45° ①若点P在x轴下方，连接PA ∵△PBQ∽△ABC，∴∠PBQ＝∠ABC， ＝ ∴∠PBA＝∠CBQ，∴△PAB∽△QCB，∴∠BAP＝∠OCB＝45° 作PD⊥AB于D，则AD＝PD 设P（x， x 2－5x＋8），则AD＝x－2 ∴x－2＝－( x 2－5x＋8 )，解得x1＝2（舍去），x2＝6A x y O B Q C P C′ D ∴P1（6，－4），∴AP＝4 ∵△PAB∽△QCB，∴ ＝ ，∴ ＝ ∴QC＝ ，∴OQ＝ －8＝ ，∴Q1（0，－ ） ②若点P在x轴上方 作点C关于x轴的对称点C′，连接AC′、BC′、AP，则△ABC′≌△ABC ∵△PBQ∽△ABC，∴△PBQ∽△ABC′，∴∠PBQ＝∠ABC， ＝ ∴∠PBA＝∠QBC′，∴△PAB∽△QC′B，∴∠BAP＝∠BC′Q＝∠BCO＝45° 作PD⊥AB于D，则AD＝PD 设P（x， x 2－5x＋8），则AD＝x－2 ∴x－2＝＝ x 2－5x＋8，解得x1＝2（舍去），x2＝10 ∴P2（10，8），∴PA＝8 ∵△PAB∽△QC′B，∴ ＝ ，∴ ＝ ，∴QC′＝ ，∴QO＝ ，∴Q2（0，） 【学习评估】 （1）∵A（－1，0），∴OA＝1 ∵OC＝2OA，∴OC＝2，∴C（0，2） 将点C的坐标代入抛物线的解析式， ＝2，∴m＝4 ∴抛物线的函数表达式为y＝－ x 2＋ x＋2 （2）过点P作PQ∥y轴，交BC于点Q 设直线BC的函数表达式为y＝kx＋b，将B（m，0）、C（0，）代入 解得 y x O A B P C Q ∴y＝－ x＋ 设P（x，－ x 2＋ x＋ ），则Q（x，－ x＋ ） ∴PQ＝－ x 2＋ x＋ －(－ x＋ )＝－ x 2＋ x ∴S△PBC ＝S△PBQ ＋ S△PCQ ＝ PQ·xB ＝ (－ x 2＋ x )＝－ x 2＋ x＝－ ( x－ )2＋ ∴当x＝ 时，△PBC的面积有最大值为 ∵△PBC面积的最大值为32，∴ ＝32 解得m＝8，∴点P的坐标为（4，10） （3）∵直线y＝－ x＋b经过点A（－1，0） ∴－ ×( －1 )＋b＝0，∴b＝－ ，∴y＝－ x－ 令－ x－ ＝－ x 2＋ x＋ ，解得x＝－1或x＝m＋1 ∴G（m＋1，－ m－1），抛物线的对称轴为直线x＝ y x O A B C G F E M N ①若AG为矩形的一条边 ∵G、A两点的横坐标之差为m＋2， ∴点E的横坐标为－ － ，∴E（－ － ，－ m 2－ m－ ） 分别过点E、G作x轴的垂线，垂足为M、N 则AM＝ ( m＋3 )，EM＝ m 2＋ m＋ ＝ ( m＋3 )( 3m＋5 ) AN＝m＋2，GN＝ ( m＋2 ) ∵四边形AEFG为矩形，∴∠EAG＝90° ∴△AEM∽△GAN，∴ ＝ ∴ ＝ ，即 ＝2y x O A B G E F H K C 解得m＝1，∴E（－3，－4），G（2，－ ），∴F（0，－ ） ②若AG为矩形的一条对角线 则F、A两点的横坐标之差为 ，∴G、E两点的横坐标之差为 ∴点E的横坐标为 ，∴E（， m 2＋ m－ ） ∴F（， m 2＋ m－ ） 过点A作y轴的平行线HK，分别过点E、F作HK的垂线，垂足为H、K 则AH＝ m 2＋ m－ ＝ ( m－1 )( m＋3 )，EH＝ ( m＋3 ) AK＝ m 2＋ m－ ＋ m＋1＝ ( m＋1 )( m＋5 )，FK＝ ( m＋1 ) ∵四边形AFGE为矩形，∴∠EAF＝90° ∴△AEH∽△FAK，∴ ＝ ∴ ＝ 即 ＝ ，解得m＝－7（舍去）或m＝3 ∴E（2，），F（1，－ 4） 综上所述，E（－3，－4），F（0，－ ）或E（2，），F（1，－ 4） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$